確定帶電粒子在磁場中運動軌跡的方法

1、確定帶電粒子運動軌跡的方法。、對稱法則其軌跡關(guān)于入射點和出射點帶電粒子如果從勻強磁場的直線邊界射入又從該邊界射出,線段的中垂線對稱，且入射速度方向與出射速度方向與邊界的夾角相等（如圖1）;帶電粒子如果沿半徑方向射入具有圓形邊界的勻強磁場，則其射出磁場時速度延長線必過圓心（如圖2）。利用這兩個結(jié)論可以輕松畫出帶電粒子的運動軌跡，找出相應(yīng)的幾何關(guān)系。1址K”MKXZX打XfK, I -Pill 11 imA XxPi例1.如圖3所示，直線MN上方有磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場。正、負電子同時從同一點0以與MN成30 °角的同樣速度V射入磁場（電子質(zhì)量為 m,電荷為e）,它們從磁場中射出時相距

2、多遠？射出的時間差是多少?0 r U-、/ .Qa-3S7解析：正、負電子的半徑和周期是相同的。只是偏轉(zhuǎn)方向相反。先確定圓心，畫出半徑和軌跡（如圖4），由對稱性知：射入、射出點和圓心恰好組成正三角形。所以兩個射出點相距s=2r=月'，由圖還看出經(jīng)歷時間相差23滋，所以解此題的關(guān)鍵是找圓心、找半徑和用對稱。例2.如圖5所示，在半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，有一個勻強磁場。一帶電粒子以速度Vo從M點沿半徑方向射入磁場區(qū)，并由N點射出，0點為圓心。當/ MON = 120。時，求：帶電粒子在磁場區(qū)的偏轉(zhuǎn)半徑 R及在磁場區(qū)中的運動時間。點作半徑0M、M、N解析：分別過ON的垂線，此兩垂線的交點0

3、9;即為帶電粒子作圓周運動時圓弧軌道的圓心，如圖6所示。由圖中的幾何關(guān)系可知，圓弧 MN所對的軌道圓心角為60 °, 0、0'的邊線為該圓心角的角平分線，由此可得帶電粒子圓軌道半徑為廠£ =R=r/tan30 °，帶電粒子的軌道半徑可表示為：汕 故帶電粒子運動周期: 2 砂 2 葯;T60®qE %，帶電粒子在磁場區(qū)域中運動的時間弘尸、旋轉(zhuǎn)圓法在磁場中向垂直于磁場的各個方向發(fā)射速度大小相同的帶電粒子時，帶電粒子的運動軌跡 是圍繞發(fā)射點旋轉(zhuǎn)的半徑相同的動態(tài)圓（如圖7），用這一規(guī)律可快速確定粒子的運動軌跡。例3.如圖8所示，S為電子源，它在紙面360

4、 °度范圍內(nèi)發(fā)射速度大小為0，質(zhì)量為m， 電量為q的電子（qvO），MN是一塊足夠大的豎直擋板，與 S的水平距離為L，擋板左側(cè)充滿垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為mvo/qL，求擋板被電子擊中的范圍為多大?-11111 inniM =P解析：由于粒子從同一點向各個方向發(fā)射，粒子的軌跡為繞 S點旋轉(zhuǎn)的動態(tài)圓，且動態(tài)圓的每一個圓都是逆時針旋轉(zhuǎn)，這樣可以作出打到最高點與最低點的軌跡，如圖9所示，最高點為動態(tài)圓與MN的相切時的交點P,最低點為動態(tài)圓與MN相割，且SQ為直徑時Q為最低點，帶電粒子在磁場中作圓周運動，由洛侖茲力提供向心力,護由¥訃吩得:R = r =匸qB ，Q

5、為直徑，貝SQ=2L，SO=L，由幾何關(guān)系得:OQ = J畛-0晉二血P為切點，所以0P= L，所以粒子能擊中的范圍為盹例4. （2010全國新課程卷）如圖10所示，在0« A. 0WyW少范圍內(nèi)有垂直于xy平面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B。坐標原點0處有一個粒子源，在某時刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在 xy平面內(nèi)，與a軸正方向的夾角分布在090。范圍內(nèi)。己知粒子在磁場中做圓周運動的半徑介于到之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時間恰好為粒子在磁場中做圓周運動周期的四分之一。求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的：（1）速度大??；

6、（2）速度方向與軸正方向夾角正弦。芒 fl -pi嚴“2“:-v-rI: J-p./K訂丿z_解析：設(shè)粒子的發(fā)射速度為V,粒子做圓周運動的半徑為R,由牛頓第二定律和洛侖茲力護占=翩公式得：R，解得:從0點以半徑R（V RV a）作“動態(tài)圓”，如圖11所示，由圖不難看出，在磁場中運動時間最長的粒子,其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場的邊界相切。設(shè)該粒子在磁場中的運動時間為t，T莖1 一 一 依題意 4，所以/ OCA = 2設(shè)最后離開磁場的粒子的發(fā)射方向與 y軸正方向的夾角為a由幾何關(guān)系得:貝血 = RT22， R刼衰三，再加上sin a+ccr撫=1解得：2，2戰(zhàn)，10三、縮放圓法帶電粒子以大

7、小不同，方向相同的速度垂直射入勻強磁場中，作圓周運動的半徑隨著速度的變化而變化，因此其軌跡為半徑縮放的動態(tài)圓（如圖12），利用縮放的動態(tài)圓，可以探索出臨界點的軌跡，使問題得到解決。IIII-，一 J LT_"r"i嶺” “:/I 1役沁:'匚k F /'、二.f r、一一一 h團-13例5.如圖13所示，勻強磁場中磁感應(yīng)強度為 B，寬度為d, 電子從左邊界垂直勻強磁場射入，入射方向與邊界的夾角為0,已知電子的質(zhì)量為m,電量為e,要使電子能從軌道的另一側(cè)射出，求電子速度大小的范圍。解析：如圖14所示，當入射速度很小時電子會在磁場中轉(zhuǎn)動一段圓弧后又從同一側(cè)射出,

8、 速率越大，軌道半徑越大，當軌道與邊界相切時，電子恰好不能從另一側(cè)射出，當速率大于這個臨界值時便從右邊界射出，設(shè)此時的速率為Vo,帶電粒子在磁場中作圓周運動，由幾何關(guān)系得：葉rcos0=d電子在磁場中運動時洛倫茲力提供向心力：，所以:卩a = 聯(lián)立解得：朋（1 +匚。呂眄，所以電子從另一側(cè)射出的條件是速度大于 呱Z詔例6.（2010全國II卷）如圖15所示，左邊有一對平行金屬板，兩板的距離為d，電壓為U， 兩板間有勻強磁場，磁感應(yīng)強度為Bo,方面平行于板面并垂直紙面朝里。 圖中右邊有一邊 長為a的正三角形區(qū)域EFG（EF邊與金屬板垂直），在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強磁場,磁感應(yīng)強度大小為B,方

9、向垂直紙面向里。假設(shè)一系列電荷量為 q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點H射入磁場區(qū)域。不計重力。1）已知這些離子中的離子甲到達邊界 EG后，從邊界EF穿出磁場，求離子甲的質(zhì)量;2）已知這些離子中的離子乙從 EG邊上的I點（圖中未畫出）穿出磁場，且GI長為3a/4，求離子乙的質(zhì)量;3）若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的,問磁場邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達?解析：由題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線運動，則有：qvB0=qU/d,解得離子的速度為：v=U/B od （為一定數(shù)值）。

10、雖然離子速度大小不變，但質(zhì)量 m改變，結(jié)合帶電離子在磁場中做勻速圓周運動的半徑公式R=mv/qB分析，可畫出不同質(zhì)量的帶電離子在磁場中的運動軌跡，如圖16中的動態(tài)圓。1）由題意知，離子甲的運動軌跡是圖17中的半圓，半圓與EG邊相切于A點，與EF邊垂直相交于B點，由幾何關(guān)系可得半徑：R甲= acos30 ° tan 15 ° =（）a, 從而求得離子甲的質(zhì)量 m甲=2 卩。2）離子乙的運動軌跡如圖18所示，在AEI0 2中，由余弦定理得:（于 + U -夙尸一 2（-）（- 一 R乙）COE 6L424 2，解得R乙=a/4，從而求得乙離子的質(zhì)量(3)由半徑公式R=mv/qB

11、可知R*m,結(jié)合（1） （2）問分析可得:若離子的質(zhì)量滿足 m甲/2 <m< m甲，則所有離子都垂直EH邊離開磁場，離開磁場的位置到H的距離介于R甲到2R甲之間，即2°（2柘-3加；若離子的質(zhì)量滿足 m甲<m<m乙，則所有離子都從EG邊離開磁場，離開磁場的位置介于A到I之間，其中AE的距離AEi"丄,IE距離IE=4四、臨界法以題目中的“恰好”“最大” “最高”“至少”等詞語為突破口，借助半徑r和速度V以及磁場B之間的約束關(guān)系進行動態(tài)軌跡分析， 確定軌跡圓和邊界的關(guān)系,找出臨界點，然后利用數(shù)學方法求解極值，畫出臨界點的軌跡是解題的關(guān)鍵。例7.長為L的

12、水平極板間，有垂直紙面向內(nèi)的勻強磁場，如圖 19所示,磁感應(yīng)強度為B，板間距離也為L,兩極板不帶電，現(xiàn)有質(zhì)量為 m電量為q的帶負電粒子（不計重力）從左邊極板間中點處垂直磁感線以水平速度 V射入磁場，欲使粒子打到極板上，求初速度的范圍。解：由左手定則判定受力向下，所以向下偏轉(zhuǎn)，恰好打到下板右邊界和左邊界為兩個臨界狀態(tài)，分別作出兩個狀態(tài)的軌跡圖，如圖20、圖21所示，打到右邊界時，在直角三角形解得軌道半徑國=¥隈3 _ /JP _I riOAB中，由幾何關(guān)系得:電子在磁場中運動時洛倫茲力提供向心力兔 因此打在左側(cè)邊界時，如圖21所示，由幾何關(guān)系得軌跡半徑4刖護=忍£片=迅=型電

13、子在磁場中運動時洛倫茲力提供向心力，盡 所以、qSL 5qBL所以打在板上時速度的范圍為 4朋 v也例&如圖22, 一足夠長的矩形區(qū)域abed內(nèi)充滿磁感應(yīng)強度為B，方向垂直紙面向里的勻 強磁場，現(xiàn)從矩形區(qū)域ad邊中點O射出與Od邊夾角為30 °，大小為/o的帶電粒子，已 知粒子質(zhì)量為m,電量為q，ad邊長為L，ab邊足夠長，粒子重力忽略不計。求:1)試求粒子能從ab邊上射出磁場的Vo的大小范圍;2)粒子在磁場中運動的最長時間和在這種情況下粒子從磁場中射出所在邊上位置的范圍。XX VJ,-解 (1)畫出從O點射入磁場的粒子運動軌跡的動態(tài)圓， 能夠從ab邊射出的粒子的臨界軌 跡如圖23所示，軌跡與de邊相切時，射到ab邊上的A點，此時軌跡圓心為Oi，則軌道壞幡一半徑ri=L，由得最大速度軌跡與ab邊相切時，射到ab邊上的B點，此時軌跡圓心為02,則軌道半徑r2=L/3，由qB