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1、圭字豈網'www.gkxx.CDim第6課時直線與圓、圓與圓的位置關系基礎過關1.直線與圓的位置關系將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設它的判別式為,圓心C到直線I的距離為d, 則直線與圓的位置關系滿足以下關系: 相切二 d= r= = 02.圓與圓的位置關系設兩圓的半徑分別為 R和r(R >r)圓心距為d,則兩圓的位置關系滿足以下條件:3.外離二d > R+ r圓的切線方程圓x2 + y2= r2上一點P(X0, y。)處的切線方程為I: 圓(X a)2 + (y b)2= r2上一點p(Xq, yo)處的切線方程為I :圓Z + yJ Dx+ Ey+ F= 0上一

2、點p(x。，y。)處的切線方程為P(4, 2)X典型例題例1.過O: X2 + y2 = 2外一點P(4, 2)向圓引切線.求過點P的圓的切線方程. 若切點為Pl、P2求過切點R、P2的直線方程.解：(1)設過點P(4, 2)的切線方程為y 2 = k(x 4)即 kx y+2 4k= 0- 匕如 =72 解得k= 1或k=丄(1 +k27 切線方程為：X y 2 = 0 或 X 7y+ 10 = 0高考學習網一中國最大高考學習網站G |我們負責傳遞知識!www.gkxx.CDiim高考學習網一中國最大高考學習網站G |我們負責傳遞知識!則有 4 xi + 2yi = 24x2 + 2y2=

3、2這表明兩點都在直線4x+ 2y = 2上，由于兩點只能確定一條直線，故直線2 x+ y- 1= 0即為所求變式訓練1: (1)已知點P(1, 2)和圓C:X2 + y2 + kx + 2y + k2 = O ,過P作C的切線有兩 設切點 P 1(X1,y”、P2(X2,y2),則兩切線的方程可寫成11：X1X +y1y= 2,I2:x2x+ y2y=2l2上.因為點(4, 2)在l1和條，則k的取值范圍是()A.k Rc .普廿<0D.壬a33(2)設集合 A= (x,y)|x + y w 4,B=(x,y)|(x- 1) + (y- 1) <r(r> 0),當 AA B=

4、B時，r 的取值范圍 是 ()A.(O，邁1) B. ( O, 1 C. (O, 2 邊D. ( O,)若實數(shù)X、y滿足等式(x-2) 2+y 2=3,那么y的最大值為()XA.12(4)X2 +y2 =25截得弦長為8的直線的方程為圓心在直線x-y-4=0上，且經過兩圓X2 + y2-4x-3 = 0和x2 + y2-4y-3=0的交點的圓的方程是解：(1)D 提示：P在圓外.(2) C.提示：兩圓內切或內含.(3) D.提示：從純代數(shù)角度看，設得t的范圍。從數(shù)形結合角度看,t=，則y=tx，代入已知的二元二次方程，用>0可解Xy是圓上一點與原點連線的斜率，切線的斜率是邊界.Xx+ 2

5、y 5= 0又線段AB的中點D(| , 1), kAB= 1線段AB的垂直平分線方程為:y = X X2 + y2 -6x +2y-3=0.提示：經過兩圓交點的圓的方程可用圓系方程形式設出，其中的一個待定系數(shù)，可依據圓心在已知直線上求得.例2.求經過點A(4,- 1)，且與圓：X2 + y2+ 2x- 6y + 5= 0相切于點B(1, 2)的圓的方程.解：圓C的方程可化為(X+ 1) 2+ (y 3)2= 5圓心C(- 1, 3)，直線BC的方程為: 即 X y 2 = 02 2聯(lián)立解得x= 3, y= 1所求圓的圓心為E(3, 1)，半徑|BE| = 所求圓的方程為(X 3)2+ (y 1

6、)2= 5變式訓練2：求圓心在直線 5x-3y=8上，且與坐標軸相切圓的標準方程.解：設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓與坐標軸相切， a=±D,r= I a |又圓心(a,b)在直線5x-3y=8上.-5a-3b=8,a =比5a 3b =8 r TalF =4a =1得b =4或b =1r =4r =1所求圓的方程為：2 2(x-4) +(y-4) =16或(x-1)2 + (y+1)2= 1 .例3.已知直線l：y= k(x + 2忑)(k工與圓O: x2 + y2 = 4相交于A、B兩點，0為坐標原點. AOB 的面積為S. 試將S表示為k的函數(shù)S(k),并

7、求出它的定義域.求S(k)的最大值，并求出此時的k值解：(1)圓心O到AB的距離d=竺吐由+k2由 d<2= 1< k <1S(k)=朋禺(2)解法一 :據 (1)令 1 + k2= tk2= t 1(1< t <2)S= 4匚矜匚=4 J2 i匚二總 t2 t、 t 48<42 = 222當1 = 3即k=逅 時，等號成立. k =±1為所求. t 433解法二:1 ABD 的面積 S= -|OA|OB|sin / AOB= 2sin / AOB當/ AOB= 90°寸，S可取最大值2，此時，設 AB的中點為C. 則 OC= ¥

8、; |OA| = J2由O到直線的距離為|OC| =空2巴<1 +k2得=貶，"4變式訓練3：點P在直線2x+y+10=0上，PA PB與圓x2 + y2=4相切于A、B兩點，求四邊形PAOB面積的最小值.答案:提示:四邊形可以分成兩個全等的直角三角形，要面積最小，只要切線長最小，亦即P到圓心距離要最小.例 4.已知圓 C方程為：X2 +y2-2x4y-20= 0 ,直線 I 的方程為：(2m + 1)x + (m+ 1)y 7m4=0.(1)證明：無論 m取何值，直線I與圓C恒有兩個公共點。(2)求直線l被圓C截得的線段的最短長度，并求出此時的 m值. 提示：(1 )用點到直

9、線的距離公式，證明r2 d2>0恒成立.(2)求(1)中r2 d2的最小值，得直線l被圓C截得的線段的最短長度為 45，此時的m3值為-3 .變式訓練4：已知圓系X2 + y2 2ax +2(a2)y +2 = 0，其中1且 a R,則該圓系恒過定答案：(1, 1).胃圭字2網'www.gkxx.CDim高考學習網一中國最大高考學習網站G |我們負責傳遞知識!提示：將a取兩個特殊值，得兩個圓的方程，求其交點，必為所求的定點，故求出交點坐標后,只須再驗證即可。另一方面，我們將方程按字母a重新整理，要使得原方程對任意a都成立,只須a的系數(shù)及式中不含 a的部分同時為零.小結歸納1.處理直線與圓、圓與圓的位置關系的相關問題，有代數(shù)法和幾何法兩種方法，但用幾何法往往較簡便.2.圓的弦長公式1= 2 JR2 A2 （R表示圓的半徑，d表示弦心距）利用這一弦長公式比用一般二次曲線的弦長