四大強度理論

1、第10章強度理論10.1強度理論的概念構(gòu)件的強度問題是材料力學(xué)所研究的最基本問題之一。通常認為當(dāng)構(gòu)件承受的載 荷達到一定大小時，其材料就會在應(yīng)力狀態(tài)最危險的一點處首先發(fā)生破壞。故為了保 證構(gòu)件能正常地工作，必須找出材料進入危險狀態(tài)的原因，并根據(jù)一定的強度條件設(shè) 計或校核構(gòu)件的截面尺寸。各種材料因強度不足而引起的失效現(xiàn)象是不同的。如以普通碳鋼為代表的塑性材 料，以發(fā)生屈服現(xiàn)象、出現(xiàn)塑性變形為失效的標(biāo)志。對以鑄鐵為代表的脆性材料，失 效現(xiàn)象則是突然斷裂。在單向受力情況下，出現(xiàn)塑性變形時的屈服點匚s和發(fā)生斷裂時 的強度極限6可由實驗測定。二s和匚b統(tǒng)稱為失效應(yīng)力，以安全系數(shù)除失效應(yīng)力得到 許用應(yīng)力！

2、，于是建立強度條件可見，在單向應(yīng)力狀態(tài)下，強度條件都是以實驗為基礎(chǔ)的。實際構(gòu)件危險點的應(yīng)力狀態(tài)往往不是單向的。實現(xiàn)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的實驗，要比單向拉伸或壓縮困難得多。常用的方法是把材料加工成薄壁圓筒（圖10-1），在內(nèi)壓p作用下，筒壁為二向應(yīng)力狀態(tài)。如再配以軸向拉力F,可使兩個主應(yīng)力之比等于各種預(yù)定的數(shù)值。這種薄壁筒試驗除作用內(nèi)壓和軸力外，有時還在兩端作用扭矩，這樣還 可得到更普遍的情況。此外，還有一些實現(xiàn)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的其他實驗方法。盡管如此，要完全復(fù)現(xiàn)實際中遇到的各種復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)并不容易。況且復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)中應(yīng)力組合 的方式和比值又有各種可能。如果象單向拉伸一樣，靠實驗來確定失效狀態(tài)，建立強 度

3、條件，則必須對各式各樣的應(yīng)力狀態(tài)一一進行試驗，確定失效應(yīng)力，然后建立強度 條件。由于技術(shù)上的困難和工作的繁重，往往是難以實現(xiàn)的。解決這類問題，經(jīng)常是 依據(jù)部分實驗結(jié)果，經(jīng)過推理，提出一些假說，推測材料失效的原因，從而建立強度 條件。圖 10 1經(jīng)過分析和歸納發(fā)現(xiàn)，盡管失效現(xiàn)象比較復(fù)雜，強度不足引起的失效現(xiàn)象主要還是屈服和斷裂兩種類型。同時，衡量受力和變形程度的量又有應(yīng)力、應(yīng)變和變形能等。人們在長期的生產(chǎn)活動中，綜合分析材料的失效現(xiàn)象和資料，對強度失效提出各種假 說。這類假說認為，材料之所以按某種方式（斷裂或屈服）失效，是應(yīng)力、應(yīng)變或變形能等因素中某一因素引起的。 按照這類假說，無論是簡單應(yīng)力狀

4、態(tài)還是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)， 引起失效的因素是相同的。也就是說，造成失效的原因與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)。這類假說稱 為強度理論。利用強度理論，便可由簡單應(yīng)力狀態(tài)的實驗結(jié)果，建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下 的強度條件。至于某種強度理論是否成立，在什么條件下能夠成立，還必須經(jīng)受科學(xué) 實驗和生產(chǎn)實踐的檢驗。本章只介紹四種常用強度理論，這些都是在常溫、靜載下，適用于均勻、連續(xù)、 各向同性材料的強度理論。當(dāng)然，強度理論遠不止這幾種。而且，現(xiàn)有的各種強度理 論還不能說已經(jīng)圓滿地解決所有的強度問題，這方面還有待發(fā)展。10.2四種常用強度理論前面提到，強度失效的主要形式有屈服和斷裂兩種。相應(yīng)地，強度理論也分成兩 類，一類是解釋斷裂失效的，

5、其中有最大拉應(yīng)力理論和最大伸長線應(yīng)變理論。另一類 是解釋屈服失效。其中有最大切應(yīng)力理論和形狀改變比能理論。10.2.1 最大拉應(yīng)力理論（第一強度理論）意大利科學(xué)家伽利略（Galilei） 于1638年在兩種新的科學(xué)一書中首先提出最 大正應(yīng)力理論，后來經(jīng)過修正為最大拉應(yīng)力理論，由于它是最早提出的強度理論，所 以也稱為第一強度理論。這一理論認為：最大拉應(yīng)力是使材料發(fā)生斷裂破壞的主要因 素。即認為不論是什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)力達到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材料就發(fā)生斷裂。既然最大拉應(yīng)力的極限值與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，于是就可用單向應(yīng)力狀 態(tài)確定這一極限值。 單向拉伸時只有：,.2 =：-3 =0，當(dāng);

6、達到強度極限；b時即發(fā)生 斷裂。故據(jù)此理論得知，不論是什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)力；達到二b就導(dǎo)致斷裂。于是得斷裂準(zhǔn)則-1 b（101）將極限應(yīng)力；二除以安全系數(shù)得許用應(yīng)力J】，故按第一強度理論建立的強度條件是；_ .丨（10 2）試驗證明，這一理論與鑄鐵、陶瓷、玻璃、巖石和混凝土等脆性材料的拉斷試驗 結(jié)果相符，例如由鑄鐵制成的構(gòu)件，不論它是在簡單拉伸、扭轉(zhuǎn)、二向或三向拉伸的 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，其脆性斷裂破壞總是發(fā)生在最大拉應(yīng)力所在的截面上。但是這一理 論沒有考慮其他兩個主應(yīng)力的影響，且對沒有拉應(yīng)力的狀態(tài)（如單向壓縮、三向壓縮等）也無法應(yīng)用。10.2.2最大伸長線應(yīng)變理論（第二強度理論）法國科學(xué)

7、家馬里奧（E. Mariotte） 在1682年提出最大線應(yīng)變理論，后經(jīng)修正為最 大伸長線應(yīng)變理論。這一理論認為最大伸長線應(yīng)變是引起斷裂的主要因素。即認為不 論什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大伸長線應(yīng)變 1達到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值時，材料 即發(fā)生斷裂。!的極限值既然與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，就可由單向拉伸來確定。設(shè)單向拉伸 直到斷裂仍可用虎克定律計算應(yīng)變，則拉斷時伸長線應(yīng)變的極限值應(yīng)為匚b'E。按照這一理論，任意應(yīng)力狀態(tài)下，只要J達到極限值二，材料就發(fā)生斷裂。故得斷裂準(zhǔn)則為(a)由廣義虎克定律E代入（a）得到斷裂準(zhǔn)則亍 2 :3 - ；b（ 10 3）將Cb除以安全系數(shù)得許用應(yīng)力，于是按第二強度理論

8、建立的強度條件是5 -円02中巴膽tr】（10 4）石料或混凝土等脆性材料受軸向壓縮時，如在試驗機與試塊的接觸面上加添潤滑劑，以減小摩擦力的影響，試塊將沿垂直于壓力的方向裂開。裂開的方向也就是；i的方向。鑄鐵在拉-壓二向應(yīng)力，且壓應(yīng)力較大的情況下，試驗結(jié)果也與這一理論接近。 按照這一理論，鑄鐵在二向拉伸時應(yīng)比單向拉伸安全，但試驗結(jié)果并不能證實這一點。在這種情況下，第一強度理論比較接近試驗結(jié)果。10.2.3最大切應(yīng)力理論（第三強度理論）法國科學(xué)家?guī)靷悾–.A. Coulomb）在1773年提出最大切應(yīng)力理論，這一理論認為最大切應(yīng)力是引起屈服的主要因素。即認為不論什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大切應(yīng)力Tna

9、x達到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材料就發(fā)生屈服。在單向拉伸下，當(dāng)橫截面上的拉應(yīng)力到達極限應(yīng)力二s時，與軸線成45 的斜截面上相應(yīng)的最大切應(yīng)力為Tmax 二2，此時材料出現(xiàn)屈服?？梢姸2就是導(dǎo)致屈服的最大切應(yīng)力的極限值。因這一極限值與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，故在任意應(yīng)力狀態(tài)下，只要Tnax達到匚s 2 ,就引起材料的屈服。由于對任意應(yīng)力狀態(tài)有Tnax =（門-二3）2，于是得屈服準(zhǔn)則(b)"-T"-'s2 - 2或硏一訊=CTs（ 10-5 ）將6除以安全系數(shù)得許用應(yīng)力得到按第三強度理論建立的強度條件“ 3 - 丨 （10-6）最大切應(yīng)力理論較為滿意地解釋了屈服現(xiàn)象。例如，

10、低碳鋼拉伸時沿與軸線成 45的方向出現(xiàn)滑移線，這是材料內(nèi)部沿這一方向滑移的痕跡。根據(jù)這一理論得到的屈服 準(zhǔn)則和強度條件，形式簡單，概念明確，目前廣泛應(yīng)用于機械工業(yè)中。但該理論忽略 了中間主應(yīng)力2的影響，使得在二向應(yīng)力狀態(tài)下，按這一理論所得的結(jié)果與試驗值相比偏于安全。10.2.4形狀改變比能理論（第四強度理論）意大利力學(xué)家貝爾特拉密（E . Beltrami）在1885年提出能量理論，1904年胡伯（M. T. Huber）將其修正為形狀改變比能理論。胡伯認為形狀改變比能是引起屈服的主要因素。即認為不論什么應(yīng)力狀態(tài)，只要形狀改變比能Uf達到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材料就發(fā)生屈服。單向拉伸時屈

11、服點為二s，相應(yīng)的形狀改變比能為12；-s2。這就是導(dǎo)致屈服的形狀改變比能的極限值。對任意應(yīng)力狀態(tài)，只要形狀6E '改變比能Uf達到上述極限值，便引起材料的屈服。故形狀改變比能屈服準(zhǔn)則為Uf 二 Js26E(C)在任意應(yīng)力狀態(tài)下，形狀改變必能為1十4 rU f16E代入式(c)，整理后得屈服準(zhǔn)則為-C2 2 亠亡2 -；3 2-；1 2 1將6除以安全系數(shù)得許用應(yīng)力-口2 丫 +(» -殆 f +傾 Fl f =業(yè)(10-7)1二，于是，按第四強度理論得到的強度條件為誇-CT2 2 中22 詐3f <tl(10-8)- '2 - ；3若將叼2代入式(10-7)，

12、即得到(d)式(d)是根據(jù)形狀改變比能理論建立的屈服準(zhǔn)則的另一種表達形式。由此可以看出， 這個理論在本質(zhì)上仍然認為切應(yīng)力是使材料屈服的決定性因素。鋼、銅、鋁等塑性材料的薄管試驗表明，這一理論與試驗結(jié)果相當(dāng)接近，它比第三強度理論更符合試驗結(jié)果。在純剪切的情況下，由屈服準(zhǔn)則式(10-7)得出的結(jié)果比式(10-5)的結(jié)果大15% ,這是兩者差異最大的情況?？梢园阉膫€強度理論的強度條件寫成以下的統(tǒng)一形式9)< bl(10式中G稱為相當(dāng)應(yīng)力。它是由三個主應(yīng)力按一定形式組合而成的， 實質(zhì)上是個抽象的 概念，即G是與復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)危險程度相當(dāng)?shù)膯屋S拉應(yīng)力 (圖10-2)。按照從第一強 度理論到第四強度理

13、論的順序，相當(dāng)應(yīng)力分別為:-r1 =1-(10-10)62 =；丁1 _'上2 二3:r3 二:1 _ ：3門 4 -； £ -二2 f +(CT2 f 十傾-E j "以上介紹了四種常用的強度理論。鑄鐵、石料、混凝土、玻璃等脆性材料，通常 以斷裂的形式失效，宜采用第一和第二強度理論。碳鋼、銅、鋁等塑性材料，通常以屈服的形式失效，宜采用第三和第四強度理論。圖 10 2應(yīng)該指出，不同材料固然可以發(fā)生不同形式的失效，但即使是同一材料，處于不 同應(yīng)力狀態(tài)下也可能有不同的失效形式。例如碳鋼在單向拉伸下以屈服的形式失效， 但碳鋼制成的螺紋根部因應(yīng)力集中引起三向拉伸就會出現(xiàn)斷裂

14、。又如鑄鐵單向受拉時 以斷裂的形式失效，但淬火鋼球壓在厚鑄鐵板上，接觸點附近的材料處于三向受壓狀 態(tài)，隨著壓力的增大，鑄鐵板會出現(xiàn)明顯的凹坑，這表明已出現(xiàn)屈服現(xiàn)象。無論是塑 性材料還是脆性材料，在三向拉應(yīng)力相近的情況下，都將以斷裂的形式失效，在三向 壓應(yīng)力相近的情況下，都可引起塑性變形。因此，我們把塑性材料和脆性材料理解為 材料處于塑性狀態(tài)或脆性狀態(tài)更為確切些。應(yīng)用強度理論解決實際問題的步驟是：1）分析計算構(gòu)件危險點上的應(yīng)力。2）確定危險點的主應(yīng)力 . 1、:2和;3。3）選用適當(dāng)?shù)膹姸壤碚撚嬎闫湎喈?dāng)應(yīng)力，然后運用強度條件；二進行強度計算。例10-1 由Q235鋼制蒸汽鍋爐的壁厚 t = 10

15、mm內(nèi)徑 D= 1000mm圖10-3）。蒸 汽壓力P= 3MPa160MPa試校核鍋爐的強度。解鍋爐橫截面和縱向截面上的應(yīng)力是” PD3疋13MPa =75MPa4t 4 10 10 pD2t口 3 MPa =150MPa2 10 10鍋爐壁內(nèi)一點的三個主應(yīng)力是門=150MPa，二2 =；丁 =75MPa，：二3 ： 0對Q235鋼這類塑性材料，應(yīng)運用第四強度理論。由式（10-10）得=石 05075 2 +(750 2 +(0150 2 MPa =130MPa : !I所以鍋爐滿足第四強度理論的強度條件。也可以用第三強度理論進行強度校核。由式(10-10)得汀3 =；丁1 -；3 = 15

16、0MPa : 11可見也滿足第三強度理論的強度條件。例10-2 構(gòu)件內(nèi)某危險點的應(yīng)力狀態(tài)如圖10-4所示，試按四個強度理論建立相應(yīng)的強度條件。圖 10 4解三個主應(yīng)力分別為四個強度理論的強度條件為-;-2 - 4 T<L=22 +3；<&例10-3 試按強度理論建立純剪切應(yīng)力狀態(tài)的強度條件, 應(yīng)力“與許用拉應(yīng)力I"之間的關(guān)系。并尋求塑性材料許用剪圖 10 5解 純剪切應(yīng)力狀態(tài)為二向應(yīng)力狀態(tài)，如圖10-5所示。其三個主應(yīng)力分別為:0 = T 0=0、 o = -T對塑性材料應(yīng)采用最大切應(yīng)力理論。按最大切應(yīng)力理論得 出的強度條件為o o = t(工戶 2 T 02而剪

17、切的強度條件是T- T比較上兩式可見T= = 0.52即T為0的12。這是按最大切應(yīng)力理論求得的T與 0之間的關(guān)系。如按形狀改變比能理論，則純剪切的強度條件是叼一 02 j +（02 巧 £+ （巧一叼）2j。2 +（+孑 +（ - t 小3 T 01與剪切強度條件 T T比較，得." -0.577J 1： 0.6!<3即T約為01的 0.6倍。這是按第四強度理論得到的T與01之間的關(guān)系。它與實驗結(jié)果比較接近。10-1從低碳鋼零件中某點取出一單元體，其應(yīng)力狀態(tài)如圖所示， 試按第三和第四強度理論計算單元體的相當(dāng)應(yīng)力。單元體上的應(yīng)力為（單位：MPa）(1)-40，二.90

18、 = 40 ,：. -60。=60，:會90=,. ：. = 40。；?。? =50, ；- . 90 =0. =80。- /0，二 90、=50，： =0。題10-1圖10-2上題中若材料為鑄鐵，試按第一和第二強度理論計算單元體的相當(dāng)應(yīng)力， "=0.3。10-3試對鋁合金（塑性材料）零件進行強度校核，已知l- .l-120MPa。危險點的主應(yīng)力為（單位：MPa（1） ；1 =80，;2 =70， c 3 = 40。（2） -1 =0，匚2 =30，：3 =一100。（3 ） 門-50，-2 - -70 ,二 3 - -160。（4 ） 門=140，二2 =140,二3 =110。10-4 試對鑄鐵零件進行強度校核，已知許用拉應(yīng)力匕l(fā)-30MPa，-0.3。危險點的主應(yīng)力為（單位：MPa）（1） ；=30，:2 =20，:3 T5。（2） ”_t =29，”_，2 =20，=3 - -20。