2001真題及解析

1、2001年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(1) 設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為Q二ALK 其中Q是產(chǎn)出量，L是勞動(dòng)投入量，K是資本投入量，而A, a陶為大于零的參數(shù)，則當(dāng)Q =1時(shí)K關(guān)于L的彈性為(2) 某公司每年的工資總額比上一年增加20%的基礎(chǔ)上再追加2百萬(wàn).若以Wt表示第t年的工資總額(單位：白萬(wàn)兀)，則Wt滿足的差分方程是-k11們?cè)O(shè)矩陣A =1k11,且秩(A)=3,則k =11k1111k設(shè)隨機(jī)變量X，Y的數(shù)學(xué)期望都是2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為0.5.則根據(jù)切比雪夫不等式 px -Y >6<2 設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(0,0.2 ),而X1,X2|X15是來(lái)自總體

2、X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，貝y隨2 2服從分布，參數(shù)為X1X102 X：X二、選擇題f '(x)(1)設(shè)函數(shù)f (x)的導(dǎo)數(shù)在x=a處連續(xù)，又lim1,則()x a(A) x = a是f (x)的極小值點(diǎn).(B) x = a是f (x)的極大值點(diǎn).(C) (a，f(a)是曲線y= f(x)的拐點(diǎn).(D) x =a不是f (x)的極值點(diǎn)，(a，f(a)也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn).1 2xr(x +1)，0"E1 設(shè)函數(shù)g(x) = f (u)du，其中f(x) = <，則g(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)(!(x_1)，1Ex 空2(A)無(wú)界(B)遞減(C)不連續(xù)(D)連續(xù)a12a13

3、a22a23a32a33a42a43a11a21a31_a41a13a23a33a43ai2a22a32a42an0a21a31，P0 01 00 10 01【00010 0 000 104P2 =,其中A可逆，則B-等于()010 0衛(wèi)0 0 1 一1 1 11(A) A RF2 (B) RAP (C) RPqA(D) PzAF.(4)設(shè)A是n階矩陣,o是n維列向量 若秩 A °=秩(A)，則線性方程組(W 0丿(A) AX = a必有無(wú)窮多解(B) AX = a必有惟一解.f A(C) T=0僅有零解(D) I A a "X=o必有非零解20人y丿(5)將一枚硬幣重復(fù)擲

4、n次，以X和丫分別表示正面向上和反面向上的次數(shù) 系數(shù)等于()則X和 丫的相關(guān)(A) -1(B) 0(D) 1、(本題滿分5分)設(shè)u= f(x,y,z)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,又函數(shù)y=y(x)及z=z(x)分別由下列兩式確定xyxe xy =2 禾口 e2空求dU0 tdx四、(本題滿分6分)已知f (x)在(-s，+ x內(nèi)可導(dǎo)，且lim f'(x)=巳X亠C xim( )二!imf(x)f(xT),求c的值.五、(本題滿分6分)十 _'(x2 為2)求二重積分 ny1 x&dxdy的值,其中D是由直線y=x, y= - 1及x =1圍成的平面D區(qū)域六、(本題滿分7分)已

5、知拋物線y=px2，qx(其中p<0,q>0)在第一象限與直線x+y=5相切，且此拋物線與x軸所圍成的平面圖形的面積為S.(1)問(wèn)p和 q為何值時(shí)，S達(dá)到最大？求出此最大值七、(本題滿分6分)設(shè)f (x)在區(qū)間0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足f (1) = kjxeif(x)dx,(k 1).證明：存在 & (0,1),使得 f'( ) = 2(1 -")f().已知fn(X)滿足'n i xefn(x)工fn(x) X -e (n為正整數(shù))且fn(1),求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)九、fn (X)之和.(本題滿分9分)_11 al11 a 1,P =1匸

6、11一i i-2設(shè)矩陣A二.已知線性方程組 AX =陽(yáng)解但不唯一，試求:na的值；(2)正交矩陣Q,使QTAQ為對(duì)角矩陣.十、(本題滿分8分)設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，秩(A)=n，4是A=(aq中元素的代數(shù)余子式(i,j、n n Ai= 1,2，,n)，二次型 f(X(,X2川區(qū))-XjXj.i 二 j 二 An n A(1)記A =(Xi,X2，川Xn),把f (Xi,X2|Xn)=遲遲 Xj .寫(xiě)成矩陣形式,并證明二次 i =1 jT A型f (X)的矩陣為A4; 二次型g(X)=XTAX與f(X)的規(guī)范形是否相同？說(shuō)明理由 十一、(本題滿分8分)生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的

7、，假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5 千克.若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說(shuō)明每輛車最多可以裝多少箱 才能保障不超載的概率大于0.977.(2)=0.977其中X)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)).十二、(本題滿分8分)設(shè)隨機(jī)變量X和Y對(duì)聯(lián)和分布是正方形 G=(x,y)|1 «3,1茫上的均勻分布，試求隨機(jī)變量U=X-Y的概率密度p(u).2001年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題【答案】-二Ey x .xyf xEx yf x【詳解】性為：由Q二AL：K :，當(dāng)Q =1時(shí)，即AL：K ： =1，有K =C',于是K關(guān)于L的彈【使用概念】 設(shè)y =

8、f x在x處可導(dǎo)，且f x =0，則函數(shù)y關(guān)于x的彈性在x處的值為a 3iiad <-L_-JEKELdL=L AT【答案】1.2Wtd 2【詳解】Wt表示第t年的工資總額，則 Wt4表示第t -1年的工資總額，再根據(jù)每年的工資總額比上一年增加20%的基礎(chǔ)上再追加2百萬(wàn)，所以由差分的定義可得 Wt滿足的差分方程是:W =(1 20 )WG1.2Wtj2【答案】-3【詳解】方法1：由初等變換(既可作初等行變換，也可作初等列變換).不改變矩陣的秩，故對(duì) A進(jìn)行初等變換-k111-'k111 1A =1k111行X (1)分別加至2 34行1 kk10011k11 k0k 10-111

9、k_1 k00k _1 一k +31112 3 4列分別加到1列0k10000k10-000k1可見(jiàn)只有當(dāng)k =-3時(shí)，r(A)=3.故k =-3.1行(-1)分別加到2,3,4行1 -kk11 -k方法2：由題設(shè)r(A)=3,故應(yīng)有四階矩陣行列式A=0由k12,3,4列分別加到1列k -1k -1=(k 3)(k_1)3 =0,1 -k可知，此時(shí)r(A)=1k111111行 X (_1)分別加至H 234行000011110000J111一10000 一111111111A 二不符合題意，因此一定有k =-3.解得k =1或k = -3.當(dāng)k =1時(shí),_11【答案】一12【所用概念性質(zhì)】切比

10、雪夫不等式為：px E(X)蘭乞蘭z2期望和方差的性質(zhì)：E(X YHEX EY ； D(X YHDX 2cov(X,Y) DY【詳解】把X Y看成是一個(gè)新的隨機(jī)變量，則需要求出其期望和方差故 E(X Y)=EX EY=-2 2=0又相關(guān)系數(shù)的定義:匸(X,Y)cov(X,Y)、DX ； DY則 cov(X,Y) = J(X,Y)、一甌DY =(-0.5) J .4 = -1D(X Y)二DX 2cov( X,Y) DY -1 2 (-1)4=3所以由切比雪夫不等式：px +Y 啟6 = p*x +YE(X +Y)| 2 6蘭D(X Y) 3162 = 36 = 12(5)【答案】F ; (10

11、,5)【所用概念】1. F分布的定義:其中 X 2(n1)Y 2(n2 )n2.2分布的定義：若乙,|l(, Zn相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，則Zi2 2(n)2 Z u3.正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化的定義：若Z N(u,；)，則 N(0,1)CFX _ 0 x【詳解】因?yàn)閄i LN(0,22)i =1,2,15 ,將其標(biāo)準(zhǔn)化有！q N(0,1)，從而根據(jù)卡方分布的定義2 2 2 2X今2阿今今L伽,2由樣本的獨(dú)立性可知,學(xué)m守2與織L F(10,5).相互獨(dú)立.二、選擇題(1)【答案】B【詳解】方法1：由lim匸區(qū)一 -1,知x a x -af '(x)f '(x)lim

12、 f'(x) = limxa = limlim xa =T0=0x jax 股 X - ax:a X a x a又函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)在X二a處連續(xù)，根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義，左極限等于右極限等于函數(shù)在這一點(diǎn)的值，所以f (a)二0，于是有f"(a)Jimf'(x) f'(a)yimnXL_1txa乂卡乂一af (X)在Xo處即f (a) = 0, f (a) - -1 ：,0，根據(jù)判定極值的第二充分條件：設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)且f(x0)= 0， f”(x0)= 0，當(dāng)f”(x0)：0時(shí)，函數(shù)f (x)在x0處取得極大值.知x =a是f(x)的極大值點(diǎn)，因此，正確

13、選項(xiàng)為(B).方法2：由佃丄0=1,及極限保號(hào)性定理：如果lim f x = A，且A 0(或A ： 0)， X)a x _aX 內(nèi)那么存在常數(shù)6 :>0，使得當(dāng)Oc|x x0成6時(shí)，有f(x)0 (或f(x)cO)，知存在f '(x)X = a的去心鄰域，在此去心鄰域內(nèi)0于是推知，在此去心鄰域內(nèi)當(dāng)X :： a時(shí)x af (x)0 ;當(dāng)x a時(shí)f(x)：0.又由條件知f(x)在x=a處連續(xù)，由判定極值的第一充分條件：設(shè)函數(shù) f (X)在X。處連續(xù)，且在X。的某去心：領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，若f (x) : 0，則 f (x)在 x0處取X，x° f,X0 時(shí)，f (x) 0，而 X

14、，X0，X0，時(shí),得極大值，知f(a)為f(x)的極大值.因此，選(B).【答案】(D)【詳解】應(yīng)先寫(xiě)出g(x)的表達(dá)式.1 2當(dāng) 0 乞 x ：1 時(shí)，f(x) (X21)，有x1-XX 12g(x) = 0 f U du = 0 (u 1)du-21當(dāng) 1Ex 乞2時(shí)，f(x) (x-1)，有3X1g(x)二 0 f (u)du 二 0 f (u)du 訂 f (u)du 二1 12X 1岳(+1燦+£(1)du0u0 6x 1一一 u1 31x3 1x,g(xH 6 d 22十扣-1)2,3 6因?yàn)榱男l(wèi)二-3 ) 送，陽(yáng)g(x)pm 3 * x-廠2 1 2 2且g (1)1

15、1 i ：3 63所以由函數(shù)連續(xù)的定義，知g(x)在點(diǎn)x =1處連續(xù)，所以g(x)在區(qū)間0,2內(nèi)連續(xù)，選(D).f 1 3 1 、 1 2 1同樣，可以驗(yàn)證(A)、(B)不正確，0 ： x ：1時(shí)，g (x) x x x 0，單16 2 丿 2 2調(diào)增，所以(B)遞減錯(cuò)；同理可以驗(yàn)證當(dāng)1：:X：:2時(shí)，g(x)二？X-12二1 X-10，(3 6丿 3'5單調(diào)增，所以g0_gx_g2，即0乞gx 與選項(xiàng)(A)無(wú)界矛盾.【答案】(C)【詳解】由所給矩陣 代B觀察，將A的2,3列互換，再將 A的1,4列互換，可得B .根據(jù)初A的右側(cè)乘以E23，將A的1,4列互等矩陣變換的性質(zhì)，知將A的2,

16、3列互換相當(dāng)于在矩陣換相當(dāng)于在矩陣A的右側(cè)乘以E14，即-'10001-000們AE23E14 = B，其中E23 0010，E14 :010001000010-0001 一1000 一由題設(shè)條件知 只=日4,鳥(niǎo)=£23，因此B=AF2R.由于對(duì)初等矩陣Ej有，二Ej，故P亠=P,巳'=F2.因此，由B =AP2R，及逆矩陣的運(yùn)算規(guī)律，有1-41B =(AF2R) =R P2 A =RP2A .【答案】(D)T' A a、【詳解】由題設(shè)，A是n階矩陣，。是n維列向量，即aT是一維行向量，可知 T 是S 0丿' A' A a'n +1階矩

17、陣.顯然有秩=秩(A)蘭n Wn +1,即系數(shù)矩陣aT 0丿aT 0丿非列滿秩，由齊次線性方程組有非零解的充要條件：系數(shù)矩陣非列或行滿秩，可知齊次線性方程組¥x A人y=o必有非零解【答案】A【詳解】 擲硬幣結(jié)果不是正面向上就是反面向上，所以X 丫二n，從而丫二n-X ,故 DY = D(n _X) = DX由方差的定義：DX =EX2 -(EX)2，所以DY =D(n X) =E(n X)2 一 I.E(n X)f =E(n22nX X2) (n EX)2二 n2 -2nEX EX2 - n2 2nEX -(EX )2 二 EX2 -(EX )2 二 DX )由協(xié)方差的性質(zhì)：cov

18、(X,c)=0 (c 為常數(shù))；cov(aX, bY)二 abcov( X,Y)cov(X1 X2,Ycov(X1,Y) cov(X2,Y)所以 cov(X,Y)二 cov(X, n - X) = cov( X, n) - cov( X, X) = 0 - DX =-DX由相關(guān)系數(shù)的定義，得(X,Y) = cov(X,Y) - DX 一 1f (x)JdxJdy JdxJdx【變限積分求導(dǎo)公式】a g(t)dtx 二 gf(x)f (x)【詳解】根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，有(*)du ;f 汗 |_dy ：f dz dx ;x ;y dx ：z dx在exy-xy =2兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，得exy(

19、y+x¥)-(y+x¥)=0,dxdxd = _y.dx xx-z sin t在exSintdt兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，得tsin(xz) _ dz dz 即dr1ex(x z)sin(x -z)ex(x-z) f sin(x - z) : z將其代入(*)式，得du ：:f 汗dy dzy :fdx : x :y dx : z dx : x x : y1四【詳解】因?yàn)閘im(1)x = ex_xx c、xx -c 2c、xlim( ) =lim()(把 x c寫(xiě)成 x-c 2c)J x cx廣 x cx_c 2cxpm( x°2c嚴(yán)汪(把x寫(xiě)成竽癸)X x -c2cx

20、2c 2百 = lim |(1+上=)2cX_c(利用幕函數(shù)的性質(zhì)mnam、n、=(a )=lim ex_ L :_2cxln詫訐-X(利用對(duì)數(shù)性質(zhì)eln f (x)f(x)2cx ,2c 才ln (1尸X_c x_clim e -x_ L :(利用對(duì)數(shù)性質(zhì)ln f (x)g(x)= g(x)ln f (x)2cx lim In x 二x_c二 e4x_c(利用y二ex函數(shù)的連續(xù)性,lim ef(x)x j :lim f(x)二 e).2cx| L ,2c <lim lim In (1)x :-x .c X-.：_： 二 e2cx _c(當(dāng)各部分極限均存在時(shí),lim f (x) g(x)

21、 = lim f (x) lim g(x)x X J ：x L :lim 2cx ln limx 二:xq x-J二 e-xnX _c(利用 y=lnx函數(shù)的連續(xù)性,limlnf(x) = lnlimf(x)2c In e二 e(利用 lim(1 丄) 二 e)二e2c(In e=1)又因?yàn)閒 (x)在：；：-：內(nèi)可導(dǎo)，故在閉區(qū)間x-1,x上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(x-1,x)內(nèi) 可導(dǎo)，那么又由拉格朗日中值定理，有f(x)-f(x-1)=f( )x -(X -1) = f ( ), X -1 ：: X左右兩邊同時(shí)求極限，于是ymi f (x) - f (x -i)=艸：f '()二e,因?yàn)閄:

22、 X，X趨于無(wú)窮大時(shí)，'也趨向于無(wú)窮大x + ci由題意，lim( )x pmlf (x)-f(x-1),從而 e =e，故 c-"x c "2五 【詳解】 積分區(qū)域如圖所示，可以寫(xiě)成!(x2dy2)y1 xe2dxdy二 ydxdy亠 iixye22(x2 y2)dxdy,其中,11ydxdy =D1 1dy yydx1.dy(1 -y)dy2；3；1 2 2 -(x2 旳2)ii xye2dxdy =D1 .二 Jdy ye24-(ejydy xe1 2 21-(x2 y2)dxydy.ye212 21 (x y )d(j x2)21 i(x2 y2)1 1(1

23、y2)11(1 -y2)1 2 2d-(x y )dy2；(x24y2)y1 xe2D11(1 y2)2-ey )dy1 *y2)dy21 edy2-Jy2)1 y2e2=0六【詳解】方法1:令y = px2 qx = x( px q) = 0，求得它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為:x 0, x2根據(jù)定積分的定義，面積 S為s =。E+qx衍卜+關(guān)_qp03 二 q12 (注： xndx 二 6pxn1 C) + y =5'2丄y 二 px qx求其公共解，消去 y，得px2 (q 1)x -5 =0，因?yàn)槠涔步馕ㄒ?，則該一元二次方程只有唯一解，故其判別式必為零，即2 2.: = (q 1)4

24、 p (一5) = (q 1)20 p = 0,解得120(q 1)2.將p代入S中，得3S(q)春1 26-方9 “200q343(q 1)根據(jù)函數(shù)除法的求導(dǎo)公式,2200q (3 - q)53(q 1)344 3S (q)=(200q)3(q 1) -3(q 1) (200q )3(q+1)42根據(jù)駐點(diǎn)的定義，令 S(q)=0，已知有q .0，得唯一駐點(diǎn)q=3.當(dāng)1cqc3時(shí)，S(q)0 ； q>3時(shí)，S'(q) c0.故根據(jù)極值判定的第一充分條件知，q=3時(shí)，S(q)取唯一極大值，即最大值.225從而最大值為 S = S(3)=.322方法2：設(shè)拋物線y二px qx與直線x

25、 y = 5相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x°, y°)，切點(diǎn)既在拋物線上，也在直線上，于是滿足方程有y°=px2qx。和x0y0= 5 .拋物線與直線在切點(diǎn)處的切線斜率是相等的，即一階導(dǎo)數(shù)值相等.在y二px2 qx左右兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得、二2px q，在x y = 5左右兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得y - -1，把切點(diǎn)坐標(biāo)(X0,y°)代入，得y x% =2px) q=_1 二 X。=q 12p丄2由 x°y°=5 =y°=5- x°，將兩結(jié)果代入y° 二 px°-qx° 得q 1、2/q 1、2/q 1

26、、y0=5-X0=5-()= px°qx°=p()q()2p2p2p整理得p 一 2> 忙S(q)=200q33(q 1)4根據(jù)函數(shù)除法的求導(dǎo)公式,S (q)=(200q3) 3(q 1)43(q 1)4 (200q3)3(q+1)422200q (3 - q)53(q 1)根據(jù)駐點(diǎn)(即使得一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn))的定義，令S(q) =0，已知有q 0,得唯一駐點(diǎn)q =3.當(dāng)1 ：q ：3時(shí)，S(q) 0; q 3時(shí)，S(q) ： 0;故根據(jù)極值判定的第一充分條件知，q =3時(shí)，S(q)取唯一極大值，即最大值從而最大值為S=S(3) =22532將p代入S中，得n./C 得

27、CexIn f (x) = x Tn x +G = In f (x) = In -r- nf(x)任，x七【詳解】將要證的等式中的換成x，移項(xiàng)，并命(x)=f (x)-gf(x)x問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證在區(qū)間(0,1)內(nèi)(x)存在零點(diǎn).將X 1f (x)f(x) = 0x看成一個(gè)微分方程，用分離變量法求解由df(x) x -1 ,dxf(x) xxcl = (1- 1dxxx兩邊積分得業(yè))='f(x) L即xe公 f (x) =C，命 F(x)二 xef (x).由1f(1) =k okxd 公 f(x)dx,(k 1)及積分中值定理(如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b上至

28、少存在一個(gè)b1點(diǎn)，使得 f (x)dx 二 f ( J(b-a)(a _ - b)，知至少存在一點(diǎn)(0,) 0,1，使ak1f(1) =k okxe?Af(x)dx 二一 f ()且 F( )=ref( )，F(xiàn)(1eJf (1).把 f (1Hv.e f ()代入，貝 UF(1HeJf(1HeJ e f( ).ef( )=F()那么F(x)在,1上連續(xù)，在(，1)內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾中值定理知，至少存在一點(diǎn)-=( ,1) 0,1,使得F ( ) 乂一 f ( )& f ( ) =0即f ()二(1 - J)f ().八【詳解】由已知條件可見(jiàn)fn (x) - fn(x) =Xnex，這是以fn

29、(x)為未知函數(shù)的一階線性非齊次微分方程，其中p(x)二-1,q(x)二Xnex，代入通解公式-P(x)dxP(x)dxf (x) = e ( q(x)e dx C)得其通解為由條件fn(x) =e»x+cX =e/ n、+C丿1fn(1)又 fn(1) =e C ，得 C = 0 , nin 丿n x故 fn(X)二 x-e-n:二 n x二 nfn (X)八紅占 nFnnn壬 n°° n1la In =1 n記s(xT乞則十；，nm審訴呼"，則其收斂半徑為收斂區(qū)間為(-1,1).當(dāng)X，(-1,1)時(shí)，根據(jù)幕級(jí)數(shù)的性質(zhì)，可以逐項(xiàng)求導(dǎo),f 心、n >

30、; Zr xQO/ n 、X=Z =Eg n丿n 4S(x)丁 nd 八Xn z11vTX，其中i1-x=1 X x?川 Xn IIIXx故根據(jù)函數(shù)積分和求導(dǎo)的關(guān)系f(x)dx=f(x)+C，得S(x)dx = S(x)0 = S(x)S(0)00 0n002又由于S(0Hx 00，所以n 二 n12xx 1S(x) =S(0)°S (x)dx=Odx = -ln(1-x)，1 x旳xn即有In(1 x), x ：= (1,1)n 4 n當(dāng)X - -1時(shí)，= -In2.級(jí)數(shù)在此點(diǎn)處收斂，而右邊函數(shù)連續(xù)，因此成立的n 4n范圍可擴(kuò)大到X - -1處，即:xnIn (1 x),x -1,

31、1) n生n于是cO' fn (x) = -exln(1 -x), X -1,1)n 二九【詳解】(1)線性方程組 AX =0有解但不唯一，即有無(wú)窮多解 二r(A) = r(A)c n = 3， 將增廣矩陣作初等行變換，得11a：1 1_11a :1 1A= 1a1：12行 _1行，行1 行 (川倍 0a 11 a ：0'a11：-2一02亠1-a 1-a :2 a_11a；11行加到3彳行0a 11 a:000-(a-1)(a+2)( a+2)一因?yàn)榉匠探MAX =P有解但不唯一，所以 r(A)=r(A)<3，故a=-2.(2)由(1)，有-'11-21A =1-

32、21-211 一人-1-12Z-12九E - A=-1Z+2-12,3列加到1列丸+ 2-12 -1k1A-1九11 -1 21-12提出1列公因子九1 九+2-11行x (_1)分別加到2,3行九0人+ 3-31 -1丸-100入3£；(3)( -3) =0故A的特征值為 討=0,鶴-3,二3 =3.當(dāng)，1 = 0時(shí)，-1-12 -1-12 -1 -1 2 1(0E_A) =-12 -11行的(1),2倍|03-32行加到3行03-3-2一1一1 一分別加到2,3行0一33 一1.0 0 0 一于是得方程組(0E - A)x = 0的同解方程組為xi x2 - 2x3 二 013x

33、2 - 3x3 = 0可見(jiàn)，r(0E - A) =2，可知基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)為 n- r(0E-A)=3-2=1，故有1個(gè)自由未知量，選X2為自由未知量，取X2 =1，解得對(duì)應(yīng)的特征向量為i =(1,1” .當(dāng)-3時(shí),-12 '二15-115-11 2行互換；2-12-12if" I “ ！2_12 一*2(3E _A)= -1、2| 15-1-15-13行行 2-12加到2行 090000一 .000 一于是得方程組(3E -A)x =0的同解方程組為-為 5x2 -9X2 =0x3 =0可見(jiàn)，r(3E - AH 2，可知基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)為 n-r(3E - A) = 3 - 2

34、 = 1，故有1個(gè)自由未知當(dāng)工-1 = - 3時(shí)，U-12 (-1-1 -1、(YE -A )=-1-1-1行互松I _4-1 2<2-1-4丿I21一4(-1-1-1、(-1 -1-1'1仃(7)倍,2倍0362仃加到3行036分別加到2,3仃-3-61° 0°于是得方程組(-3E - A)x =0的同解方程組為X X2 _ X303x2 6x3 = 0可見(jiàn)，r(-3E -A) =2，可知基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)為 n - r(-3E - A) = 3-2 = 1，故有1個(gè)自由未知量，選X2為自由未知量，取 X2 =2，解得對(duì)應(yīng)的特征向量為 1=(-1,2,-1)T.

35、由于A是實(shí)對(duì)稱矩陣，其不同特征值的特征向量相互正交，故這三個(gè)不同特征值的特征向量相互正交，之需將1, 2, 3單位化,_1J5 【-1_1 1-2J J其中,1 二,12_12_12<、3, 2 二 一12(-1)2 二遼，3| 叮(-1)2 22 帀二 6則有11-11石10211_1£逅恵-_30 0_0-3 0Q J 一1, ：2,=0衛(wèi)0QTAQ =QAQ十【詳解】(1)由題設(shè)條件,f(X1,X2,川焉)=瓦瓦 A=-AyX AjXXjyjJAI|A|yj41 n nX i Aj XjA iJ j J1 n=TTT Xi ( AiXi + A(2X2 +川 + 代 Xn

36、)1 nTTT Xi (片,A211 , An )A VX21 -n 1X2*=而匡 X (A, A1 j , An )卡hrIA »f<Xn>Xi1=jA R(Al , A2, III, An) +X2(A?i , A22 , j I L A2n) +| I j Xn( Aii, An2 ,11 丨,Ann)】X2lXn丿1=-(Xi,X2,|l|,Xn)AAI1 A1 1 A1n 1A21 A22 川 A2nX2fh臺(tái)1代2川Ann 一rA V()XtAX其中(“)的理由：A是可逆的實(shí)對(duì)稱矩陣，故_1 TT -1_J(A )=(A )二A ，因此由實(shí)對(duì)稱的定義知，A4也是實(shí)對(duì)稱矩陣，又由伴隨矩陣的性質(zhì)AA= AE，知 A=aA，因此 A5*也是實(shí)對(duì)稱矩陣， A = A，故(“)成立.(2)因?yàn)?A 丁 AA，二 At E 二 A，所以由合同