分段線性插值

1、天心2先吊區(qū)方廢數(shù)值分析課程設(shè)計分段線性插值學(xué) 生一牛彥坡陳彬馮夢雨指導(dǎo)教師 郭閣陽天津工程師范學(xué)院課 程設(shè)計 任務(wù)書理學(xué) 院 數(shù)學(xué)0702 班 學(xué)生 牛彥坡陳彬 馮夢雨課程設(shè)計課題：考察分段線性插值一、課程設(shè)計工作日自2009 年6 月 22 日至2009 年6 月 28 日二、同組學(xué)生：牛彥坡 陳彬 馮夢雨三、課程設(shè)計任務(wù)要求（包括課題來源、類型、目的和意義、基本要求、參考資料等）:來源與意義：本課題來源于教材第二章插值法，目的是從幾何意義掌握分段線性插值的思 想，加深對其的理解以及掌握用計算機(jī)與 Matlab解決相關(guān)問題的能力?；疽螅阂笞跃幊绦?；掌握編程思想，學(xué)會一門編程語言；報告

2、要有較強(qiáng)的理論分 析；有較強(qiáng)說服力的數(shù)據(jù)表或圖像；對結(jié)果進(jìn)行分析；給出相應(yīng)結(jié)論；鼓勵創(chuàng)新；參考資料：1 .數(shù)值分析，李慶揚，王能超，易大義，2001,清華大學(xué)出版社（第四版）。2 .數(shù)值方法，關(guān)治，陸金甫，2006,清華大學(xué)出版社。3 .數(shù)值分析與實驗學(xué)習(xí)指導(dǎo)，蔡大用，2001,清華大學(xué)出版社。4 .數(shù)值分析與實驗，薛毅，2005,北京工業(yè)大學(xué)出版社。指導(dǎo)教師簽字:教研室主任簽字:天津工程師范學(xué)院課 程設(shè)計 評審表理學(xué) 院 數(shù)學(xué)0702 班 學(xué)生牛彥坡陳彬馮夢雨 設(shè)計任務(wù)完成情況及指導(dǎo)教師評語答辯情況評定成績成績： 指導(dǎo)教師簽字： 日期：教研室主任： 主任簽字： 日期：日期：一、問題提出：考察

3、分段線性插值：對f(x)在(-5 , 5)上進(jìn)行分段線性插值，取不同節(jié)點個數(shù) n,得到不 1 x同分段線性插值函數(shù)。(要求：自編程序，報告有數(shù)據(jù)表、圖像、分析、結(jié)論。)雖然matlab里有直接分段線形插值的函數(shù)，但為了對分段插值算法有更明確的理解，編寫該程序是有必要的需要解決的問題：1、由已知數(shù)據(jù)節(jié)點編寫分段線形插值函數(shù)，從而能由所編函數(shù)得到非節(jié)點的函 數(shù)值。2、比較用不同節(jié)點數(shù)所得插值函數(shù)與真實函數(shù)的誤差，從而得出節(jié)點數(shù)與插值效果的關(guān)系二、理論基礎(chǔ)所謂分段線性插值就是通過插值點用折線段連接起來逼近f (x)0設(shè)已知節(jié)點a=X0<XV-<Xn=b上的函數(shù)值fo, fl,，fn ,求

4、一折線函數(shù)滿足：1o Ih(x) Ca,b,2o Ih(x) fk (k 0,1,n)，3o Ih(x)在每個小區(qū)間xk,xk+i上是線性函數(shù)。則稱Ih(x)為分段線性插值函數(shù)。模型一：由定義可知Ih(x)在每個小區(qū)間xk,xk+1上可表示為x xk 1 x xk/Ih(x)= fk fk 1(xk x xk 1)xk xk 1xk 1 xk模型二：首先確定間隔序列k,使得：xkx xk 1第二個量是局部變量s,其定義為：s x xk最后一個量是一階均差yk i yk kXk 1 Xk則插值基函數(shù)可表示為L(x) yk (x Xk)-ykJ-泣 yk s k.Xk i xk三、實驗內(nèi)容1、模型

5、一：用MATLA分別建立m文件：(1)原函數(shù)fdl.m(2)分段線性插值函數(shù)fd2.m(3)比較不同節(jié)點數(shù)所得分段線性插值函數(shù)的插值效果fd3.m2、選取插值節(jié)點數(shù)為偶數(shù)在MATLABJ 口中執(zhí)行：fd3 n=2 的數(shù)據(jù)見附錄，圖像如下：-5-4-3-2原函數(shù)(實線)-插值函數(shù)(虛線)0y 0.5-1x0 -5-4-3-20x誤差分析-0.5n=8的圖如下:原函數(shù)（實線）-插值函數(shù)（虛線）yRxx誤差分析n=20的圖y誤差分析Rx3、模型二：用MATLA分別建立m文件:(1)分段插值函數(shù)fd22(2)插值效果比較函數(shù)fd32 (選取插值節(jié)點數(shù)為奇數(shù))程序代碼(參見附錄)在 MATLAB1 口

6、中執(zhí)行：fd32得下圖：上圖為不同節(jié)點數(shù)插值函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像，下圖為誤差圖像3、由上所有的圖可看出，由于原函數(shù)是偶函數(shù)，等距節(jié)點所得插值函數(shù)有很強(qiáng) 對稱性，下任取節(jié)點，編寫程序fd33.m ,得圖上圖為不同節(jié)點數(shù)插值函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像，下圖為誤差圖像10.80.60.40.24、比較不同節(jié)點所得插信函數(shù)與被插函數(shù)誤差的平方和，程序模板為dl.m得下圖：紅星由fd32得奇數(shù)節(jié)點誤差平方和，綠星加圈由fd3得偶數(shù)節(jié)點誤差平方和，圈由f33得隨機(jī)節(jié)點誤差平方和，數(shù)據(jù)見附錄和方平差誤en節(jié)點數(shù)四、結(jié)果分析1、 不同插值節(jié)點數(shù)所得的分段線形插值函數(shù)，在節(jié)點處與原函數(shù)的函數(shù)值一定相同2、 所得的分段

7、線形插值函數(shù)在原函數(shù)斜率絕對值變化大的地方，與原函數(shù)的誤差比較大3、由誤差平方和e,插值節(jié)點個數(shù)越多，e有減小的趨勢，最后趨于00單考慮奇數(shù)或偶數(shù)個節(jié)點，則隨節(jié)點數(shù)增加e 嚴(yán)格減小。4、隨機(jī)生成的節(jié)點不如等距節(jié)點使插值效果好。五、結(jié)論插值節(jié)點個數(shù)越多，分段線形插值函數(shù)與原函數(shù)誤差平方和有減小趨勢,插值效果越好。六、參考文獻(xiàn)數(shù)值分析與實驗薛 毅 編著 北京工業(yè)大學(xué)出版社附錄代碼如下：% fdl.m線性插值原函數(shù)function y=fd1(x)y=1./(1+xA2);% fd2.m 分段線性插值函數(shù)function yi=fd2(x,y,xi)n=length(x);m=length(y);i

8、f n=merror( 'X和Y向量的長度必須相同)；return ;endfor k=1:n-1if abs(x(k)-x(k+1)<eps % x(k)-x(k+1) 的絕對值必須大于eerror( ' 數(shù)據(jù)有誤' );return ;endif x(k)<=xi&xi<=x(k+1)% 保證 x(k) < xi < x(k+1)temp=x(k)-x(k+1);yi=(xi-x(k+1)/temp*y(k)+(xi-x(k)/(-temp)*y(k+1)return ;endend% fd3.m 比較插值效果a=-5;b=5;

9、n=input( ' 請輸入分端節(jié)點數(shù)：' );if n<=0error( ' 你輸入的數(shù)據(jù)有誤！' );break;endh=(b-a)/(n-1);% 求節(jié)點x=a:h:b;y=fd1(x);xx=a:0.1:b;% 用分段線性插值函數(shù)求非節(jié)點函數(shù)值yyi=fd1(xx);m1=length(xx);z=zeros(1,m1);for k1=1:m1z(k1)=fd2(x,y,xx(k1);endw=z-yyi; % 計算誤差subplot(2,1,1);plot(x,y, 'o' ,xx,yyi, '-' ,x,y,

10、'k:' ); %插值圖像xlabel( 'x' );ylabel( 'y' );title( ' 原函數(shù) ( 實線 )- 插值函數(shù)(虛線)' );hold onsubplot(2,1,2);plot(xx,w, 'k:' ); % 誤差的圖像xlabel( 'x' );ylabel( 'R( x) ' );title( ' 誤差分析' );hold on xx=xx'yyi=yyi'z=z' w=w'% fd22.m 分段線性插值函數(shù)

11、function v=fd22(x,y,u) delta=diff(y)./diff(x);n=length(x); k=ones(size(u);for j=2:n-1 k(x(j)<=u)=j; ends=u-x(k);v=y(k)+s.*delta(k);% fd32.m 同時畫不同節(jié)點的插值函數(shù)圖像和誤差圖像clearcloset=-5:0.01:5;a='k' 'g' 'r''c' 'm' ;for i=1:5%把區(qū)間-5 5 分為（n1）份，算插值節(jié)點, 'n=7' , '

12、n=9' , 'n=11' ), 'n=7' , 'n=9' , 'n=11' )'k' ); %畫出原函數(shù)圖像n=2*i+1;x=linspace(-5,5,n);y=fd1(x);p=fd22(x,y,t);p=p'%計算以(x，y1=fd1(t);y1=y1'e=p-y1;%計算誤差subplot(2,1,1);plot(x,y,a(i);holdsubplot(2,1,2);plot(t,e,a(i);hold endsubplot(2,1,1);legend( 'n=3&#

13、39; , 'n=5subplot(2,1,2);legend( 'n=3' , 'n=5subplot(2,1,1);fplot(fd1,-5 5,hold offy）為插值點的插值函數(shù)在t處的各個值on; %畫出插值函數(shù)圖像及誤差圖像on;%fd33.m 插值節(jié)點非等分區(qū)間獲得 closet=-5:0.01:5;a='k' 'g' 'r''c' 'm' ;for i=1:5n=2*i+1;x=-5 rand(1,n-2)*10-5 5;%> (-5, 5)上的 n維隨機(jī)向量

14、x=sort(x);y=fd1(x);p=fd22(x,y,t);p=p'y1=fd1(t);y1=y1'e=p-y1;subplot(2,1,1);plot(x,y,a(i);holdon;subplot(2,1,2);plot(t,e,a(i);holdon;endsubplot(2,1,1);legend( 'n=3' , 'n=5' , 'n=7' , 'n=9' , 'n=11' )subplot(2,1,2);legend( 'n=3' , 'n=5' ,

15、 'n=7' , 'n=9' , 'n=11' )subplot(2,1,1);fplot(fd1,-5 5,'k' );hold off%fd1.m 比較不同節(jié)點數(shù)誤差平方和cleart=-5:0.01:5;a=;b=;for i=1:10n=2*i;%n=2*i+1則是奇數(shù)節(jié)點x=linspace(-5,5,n)y=fd1(x);p=fd22(x,y,t);y1=fd1(t);e=p-y1;e=e*e'a=a e;b=b n; endplot(b,a, 'go' )xlabel( 'n 節(jié)點數(shù)

16、' )ylabel( 'e 誤差平方和' )hold onn=2的數(shù)據(jù)：XYYI （原函數(shù)）W-5.00000.03850.03850-4.90000.04000.0577-0.0177-4.80000.04160.0769-0.0353-4.70000.04330.0962-0.0528-4.60000.04510.1154-0.0703-4.50000.04710.1346-0.0876-4.40000.04910.1538-0.1047-4.30000.05130.1731-0.1218-4.20000.05360.1923-0.1387-4.10000.0561

17、0.2115-0.1554-4.00000.05880.2308-0.1719-3.90000.06170.2500-0.1883-3.80000.06480.2692-0.2045-3.70000.06810.2885-0.2204-3.60000.07160.3077-0.2361-3.50000.07550.3269-0.2515-3.40000.07960.3462-0.2665-3.30000.08410.3654-0.2813-3.20000.08900.3846-0.2956-3.10000.09430.4038-0.3096-3.00000.10000.4231-0.3231-

18、2.90000.10630.4423-0.336-2.80000.11310.4615-0.3484-2.70000.12060.4808-0.3601-2.60000.12890.5000-0.3711-2.50000.13790.5192-0.3813-2.40000.14790.5385-0.3905-2.30000.15900.5577-0.3987-2.20000.17120.5769-0.4057-2.10000.18480.5962-0.4113-2.00000.20000.6154-0.4154-1.90000.21690.6346-0.4177-1.80000.23580.6

19、538-0.418-1.70000.25710.6731-0.416-1.60000.28090.6923-0.4114-1.50000.30770.7115-0.4038-1.40000.33780.7308-0.3929-1.30000.37170.7500-0.3783-1.20000.40980.7692-0.3594-1.10000.45250.7885-0.336-1.00000.50000.8077-0.3077-0.90000.55250.8269-0.2744-0.80000.60980.8462-0.2364-0.70000.67110.8654-0.1942-0.6000

20、0.73530.8846-0.1493-0.50000.80000.9038-0.1038-0.40000.86210.9231-0.061-0.30000.91740.9423-0.0249-0.20000.96150.96150-0.10000.99010.98080.009301.00001.000000 10000 99010 98080 00930 20000 96150 961500.30000.91740.9423-0.02490.40000.86210.9231-0.0610.50000.80000.9038-0.10380.60000.73530.8846-0.14930.7

21、0000.67110.8654-0.19420.80000.60980.8462-0.23640.90000.55250.8269-0.27441.00000.50000.8077-0.30771.10000.45250.7885-0.3361.20000.40980.7692-0.35941.30000.37170.7500-0.37831.40000.33780.7308-0.39291.50000.30770.7115-0.40381.60000.28090.6923-0.41141.70000.25710.6731-0.4161.80000.23580.6538-0.4181.90000.21690.6346-0.41772.00000.20000.6154-0.41542.10000.18480.5962-0.41132.20000.17120.5769-0.40572.30000.15900.5577-0.39872.40000.14790.5385-0.39052.50000.13790.5192-0.38132.60000.12890.5000-0.37112.70000.12060.4808-0.36012.80000.11310.4