(完整版)高一：零點(diǎn)問題的解題方法

1、課題談函數(shù)與方程(零點(diǎn)問題)的解題方法解題技能篇21從近幾年高考試題看，函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根的問題是高考的熱點(diǎn)，題型主要以選擇題、填空題為主，難度中等及以上主要考查轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合及函數(shù)與方程的思想.知舊襦窿(1) 函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)y= f(x) (x D)，把使f(x)= 0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù) 尸f(x) (x D)的零點(diǎn).(2) 零點(diǎn)存在性定理(函數(shù)零點(diǎn)的判定)若函數(shù)y= f(x)在閉區(qū)間a, b上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反，即f(a) f(b)v 0,則在區(qū)間(a, b)內(nèi)，函數(shù)y= f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)方程f(x) = 0在區(qū)間(a, b)內(nèi)

2、至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解.也可以說：如果函數(shù)y= f(x)在區(qū)間a, b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 f(a) f(b) v 0,那么，函數(shù)y= f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在 c (a, b),使得f(c) = 0,這個(gè)c也就是方程f(x)= 0的根.提醒此定理只能判斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(3) 幾個(gè)等價(jià)關(guān)系函數(shù)y= f(x)有零點(diǎn)？方程f(x) = 0有實(shí)數(shù)根？函數(shù)y= f(x)的圖象與函數(shù)y= 0(即x軸)有交點(diǎn).推廣：函數(shù)y= f(x)-g(x)有零點(diǎn)？方程f(x) g(x)= 0有實(shí)數(shù)根？函數(shù)y= f(x)-g(x)的圖象與y= 0(即 x軸)有交點(diǎn).推廣的變

3、形：函數(shù)y= f(x) - g(x)有零點(diǎn)？ 方程f(x) = g(x)有實(shí)數(shù)根？函數(shù)y= f(x)的圖象與y= g(x)有交點(diǎn).»問制禺考1 .函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)y = f(x)與 x軸的交點(diǎn)嗎？是否任意函數(shù)都有零點(diǎn)？提示：函數(shù)的零點(diǎn)不是函數(shù)y= f(x)與 x軸的交點(diǎn)，而是y= f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也就是說函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù)；并非任意函數(shù)都有零點(diǎn)，只有f(x) = 0有根的函數(shù)y= f(x)才有零點(diǎn).2. 若函數(shù)y= f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有零點(diǎn)，一定有 f(a) f(b)<0嗎? 提示：不一定，如圖所示，f(a) f(b)>0 .y= f

4、(x)在(a, b)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)嗎?3. 若函數(shù)y= f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)，有f(a) f(b)<0成立，那么提示：不一定，可能有多個(gè).二次函數(shù)y= ax2 + bx+ c (a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系= b2- 4ac> 0= 0V 0二次函數(shù) r /1y= ax2 + bx+ cV 7(a > 0)的圖象rar與x軸的交點(diǎn)（X1, 0） , （x2, 0）（X1, 0）無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)210對(duì)于日后的考試中仍以考查函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根和兩函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)的等價(jià)轉(zhuǎn)化為主要考點(diǎn)，涉及題目的主要考向有：1 函數(shù)零點(diǎn)的求解與所在區(qū)間的判斷；2判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；3

5、利用函數(shù)的零點(diǎn)求解參數(shù)及取值范圍.冏倒刮斫考向一、函數(shù)零點(diǎn)的求解與所在區(qū)間的判斷1 (2015溫州十校聯(lián)考)設(shè)f(x)= In x+ x-2,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A (0, 1)B. (1, 2)C (2, 3)D. (3, 4)【解析】法一 ：/ f(1) = In 1 + 1-2=- 1v 0, f(2) = In 2> 0, a f(1) f(2) v 0,v 函數(shù) f(x) = In x+ x-2的圖象是連續(xù)的，a函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1, 2) 法二：函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)= ln x, h(x)= x+ 2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在

6、的范圍，如圖所示，可知f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1, 2) 【答案】B2 (2015西安五校聯(lián)考)函數(shù)y= ln(x+ 1)與y=1的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在區(qū)間為()xA (0, 1)B(1, 2)C (2, 3)D. (3, 4)1 1【解析】函數(shù)y= ln(x+ 1)與y= 一的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為函數(shù)f(x) = ln(x+ 1)-的零點(diǎn)，/ f(x)在(0,xx1+ s上為增函數(shù)，且f(1) = In 2 1 v 0, f(2) = In 3 q > 0,.f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(1, 2).【答案】B3 .函數(shù)f(x) = 3x 7 + In x的零點(diǎn)位于區(qū)間(n, n +

7、 1)(n N)內(nèi)，貝U n =.【解析】求函數(shù)f(x)= 3x 7+ In x的零點(diǎn)，可以大致估算兩個(gè)相鄰自然數(shù)的函數(shù)值，如f(2) = 1 + In 2 ,由于In 2 v In e = 1，所以f(2) v 0, f(3) = 2+ In 3，由于In 3 > 1,所以f(3) > 0，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(2, 3)內(nèi)，故 n= 2.【答案】24. (2015 長(zhǎng)沙模擬)若 av bv c,則函數(shù) f(x)= (x a)(x b)+ (x b)(x c) + (x c)(x a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A . (a,b)和(b, c)內(nèi)B.( g, a)和(a,

8、 b)內(nèi)C. (b,c)和(c,+ )內(nèi)D.( g, a)和(c,+g )內(nèi)【解析】本題考查零點(diǎn)的存在性定理.依題意得f(a) = (a b)(a c)> 0, f(b)= (b c)(b a) v 0, f(c)=(c b)(c a) >0,因此由零點(diǎn)的存在性定理知f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(a, b)和(b, c)內(nèi).【答案】A5. (2014高考湖北卷)已知f(x)是定義在 R上的奇函數(shù)，當(dāng) x> 0時(shí)，f(x)= x2 3x,則函數(shù)g(x) = f(x) x+ 3的零點(diǎn)的集合為()A . 1 , 3B. 3, 1, 1, 3C. 2 .；7, 1, 3D. 2 7, 1,

9、 3【解析】令 xv 0,則一x>0,所以 f(x) = f( x)= ( x)2 3( x) = x2 3x.求函數(shù) g(x)= f(x) x+ 3的零點(diǎn)等價(jià)于求方程f(x) = 3 + x的解.當(dāng)x> 0時(shí)，x2 3x= 3+x,解得X1= 3, X2= 1;當(dāng)xv 0時(shí)，x2 3x = 3 + x,解得 X3 = 2 7.【答案】D=方花技 15= = =確定函數(shù)f(x)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法(1)解方程法：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程f(x) = 0易解時(shí)，可先解方程，再看解得的根是否落在給定區(qū)間上.利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：首先看函數(shù)y= f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a

10、) f(b)v 0.若有，則函數(shù) y= f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)必有零點(diǎn).(3)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.講練結(jié)呂1 .已知函數(shù)f(x)= x log2x,在下列區(qū)間中，包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是()A . (0, 1)B. (1 , 2)C. (2, 4)D. (4,+ )3i【解析】 因?yàn)?f(1) = 6- log2l = 6 > 0, f(2)= 3 log22= 2> 0, f(4)=一log24 =- < 0，所以函數(shù) f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(2, 4).【答案】C2.方程Iog3x+ x= 3的根所在的區(qū)間為()

11、A . (0，1)B . (1，2)C. (2，3)D . (3，4)【解析】法一：方程Iog3x+ x= 3的根即是函數(shù)f(x)= Iog3x+ x 3的零點(diǎn)，由于f(2) = Iog32+ 2 3 = Iog32-1<0 , f(3) = Iog33 + 3 3= 1>0 且函數(shù) f(x)在(0, +)上為單調(diào)增函數(shù).函數(shù)f(x)的零點(diǎn)即方程Iog3x+ x= 3的根所在區(qū)間為(2, 3).法二：方程Iog3x+ x= 3的根所在區(qū)間即是函數(shù)yi = Iog3x與y2= 3-x交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在區(qū)間，兩函數(shù)圖象如圖所示由圖知方程Iog3x + x= 3的根所在區(qū)間為(2, 3).【

12、答案】C3. (2015武漢調(diào)研)設(shè)ai, a2, a3均為正數(shù)，乃v ?2<甩，則函數(shù)f(x) =- +-+-的兩個(gè)零點(diǎn)x- ?1 X蘢 X入分別位于區(qū)間()A . ( a, 町和(心 勸內(nèi)B.(入，Q和(22,砂內(nèi)C .(尼，啟)和(啟，+a )內(nèi)D. ( a, 町和(2,+)內(nèi)【解析】本題考查函數(shù)與方程.利用零點(diǎn)存在定理求解.當(dāng)x (入，2)時(shí)，函數(shù)圖象連續(xù)，且 XT 2,f(x) + a , xt 2, f(X)Ta，所以函數(shù)f(x)在(2, 2)上 一定存在零點(diǎn)；同理當(dāng) x (2, 2)時(shí)，函數(shù)圖象 連續(xù)，且XT 2, f(x)T + a , XT 2, f(x)T a，所以函

13、數(shù)f(x)在(2, 2)上一定存在零點(diǎn)，故選 B .【答案】B曲倒剛斷考向二、判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)X 2, x>0,1. 已知函數(shù) f(x)=°滿足 f(0) = 1，且 f(0) + 2f( 1) = 0,那么函數(shù) g(x)= f(x) + x 的x2 + bx+ c, x< 0零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.1 1【解析】-.1(0) = 1,.c= 1，又 f(0) + 2f( 1) = 0,( 1) = 1 b+ 1 = 2,.b=-.當(dāng) x>0 時(shí)，3ig(x) = 2x 2= 0 有唯一解 x = 1 ;當(dāng) x< 0 時(shí)，g(x) = x2 + 十+ 1，令 g(x)=

14、0 得 x=或 x= 2(舍去),綜上可知，g(x) = f(x) + x有2個(gè)零點(diǎn).【答案】2(2013高考天津卷)函數(shù)f(x)= 2x|logo.5x| 1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()B.D.4【解析】設(shè)g(x) =|logo.5x|, h(x)= 2 x,在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù) g(x), h(x)的圖象，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)圖象一定有2個(gè)交點(diǎn)，因此函數(shù) f(x)有2個(gè)零點(diǎn).【答案】B2 |x|, x w 2,3. (2015高考天津卷)已知函數(shù)f(x) =22 函數(shù)g(x) = 3 f(2 x)，則函數(shù)y= f(x) g(x)x 2 , x> 2,的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為B. 3D. 5【解析】分別畫出

15、函數(shù)f(x), g(x)的草圖，觀察發(fā)現(xiàn)有2個(gè)交點(diǎn).【答案】4. 若定義在 R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+ 2) = f(x),且當(dāng)x 0 , 1時(shí)，f(x)= x,則函數(shù)y = f(x) Iog3|x| 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.【解析】由題意知，f(x)是周期為2的偶函數(shù).在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù) y= f(x)及y= Iog3|x|的圖象,如下：觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)y= f(x) Iog3|x|有4個(gè)零點(diǎn).【答案】4方花 15= = =判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1) 解方程法：令f(x)= 0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間a，b上

16、是連續(xù)不斷的曲線，且f(a) f(b)v 0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)或零點(diǎn)值所具有的性質(zhì).(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)， 其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).講練纟舌呂1. (2015淄博期末)函數(shù)f(x) = x-In(x+ 1) 1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 .【解析】函數(shù)f(x) = x In(x+ 1) 1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為函數(shù) y= In(x+ 1)與y= x 1圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).在 同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出函數(shù)y= In(x+ 1)與y= x 1的圖象，如圖，由圖可

17、知函數(shù)f(x) = x In (x+ 1) 1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.【答案】2Ig x, x>0,2. 若定義在 R上的函數(shù) f(x)滿足 f(x+ 2)= f(x)，且 x 1,1時(shí)，f(x) = 1 x2,函數(shù) g(x)=-,x<0,則方程f(x) g(x)= 0在區(qū)間5, 5上的解的個(gè)數(shù)為B. 7D. 10【解析】依題意得，函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)，在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y= f(x)與函數(shù)y= g(x)的圖象,結(jié)合圖象得，當(dāng)x 5, 5時(shí)，它們的圖象的公共點(diǎn)共有8個(gè)，即方程f(x) g(x) = 0在區(qū)間5, 5上的解的個(gè)數(shù)為 8.【答案】C題里分斫考向三、利用函數(shù)的零點(diǎn)求

18、解參數(shù)及取值范圍1. (2014 肥檢測(cè))若函數(shù)f(x)= ax2 X 1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值為()A . 0B. 141C . 0 或4D. 2【解析】當(dāng)a= 0時(shí)，函數(shù)f(x)= x 1為一次函數(shù)，則一1是函數(shù)的零點(diǎn)，即函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，函數(shù)f(x) = ax2 x 1為二次函數(shù)，并且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則一元二次方程ax2 x 1 = 0有兩個(gè)相1 1等實(shí)根. = 1 + 4a= 0，解得a= 4.綜上，當(dāng)a= 0或a =玄時(shí)，函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn).【答案】C2 .(2014洛陽模擬)已知方程lx2 a| x+ 2= 0(a> 0)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，貝U實(shí)數(shù)a的取值范圍

19、是()A . (0, 4)B. (4,+ )C . (0, 2)D. (2 ,+s )【解析】 依題意，知方程x2 a| = x 2有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y=x2 a|的圖象與函數(shù)y= x 2的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn).如圖，則,'a> 2A .恒為負(fù)C .恒為正【解析】在同一坐標(biāo)系中作出f(x1)v 0.【答案】B1 ,3. 已知函數(shù)f(x)= Iog2x 3 x，若實(shí)數(shù)X0是方程f(x) = 0的解，且0<X1<X0,貝U f(x1)的值為()B.等于零D.不小于零【答案】A4. (2014高考江蘇卷)已知f(x)是定1義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)x 0,3)時(shí)，f

20、(x)= x2 2x+若-H-函數(shù)y= f(x) a在區(qū)間3, 4上有10個(gè)零點(diǎn)(互不相同)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是1 1【解析】當(dāng)x 0 , 3)時(shí)，f(x)= x2 2x+ 2 = x 1 2 2，由f(x)是周期為3的函數(shù)，作出f(x)在3，4上的圖象，如圖.函數(shù)y= f(x) a在區(qū)間3,y= f(x),x 3, 4與 y= a 的圖10 v a v 2時(shí)滿足題意.象有10個(gè)不同交點(diǎn)，在坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖，可知當(dāng)【答案】0, 15. (2015湖北八校聯(lián)考)已知x R，符號(hào)x表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù) f(x)=兇a(x豐0)有且x僅有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值

21、范圍是()34433443A .4，5U3,2B.4,5U3,212531253C.2，3U4,2D.2,3U42【解析】 當(dāng) 0v xv 1 時(shí)，f(x)=嚴(yán)a= a;當(dāng) K xv 2 時(shí)，f(x) =號(hào)a =1 a ;當(dāng) 2< xv 3 時(shí)，f(x) =兇a= 2 a;.f(x) =兇a的圖象是把y =區(qū)的圖象進(jìn)行縱向平移而得到的，畫出丫=因的圖象，x xxxx3 443如圖所示，通過數(shù)形結(jié)合可知a-U-.4 53272-4 -3 -2 -1 01 23 4 5 *【答案】A=方花技 15= = =已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)取值范圍常用的方法：(1) 直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)

22、建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.(2) 分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.(3) 數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.由練結(jié)呂2 1, xw 1,1 . (2015萊蕪一模)已知函數(shù)f(x)=貝V函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為()1 + lOg2X, X>1 ,1A 2，0B 2, 01C 2D. 01【解析】 當(dāng) x< 1 時(shí)，由 f(x)= 2X 1 = 0，解得 x= 0;當(dāng) x> 1 時(shí)，由 f(x) = 1 + log2x= 0,解得 x= ,又因?yàn)閤> 1，所以此時(shí)方程無解綜上，函

23、數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有0.【解析】D2 .已知函數(shù)2x 1, x> 0, f(x)= x2 2x, xw0,若函數(shù)g(x)= f(x) m有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是2* 1, x > 0,【解析】畫出f(x)=的圖象，如圖x2 2x, xw 0由函數(shù)g(x) = f(x) m有3個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖象得：0 v mv 1，即m (0, 1).【答案】(0, 1)2 a, xw 0,3.已知函數(shù)f(x)= 2有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 .x2 3ax+ a, x>0【解析】要使函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則當(dāng)xw 0時(shí)，方程2x a= 0,即2x= a必有一根，

24、此時(shí)0v aw 1；當(dāng)x>0時(shí)，方程x2 3ax+ a= 0有兩個(gè)不等實(shí)根，即方程x2 3ax+ a = 0有2個(gè)不等正實(shí)根，于= 9a2 4a> 0,4丄4是 3a> 0,/-a> 9,故 9v aw 1.a> 0,4【答案】4，1知識(shí)拓雇必記結(jié)論有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論(1) 若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，貝yf(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).(2) 連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào).(3) 連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào).=勤 no 練司=1. (2015高考安徽卷)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是()A

25、 . y= cos xB. y= sin xC. y= In xD. y= x2 + 1【解析】y= cos x是偶函數(shù)，且存在零點(diǎn)； y= sin x是奇函數(shù)；y= In x既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)；y=x2 + 1是偶函數(shù)，但不存在零點(diǎn).【答案】A22. 函數(shù)f(x) = 2x- a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1, 2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()xA . (1 , 3)B. (1, 2)C. (0, 3)D. (0, 2)【解析】 由題意知 f(1) f(2) v 0,即 a(a 3)v0,.0v av 3.【答案】C13. (2016東城期末)函數(shù)f(x) = ex+ x 2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(

26、)B.，1, 1)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，所以f( 1) f(1) v 0,即(5a 1)(a+ 1)>0,解得 av 1 或 a>5【答案】B5. f(x)是 R 上的偶函數(shù)，f(x + 2) = f(x)，當(dāng) 0< xw 1 時(shí)，f(x)= x2,則函數(shù) y= f(x) |log5x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( )A . 4B . 5C. 8D . 10【解析】由零點(diǎn)的定義可得f(x) = |log5x|，兩個(gè)函數(shù)圖象如圖，總共有5個(gè)交點(diǎn)，所以共有5個(gè)零點(diǎn).C. (1 , 2)D. (2, 3)17731【解析】Tf 2 4<近4V 0, f(1) = e 3>0,.零點(diǎn)在區(qū)間2

27、，1 上.【答案】B4. (2014昆明三中、玉溪一中統(tǒng)考)若函數(shù)f(x) = 3ax+ 1 2a在區(qū)間(1, 1)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()11A .-,+m5B. ( m, 1) U ,+5C 11C.', 5D. ( m, 1)【解析】當(dāng)a= 0時(shí)，f(x)= 1與x軸無交點(diǎn)，不合題意，所以0;函數(shù)f(x)= 3ax+ 1 2a在區(qū)間(【答案】B6. (2014開封模擬)偶函數(shù)f(x)滿足f(x 1) = f(x+ 1)，且當(dāng)x 0 , 1時(shí)，f(x) = - x + 1,則關(guān)于x的方程f(x) = lg(x+ 1)在x 0 , 9上解的個(gè)數(shù)是()A . 7B . 8C

28、 . 9D . 10【解析】 依題意得f(x+ 2) = f(x)，所以函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=f(x)的圖象與y= lg(x+ 1)的圖象(如圖所示),1yWWKT7L 231 567S91Q *觀察圖象可知，這兩個(gè)函數(shù)的圖像在區(qū)間0, 9上的公共點(diǎn)共有 9個(gè)，因此，當(dāng)x 0 , 9時(shí)，方程f(x) =lg(x+ 1)的解的個(gè)數(shù)是 9.【答案】C7. (2014 南寧模擬)已知函數(shù) f(x)= In x+ 3x 8 的零點(diǎn) X0 a, b，且 b a= 1, a, b N*，貝V a+ b=【解析】-1(2) = ln 2 + 6 8= ln 2 2<

29、;0 , f(3) = ln 3 + 9 8= ln 3 + 1>0，且函數(shù) f(x) = ln x+ 3x 8 在(0, + s)上為增函數(shù)， X0 2 , 3 ,即卩 a= 2, b= 3.：a + b = 5.【答案】58. 已知函數(shù) y= f(x) (x R)滿足 f( x + 2) = f( x)，當(dāng) x 1, 1時(shí)，f(x)=|x|,則 y= f(x)與 y= Iog7x 的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.【解析】因?yàn)閒( x+ 2)= f( x)，所以y= f(x)為周期函數(shù)，其周期為2.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y= f(x)和 y= log7x的圖象如圖，or5710X當(dāng) x = 7

30、時(shí)，f(7) = 1, log77= 1,故 y= f(x)與 y = log7x共有 6 個(gè)交點(diǎn).【答案】69. 若函數(shù) y = f(x)(x R)滿足 f(x+ 2) = f(x)且 x 1, 1時(shí)，f(x)= 1 x2；函數(shù) g(x) = lg|x|,則函數(shù) y=f(x)與y= g(x)的圖象在區(qū)間5, 5內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)共有 個(gè).【解析】函數(shù)y= f(x)以 2為周期，y = g(x)是偶函數(shù)，畫出圖象可知有8個(gè)交點(diǎn).y1-5 -4 -3 -2 -心12345 i【答案】8X3, xW a,10. (2015高考湖南卷)已知函數(shù)f(x) = 2若存在實(shí)數(shù)b,使函數(shù)g(x)= f(x) b有

31、兩個(gè)零點(diǎn)，x相等的實(shí)根時(shí)，k的范圍為 2 1 .【答案】B2.若函數(shù)f(x) = ax x a(a>0且a 1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是() 1A . (2,+a ) B .0, 2C. (1 ,+a ) D . (0, 1)【解析】函數(shù)f(x)= axx a(a> 0且a豐1)有兩個(gè)零點(diǎn)，就是函數(shù)y= ax(a> 0且a工1)與函數(shù)y = x+ a(a>0且a工1)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖1知，當(dāng)0v av 1時(shí)，兩函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；由圖2知，當(dāng)a> 1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)y= ax(a> 1)的圖象與y軸交于點(diǎn)(0, 1)，而直線y=

32、x+ a與y軸的交點(diǎn)一定 在點(diǎn)(0, 1)的上方，所以兩函數(shù)的圖象一定有兩個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a> 1.，x> a.則a的取值范圍是.【解析】令 *) = x3(x< a), h(x) = x2(x>a),函數(shù)g(x)= f(x) b有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y = f(x)的圖象與直線y= b有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象(圖略)可得av 0或©(a) > h(a),即av 0或a3>a2,解得av 0或a> 1，故a (汽 0) U (1 , + a).【答案】(3 0) U (1,+ )能力原示1. (2014高考山東卷)已知函數(shù)f(x)= |

33、x 2|+ 1, g(x)= kx.若方程f(x) = g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則 實(shí)數(shù)k的取值范圍是()1 1 ,A . 0, 2B . 2,1C. (1 , 2)D . (2 ,+a )【解析】先作出函數(shù)f(x) = |x 2|+ 1的圖象，如圖所示，77、L.JirJ I*A624一 1當(dāng)直線g(x) = kx與直線AB平行時(shí)斜率為1,當(dāng)直線g(x) = kx過A點(diǎn)時(shí)斜率為,故f(x) = g(x)有兩個(gè)不【答案】C3. (2015高考天津卷)已知函數(shù)f(x)=2- |x|, x<2,x-2 2, x>2,函數(shù)g(x)= b-f(2 x),其中b R.若函數(shù)y=f(x)

34、g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍是()777a . 4,+mb. m, 4c. o, 44'【解析】函數(shù)y = f(x) g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)，即方程f(x) g(x) = 0，即b= f(x) + f(2 x)有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即直線y = b與函 數(shù)y = f(x) + f(2 x)的圖象有4個(gè)不 同的交點(diǎn).又y = f(x) + f(2 x)=x2+ x+ 2, xv 0,2, 0< x< 2,x2 5x+ 8, x>2,作出該函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可得，當(dāng) 4v bv2時(shí)，直線y= b與函數(shù)y= f(x)+ f(2 x)有4個(gè)交點(diǎn).【答案】D14. 已

35、知函數(shù)f(x)滿足f(x) + 1 =，當(dāng)x 0, 1時(shí)，f(x)= x,若在區(qū)間(一1,1內(nèi)，函數(shù)g(x) = f(x)f x+ 1mx m有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是()b . 2，+C0, 1D .0,【解析】當(dāng)x ( 1 , 0時(shí)，x+ 1 (0, 1.因?yàn)楹瘮?shù)f(x) + 1x1 = 即 f(x) =x+ 1Xx+ 1x1 , 0,函數(shù)g(x) = f(x) mx m在區(qū)間(一1, 1內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)x, x 0, 1.于方程f(x)= m(x + 1)在區(qū)間(1, 1內(nèi)有兩個(gè)根，令 y = m(x + 1)，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y= f(x)和y=1m(x+ 1)的部分圖象(圖略)，可知當(dāng)m 0,時(shí)，函數(shù)g(x)= f(x) mx m有兩個(gè)零點(diǎn).【答案】A|X + 5x+ 4|, x< 0,5. (2014高考天津卷)已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)y = f(x) a|x|恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)2|x 2|，x>0.a的取值范圍為.【解析】畫出函數(shù)f