概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)提綱

1、第一章隨機(jī)事件及其概率一、隨機(jī)事件及其運(yùn)算1.樣本空間、隨機(jī)事件 樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果，用 樣本空間：樣本點(diǎn)的全集，用表示；注：樣本空間不唯一. 隨機(jī)事件：樣本點(diǎn)的某個(gè)集合或樣本空間的某個(gè)子集，用表示;A,B,C,表示;必然事件就等于樣本空間；不可能事件()是不包含任何樣本點(diǎn)的空集;基本事件就是僅包含單個(gè)樣本點(diǎn)的子集。2.事件的四種關(guān)系 包含關(guān)系：A 等價(jià)關(guān)系：A 互不相容(互斥)B，事件A發(fā)生必有事件B ,B發(fā)生；B發(fā)生，且事件 B發(fā)生必有事件 A發(fā)生;，事件A與事件B 一定不會(huì)同時(shí)發(fā)生。事件A發(fā)生必有事件AB對(duì)立關(guān)系(互逆)A，事件A發(fā)生事件A必不發(fā)生，反之也成立;互逆滿足A

2、AAa注：互不相容和對(duì)立的關(guān)系(對(duì)立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是對(duì)立事件。3. 事件的三大運(yùn)算 事件的并： 事件的交： 事件的差：A B，事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生。A B或 AB，事件A與事件B都發(fā)生； 事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生。A-B，4. 事件的運(yùn)算規(guī)律交換律:A, AB BA結(jié)合律:(AB)(B C), (A B)分配律:(BC)(AB) (A C), A(B德摩根(De Morgan)定律:ABAb,B若 ABA (BC) (A對(duì)于n個(gè)事件,C)，則AB) (AC)nUAi 1nI A,i 1nUAi 1二、隨機(jī)事件的概率定義和性質(zhì)1.公理化定義：設(shè)試驗(yàn)的樣本空間

3、為 都有確定的實(shí)值P(A)，滿足下列性質(zhì)：(1)非負(fù)性：P (A) 0; (2)規(guī)范性:，對(duì)于任一隨機(jī)事件 A(AP( ) 1；(3)有限可加性(概率加法公式)：對(duì)于k個(gè)互不相容事件 Ai,A2 , Ak ,則稱P(A)為隨機(jī)事件A的概率.2.概率的性質(zhì) P( )1,P( )0 P(A) 1 P(A)，P(i 1A)kP(A).i 15 / 10 P(A B) P(A) P(B) P(AB)P(A B C) P(A) P(B) P(C)P( AB) P (BC) P (AC) P (ABC)注：性質(zhì)的逆命題不一定成立的.如若P(A) P(B),則 A B。 (X)若 P(A) 0 ,則 A o

4、 (X)古典概型的概率計(jì)算古典概型：若隨機(jī)試驗(yàn)滿足兩個(gè)條件：只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，,P(A) kn 典型例題：設(shè)一批產(chǎn)品共N件，其中有M件次品，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 (1)在放回抽樣的方式下，取出的n件樣品中恰好有 m件次品(不妨設(shè)事件 P(A) CnM (N M)每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的概率相同，則稱該概率模型為古典概型n件樣品，貝yA)的概率為Nn(2)在不放回抽樣的方式下，取出的n件樣品中恰好有 m件次品(不妨設(shè)事件 A)的概率為Qm.m nmm n mP( A ) Cn Am An m Cm Cn m P( A2 )ANcN四、條件概率及其三大公式1.條件概率:P(B|A)沖P(A|B)迴P(A)

5、P(B)2.乘法公式:P(AB)PWAAP(A)P(B|A) P(B)P(A| B)An) P(A)P(A2|A)P(A3|AA)L P(An|ALAnl)3.全概率公式:n若 B,B2丄，Bn 滿足 U Bi, BiBj ,i j,則 P(A)P (Bi) P(A|Bi)o14.貝葉斯公式:若事件 Bi,B2,L , Bn和A如全概率公式所述，且 P(A)0，P(Bi|A)P(B) P(A|Bi)nP(B) P(A|Bi)i 1五、事件的獨(dú)立1.定義：若P(AB) P(A)P(B),則稱A,B獨(dú)立.推廣：若 A,A2,L，代相互獨(dú)立，P(AiL An) P(Ai)L P(An)2.在 A,

6、BA,B , A, B ,A, B四對(duì)事件中，只要有一對(duì)獨(dú)立，則其余三對(duì)也獨(dú)立。3.三個(gè)事件A, B, C兩兩獨(dú)立:P(AB)P (BC)P (AC)P(A) P(B)P(B) P(C)P(A) P(C)注：n個(gè)事件的兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別。(相互獨(dú)立 兩兩獨(dú)立，反之不成立。)k k n k4.伯努利概型：Pn(k) Cnpq ,k 0,1,2,L , n,q 1 p.1. 事件的對(duì)立與互不相容是等價(jià)的。(X)2.若 P(A) 0,則 A。(X)3.若 P(A)0.1, P(B) 0.5,則 P(AB) 0.05。(X)4.A,B,C三個(gè)事件恰有一個(gè)發(fā)生可表示為ABC ABC ABC。( V

7、 )5. n個(gè)事件若滿足i, j, P(AAj) P(A)P(Aj)，則 n 個(gè)事件相互獨(dú)立。(X)6.當(dāng)A B時(shí)，有P(B-A)=P(B)-P(A) 。(V)第二章隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量的定義:設(shè)樣本空間為，變量X X()為定義在 上的單值實(shí)值函數(shù)，則稱X為隨機(jī)變量，通常用大寫英文字母，用小寫英文字母表示其取值。二、分布函數(shù)及其性質(zhì)1.定義：設(shè)隨機(jī)變量 X，對(duì)于任意實(shí)數(shù) x R，函數(shù)F(x) PX X稱為隨機(jī)變量 X的概率分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱分布函數(shù)。注：當(dāng) X1 X2時(shí)，P(x1 X X2)F(X2)F(Xi)(1) X是離散隨機(jī)變量，并有概率函數(shù)P(xji 1,2,則有F(x)xip(x

8、 ).X(2) X連續(xù)隨機(jī)變量，并有概率密度f(wàn) (X)，貝y F(X) P(X X)f (t)dt.2.分布函數(shù)性質(zhì)：(1F(x)是單調(diào)非減函數(shù)，即對(duì)于任意X1 <X2,有F(X1) F(X2)；;(20 F(x) 1 ;且 F( ) lim F(x)X0 , F()lim F(x) 1 ;X(3離散隨機(jī)變量 X, F (X)是右連續(xù)函數(shù) 注：一個(gè)函數(shù)若滿足上述 三、離散隨機(jī)變量及其分布1.,即 F (X)3個(gè)條件，則它必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。F(x 0);連續(xù)隨機(jī)變量 X, F(X)在(-+m)上處處連續(xù)。注:2.定義.設(shè)隨機(jī)變量P(X Xi)Pi (i概率函數(shù)pi的性質(zhì)：1,2,

9、Pi只能取得有限個(gè)數(shù)值X1,X2, ,Xn，或可列無(wú)窮多個(gè)數(shù)值X1,X2,冷，,且)，則稱X為離散隨機(jī)變量，p (i=1,2,)為X的概率分布，或概率函數(shù)(分布律).0, i 1,2,Pi 1i幾種常見(jiàn)的離散隨機(jī)變量的分布:(1)超幾何分布，XH(N,M,n) , PX kQ k Q n k CM CN MCN0,1,2,L , nk(2)二項(xiàng)分布，XB( n.,p) , P(X k) Cnk C nP (1P)0,1,L , n當(dāng)n=1時(shí)稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布(或0 1分布)。n若X(i=1,2,n)服從同一兩點(diǎn)分布且獨(dú)立，則Xi 1Xi服從二項(xiàng)分布。ke(0),k0, 1, 2,.k!

10、注 2：P(x1Xx2)P(x1X x2)P(x1Xx2)P(x1Xx2)* f(x)dxXl2.概率密度f(wàn)(X)的性質(zhì):性質(zhì) 1： f(x) 0;性質(zhì) 2： f (x)dx1.注1:一個(gè)函數(shù)若滿足上述2個(gè)條件，則它必是某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。注 2 ：當(dāng) X1 X2 時(shí)，P(X1X2X X2)F(X2)F(X1)X1f (x)dx且在f(x)的連續(xù)點(diǎn)X處，3. 幾種常見(jiàn)的連續(xù)隨機(jī)變量的分布:有 F (X)f(x).(1)均勻分布X U(a,b)，f(x)1b""0a其它F(x)0,X a ba;b;b.指數(shù)分布X e( ),0f(x)F(x)1 e0,0,0.(X)2

11、正態(tài)分布X N( ,2),f(x)F(x)1TT(t)22 22 dt,1.2.當(dāng)N充分大時(shí)，超幾何分布 H (n, M, N)可近似成泊松分布。概率函數(shù)與密度函數(shù)是同一個(gè)概念。3.設(shè)X是隨機(jī)變量，有P(a X b) P(a X b) 。 ( X )4.若X的密度函數(shù)為f (X) =cos x,x 0,，則 P(0 X ,2 0第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征costdt. ( X )一、期望(或均值)1.定義：EX, EXXkPk,離散型k 1(3)泊松(Poisson)分布，X P( ) , pX k四、連續(xù)隨機(jī)變量及其分布1. 定義.若隨機(jī)變量X的取值范圍是某個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間I ,且存在非負(fù)函數(shù)f(x

12、)，使得對(duì)于任意區(qū)間(a,b I，有bP(a X b) f (x)dx,則稱X為連續(xù)隨機(jī)變量；函數(shù)f (X)稱為連續(xù)隨機(jī)變量 X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。a0；注1連續(xù)隨機(jī)變量 X任取某一確定值的 x0概率等于0,即P(X X0)xf(x)dx,連續(xù)型(1) E(C) C, (C為常數(shù))(2) E(CX)=CE(X)2期望的性質(zhì)：(3) E(XY)=E(X) E(Y)(4) 若X與Y相互獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y),反之結(jié)論不成立.3.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望Eg(x)g(Xk)Pk, X離散型k 1+g(x)f(x)dx ，X連續(xù)型計(jì)算數(shù)學(xué)期望的方法 利用數(shù)學(xué)期望的定義;4.(1)

13、常見(jiàn)的基本方法：將一個(gè)比較復(fù)雜的隨機(jī)變量(3)利用常見(jiàn)分布的期望；利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì);拆成有限多個(gè)比較簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量X之和,再利用期望性質(zhì)求得 X的期望.1.方差 D(X) EX E(X)2x E(X)1 2 * 4 5 Pi,離散型ix E(X)2 f(x)dx,連續(xù)型注：D(=EX-E(X) 2> 0;它反映了隨機(jī)變量 X取值分散的程度，如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中)。2. 方差的性質(zhì)(1)D(C)0, (C為常數(shù))則 D(X Y )=D(X)+D( Y)D(CX)=C 2D(X)(4) 對(duì)于任意實(shí)數(shù)C 當(dāng)且僅當(dāng)C = E(X)時(shí)，(5) (切比雪夫不等式(3)若

14、X與Y相互獨(dú)立，R，有 E ( X-C )2> D( X )E ( X-C )2取得最小值 D(X).):設(shè)X的數(shù)學(xué)期望 日X)與方差D(X)存在,對(duì)于任意的正數(shù) ，有P(|X-E(X)|£)D.或P (|X-E(X)|v £) 1-D.£3.計(jì)算(1)利用方差定義；常用計(jì)算公式D(X)E(X2)E(X)2.(3)方差的性質(zhì)；(4)常見(jiàn)分布的方差.注：常見(jiàn)分布的期望與方差1.P)，E( X)=np, D(X) = npq;2.若 X P(),則 E(X) D(X)3.若XUta,b),E(X)專a)2.4.1若 X e()，則E(X) , D(X)5.若 X

15、 N(2),則 E(X),D(X)(V)9 / 10三、原點(diǎn)矩與中心矩(總體)X的k階原點(diǎn)矩：Vk(X)E(Xk)(總體)X的k階中心矩：Uk(X) EXE(X)kX N( ,2)概率密度1(X )2為f(X)廠尸,其分布函數(shù)為F(X)22 "dt注: F( ) i.正態(tài)密度函數(shù)的幾何特性:(1)曲線關(guān)于X 對(duì)稱；1(2當(dāng)X時(shí)，f(X)取得最大值42(3)當(dāng) X時(shí)，f(x) 0,1以X軸為漸近線；(4) 一L42(X )2e 2 2 dx 1(X )2e 2 2 dxJ2(5當(dāng)固定0改變(的大小時(shí)，f(X)的 圖形不變，只是沿著y軸作平移變化.(6)當(dāng)固定卩，改變(的大小時(shí)，f(x)

16、對(duì)稱軸不變而形狀在改變，(越小，圖形越高越瘦;0越大，圖形越矮越胖.2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng) 0,1時(shí)，XN(0,1),其密度函數(shù)為(X)-且其分布函數(shù)為(X)1TTe dt.X21 -j=e 2 dx 12 dx(X)(0)3.正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系定理：若 X N( ,2),則 丫 N(0, 1).定理：設(shè) X - N( ,2),則 P(x1 XX2).二、正態(tài)分布的數(shù)字特征設(shè) X N( ,2),1.期望E(X)1E(X)右xeX) 1(X )2dx(X).2.方差 D(X)2D(X)(X(X )2)2e 2 2 dx3.標(biāo)準(zhǔn)差 (X)三、正態(tài)分布的性質(zhì)1.線性性.設(shè)N(2),則丫 abX

17、 N(a b , b2 2 )，(b 0)2.可加性.設(shè)N(2), Y N(:),且X和丫相互獨(dú)立，則N(y)；3.線性組合性設(shè) Xi N( i，i2),1,2, ,n，且相互獨(dú)立，則CjXi N(Cii 1Ci2i 1i2).四、中心極限定理1.獨(dú)立同分布的中心極限定理17 / 10設(shè)隨機(jī)變量X1,X2, ,Xn,相互獨(dú)立，服從相同的分布，且E(Xi), D(Xi)2, i 1,2,n,則對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，有l(wèi)im PnnX i n ui 1Jn (T(t 2)2dt定理解釋：若X1,X2, ,Xn滿足上述條件,當(dāng)n充分大時(shí)，有（1）YnnX i n u AN(0,1);vn TYnnXi A

18、N(n ,i 1n 2)；(3) XXi AN(,)n i 1n2.棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理Yn np設(shè) Yn B(n, p),則 lim P .nJnp( 1- p)(t )2定理解釋：若Yn B（n, P）,當(dāng)n充分大時(shí)，有(1)/n nP AN(0,1);Jnp(1 p)Yn AN(np,np(1 p)1.若 X N(0,1), Y N(2,1),則 XY N( 2, 2).( X)2.若 X N( ,2),則 P(0)3.設(shè)隨機(jī)變量X與丫均服從正態(tài)分布:X N( ,42), Y N( ,52)而 Pi P(X4)； P2 P(Y5),則(B ).A.對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有P1P2；C.只

19、對(duì) 的個(gè)別值，才有p1p2;B.對(duì)任何實(shí)數(shù)D.對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有P1P2，都有P1P2.4.已知連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為1f(x)ex2 2x 1則X的數(shù)學(xué)期望為;X的方差為_(kāi)1/2第五章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)一、總體個(gè)體樣本1. 總體：把研究對(duì)象的全體稱為總體（或母體）.它是一個(gè)隨機(jī)變量，記 X.2. 個(gè)體：總體中每個(gè)研究對(duì)象稱為個(gè)體.即每一個(gè)可能的觀察值.注：樣本(X1, X2,代表性：X1,X2,4.樣本(X1,X2, ,Xn)的聯(lián)合分布2個(gè)特性:,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，則樣本(X1,X2, ,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(X1,X2,Xn)nF(Xi);i

20、 1,Xn)是一個(gè)n維的隨機(jī)變量； 本書(shū)中提到的樣本都是指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其滿足,Xn中每一個(gè)與總體 X有相同的分布. 獨(dú)立性：X1, X2,f (Xi)；nP (Xi);i 1(1)設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f (X),則樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為f (x1,x2, ,xn) 設(shè)總體X的概率函數(shù)為p(x), (X 0,1,2,)，則樣本的聯(lián)合概率函數(shù)為P(X1,X2, ,Xn)二、統(tǒng)計(jì)量1.定義不含總體分布中任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)g(X1,X2, ,Xn)稱為統(tǒng)計(jì)量，g(X1,X2, ,Xn)是g(X1 ,X2, ,Xn)的觀測(cè)值.注：(統(tǒng)計(jì)量g(X1,X 2,Xn)是隨機(jī)變量；(2)統(tǒng)計(jì)量g(X1,

21、X2, ,Xn)不含總體分布中任何未知參數(shù);(3)統(tǒng)計(jì)量的分布稱為2.常用統(tǒng)計(jì)量抽樣分布.(1)樣本矩：樣本均值1 " Xi ；其觀測(cè)值i 1nXi .i 1可用于推斷：總體均值E(X).樣本方差 s2'n 1 i 1(XiX)2其觀測(cè)值s2X)2Xi2nX2);Xi2 nX2 . 可用于推斷：總體方差D(X).i 1樣本標(biāo)準(zhǔn)差S Js2加iA X)2n丄Xi2僅2n n2 -2 Xi nx 1 i 1其觀測(cè)值s(Xi X)21樣本k階原點(diǎn)矩VkXik,(k11,2,)其觀測(cè)值VknkXii 1樣本k階中心矩Un(Xii 1X)k, (k 1,2,其觀測(cè)值Ukn(Xi x)k

22、i 1注：比較樣本矩與總體矩,如樣本均值X和總體均值E(X);樣本方差S2與總體方差QX> ；樣本k階原點(diǎn)矩Vk -nXik,(kn i 11,2,)與總體k階原點(diǎn)矩E(Xk),(k 1,2,);樣本k階中心矩)與總體k階原點(diǎn)矩EX E(X)k,(k1,2,).前者是隨機(jī)變量，后者是常數(shù).Uk - (Xi X)k,(k 1,2,n i 1(2)樣本矩的性質(zhì)：設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為EX,DX2，X, S1 2為樣本均值、樣本方差,1° E(X)1 2n3.抽樣分布：統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布2o D(X)3° E(S2)23大抽樣分布1. 2分布：定義.設(shè)X1,X

23、2,Xk相互獨(dú)立，且1,2,k，則 2xjX2 2(k)注：若 X N(0,1),則 X22(1).(2)性質(zhì)(可加性)設(shè)12和；相互獨(dú)立，且122 2(k1),22(k2),則 122(k1k2).2. t分布:設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且X N (0,1), Y -注：t分布的密度圖像關(guān)于 t=0對(duì)稱；當(dāng)n充分大時(shí)，t3. F分布： 定義.設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且 X 2(k1),X -r=t(k).分布趨向于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布X/k1Y/k22(k),則 tN(0,1).Y2(k2),則 FF(ki,k2). 性質(zhì).設(shè) XF(k1,k2),則 1/X F(k2,k1).四、分位點(diǎn)定義：對(duì)于總體X和給定的

24、(01),若存在x，使得P(X x )則稱x為X分布的分位點(diǎn)。注：常見(jiàn)分布的分位點(diǎn)表示方法(1)2(k)分布的分位點(diǎn) 2(k);(2)t(k)分布的分位點(diǎn)t(k),其性質(zhì):t1 (k)(4)F (k1,k2),分布的分位點(diǎn)F(k1,k2),其性質(zhì) F1 (k1,k2)F (k2,k1)'N(0,1)分布的 分位點(diǎn)U ,有P(X U )1 P(X u )1 (u ),第六章參數(shù)估計(jì)一、點(diǎn)估計(jì)：設(shè)(X1, X2, ,Xn)為來(lái)自總體X的樣本，為X中的未知參數(shù)，(X1,X2,Xn)為樣本值，構(gòu)造某個(gè)統(tǒng)計(jì)量?(X1, X2, ,Xn)作為參數(shù) 的估計(jì)，則稱？(X1,X2, ,Xn)為 的點(diǎn)估計(jì)

25、量,?(X1,X2, ,Xn)為的估計(jì)值.2.常用點(diǎn)估計(jì)的方法：矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法.二、矩估計(jì)法1. 基本思想：用樣本矩(原點(diǎn)矩或中心矩)代替相應(yīng)的總體矩2. 求總體X的分布中包含的 m個(gè)未知參數(shù)1, 2, m的矩估計(jì)步驟:求出總體矩，即E(Xk)或EX E(X)k,k1,2,: 用樣本矩代替總體矩，列出矩估計(jì)方程:E(X)k,k 1,2, 解上述方程(或方程組)得到1, 2, , m 的矩估計(jì)量為：？?i(X1, X2, ,Xn), i 1,2, ,m1, 2, , m 的矩估計(jì)值為：？(X1,X2,Xn), i 1,2, ,m3.矩估計(jì)法的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：直觀、簡(jiǎn)單；只須知道總體的矩 缺