與圓錐曲線有關(guān)的問題(張良兵)

1、與圓錐曲線有關(guān)的問題【內(nèi)容地位】圓錐曲線是高考的重中之重，高考對圓錐曲線的考查，主要考 查圓錐曲線的的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，以及直線與圓錐曲線 的位置關(guān)系和求軌跡方程等內(nèi)容。涉及的數(shù)學(xué)思想方法主要有數(shù)形 結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、整體思想，以及配方、 換元、構(gòu)造、待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)方法。以圓錐曲線為載體在知識網(wǎng) 絡(luò)的交匯點處設(shè)計問題也是近幾年高考的一大特點?！驹O(shè)計意圖】04年對圓錐曲線的考查，主要是對基本知識和基本概念的考 查，沒有偏題、怪題、注重通性通法，淡化特殊技巧，因此我設(shè)計 此課主要通過問題帶動學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解深化，讓學(xué)生在已有 知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，主動研究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，

2、形成能力。對課堂問題 不是講解，而是和學(xué)生一起研究、解決?！净A(chǔ)知識梳理】問題1方程y = 5 .表示什么曲線？x問題2.雙曲線y J的焦點是和。（注意和常規(guī)下的x雙曲線比較同時復(fù)習(xí)常規(guī)下的圓錐曲線方程的形式）問題3.曲線y J為什么表示雙曲線？（引導(dǎo)學(xué)生回憶圓錐曲線的定x義）和學(xué)生一起探究曲線上的點到兩定點的距離差的絕對值是否是常 數(shù)。雙曲線的兩個焦點為Fi（-72,-72）、F2（J2,J2），設(shè)P （x,y）是雙曲線 上任一點，J（ X +1 + 叼 2（ x +丄-42）1x + +72X丄丘xVxxx= 22|pFiHpf2卜（X + 72）2 +（£+ 應(yīng)）2 -（x-7

3、2）2 +（£（去絕對值時注意分X + 1 < -2和X + 1 3 2兩種情況）xx問題4你能用其它方法說明它是雙曲線嗎？和學(xué)生一起嘗試用雙曲線的第二定義來探究。（同時引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí) 相關(guān)的幾何性質(zhì)）問題5.問過雙曲線y=的某個焦點且弦長為2逅的弦長有幾條?x思考時可以將問題轉(zhuǎn)化為求過雙曲線X1 =2 號 PFI PF2I + 吋2|)=5 y2 =2右焦點弦長為242的弦長有幾條？設(shè)直線與雙曲線的交點為A、B。當(dāng)斜率k存在時，設(shè)過右焦點的直線方程為y = k（x_2），將其與雙曲線 X2 -y2 =2聯(lián)立，得（k2 -1）x2 -4k2x + 4k2 +2 =0（k2 -1

4、工0）2 2rrm4k2（2k +1）貝U Xa +Xb =,XaXb =2。2 血(k2 +1)k -1k -1二k=0（直觀可看出）由弦長公式得242= j1+k2 Xa -XbX2 一 y2 = 2 得 y = ±72 ,當(dāng)斜率k不存在時，將 AB| = 2j2。（過焦點的弦長問題可用第二定義，比弦長公式運算量小，也可由 此推出通徑長是交同一支中最短的弦長，講解此問題時可以適當(dāng)復(fù) 習(xí)直線與圓錐曲線的關(guān)系）【例題講解】例題1. （2004北京東城）已知橢圓C的中心在原點，左焦點為Fi,其右焦點F2和右準(zhǔn)線分別是拋物線y2=9x + 36的頂點和準(zhǔn)線。求橢圓C的方程；若點P為橢圓上

5、C的點， PFF2的內(nèi)切圓的半徑為5，求點P 到X軸的距離；（此問在原題基礎(chǔ)上添加的）若點P為橢圓C上的一個動點，當(dāng)/F 1PF為鈍角時求點P的取 值范圍。（此問也可改成求ZF 1PF?的最大值）設(shè)計意圖主要復(fù)習(xí)圓錐曲線的基本知識，待定系數(shù)法和定義法等 通性通法的運用。學(xué)生可能出現(xiàn)的問題：學(xué)生能夠知道拋物線的開口方向，在定位頂 點和準(zhǔn)線時易出錯，所以在和學(xué)生一起解決問題時，在有些易出錯 的地方故意出錯，來加深學(xué)生對問題的理解。925解：拋物線的頂點為（4,0），準(zhǔn)線方程為442 2設(shè)橢圓的方程為J去 a b- a2 =25,匕2 =9=2542= 1(a > b0 ),貝U有 c=4,又

6、2 2橢圓的方程為Z+L=i259a設(shè)橢圓內(nèi)切圓的圓心為S岔 PF2 S也 PF1血 PF2Q,則 十S氐時2c設(shè)點P到x軸的距離為h,則丄x4xh=5242設(shè)點P的坐標(biāo)為（x o,y 0），由橢圓的第二定義得：4 =a exo = 5 + x0524PFt =a+ex0 =5x0, PF52PFi + PF22 < F1 F2由/FiPF為鈍角知：-也 So <.吐7即為所求。（此題也可以用向量的方法解決，也可將442 2橢圓的方程X +y =1與圓的方程x2+y2=16聯(lián)立消去y得x = ±259<X0 <也，讓學(xué)4生來體會點P的橫坐標(biāo)的取值范圍為什么是-

7、瞠 W Xo <也44例題2. （ 04湖北高考與全國高考改編）設(shè)雙曲線2x 2,-y =1（a0）a若雙曲線與直線丨：X + y 1=0的右支交于不同的兩點 曲線離心率e的取值范圍；設(shè)點Qx, y）在雙曲線C上第一象限上運動，試求點C的方程為A B,求雙P(-, xy)的x軌跡方程E;將中軌跡方程E的表達式，寫成y = f （X）的形式，求其單調(diào) 區(qū)間。設(shè)計意圖通過本例引導(dǎo)學(xué)生運用方程思想、函數(shù)思想等數(shù)學(xué)方 法，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力。學(xué)生可能出現(xiàn)的問題：基礎(chǔ)知識梳理后讓學(xué)生解決問題應(yīng)該很容 易，他們可能在解決時不能理解求P點軌跡方程的實質(zhì)，求點P（y,xy）的軌跡實質(zhì)上是求點P

8、的橫縱坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，因此設(shè)出x點P的坐標(biāo)后，找出它和Q的關(guān)系，利用代入的方法就很容易解決 了。解：由雙曲線與直線有兩個不同的交點知：r 2x-v2 "方程組4a2 y '有兩組不同的解，消去y整理得：x+y-1 =0（1 -a2）x2 +2a2x-2a2 =0 解為一正一負(fù)，_2a2<0 0cac11 -a2雙曲線的離心率e =a旬宀 口 e>42。* am _ yx2設(shè)J X r -m代入雙曲線方程得：a2m2n+a2m n=0n =xyy2 = mn即所求軌跡方程為a2x2y+ax2 4v2x y = 0。(xa0, y>0)2由x>0, y&

9、gt;0得函數(shù)的定義域為(0-),a由得y =丄二1在(0,丄)上單調(diào)遞增。a1 -a x2,22y=a +a x 2>0y (1a2x2)2例3.已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，離心率為 呈 且雙曲線上動點P到點(2,0)的最近距離為1.2證明：滿足條件的雙曲線的焦點不可能在 y軸上；求此雙曲線的方程；設(shè)此雙曲線的左右焦點分別是 F1、F2, Q是雙曲線右支上的動 點，過F1作/F1QF的平分線的垂線，求垂足 M的軌跡。設(shè)計意圖通過此問題培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力及掌握數(shù)學(xué)基本方 法如配方法等方法。學(xué)生可能出現(xiàn)的問題：邏輯推理是學(xué)生的弱項，相當(dāng)多的學(xué)生在解 決推理問題時說理不清

10、，因果關(guān)系不明顯，以至于失分較多。對問 題學(xué)生能夠求出軌跡方程，但不會考慮軌跡的限制條件，不能準(zhǔn) 確求出x的范圍。解：用反證法，設(shè)雙曲線的實半軸長為 a，虛半軸長為b，半焦距為C,貝仙C = "5，得=1。若雙曲線焦點在y軸上，a 2 a 2法1:貝U其雙曲線方程為y或b=-，所以所求雙曲線為：一-也=1。 _4x2 99 設(shè)M(x, v)，延長QF2與F1M交于點T,連接OM。 =幾仏> 0)，求出IPA (用幾表示)，然后 利用|pA的最小值為1，推出矛盾。法2：焦點在在y軸上的雙曲線的漸近線為y = ±2x，A到漸近線的距離d = > 1，不可能。設(shè)雙曲線

11、的方程為:2 2Zy -占=1(b0)，則P(x, v)到A的距離為： 4b2 b2勺2 十一 b"(xu (=,2bU2b,p)55min 二- b?蘭 5 C，不可能。1=2b時，|pA有最小值2b -2=1，解得(舍去)亦+ 4-b2( (=,2bU2b,+)|pA = J(x-2)2 +y2 = £(x-8)若2b <8，即當(dāng)x =8時，|PA55若2b A 8，即當(dāng)x5QFi =QT, FiM=MT.點Q是雙曲線右支上的動點，二 QF - QF2 = QT -QF2 =2a= F2T =2a= OM M在以O(shè)為圓心，a為半徑的圓上。圓的方程為X2 +y2 =

12、9（-d<x<3）（注意講清x的范圍）。5在幾何畫板上，拖動Q時，當(dāng)拖到無窮遠(yuǎn)處，QM趨近于雙曲線的漸近線, 1向左點M的極限位置（不可能達到的位置）是漸近線 y Jx與過F1且垂直2ff±-x的直線y=2（x+聖的交點，聯(lián)立 ±-x和丫二可儀+聖5）得2 2 2 2/X=-也。所以可得x的范圍。5/ /例4.（解密高考Pi64）橢圓E的中心在原點O,焦點在x軸上，離心率e= p，過點C（-1，0）的直線I交橢圓于 A，B兩點，且滿足CA = ZB（Z > 2）（1）若A為常數(shù)，試用直線面積。若幾為常數(shù)，當(dāng)三角形的方程。若幾變化，且h=k2+1，1的斜率k

13、 （kM0）表示三角形 OAB的OAB勺面積取得最大值時，求橢圓 E試問：實數(shù)幾和直線i的斜率kV 3（k R），分別為何值時，橢圓E的短半軸長取得最大值? 并求此時的橢圓方程。設(shè)計意圖此題在向量的背景下把方程、不等式、函數(shù)聯(lián)系在 一起，能夠把前后知識聯(lián)系起來，能夠提高學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知 識和數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力。學(xué)生可能出現(xiàn)的問題：問題綜合性強、運算要求高，學(xué)生在解 決問題時不可能一蹴而就。問題是一個雙參數(shù)問題，學(xué)生理不 清思路，建立不起來函數(shù)關(guān)系。22L Q解：設(shè)橢圓方程為：Xy2 =1(a>b>0 )，由 e=c=J2 及 a2=b2+c2,a2 b2a V3得a2 =

14、3b2，故橢圓方程為：X2 +3y2 =3b2直線 I: y=k(x +1)交橢圓于 A(x1, y1)，B(x2, y2)兩點，由 CA = ZBC得(X1 +1, yj = M1 -X2,y2)即嚴(yán)1 一心廠1)W =-拘2把l: y=k(x +1)代入橢圓方程得：(3k2 +1)x2 +6k2x+3k2 -3b2 =0 且k2(3b2-1)+b2 >0XlX2-Sd11 r +=人+2由知道X2 +1 =2 2(1-入)(3k +1)1 J+1171"kAB = yi y =i|y23k-3b2R=23k +12k X2 +1-s _幾+1加k3k2帚（“0）3kA-12

15、3、人色2）當(dāng)且僅當(dāng)3k =時，即kj3=±時，s取得最大值。3-2 一._ 2將k = ±竺代入中得3b2 =上二，故所求為3仏-1）2x2 + 3y2=； 4、2區(qū)-2）（人1）由聯(lián)立得x1 =二-1,x2 -1（1-入）（3k2 +1）2將 X1，X2 代入得 3b2 = 13 （人-1）當(dāng)幾2時，3b2是A的減函數(shù)，故當(dāng)A =2時（3b3） max = 3故橢圓方程為X2 + 3y2 = 3。【思維能力訓(xùn)練】1.（04遼寧高考）已知點A（-2,0）、B（ 3,0 ），動點P（X, y）滿足PA ” PB =x2，A.圓 B.(1-A)(3k2 +1) 12+ 

16、9;+12 (A1)2(3扎2)2.已知橢圓則P點的軌跡是（） 橢圓 C.雙曲線 D.拋物線2 2亍+亍=1的弦AB的中點坐標(biāo)為（1,1）,則弦AB的斜率為（）A.2 B.2C.-2D.3. 設(shè)F是拋物線y9.已知曲線務(wù)-a2 b230)、B (0, b)兩點，原點0到I的距離是求雙曲線的方程；過點B作直線m交雙曲線于M N兩點， 求直線m的方程.10.拋物線方程y2 = p(x + 1)(paO)，直線x + y=t與x軸的交點在 拋物線準(zhǔn)線的右邊.求證：直線與拋物線總有兩個交點； =2 px( p >0)的焦點,P是拋物線上一點，F(xiàn)P的 延長線交y軸于Q,若P恰好是FQ的中點，則IP

17、F|=()A. p B. 竺 C. p D.3 344. 在平面直角坐標(biāo)系中，若方程m(x2 + y2 + 2y + 1) =(x 2y + 3)2表 示的曲線為橢圓，則m的取值范圍是()A. 0<m<；1 B. m" C. 0<m<；5 D. 口>55. 我國發(fā)射的“神州”五號載人飛船的運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，近地點距地面m千米，遠(yuǎn)地點距地面n千米，地球的半徑為R千米，則飛船運行軌道的短軸長為()A.2 J(m + R)(n + R) B. J(m+R)(n + R) C.mn D.2mn6. 已知對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的漸近線方程為b

18、y =±X, (a,b0)，若雙曲線上有一點M(xo,yo)，使 bxocayo ，a則雙曲線的焦點()A.在x軸上 B.在y軸上 C.當(dāng)a>b時在x軸上 D.當(dāng)a" 時在y軸上7. 已知拋物線y2 =a(x + 1)的準(zhǔn)線方程為X = -3，那么拋物線的焦 點坐標(biāo)為2 28.過雙曲線篤-與=1的右焦點F(c,0)的直線交雙曲線于M N兩 a b點，交y軸于P點，顯然PMfMFpNrzNF，規(guī)定： 乜=型+聖，則有型+聖的定值為尊，類比雙曲線這MF NFMF NFb一結(jié)論，在橢圓2 2 " "務(wù)+當(dāng)=13汕>0沖，奧+里的定值為a bMF NFH2°3 ,直線i過A(a,22yy =1(