2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)北師大版必修5第一章數(shù)列 質(zhì)量評(píng)估1 Word版含解析

1、第一章單元質(zhì)量評(píng)估(一)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的)1在等比數(shù)列an中，如果a66，a99，那么a3為(a)a4 b. c. d2解析：在等比數(shù)列an中，a3，a6，a9成等比數(shù)列，aa3·a9，a34.2下列可作為數(shù)列an：1,2,1,2,1,2，的通項(xiàng)公式的是(c)aan1 ban can2 dan解析：由an2，可得a11，a22，a31，a42，.3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和snn2n，那么它的通項(xiàng)公式an(b)an b2n c2n1 dn1解析：當(dāng)n1時(shí)，a1s12，當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1n2n(n1)2

2、(n1)2n，當(dāng)n1時(shí)也符合，故an2n.4已知數(shù)列2，x，y,3為等差數(shù)列，數(shù)列2，m，n,3為等比數(shù)列，則xymn的值為(b)a16 b11 c11 d±11解析：根據(jù)等差和等比數(shù)列的性質(zhì)知xy5，mn6，所以xymn11，故選b.5等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，若s22，s410，則s6等于(c)a12 b18 c24 d42解析：等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，s2，s4s2，s6s4成等差數(shù)列，2(s4s2)s2(s6s4)，整理得s63s43s23×103×224.6已知在等比數(shù)列an中，an>0，a1，a99是方程x210x160的兩根，則a20

3、a50a80的值為(b)a32 b64 c256 d±64解析：由韋達(dá)定理，得a1·a9916.而a1·a99a20·a80a16，且an>0，a504，a20·a8016.a20·a50·a804×1664.7已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anlog2(nn)，設(shè)其前n項(xiàng)和為sn，則使sn<5成立的自然數(shù)n(b)a有最大值63 b有最小值63 c有最大值32 d有最小值32解析：sna1a2a3anlog2log2log2log2log2log2<5，<，n2>64，n>62，n的最

4、小值為63.8設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且a11，snnan為常數(shù)列，則an(b)a. b. c. d.解析：當(dāng)n1時(shí)，s1a11，則s11×a12，由snnan為常數(shù)列，得snnan2，sn1(n1)an12(n2)兩式相減，得當(dāng)n2時(shí)，(n1)an(n1)an1，即，則××××××××，即，故an(n2)又a11，滿足上式，所以an(nn)9在數(shù)列an中，對(duì)任意自然數(shù)n，a1a2an2n1，則aaa等于(d)a(2n1)2 b.(2n1)2 c4n1 d.(4n1)解析：當(dāng)n2時(shí)，a1a2an2n1

5、，a1a2an12n11，得an2n1.當(dāng)n1時(shí)，a11.則an2n1(nn)所以a(2n1)24n1，即a是以a1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列所以sn(4n1)10設(shè)等差數(shù)列an的公差為2，前10項(xiàng)和為490，等差數(shù)列bn的公差為4，前10項(xiàng)和為240.以ak，bk為鄰邊的矩形內(nèi)的最大圓的面積記為sk，若k18，則sk(a)a(2k1)2 b(2k3)2 c(k1)2 d(k18)2解析：由10a1×2490，得a140，an402(n1)2n38.由10b1×4240，得b16，bn64(n1)4n2.akbk(2k38)(4k2)362k，當(dāng)k18時(shí)，362k0，即2k

6、384k2，以ak和bk為鄰邊的矩形內(nèi)的最大圓的半徑為2k1，則該最大圓的面積sk(2k1)2.11等比數(shù)列an的通項(xiàng)為an2·3n1，現(xiàn)把每相鄰兩項(xiàng)之間都插入兩個(gè)數(shù)，構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列bn，那么162是新數(shù)列bn的(c)a第5項(xiàng) b第12項(xiàng) c第13項(xiàng) d第6項(xiàng)解析：162是數(shù)列an的第5項(xiàng)，則它是新數(shù)列bn的第5(51)×213項(xiàng)12設(shè)函數(shù)f(x)(x3)3x1，an是公差不為0的等差數(shù)列，f(a1)f(a2)f(a7)14，則a1a2a7(d)a0 b7 c14 d21解析：f(a1)f(a2)f(a7)(a13)3a11(a23)3a21(a73)3a7114，即(a

7、13)3a13(a23)3a23(a73)3a730，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得(a433d)3(a432d)3(a433d)37(a43)0，即(a433d)3(a433d)3(a432d)3(a432d)3(a43)37(a43)0，2(a43)(a43)227d22(a43)(a43)212d22(a43)(a43)23d2(a43)37(a43)0，即(a43)7(a43)284d270，a430，即a43，a1a2a77a421，故選d.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案填寫在題中橫線上)13在等差數(shù)列an中，若a3a4a5a6a725，則a2a810.解析：因?yàn)榈?/p>

8、差數(shù)列an中，a3a4a5a6a725，所以5a525，即a55.所以a2a82a510.14設(shè)數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則a1|a2|a3|a4|15.解析：由數(shù)列an首項(xiàng)為1，公比q2，則an(2)n1，a11，a22，a34，a48，則a1|a2|a3|a4|124815.15數(shù)列an滿足an1，a112，則a1.解析：由a112及an1，得a10.同理a91，a82，a7，所以數(shù)列an是周期為3的數(shù)列所以a1a10.16已知數(shù)列an，bn滿足a11，且an，an1是函數(shù)f(x)x2bnx2n的兩個(gè)零點(diǎn)，則b1064.解析：依題意，有anan12n，所以an1an22n1，

9、兩式相除得2，所以a1，a3，a5，成等比數(shù)列，a2，a4，a6，也成等比數(shù)列，而a11，所以a22，所以a102×2432，a111×2532.又anan1bn，所以b10a10a1164.三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17(本小題10分)在等比數(shù)列an中，a23，a581.(1)求an；(2)設(shè)bnlog3an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和sn.解：(1)設(shè)an的公比為q，依題意，得解得因此，an3n1.(2)因?yàn)閎nlog3ann1，所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和sn.18(本小題12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且滿足a1，an2s

10、nsn1(n2)(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列(2)求sn和an.解：(1)證明：當(dāng)n2時(shí)，ansnsn12snsn1，s1a10，由遞推關(guān)系知sn0(nn)，由式得2(n2)是等差數(shù)列，其中首項(xiàng)為2，公差為2.(2)由(1)知22(n1)2n，sn.當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1，當(dāng)n1時(shí)，a1s1不適合上式，an19(本小題12分)已知數(shù)列an滿足an13an2，且a12.(1)求證：數(shù)列an1是等比數(shù)列；(2)設(shè)bn，判斷數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn與的大小關(guān)系，并說明理由解：(1)證明：由題意，可得an113(an1)又a1130，所以數(shù)列an1是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列(2)由(1)，知an1

11、3n，即an3n1，所以bn，所以tn<.20(本小題12分)已知an是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x25x60的根(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：(1)數(shù)列an是等差數(shù)列，a2a3a1a414，由解得或公差d>0，a25，a39，da3a24，a1a2d1.an14(n1)4n3.(2)snna1n(n1)dn2n(n1)2n2n，bn.數(shù)列bn是等差數(shù)列，2b2b1b3，2×，解得c(c0舍去)bn2n.顯然bn成等差數(shù)列，符合題意，c.(3)由(2)可得f(n)，當(dāng)且僅當(dāng)n，即n5時(shí)等號(hào)成立，f(n)的最大值為.21(本小題12分)從社會(huì)效益和

12、經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上一年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)以后每年的旅游業(yè)收入將比上一年增加.(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第1年)總投入an萬元，旅游業(yè)總收入bn萬元，寫出an，bn的表達(dá)式；(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？解：(1)由題意知第1年投入800萬元，第2年投入800×萬元，第n年投入800×n1萬元，所以an800800×800×n1800×4 000×.又第1年旅游業(yè)收入40

13、0萬元，第2年旅游業(yè)收入400×萬元，第n年旅游業(yè)收入400×n1萬元，所以bn400400×400×n1400×1 600×.(2)設(shè)經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入超過總投入，因此bnan>0，即1 600×4 000×>0，化簡得5×n2×n7>0，即n>或n<1(舍去)，因?yàn)閚n，所以n5，所以至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入22(本小題12分)已知數(shù)列an中，a11，an1(nn)(1)求證：是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式an；(2)數(shù)列bn滿足bn(3n1)··an，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為tn，若不等式(1)n<tn對(duì)一切nn恒成立，求的取值范圍解：