數(shù)形結(jié)合在小學數(shù)學解決問題中的運用

1、數(shù)形結(jié)合在小學數(shù)學解決問題中的運用許巷中心小學傅玲玲摘要數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學，數(shù)與形是數(shù)學的基本研究對象，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合是小學數(shù)學教材編排的重要原則，也是小學數(shù)學教材的一個重要特點，更是解決問題時常用的方法。它包含 “以形助教”、“以數(shù)解形”和“數(shù)形互譯”三個方面。本文將結(jié)合小學數(shù)學中的教學實例，闡述數(shù)形結(jié)合思想在解決問題這個方面教學中的運用。關(guān)鍵詞數(shù)形結(jié)合；解決問題；小學數(shù)學數(shù)學是以現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系作為自己特定的研究對象，也就是說，數(shù)學是研究“數(shù)”與“形”及其相互關(guān)系的一門科學。數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學的重要思想之一。1數(shù)形結(jié)合就

2、是通過數(shù)(數(shù)量關(guān)系)與形(空間形式)的相互轉(zhuǎn)化、互相作用來解決數(shù)學問題的一種思想方法。其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，使得抽象的數(shù)學概念或復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化、簡單化。2數(shù)形結(jié)合是指在數(shù)學問題解決過程中，結(jié)合問題中各要素間的本質(zhì)聯(lián)系，根據(jù)實際需要，將數(shù)量關(guān)系與幾何圖形相結(jié)合，依據(jù)數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化的方式使問題得到巧妙解決的一種思想方法。在解決問題中，其策略具體表現(xiàn)為把有關(guān)數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化成圖形性質(zhì)的問題進行分析，或者將有關(guān)圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系的問題加以討論，最終解決問題。這種思想方法不僅分析問題的代數(shù)含義，而且還要揭示其

3、幾何意義，把抽象的數(shù)學運算和直觀的幾何圖形緊密地聯(lián)系起來。這種思想方法具備了數(shù)的精確性和形的直觀性的雙重優(yōu)勢，以數(shù)精確地分析形，或以形直觀地表示數(shù)，正如數(shù)學家華羅庚所說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”。故而，數(shù)形結(jié)合是小學數(shù)學教材編排的重要原則，也是小學數(shù)學教材的一個重要特點，更是解決問題時常用的方法。它包含 “以形助教”、“以數(shù)解形”和“數(shù)形互譯”三個方面。本文將結(jié)合小學數(shù)學中的教學實例，闡述數(shù)形結(jié)合思想在解決問題這個方面教學中的運用。一、以數(shù)解形，使復(fù)雜的問題簡單化以數(shù)解形就是借助于數(shù)的精確性和嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的。3有些圖形過于簡單，直接觀察卻看不出什

4、么規(guī)律，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等等。因為往往一些圖形的性質(zhì)，又可以賦予數(shù)量意義，尋找恰當表達問題的數(shù)量關(guān)系式，即可使幾何問題代數(shù)化，以數(shù)解形，用代數(shù)的方法使問題得到解決。如在學習了異分母分數(shù)加減法后曾出現(xiàn)這樣一道題目：下列圖形中陰影部分的總和分別是多少？（原正方形的面積是“1”）圖1圖2圖3初看圖形，圖形很簡單，但大多數(shù)學生不能馬上得出答案，此時，必須要借助數(shù)，通過代數(shù)方法來計算出陰影部分的面積。已知原正方形的面積是“1”，通過觀察，發(fā)現(xiàn)計算圖1陰影的面積，即計算，學生是非常容易算的，可以直接通分，然后求出結(jié)果。計算圖2陰影的面積，即計算，難度也不大，通分照樣能夠解決問題，但是如果

5、運用數(shù)形結(jié)合的思想，學生就會發(fā)現(xiàn)，原來可以算得更簡單，陰影部分=1空白部分，即；則圖3陰影面積等于。依此類推，如果計算下一個圖形的陰影部分面積，即等于，就變得非常方便與簡潔了。雖是面積問題，但我們運用數(shù)形結(jié)合的思想，用代數(shù)方法以數(shù)解形，使復(fù)雜的問題簡單化。二、以形助數(shù)，使抽象的問題形象化以形助數(shù)是借助于形的直觀性來闡述數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的。3 在解決與數(shù)量有關(guān)的問題時，根據(jù)數(shù)量的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出相應(yīng)的幾何圖形，轉(zhuǎn)化為幾何問題，可以使那些抽象的概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀，使原本抽象而復(fù)雜的問題變得形象化、簡單化。分數(shù)應(yīng)用題是小學應(yīng)用題教學的重點和難點，由于抽象程度比較高，學生

6、難以理解和掌握。在教學中，僅讓學生憑借教師總結(jié)的解題技巧去按圖索驥，是難以達到預(yù)期效果的，要較好地解決這個問題，就必須運用數(shù)形結(jié)合的思想。如：一籃雞蛋，第一次拿走整籃雞蛋的，第二次又拿走剩下的，最后籃子里還有4個雞蛋。你知道原來這個籃子里有幾個雞蛋嗎?(三年級習題)這道題單位“l(fā)”的量發(fā)生變化，第一次是把“整籃雞蛋”看作單位“1”的量，第二次把“剩下的雞蛋”看作單位 “1”的量，因此學生在解答時往往會感到困難。只要運用數(shù)形結(jié)合的思想幫助弄清題意，這道題就簡便多了。畫線段圖如下：單位“1”（一籃雞蛋）拿走剩下 單位“1”（剩下 籃雞蛋）拿走剩下的還剩4個雞蛋14從上述線段圖中可以很清楚地看出，拿

7、走剩下的，還有4個雞蛋，那么第一次拿走后“剩下的雞蛋”的數(shù)量應(yīng)該是4個的2倍，即8個。所以整籃雞蛋的數(shù)量就是8個的2倍，即16個，列式為4×2×2=16(個)。如此抽象的思維有了“形”這個橋梁作為依托，思考起來既省時又省力。又如：美術(shù)小組有25人，美術(shù)小組的人數(shù)比航模小組多 。航模小組有多少人 ？（六年級解決問題）這道題學生對于判斷單位“1”到底是誰，誰比誰多了幾人，到底應(yīng)該用乘還是除，很多學生不理解題目的真正意思，易混淆分數(shù)乘除法，到底應(yīng)該怎么做，學生經(jīng)常會遇到困難。因此我們可以通過畫線段圖理解題目意思。航模小組人數(shù)航模小組人數(shù)× 美術(shù)小組的人數(shù) 14 通過畫線

8、段圖，可以清晰地看到是美術(shù)小組的人數(shù)比航模小組的人數(shù)要多，多了 ，可以通過線段圖寫出關(guān)系式：航模小組的人數(shù)美術(shù)小組比航模小組多的人數(shù)美術(shù)小組的人數(shù) ，即14 單位“1”是航模小組，單位一未知，可以設(shè)航模小組人數(shù)為X人，則列式為 X+ X = 25 ,解得X=20 ，則航模小組人數(shù)為20人。重點是學生通過線段圖可以清楚明確理解題中美術(shù)小組的人數(shù)與航模小組的人數(shù)的關(guān)系，從而有助于列出關(guān)系式并列式解答。 有的應(yīng)用題，數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，學生難以理解，借組線段圖可以準確地找出數(shù)量間的對應(yīng)關(guān)系，很容易解出要求的問題,把抽象的問題形象化，清楚明了，降低題目的難度，加深了學生的理解，使學生真正懂得題目含義，便

9、于學生解題。三、數(shù)形互譯，使模糊的問題明朗化在解決問題過程中，經(jīng)常要用到“數(shù)與“形”互譯的數(shù)形結(jié)合思想，即把問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)譯成圖形，把抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，再根據(jù)對圖形的觀察、分析、聯(lián)想，逐步譯成算式，以達到問題的解決。4例如，五年級上冊雞兔同籠一課：雞兔同籠，有20個頭、54條腿，雞、兔各幾只?本課的內(nèi)容書本上采用列表嘗試法，如果采用“數(shù)”“形”互譯的畫圖法，二年級的學生都能解答，并且可以從畫圖法引出數(shù)量關(guān)系，列式解答。引導學生畫圖如下：（1）畫20個頭 （2）每個頭添上2條腿 （3）再添上剩余的14條腿從圖上可知兔有7只，雞有13只。然后引導學生理解數(shù)量關(guān)系：首先假設(shè)20只全是雞，每只

10、雞身上長2條腿，共有20×2=40(條)腿，還剩余5440=14(條)腿，雞身上再長2條腿變成兔子，直到14條腿長完為止。這樣就得到兔子有14÷(42)=7(只)，雞有207=13(只)，列綜合算式為，兔子：(5420×2) ÷(42)= 7(只)。從這個教學過程中不難看出：“數(shù)”“形”互譯，使原本模糊的問題一下子變得清晰，學生根據(jù)圖以及數(shù)量關(guān)系，能清楚地明白此方法。通過“數(shù)”“形”互譯，不僅解決了問題，又使學生的形象思維與抽象思維協(xié)同運用、互相促進，達到共同發(fā)展的結(jié)果。由于抽象思維有形象思維作支持，運用此方法解“雞兔同籠”的問題就變得十分簡明且巧妙了。

11、小學數(shù)學教材編排是以數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展、運用為主線，知識內(nèi)容是顯而易見的5，但教材并未明確指出數(shù)學知識中所蘊含的數(shù)形結(jié)合思想，學生也不易察覺，這就需要教師從數(shù)學發(fā)展的全局著眼，從具體的教學過程著手，有目的、有計劃、適時適度地進行滲透數(shù)形結(jié)合思想的教學。教師應(yīng)在數(shù)學教學中盡量發(fā)掘“數(shù)”與“形”的本質(zhì)聯(lián)系，借助數(shù)形結(jié)合的“慧眼 ”，探索分析問題和解決問題的方法。只有將數(shù)形結(jié)合思想方法的教學落到實處，我們的學生才能逐步形成數(shù)形結(jié)合思想，并使之成為學習數(shù)學、運用數(shù)學和發(fā)展數(shù)學的工具。這樣，學生變“學會”為“會學”，進而提高自身的數(shù)學素養(yǎng)，在數(shù)學學習中真正實現(xiàn)素質(zhì)教育，這是我們數(shù)學教學著力追求的目標。參考文獻：1文志君.數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學教學中的應(yīng)用J.考試周刊.2009,（30）:75-76.2