工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)課后答案詳細(xì)答案(真正同濟(jì)第五版)-

1、習(xí)題解答L利用對(duì)角線法則計(jì)算下列三階行列式:解(1)原式= 2x( - 4)乂3 + 0*(-1)乂( - 1) + 1X 1x8-lx(-4)x(-l)-2X()X80xix3=-4；(2)原式=。他 + bac + cba - c' 一 1 一3abc - a3 - b3 c31(3)原式l*fr*c2 +11 a*ta - l*c*A2 - l*a*ea=be1 + co1 + ab1 ba2 cb2 - aclc2 (b a + ab(b -a) - c(b2 - az) = (a 6)(5一 c)(c - a ):(4)原式=x(x + ja(x + jj) + (x + 3

2、0yt -(工 + 了)* 一工'- n*=-2/ + _/).2,按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，求下列各排列的逆序數(shù)：(1) 123 4;(2) 4 132;(3) 342 I；(4) 2 413;(5) 13(2n - 1)2 4 (2n)；(6) 13(2n - 1)(2n) (2n - 2) 2.解(1)此排列為自然排列，其逆序數(shù)為必(2)此排列的首位元素的逆序數(shù)為0:第2位元素1的逆序數(shù)為匕第3位元 素3的逆序數(shù)為1 :末位元素2的逆序數(shù)為2,故它的逆序數(shù)為0 + 1 + 1 + 2 = 4;(3)此排列的前兩位元素的逆序數(shù)均為0彳第3位元素2的逆序數(shù)為2；末 位元素1的逆序數(shù)

3、為3,故它的逆序數(shù)為0 + 0 + 2 + 3 = 5;(4)類似于上面，此排列的從首位元素到末位元索的逆序數(shù)依次為0,0,2, 1,故它的逆序數(shù)為D + 0 + 2+ 1 = S；(5)注意到這2M個(gè)數(shù)的排列中，前n位元素之間沒有逆序?qū)?第"+ 1位 元素2與它前面的n-l個(gè)數(shù)構(gòu)成逆序?qū)Γ仕哪嫘驍?shù)為目- 1：同理，第« +2 倍元素4的逆序數(shù)為# -2產(chǎn)“末位元素2M的逆序數(shù)為0.故此排列的逆序數(shù)j&(rt - 1) + (即 - 2) + + 0 =/ n (打 - 1)；(6)與(5)相仿,此排列的前n + 1位元素沒有逆序?qū)?；第立?位元素 (2n -

4、2)的逆序數(shù)為2;第抬+ 3位元素2打-4與它前面的In - 3T2n - 1,2打. 2"-2構(gòu)成逆序?qū)?故它的逆序?yàn)?;；末位元素2的逆序數(shù)為2(療-1),故此 排列的逆序數(shù)為 2 + 4 + * + 2( » - 1) = h (w - 1),3.寫出四階行列式中含有因子口”。的項(xiàng).解 由行列式定義如這項(xiàng)必還含有分別位于第3行和第4行的某兩元素, 而它們又分別位于第2列和第4列，即。豆和鼻船或。意和心注意到排列1324 與1342的逆序數(shù)分別為1與2,故此行列式中含有由工3的項(xiàng)為一?！钡耐ㄎ枰载颗c 11a424,計(jì)算下列各行列式:42361210051(3)-abIb

5、d一 cdde(4)bfcf0,()10fj - lOrl-15-2012 02120201 17門 + 15 r上0 1170 -15 2 -200 0 17 850-7 2-40 09 450011=0 (因第3、4行成比例)*I4I°62 =o (因有兩行相同)；23206269(3) D 1 adf b - c - ' e = abcdef t -11rs -T JT c2；0=4abcdeJad1 + cd-Id ad-1 c0 -1I + cd0=(1 + a6)(l + cd) + ad .5.求解下列方程：(1)2x+1 =°；: ； : =0,其中

6、 Q*,c*x a b c互不相等.解左式 :(1 + 3) 21+ 11門丁上*3)- 11 H + 1100 (x + 3)2 工-11T 2 z +11T . 1=(工+ 3)=(1 + 3)(工2-3).I m +1于是方程的解為=-3. =75,工產(chǎn)也（2）注意到方程左式為4階范德蒙德行列式，由例12的結(jié)果得（工一以）（/一6）（工一£?）（。-6）（0-）（6-（：）=0.因a jbc互不相等，故方程的解為：/=a b fj;3 = c.6.證明:a2abb22a a + 2b = (a b)。111ax byay + bzaz bj：ay + bzaz + bxajc

7、+ byaz + bx ax by ay + bz十 了zzy(4)/(a + 1 (a + 2)2 (a + 3)z 心("IF (6 + 2尸d+ 3產(chǎn) /(c+l) (c + 2)2 (c + 3/d2 (d + lF (J + 2)2 (d + 3)a1dd1(a -6)(«-)( 一 - c)(6 d)(c-d)(a + 6 + c + d);x -1000%-i ()： ：000 jc00：=0.E"+ a.-"T + * 十 Q十 口0 遍“Z（1）左式J Jab - b1 b2a - b 2601=（Q-&）$ 二右式;（2）將左

8、式按第1列拆開得左式=axayazay + bz az + Ai- az + bx ax + by +ax + by ay + bzbzbxay + bzaz + bjcax + byaz + bxa工 + byay + bz=aD( + bD2 -»其中ay + Zizaz + bxax + byay + bzj? ay + bz zy az + bx x工 ax + by yz az bx x flj + 6y y ayt bz二 2；a y jc ; Cj- am 工 yy ay + bz az bx D2 % az十卜工 ax + by x ax by uy + bz于是（3

9、）左式j(luò)c y zD = aD t bD2 =(值+6') y s x =右式.2a + 1 2/ + 3 2a + 52b I 26+3 2A+ 52c + 1 2r + 3 2c + 52/1 2d+ 3 2d + 5a1 2a + l 2 2 bl 26 + 1 2 2 J 2c+ 1 2 2 d2 2J + 1 2 2=0 （因有兩列相同h筱腰開1 1 1bedtb + u) J(e*£i)d,d +臼)-(Ij -a)(< - a )d a)各列娓限公因子其中：志工氣：+a）一（左）（6 + 口）。/（1+"川一M）=C（&+6+）（

10、3;一8）：y - d2 d a) - bd b a) = d(a b + d)(d - b).1 1c(a + b + c) d(a + 5 + d)=x"D3 +日 11TH"7 + + 口盅 + 如 =a()+ a| x + " + &n* .證二按最后一行展開得故 c b d_ 8Md _ b)* y=(c + d) - c(a + 6+ c)二 (± - $)(d-b) + d2 - c1 (c - b)(d b)(d - e)(a + Z? + c + d),因此，左式=(6 ci)(c。)(日餐日)(。一 A(d幻(d - c)(a

11、 +b + c+ r/) =右式.(5)證一 遞推法.按第1列展開，以建立遞推公式，-1x -10。*產(chǎn)工。+ (-1產(chǎn)%.* .3*X 1=工。十(-1產(chǎn)%產(chǎn)工。+ %又，歸納基礎(chǔ)為：口 =公(注意不是m3于是Dt = hD. + /=h(hO+ a ) + fla=T（- I），”"*=+ at3： + + an- 0l + 我產(chǎn)* ,7.設(shè)R階右列式D = <kt（4）,把D上下翻轉(zhuǎn)，或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90二或依副 對(duì)角線篇轉(zhuǎn),依次得Dt =； tD2= ；J ,Di= i: T«n '* Ai hi fin 證明D產(chǎn)j = （ - 1）nDD產(chǎn)D,證（1）先

12、計(jì)算。為此通過交換行將。變換成D,從而找出口與D 的關(guān)系.%的最后一行是D的第I行，把它依次與前面的行交換，直至換到第1 行，共進(jìn)行弱-1次交換；這時(shí)最后一行是。的第2行，把它依次與前面的行交 換，直至換到第2行，共進(jìn)行時(shí)-2次交換：,，直至最后一行是D的第舞-I 行,再通過一次交換將它換到第開- I行，這樣就把D.變換成O,共進(jìn)行p 1（爐一 1）+ （盯-2）+ *, + 1 =/x （燈 T）次交換，故Dj = （一什.注r上述交換行列式的行（列）的方法，在解題時(shí)，經(jīng)常用到，它的特點(diǎn)是 在把最后一行換到某一行的同時(shí)，保持其余珅-i個(gè)行之間原有的先后次序（但 行的序號(hào)可能改變）.2*同理把

13、D左右翻轉(zhuǎn)所得行列式為（-1:小="口.（2）計(jì)算Dz注意到d的第1，2廣打行恰好依次是D的第明門7,， 1列,故若把D2上下繇轉(zhuǎn)得萬？，則D.的第行依次是U的第1, 2,，舞列，即尸D于是由（1）Dl （ 瓦 （ -1）3"" Dt = （- D.（3）計(jì)算D注意到若把外逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90'得方則D,的第1,2尸，打 列恰好是D的第口 e-1,，1列，于是再把萬工左右概轉(zhuǎn)就得到D.由（1）之注 及，有03 =（一】）M瓦=口注 本例的結(jié)論值得記取即對(duì)行列式D作轉(zhuǎn)置、依副對(duì)角線翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn) 18（T所得行列式不變；作上下翻轉(zhuǎn)、左右翻轉(zhuǎn)、逆（順）時(shí)針旋轉(zhuǎn)90*所得

14、行列式為 （T* 口,8,計(jì)算下列各行列式（D.為A，階行列式）：a1（1） Dn= .，其中對(duì)角線上元素都是口，未寫出的元素都是51n工a 4,.a xa D.=.; Vaajcn" (a - 1)" (a - j?)"GT)- Gf) D一產(chǎn) :J:戊Q - 1*o - T 1 1 提示：利用范德蒙德行列式的結(jié)果. «t 4d1 "(4) D3<=,其中未寫出的元素都是0;D,=解一解二(5) 口.二加M4).其中 = I( ->1; .把D按第一行展開得D = + (-1)*按帚一列., =。+ ( 展開(2)本題中。是教材例

15、8中行列式的一般形式它是一個(gè)非常有用的行列 式，在以后各章中有不少應(yīng)用.解利用各列的元素之和相同,1 1.；' X + ( N - I )a r =2,rr,. n=(x - a)*T + ( h - Da*(3)解把所給行列式上下翻轉(zhuǎn)，即夕 轉(zhuǎn)，由于上下翻轉(zhuǎn)與左右翻轉(zhuǎn)所用交換次數(shù) 轉(zhuǎn)(相當(dāng)于轉(zhuǎn)180，參看題7)其值不變.于看*蒙德行列式，若再將它左右翻 ，故行列式經(jīng)上下翻轉(zhuǎn)再左右翻 j德蒙德行列式的結(jié)果，可得(a - w )*(<1 - n + 1)*(4) » 本題與例II相仿，解法也大致相同，用遞推法,由例10即有遞推公式另一方面，歸納基礎(chǔ)為? =4匕-好白，利用

16、這些結(jié)果，遞推得Ci di.(明心-"q )(我 由bt tj ) = 口(。& -瓦G), t*i(6)解 將原行列式化為上三角形行列式，為此,從第2行起，各行均減去 第1行”得與例1.3相仿的行列式其中"1 + % I房出%(1十W J于是5 ="冬春)3)-129,設(shè)D= 一： : 3，口的U，八元的代數(shù)余子式由作A*,求201- 11 -53 -3A1+ 3 Ajj 2 Am + 2A jj +解 與例13相仿，A十3/1賓-2433+2AH等于用1,3, -2,2替換。的第3行對(duì)應(yīng)元素所得行列式,即=2%5Hl +6工=1,10 .用克拉默法則解

17、下列方程組:j|十工*十Hj+1J（十5叫+ 6工3= 0 rjr2 + 5tj + 6工* = 0,x + 2Mz -+ 4 = -2; 2H - 3 5 j 肛=5f* = - 2 >3xi +工+2工工十1 l,Ti = 0;15111 - 2 - 14D；=2 -2 T -53021口 門15110-7 -230 -12 -3 -7口 一15 -18。一如小 Trj 1-31-47 S-29 14= -426151115201-2-72口-5-3-12。了4 . 3rl。一2- 1-151151- 2- 7- 13-47二1420-13-47-5-290-5- 291由克拉默法則

18、，得Hi = 方 =1 ,為=萬 =2, H萬 3tXj = 下5D=:06 05 61 50 10065悔q展開=5= 65j(* )6 0 01 5 6 =114,0 1 5于是 D = 325- 114 = 211；006565-216= ir .展開50由（* ）式=-19 + 180= L6b=5 -114 =-109；由(* )式-1 + 65 = 64.由克拉歌法則,得151D 萬JTT與=互=109 2TT1_ 64工，=方二打T11 .何X下取何值時(shí)，左次線性方程組有非零解?解 由定理5',此時(shí)方程組的系數(shù)行列式必須為0.故只有當(dāng)割=0或2

19、= 1時(shí)，方程組才可能有非零解. ,當(dāng)鼾=0,原方程組成為f Ax| + x2 + jj 0 T1,十 H* - 0.顯然工=1,必=【-3七=-1是它的一個(gè)非零解; 當(dāng)A=h原方程組成為J)+ xj + x3 0,+四工+工3 =0*+2陽工+ Xy=Qt顯然*H| M -=01= 1是它的一個(gè)非零解一因此，當(dāng)"=0或入=1時(shí)，方程組有非零解.注 定理5(或定理5')儀表明齊次線性方程組要有非零解，它的系數(shù)行列式必為零.至于這條件是否充分將在第三章中予以解抉.目前還是應(yīng)驗(yàn)證它有非 零解.下題也是同樣情形.12.問A取何值時(shí)，齊次線性方程組f (1 A ) j -2巧+4j：

20、3 = 0,(2工 + (3-X)巧+Tj = 0(孫 + X： + (1 - A>jr3 =0 有非零解？解 若方程組有非零解，由定理5',它的系數(shù)行列式D = 0.因1- A-A(A 3)-A (A - 2)( A - 3) .故D = 0=>A 或4=2或2=3,并且不難騙證;當(dāng)入=0時(shí),工-2.%=1.% = 11當(dāng)入=2時(shí),叫=-2逆產(chǎn)3,工3 = 1 ：當(dāng) 1=3時(shí),工廣-1,%=5,孫n2均是該方程組的非零解，所以當(dāng)A =0.2,3時(shí) 方程組有非零解.第二習(xí)題解答L計(jì)算下列乘3'(2) (1*2*3) 2 ； j31-12-31 ,2 1 (-1,2)

21、；3,”工 I + 口 IE 叫 + J3=(1工工eiuXi + (JXi +4口 E 3 = | 十 肛 23 1 工+ & 33 1 JH 1s xl二口 U 工：十 口以11 Hi + OijXjXi + 口北工鄉(xiāng)+ 口4工工+ ayixijci十口 2113工工+n心工3=虱”工：+。找工;+ djjXj + 2a(J J| x2 +2au| J：3 + 2"加工士工.1 12.設(shè)4=11J -1 求 34E-24 及 A”， 解1 I IAB= 11 - 11-1 1 0于是 3AB-2A =3 020=0，6VT ,B =Lfo因 = A,即A為對(duì)稱陣，故-5

22、6 -2 19 0)1115 2412-15 18-227 Oj 20-1T- 2215 8-5 69 0,-2-241322-1720 ；29 -2I'O 5 81A7Ii = AB= 0 -5 «a 9 口3.已知兩個(gè)線性變換求從£| r叼,啊到孫，工上 ,工3的線性變換，解 依次將兩個(gè)線性變換寫成矩陣形式:X= A 匕"EZ,B =這里矩陣-320013J分別為對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣* =在這些記號(hào)下從孫"”啊到工一壬",的線性變換的矩X = AY = A(BZ)(AB)ZCZtC= AB即有X| = " 6rL + 3ij工工

23、二12z1 -+ 9ij了$ = 一 10zk 一史H + 163./(""(； J問：A8 = R4嗎？(2)(4 + 日)工=A* + 24B + B*嗎？.BA461 21 3解 （1）因AH(3)(A + 3)(4 -B) = A1(3 J故歷卬(2) (A + E> = (4 + 8)(月 + 8) = A* + AB + BA 將"二 但由(1),AEHA4，故 4E + B4 滬 248,從而(A +2AB + B2;(3)(小* B)(盤-B)工小工 + 84 - 4H - 6,但由,故 一44X0,從而(A + B)(4 - B)KT -

24、B2.5.舉反例說明下列命題是錯(cuò)誤的i（1）若 A2=Ofm A = O;（2）若A, = A*則冷=0或冷=石；（3）若力X =乩了，且AKO,則X= Y.解取&=（：）,有A、0,但&*6（2）取 4 = （：；）,有力* = A.但耳/O 且A#E;取 4 = （； ；）,*=（；）,T： J 有 AX3HA*。, 但K#¥.6,設(shè) 4 =（；：）,求小，解=C I/ ；) = (/)(:力 IT1 0 2AJC ：)C一般可得(2.3)1 0kk 1事實(shí)上.當(dāng)出=1時(shí)，（2.3）式顯然成立；設(shè)當(dāng)人 =打時(shí),（2.3）式成立，那么當(dāng)4 =加+1時(shí),4”Nt SI

25、C Al1(jr + 1) A由歸納法，知（2.3）式成立一，求 A*.解把鼻寫成兩個(gè)矩陣之和其中三階矩陣H二00.00.01 00 10 0.00,0滿足B ,二10Q00OJ 0=AE +0 0 H二口(43).0J于是 A，= (aE + B)" = C"AWE + + C：B"=C"A"E + C，*7 & + C*r B?8,設(shè)A歸為m階矩陣，且A為對(duì)稱陣，證明848也是對(duì)稱陣. 證根據(jù)矩陣乘積的轉(zhuǎn)世規(guī)則，有(Bt4B)t = BtAt(Bt)t = BtAB(因 A 為對(duì)稱陣)r故由定義，知fiTAB為對(duì)稱陣.9 .設(shè)4,B

26、都是斯階對(duì)稱陣，證明AB是對(duì)稱陣的充要條件是4B = B4. 證因 = 故AB為對(duì)稱陣0（小SA=用E <=BTAT = AB.10 .求下列矩陣的逆陣：,./I 2/cos 6 - sin（1）L J . J2 5 /stn 6 cos 6 /出01 2 -1|(3) 3 4 -2 i (4)1 .(明知/RO).5 -41)口 ''0。J解(1)由二階方陣的求逆公式(教材例10)得C -H.；力.2 5sin 0cos & sin 1 _1 I cos 9cos & ) eos: & sinJ & l - sin ff8s 8 sin

27、& -sin 0 cos 6因以1 =2#。，故A可逆，并且Mlm3(M”M|2 =于是= 13,=6,=-32,-14,243M,=Mu一 Mm1 - I;* d A - k|412-MuMu-Mg010132-131-3214-U,北.于是矩陣B =(4 )因 4 1 % a* * 01 故3 # 0 , j = 1 .Y)強(qiáng)（春,2）是有意義的,并且因AB = diag( % , J ,一， )d山8= dia虱 1,1,，1) = E,由定理1的推論，知A可逆，且啟T = B = diag（2，:卜注 本題結(jié)論值得記取，可當(dāng)作公式用.11.解下列矩陣方程:01，0730 - I

28、一2 0.解門)因矩陣的行列式=1,不為零，故它可逆,從而用它的逆矩陣左乘方程兩邊.得,2 51/4 -611 3) 2 IJ2 - 2308(2)記矩陣方程為det A =2=3 關(guān) 0,00221*4"口 = 8"因故4可逆,用右乘方程的兩邊科又，A ' = A =_A|A|MJ-M*于是X BA4(：一 668 15(3)記A=I -2，-3-2 8 3lo0332-2-3-2023J0 I3 -23 0I ,則矩陣方程可寫為因|A| = 6#0.|川= 2X0,故A,B均可逆.依次用A-和修一|左乘和右乘 方程兩邊得g-yjkI2 01 1-I?"

29、IS j3 10 -1"12前312010(4)本題與(3相仿因矩陣001)1的行列式都是-1,故OJ均是可逆陣，并且0 11 0.0 0or10Lfo1010()0.00 00 11 0,01 0,12.fo100LQfo101 f 42 0J -20OJ-3-40一2,利用逆矩陣解下列線性方程組:0100一 42,(1)0 + 2jc2 + 3xj = 1T 2jr)+ 2xj + 5ij -2t 3xi + 5h? + Xj = 3;將方程組寫作矩陣形式工產(chǎn)2，* Xj - 3與=1,(3xi + 2x2 -= 0.這里，及為系數(shù)矩陣.工二（支Ax = b.工工，工3），為未知

30、數(shù)矩陣，b為常數(shù)矩陣.二】5#0,故A可逆,于是即有1因Ml= 23即有1 2 Sx = A'i b - 2 2 5 .3 5 1,工1=I*-1 -1-1 -3 =3?？冢蔄可逆,于是= 01= 3.13.已知線性變換產(chǎn) =23j +2山 4 ”，工？ = 3ji +?工 + 5加1和=3+2山+ 3力.求從變量為，壬，口到變量外，北，匕的線性變換解 記工二（f，三，4）T" = （“，S，33）t,則線性變換的矩陣形式為上=2 2 IAy,其中鼻為它的系數(shù)矩陣.因出t 4 = 3 1 5 =1X0,故4是可逆陣，于3 2 3.是從變髭工一工之，口到變量M,必，力的線性變

31、換的矩陣形式為14.設(shè)4為三階矩陣，14|=宗求|（24廣-5父|.解 因|4|工1聲0,故A可逆.于是由A * A A ' = ；4 及(24) 1 A '1, 得(24)-1 -5A* =y4"= -2A-兩端取行列式得1(24 )-, -5A* I = |-24| = (-2)Jl Al-1 = - 16.注先化筒矩陣，再取行列式，往往使計(jì)算變得簡(jiǎn)單.0 3 315.設(shè)4=1 1 0 ,AB = A+2以，求 B.1 2 3jl解 由 AB = A +2B=>(A -2E)B = A.-233因A-2E=1-10 ,它的行列式det (4-2E)=2#。，

32、故它是可逆陣.12L用(4 -2E)i左果上式兩邊得B13j0 3 3-12 3,1 1 0j1 0 1】6.設(shè)A= 0 2 0 ,且AB +園=4工+ E*求B.JOI.0 0又，40 1J 0解 由方程AB + E = A* + B,合并含有未知矩陣B的項(xiàng)，得 (A-E)B = Aj-E=(A-E)(A+E).0，其行列式dut(4-E)= - 1X0,故A - E可逆，用 0.(4 -E)T左乘上式兩邊.即得2 0 r B=AE= 0 3 0 . 1 0 2.17,設(shè)4=由昭(1,-2.1,4*弓4=284-8七，求 B.解 由于所給矩陣方程中含有A及其伴隨陣A ，因此仍從公式AA

33、9;= IAIE著手.為此，用A左乘所給方程兩邊，得AA* BA =2ABA -8A .又，|4| = -2#口.故A是可逆矩陣，用4T右乘上式兩邊,得I A|B = 24B-8E>(2A + 2E)B = 8E=>(A + E)B=4E.注意到 4 + E = diag(l, - 2,l)+diHg(l,l,l)=diag(2.- 1.2)是可逆矩陣，且(4+EL1 =如g6，T m)，于是b=4fA + E)T=diag(2,-4,2).18.已知矩陣A的伴隨陣A* =d誕(1,1.13，且AB&7 =孫7 +3E,求 B.解 先由4來確定|A|.由題意如4 T存在有

34、=| A I.得 I1 | = |4門>r" = |A|3,而|=8,故|A| =2.再化簡(jiǎn)所給矩陣方程 ABA，' =BL +3E=>(A - E)BA-1 =3E- E)£ = 34= (E- a7)B = 3E.由|41=2,知4 7=擊海，二獷船（1,8）二出"；,；.；,4卜*_./ 1 1 1A - diagl 2*22* " 3 j .得（E-尸=出呵2,22一寺卜于是R = 3（-T"）t3崛（即2,2, J 1出啾 6*6*6*-1）.19.設(shè)尸4尸=4,其中 P=； -；）/=； I）,求心解 本題與教材

35、例13相仿.因pT4P= A .故A=PAP 于是 An = PAnP''=（一:）:/：-:出：力 一:-I）1/ 1 +2bJ 4 + 2n _ 12731 2 732y -4-2"J - I -683 -684/20.怩 AP = PA,其中 P= 11求中(力)=A'(5E -64 + ) 111解 因|二10-2 = -6盧。，故R是可逆陣.于是，由AP=F41 -1 1得4三PAP t,并且記事項(xiàng)式 孤工)=儲(chǔ)(5-6工十工±),有MA) = JV")Pl因4是三階對(duì)角陣，故事IA) = diag(伶(T)fW,p(5).) d

36、iag(12t0,0) tI 1于是 (A)= ：10J -1 10 = -210 I 0 1 0 = -210 -J 0 1 1 1 =4111. A I 1注，由于5（A）除（I,D元外均是0,故在求P時(shí)，只需計(jì)算F的（1,1）元、（2,】） 元3,1）元的代數(shù)余子式Ah*打和,21-設(shè)A* =。*為正整數(shù)），證明E-A可逆，并且其逆矩陣=E + A + 41 + 十 A*一，證由（區(qū)一姓）（松十4+總,+、十） = E +丹+ ," + A”' 一盤一4" 一 A*=E - O = Ef由定理2之推論知E-A可逆，且其逆矩陣（E-A）7 = e + 4 + +

37、 A+-，使 判斷矩陣B是否為4的逆矩陣,垠直接，最簡(jiǎn)單的方法就是驗(yàn)證從8 » ? ! _ *,（或者BA ）是否等于單位矩陣，就像判斷3是否為4的逆只需驗(yàn)證*3是否等于1 一樣.下一期及例2都是這一思想的應(yīng)用.22 .設(shè)方陣A滿足A1-A-2EQt（2.4）證明A及A+2E都可逆，并求點(diǎn)及A+2E），解 先證4可逆.由（2.4）式得A（A-屈）= 2E1電就是點(diǎn)信（4 - E）=E.由定理2之推論知A是可逆的，且47- E"再證A +2E可逆.用例2.1的解法，由（A +2E）（A -3£）= A2 - A - 6E = 2E - 6E = - 4E r即（.+

38、2E）:（3E - 4） 1= E.同理，知4+2E可逆,且（4 + 2E）7 =/3E-4）.23 .設(shè)矩陣A可逆，證明其伴隨陣A'也可逆，且（A，）” = （4 7）".證因4c = l4|E及以|。心由定理Z的推論知月,可逆，且另一方面，因 /TY,T）. = I A'j|E用A左乘此式兩邊得（A7）' = |A"1 |A =1-rA . I A I比較上面兩個(gè)式子，即知結(jié)論成立.24 .設(shè)北階矩陣盤的伴隨陣為4 ,，證明：若 IA|=O,則 1k I =0）（2） （A* | = |Ap-證（1）因A* A = |A|E,(2.5)當(dāng)I 4

39、I =0時(shí)，上式成為A* A = O.要證I4* 1=0,用反證法：設(shè)|A" |尹0,由矩陣可逆的充要條件知，A是可 逆矩陣，用(A*)左乘上式等號(hào)兩邊,得4 = 0.于是推得A的所有舞-1階子 式，亦即A ,的所有元素均為零.這導(dǎo)致A*=O.此與A"為可逆矩陣矛盾.這 一矛盾說明，當(dāng)|A|=O時(shí)*14, 1=0.(2)分兩種情形：情形1:1 Al = 0,由，1= 1=0=結(jié)論成立;情形2：|A |¥0.在(2.5)式的兩邊取行列式，得A' |A| = |A'4HltA|Ej = |A|于是注IA* I = |A|.計(jì)算100032-201-13

40、-3本題(2)的結(jié)果值得記取.與教材例15相同,本題練習(xí)分塊矩陣乘法.記“(；力”(：；131通廣2.1Bjj =-2 30 -3原式二A it 4O A wA U孫工+舊22 =E Bi2C -：-202-43-9原式=52-402 '一 43-9j26.340，04-30000220002,，求IA"及T.若記A =3443,貝q a成為一個(gè)分塊對(duì)角矩陣.于是= 10%因A| =2500 25=25&故 A； =5"；/ =2:，可參看習(xí)題6).代人即得5*00005,00002,260002427.設(shè)n階矩陣4與$階矩陣日都可逆，求(工(1)因A和B均

41、可逆，作分塊陣段0卜由分塊矩陣乘法規(guī)則,力可逆叱r力求匕：)的逆陣，就是求開十£階方陣X,使(2.6)(c *E -.為此，根據(jù)原矩陣的分塊情況，對(duì)X作一樣的分塊, X*21 /其中.X匕是未知矩陣(為明確起見，它們依次是"x打，" X $.£X*3*5矩陣).把上式代入(2.6)式得到j(luò) E.。_產(chǎn)*此_/A*】工 o He B Hx?1 XaCXu+i CXJBxJ 比較上式兩端兩個(gè)矩陣，有AXi2 = O=>XU = O;，CXI2 + BX12 = £ = BXg = E,=>X22 = Bl;CX(1 + BX21 = O

42、=>BX21 = - CXn = - CA-l=?>Xai =- B lCA 于是得(A °(一。).c B) l-B-f B'J28.求下列矩陣的逆陣:10 0 5 2J10 0 0解將A分塊為A弋:卜其C j，3G，因|Aj=l,lA/=l,故它們均可逆于是由分塊對(duì)角矩陣的性質(zhì)，有i ",11-200產(chǎn)1一2500 O A；1)002 -300- 58記弋扉其中"C2,|口 二 12,故8,£均是可逆陣.由27題(2)的靖詒，得24J - 12S - 123一 7-403,0001200-480-5 - 26習(xí)題解答L用初等行變換

43、把下列矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣七0 2 -31(2) 0 3-43,0 4 -7 - lj(23 171 0 2解2 0 33 0 4362 -33 - 44 -713-121-3,0J02-31-220。0000.3 12 0-2 8-3 72 0-23 1 7-2 83-3 740 5門口2 0-2 -4 *1111 -8 89 12-7 78 1bnx（-D1 020 -21 02 01 J "“Tri0 1-1-1 -10 1-10。+8燈0 00140 0 0 1q+Trj0 0014,0 00 045，求一個(gè)可逆陣P,使R4為行黑筒形.0 - I 2 3123200072 0

44、 0 ljnf012 32,設(shè) 4= 2 3 43 4 312 3解（4 £）= 2 3 42341-1-2-3-2-6 -12 -18 -52 0-1 0 t一 6 i j2-10，并且A的行最筒形為=10 -1 - 2oo010,工設(shè)4 = （-2_1 ：），“）求一個(gè)可逆陣凡使PA為行最筒形;（2）求一個(gè)可逆陣Q,使為行地筒形.10 4 130 17 2 5于是p=，且?。ǎ?(ATtE)=于是Q =-53-0,10012一 II0- 11:) 0 I 0為A的行最簡(jiǎn)形;5 0，并且 CAT =一7° o 1 112-5-21001 03 -1.1 1x<-01

45、00001為4T的行最簡(jiǎn)形.0,4,試?yán)镁仃嚨某醯茸儞Q，求下列方陣的逆陣:(1)解 記所給的矩陣為4.(4*£：) =- 2n301,0-2-202-32口 .門Ql ra-r(-2)0-9rjr2 + 4n2-11 22T-1因由定理1之推論，知A可逆，且72一 11 .n9 121tJ3 2。2(2) (A,E)= .1 -2.0 I0-11000'210 10 0-3 -20010210 0 0 1，l- 2-3-2 00I0門一a0i21 : 0001.1 . . I .bn3-207100002210100-200101 0 001510-30-10 10 -2.

46、000I2,1000I110-3-41010-2，-1 046-2 06910-3-42 1 6 70,-2- 4f)-I36-6 - 101000110 10001ooio-i-i0 0012I因由定理1之推論，知A可逆，并且一 2 一 4'0- 136 '6 -10-3,2，求* 使AX = B;T0設(shè)A=232 3-3 1解（1）與教材例3相仿，若A是可逆矩陣，則可求得矩陣方程的解為X=建7也而判斷A是否可逆和求解可通過（4,B）的行最簡(jiǎn)形一起解決：即若 "ru ''i則A可逆，并且初等行變換把A變?yōu)镋的同時(shí)，把E變?yōu)锳”.r2 -2k10,0-

47、21021"32-1 j-2692.3于是A可逆，且* *10-151210-15122-34,-2165,r-34,0、0-22一 1,-29-12-25-4,02(At,Bt)= 2 -1A 3-4 11-3（2）可以仿照教材中的方法，用初等列變換求EA，但通常習(xí)期用初等行 變換求X.因*4 = 5=>47、T=51=>*' = （/07 13'與題（1）相同，可用初等行變換 先求得從而得X.計(jì)算如下：31-4 - 512.一 1-832于是M= -1-1一41 -106,設(shè) 4=01 -1 ,A*=,2* +A,求*.101J'解 A* = 2* +A=（A 2E）*=4,欲解此方程，需要（i）判斷A-2E為 可逆矩陣;（心進(jìn)一步求* = （A-2E）"A.這兩件事可由（力- 2以4）的行最筒形一起解決.01-1-101T -102 -1-1 120Ql n x(- 011001101I0 0010-10 1 ,1T 1 O'0 -1 1-2 I L1 101-