直線的斜率與直線方程

1、直線的斜率與直線方程(前置作業(yè))班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào)【知識(shí)梳理】1直線的傾斜角：(1)對(duì)于與x軸相交的直線，把 x軸所在直線繞著它與直線的交點(diǎn)按照 方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)，所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角叫傾斜角；(2)對(duì)于與 x軸平行或重合的直線，規(guī)定傾斜角為 。傾斜角的取值范圍是.2. 直線的斜率：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角:的值叫做這條直線的斜率常用k表示，即 k =，其取值范圍是 .傾斜角是 90的直線沒有.3. 求直線斜率的方法 定義法：已知直線的傾斜角為:-,當(dāng)二+90°時(shí)，k與的關(guān)系是； ? =90°時(shí),直線斜率. 公式法：已知直線過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2

2、)，且，則斜率k=. 方程法：已知直線方程 Ax+By+C=0(A,B 不同時(shí)為0),當(dāng)B豐0時(shí)，k=;當(dāng)B=0時(shí),k平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一條直線都有 ，但不是每一條直線都有 4直線方程的五種形式：名稱方程適用范圍斜截式點(diǎn)斜式兩點(diǎn)式截距式一般式5.幾種特殊直線的方程：過(guò)點(diǎn)P(a,b)垂直于x軸的直線方程為 ;特別地，y軸所在的直線方程為 過(guò)點(diǎn)P(a,b)垂直于y軸的直線方程為 ;特別地，x軸所在的直線方程為 已知直線的縱截距為 b且斜率是k的直線方程可設(shè)為. 已知直線的橫截距為a且斜率是k的直線方程可設(shè)為 . 過(guò)原點(diǎn)且斜率是 k的直線方程為.【自主檢測(cè)】1 若直線h的傾斜角為120 ，則h的斜

3、率是 ，若直線12的斜率為，則12的傾斜3角是,經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)C.3.,2)、-.2, 3)的直線的斜率是 ,傾斜角是.2. 若直線I的方程是(m -2m-3)x (2m m-1)y = m 5(m R)，其傾斜角為45 ，貝 U m =.n3. 直線xtan +y=0的傾斜角是、74. 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)，且斜率為- .3的直線I的點(diǎn)斜式方程是 ，斜截式方程是，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(一1,8)和(4,-2)的直線1的兩點(diǎn)式方程是 ,截距式方程是，一般式方程是.5. 根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式：1(1)斜率是一，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A ( 8, - 2) ;(2) 經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4,2 ),平行于x軸；23(3)

4、在x軸和y軸上的截距分別是 ->-3; (4)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)R(3,-2),P2(5,-4).26. 下列說(shuō)法中正確的有 . 4)1) 過(guò)點(diǎn)P(1,-2)的直線方程可設(shè)為y 2 = k(x-1)2) 若直線I在兩軸上的截距相等，則其方程可以設(shè)為- -1(= 0)a a13) 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(a,2), Q(b,1)的直線的斜率為k =a b4) 如果AC<0 , BC>0那么直線Ax By 0不通過(guò)第二象限直線的斜率【復(fù)習(xí)目標(biāo) 】：1. 了解確定直線位置的幾何要素，對(duì)直線的傾斜角，斜率的概念要理解，能 牢記過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式并掌握斜率公式的推導(dǎo)， 了解直線的傾斜角的范圍， 理解直線的斜率

5、 和傾斜角之間的關(guān)系，能根據(jù)直線的傾斜角求出直線的斜率。2. 掌握直線方程的幾何形式的特點(diǎn)與適用范圍；能根據(jù)問(wèn)題的具體條件選擇恰 當(dāng)?shù)男问角笾本€的方程；了解直線方程的斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】 ：1、在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素。2、理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式。3、在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素；4、掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾何形式，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān) 系。【典型例題 】【例1】直線I過(guò)點(diǎn)M ( 1,1),且與以P (2, 2), Q (3, 3)為兩端點(diǎn)的線段 PQ有公共

6、 點(diǎn)，求直線 l 的斜率的取值范圍方法提煉：【例 2】已知點(diǎn) A(3, 4),求經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程方法提煉：【例3】設(shè)直線I的方程為(a+ 1)x + y+ 2 a = 0(a R).(1 )若I在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求I的方程，(2)若I不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.方法提煉：【例4】直線丨經(jīng)過(guò)點(diǎn)P (-5, -4),且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5,求直線I的方程。方法提煉：【例5】過(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線I交兩坐標(biāo)軸的正半軸于 A、B兩點(diǎn)，求使：(1) ZAOB面積最小時(shí)L的方程.(2) PA PB最小時(shí)I的方程.9課后作業(yè)班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào)1如圖的四條直線

7、I 1、I 2、| 3、l 4的斜率分別為kl, k2, k3, k4,則kl,k2, k3， k4由小到大的排列順序?yàn)?直線y繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°，求所得直線的傾斜角和斜率。3 已知直線y二kx b滿足k - b =1，則該直線過(guò)定點(diǎn) 4 直線kx y 0和以M(-2,1)N(3,為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍.5過(guò)點(diǎn)(3, 1),且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程是 6. (1)不論k取何值，直線I:kx-y-kT=0恒過(guò)定點(diǎn)(2)若p,q滿足p 2q =1，直線px+3y+ q =0恒過(guò)定點(diǎn) 7. 過(guò)兩點(diǎn)（一1, 1）和（3, 9）的直線在x軸上的截距是 &直

8、線xtan V 2 =0的傾斜角:是39.直線xcosv .3y-2 =0的傾斜角的范圍是 10. 一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn) P（3, 2），并且分別滿足下列條件，求直線方程：（1）傾斜角是直線x 4y+3=0的傾斜角的2倍；（2） 與x、y軸的正半軸交于 A、B兩點(diǎn)，且 AOB的面積最?。∣為坐標(biāo)原點(diǎn)）直線的斜率與直線方程（前置作業(yè)）班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào)【知識(shí)梳理】1直線的傾斜角：（1）對(duì)于與x軸相交的直線，把 x軸所在直線繞著它與直線的交點(diǎn)按照 方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)，所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角叫傾斜角；（2）對(duì)于與 x軸平行或重合的直線，規(guī)定傾斜角為 。傾斜角的取值范圍是.2. 直線的斜率：傾斜角不是90的直線

9、，它的傾斜角:的值叫做這條直線的斜率常用k表示，即 k =，其取值范圍是 .傾斜角是 90的直線沒有.3. 求直線斜率的方法 定義法：已知直線的傾斜角為：，當(dāng):-900時(shí)，k與的關(guān)系是； :, -900時(shí),直線斜率. 公式法：已知直線過(guò)兩點(diǎn)R（Xi,yi）,P2（X2,y2），且xi=X2，則斜率k=. 方程法：已知直線方程 Ax+By+C=0（A,B 不同時(shí)為0）,當(dāng)B豐0時(shí)，k=;當(dāng)B=0時(shí),k平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一條直線都有 ，但不是每一條直線都有 3直線方程的五種形式：名稱方程適用范圍斜截式點(diǎn)斜式兩點(diǎn)式截距式一般式3 .幾種特殊直線的方程：過(guò)點(diǎn)P（a,b）垂直于x軸的直線方程為 ;特別

10、地，y軸所在的直線方程為 過(guò)點(diǎn)P（a,b）垂直于y軸的直線方程為 ;特別地，x軸所在的直線方程為 已知直線的縱截距為 b且斜率是k的直線方程可設(shè)為. 已知直線的橫截距為a且斜率是k的直線方程可設(shè)為 .過(guò)原點(diǎn)且斜率是 k的直線方程為.【自主檢測(cè)】731 若直線ll的傾斜角為120，則li的斜率是，若直線12的斜率為，則12的傾斜3角是，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)C.3 .,2)、3)的直線的斜率是 ，傾斜角是.-3 ，30，-1， 1352 2 。2. 若直線I的方程是(m -2m -3)x (2m- m - 1)y =m - 5(m R)，其傾斜角為45 ，貝 U m =.43n3. 直線xtan +y=0的傾

11、斜角是76n74. 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)，且斜率為- 3的直線I的點(diǎn)斜式方程是 ，斜截式方程是，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(-1,8)和(4,-2)的直線1的兩點(diǎn)式方程是 ,截距式方程是，一般式方程是.y -1 - - 3(x -2) , -3x1 2 3 ,1, 2x y 6 = 0.28 4+13-65. 根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式：1(1)斜率是，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A ( 8, - 2) ;(2) 經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4,2 ),平行于x軸；23(3)在x軸和y軸上的截距分別是 空、一3； (4)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)R(3,2),P2(5,-4).21(1) 由點(diǎn)斜式得y -(-2)(x-8)2化成一般式得x 2y - 4

12、=0(2) 由斜截式得y = 2，化成一般式得 y 2 = 0(3) 由截距式得 x1，化成一般式得2x - y - 3 = 03-32y 2 x - 3(4) 由兩點(diǎn)式得，化成一般式得 x y -1 =0_4_(-2)5_36. 下列說(shuō)法中正確的有 . 4)1)過(guò)點(diǎn)P(1,-2)的直線方程可設(shè)為 y 2二k(x -1)2) 若直線I在兩軸上的截距相等，則其方程可以設(shè)為 -=1(-0)a a13) 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(a,2)，Q(b,1)的直線的斜率為k =a b4) 如果AC<0, BC>0那么直線Ax By 0不通過(guò)第二象限直線的斜率【復(fù)習(xí)目標(biāo)】：1. 了解確定直線位置的幾何要素，對(duì)

13、直線的傾斜角，斜率的概念要理解，能 牢記過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式并掌握斜率公式的推導(dǎo)，了解直線的傾斜角的范圍，理解直線的斜率和傾斜角之間的關(guān)系，能根據(jù)直線的傾斜角求出直線的斜率。2. 掌握直線方程的幾何形式的特點(diǎn)與適用范圍；能根據(jù)問(wèn)題的具體條件選擇恰當(dāng)?shù)男问角笾本€的方程；了解直線方程的斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】：1、在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素。2、理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式。3、在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素；4、掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾何形式，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān) 系?！镜湫屠?/p>

14、題】【例1】直線I過(guò)點(diǎn)M ( 1, 1),且與以P (2, 2), Q (3, 3)為兩端點(diǎn)的線段 PQ有公共 點(diǎn)，求直線I的斜率的取值范圍.U3 2【例2】已知點(diǎn)A (3, 4),求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程.4x -3y =0,x y -7 =0方法提煉:【例3】設(shè)直線l的方程為(a+ 1)x + y+ 2 a = 0(a R).(1 )若I在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求I的方程，(2)若I不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.(1)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，該直線在x軸和y軸上的截距為零， a = 2，方程即為3x+ y= 0. v當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由截距存在且均不為a 2,即卩 a+

15、1 = 1 , a = 0,方程即為x+ y + 2= 0.解法一：將I的方程化為y= (a+ 1)x+ a 2,a+ a+l =0,或 a< 1.a2<0a2W0綜上可知a的取值范圍是a1 解法二：將 I 的方程化為(x + y+ 2) + a(x 1)= 0(a R).它表示過(guò)l1： x+ y+ 2 = 0與l2： x 1 = 0的交點(diǎn)(1 , 3)的直線系(不包括x= 1).由圖象可知I的斜率為一(a+ 1) >0即當(dāng)a< 1時(shí)，直線I不經(jīng)過(guò)第二象限.方法提煉:【例4】直線丨經(jīng)過(guò)點(diǎn)P (-5, -4),且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5,求直線I的方程。例3.直線I

16、經(jīng)過(guò)點(diǎn)P (-5, -4),且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5,求直線I的方程。解析：設(shè)所求直線1的方程為，-5-4直線 I 過(guò)點(diǎn) P (-5 , -4),1 ,即 4a 5b - -ab。a b1又由已知有一 a|b =5,即ab =10,2解方程組4a +5b = -abab = 10得:2或：兀2b= -2故所求直線i的方程為：y = 1,或x 1。545-22即 8x -5y 20 = 0 ,或 2x -5y -10 =0點(diǎn)評(píng)：要求I的方程，須先求截距 a、b的值，而求截距的方法也有三種：(1) 從點(diǎn)的坐標(biāo) a , 0或0 , b中直接觀察出來(lái)；(2) 由斜截式或截距式方程確定截距；(3

17、) 在其他形式的直線方程中，令 x = 0得y軸上的截距b；令y = 0得出x軸上的截 距a。方法提煉：【例5】過(guò)點(diǎn)P（2,1）的直線I交兩坐標(biāo)軸的正半軸于 A、B兩點(diǎn)，求使：（1） AAOB面積最小時(shí)L的方程.（2） PA PB最小時(shí)I的方程.【例4】方法一 設(shè)直線的方程為-2 =1 (a>2,b> 1),由已知可得-=1.a ba b(1) ： 2 2 丄 w2+1 =1 ,. ab > 8.Saaob= 1 ab > 4.Ya b a b2當(dāng)且僅當(dāng)2 = 1 =丄，即a=4,b=2時(shí)，Saaob取最小值4,此時(shí)直線I的方程為=1,即a b 242x+2y-4=0.

18、2 1(2) 由+ =1,得 ab-a-2b=0,變形得(a-2)(b-1)=2,a b|PA|PB|= ；(2-a)2(1-0)2 (2_0)2 (1 _b)2 = . (2 _a)2 1 (1_b)2 4 > 2(a _2) 4(b-1).當(dāng)且僅當(dāng)a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3時(shí)，|PA| |PB|取最小值 4.此時(shí)直線l的方程為x+y-3=0.方法二 設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-2) (k v 0),則I與x軸、y軸正半軸分別交于 A !,0、B (0, 1-2k).I k丿(1) Skob = 1 2 一丄(1-2k) =1 X 4 (-1) 邛 (4+4) =4.

19、I的方程為1y-1=-(x-2),即 x+2y-4=0.2 i k 丿2k _2當(dāng)且僅當(dāng)-4k=- -，即 k=-1時(shí)取最小值，此時(shí)直線k2(2) |PA|PB|=4宀8 > 4,11PA -PBxI的傾斜角為135 °當(dāng)且僅當(dāng)號(hào)=4k2，即k=-1時(shí)取得最小值，此時(shí)直線I的方程k為 y-1=-(x-2),即 x+y-3=0.另解析：依題意作圖，設(shè)/ BAO=二,I丨 12則 PA =, |PB =,sin日cos日242 sin rcosr sin - cos-當(dāng)sin2v -1,即v -45時(shí)PA - |PB|的值最小，此時(shí)直線.斜率 k| = tan 135 = T。故直線 I 的方程為 y-1= -1 - x-2，即 x，y-3 = 0。課后作業(yè)班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào)1如圖的四條直線I 1、I 2、| 3、l 4的斜率分別為kl, k2, k3, k4,則kl,k2, k3， k4由小到大的排列順序?yàn)榇鸢福簁3 : k4 : « : k22直線y二3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°，求所得直線的傾斜角和斜率。150°