壓軸題(定值問題)

1、一、乘積、比值類型【中考數(shù)學壓軸題】定值問題1. (2009 株洲)如圖，已知 ABC為直角三角形，/ ACB=90 ° AC=BC，點A、C在x軸上，點 B坐標為(3, (m>0),線段AB與y軸相交于點D，以P (1, 0)為頂點的拋物線過點 B、D.(1) 求點A的坐標(用m表示)；(2) 求拋物線的解析式；(3) 設點Q為拋物線上點P至點B之間的一動點，連結 PQ并延長交BC于點E,連結證明：FC(AC + EC)為定值.解析：(1)由B(3,m)可知OC =3 , BC =m，又 ABC為等腰直角三角形，BQ并延長交AC于點F ,m) AC =BC =m , OA =

2、m -3，所以點 A 的坐標是(3-m,0 ) . 3 分(2). NODA =NOAD =45。 0D =0A=m -3，則點 D 的坐標是(0, m-3 ).又拋物線頂點為P(1,0)，且過點B、D，所以可設拋物線的解析式為:2y =a(x 1),得:ja(3 1)2 =m ja(0 1)2 =m 3解得3m =4BQA OPF C拋物線的解析式為y=x2 -2x +1(3)過點Q作QM丄AC于點M ,過點Q作QN丄BC于點設點Q的坐標是(X, X2 - 2x +1),2QM = CN=( X1),MC =QN= 3-x ./ QM /CE iPQM s PEC.QM PMEC PC2即(

3、X -1) -X-1EC 2，得EC= 2(x-1)/ QN / FC A BQN si bFC, QN _BN FC BC2即 3 X 4 (X 巧FC 4，得FC又 AC =4 FC (AC +EC)= xX +2(x1)=+1-(2x +2)=x+1=8x+1即FC(AC + EC)為定值8.,12分二、定長、定角、定點、定值類型1. (2011?東營)如圖所示，四邊形動點(與端點B、C不重合)，OABC是矩形，點 A、C的坐標分別為(-3, 0), ( 0, 過點D作直線錯誤！未找到引用源。=-x + b交折1),點D是線段BC上的線OAB于點E.(1)記 ODE的面積為S,求S與b的

4、函數(shù)關系式;1(2)當點E在線段OA上時，且tan/DEO錯誤！未找到引用源。-y .若矩形OABC 關于直線DE的對稱圖形為四邊形 O1A1B1C1,試探究四邊形O1A1B1C1與矩形OABC 的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說 明理由.解答：解：(1)T四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為(一3, 0) (0,(-3, 0)時，貝y b=-2-錯誤！未找到引用源。，(-3, 1 )時，貝y b=-|-錯誤！未找到引用源。， (0, 1)時，貝y b=1 ,若直線經過點若直線經過點若直線經過點若直線與折線OAB的交點在OA上時，即1< b兮-

5、錯誤！未找到引用源。，如定51 1此時 E (2b, 0), S=-2-OE?CO=-2->2b xi=b ;35若直線與折線 OAB的交點在BA上時，即二2-錯誤！未找到引用源。v bv號，如圖23此時 E ( 3, b遺-),D (2b-2, 1),1- S=S矩(ocd+Saoae+Sadbe) =3 ?錯誤!未找到引用源。(2b 2) X1+'35(b 一寺錯誤！未找到引用源。)=號錯誤！未找到引用源。-1錯誤！未找到引用源。 x (5 2b) b-b2,5-1? ("2- b) +-2-X33a <b2 S= J2I52 3-b -b2(-<b &

6、lt;-).22-(2)如圖3,設O1A1與CB相交于點M , OA與C1B1相交于點N，則矩形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面 積即為四邊形dnem的面積.由題意知，DM / NE , DN / me ,四邊形dnem為平行四邊形，根據(jù)軸對稱知，/ med= / ned ,又/ mde= / ned ,/ med= / mde , md=me ,平行四邊形 dnem為菱形.過點D作DH丄OA，垂足為H ,錯誤！未找到引用源。5由題易知，錯誤！未找到引用源。1錯誤！未找到引用源。設菱形DNEM的邊長為a, 則在Rt DHN中，由勾股定理知：55 a=手昔誤！未找到引用源 。，S四邊

7、形dnem=NE?DH=錯日誤！未找到引用源。442 2 2a = (2 一 a)+1 ,矩形OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為 到引用源。.Q分別從B、D兩點同時出H，設動點P、Q移動的時間為t (單位:根據(jù)平行線的性質推出三角形相似，得出20 20 - 2t=t，解得：t=3，(2)線段PH的長不變， AD / BH, P、Q 兩點的速度比為 2: 1, QD : BP=1 : 2, QE： EP=ED : BE=1 : 2,/ EF / BH , ED : DB=EF: BC=1 : 3 ,- bc=20 , ef=£0 , PEF: QE=錯誤

8、！未找到引用源。 P H=20cm.3. (2011?廣州)已知關于x的二次函數(shù)y=ax2 + bx + c (a> 0)的圖象經過點 C (0, 1),且與x軸交于不同的兩點 A、 B,點A的坐標是(1, 0)(1) 求c的值；(2) 求a的取值范圍；(3) 該二次函數(shù)的圖象與直線 y=1交于C、D兩點，設A、B、C、D四點構成的四邊形的對角線相交于點卩，記 PCD 的面積為S1, PAB的面積為 Q，當0 V av 1時，求證：S1 S2為常數(shù)，并求出該常數(shù).分析：(1)把C (0, 1)代入拋物線即可求出c； (2)ax2 + bx+ 1=0，的 b2 4ac 的值即可；(3)設A

9、 (a, 0), B ( b, 0),由根與系數(shù)的關系得： AB=錯誤！未找到引用源。，把y=1代入拋物線得到方程 作MN丄CD于M，交x軸于N,根據(jù) CPDBPA,把A( 1，0)代入得到 0=a +b+1,推出b= 1 a，求出方程a + b=錯誤！未找到引用源。 ax2+( 1 a) x+ 1=1, 得出錯誤！未找到引用源。,ab=錯誤！未找到引用源。，求出求出方程的解，進一步求出 CD過P=錯誤！未找到引用源。，求出PN、PM的長，根據(jù)三角形的面積公式即可求出S1 S2的值即可.解答：(1)解：把C (0, 1)代入拋物線得：1 = 0 + 0 +C,解得：c=1 , 答：c的值是1

10、.(2) 解：把 A (1, 0)代入得：0=a + b + 1, b= 1 a, ax2 + bx+ 1=0, b2 4ac= ( 1 a) 2 4a=a2 2a+ 1 >0,- al且 a>0,答：a的取值范圍是al且a> 0；(3) 證明： 0v av 1 , B 在 A 的右邊，設 A (a , 0), B ( b , 0),ax2+( 1 a) x+ 1=0,由根與系數(shù)的關系得：a + b=錯誤！未找到引用源。ab=錯誤！未找到引用源。 AB=b a= J(b +a)2 -4ab錯誤！未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。ax2 +( 1 a) x+ 1=1 ,未找到

11、引用源。， CD=錯誤！未找到引用源。把y=1代入拋物線得：解得：X1=0, X2=錯誤！過P作MN丄CD于M，交X軸于N，貝U MN丄X軸,/ CD / AB , CPDBPA,錯誤！未找到引用源。=錯誤！ PN=錯誤！未找到引用源。-Si-S2=錯誤！未找到引用源。未找到引用源。,PM=錯誤！1 +a J +a? ?a 2,錯誤！未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。？錯誤！未找到引用源。 ？昔誤！未找到引用源。=1 ,即不論a為何只，5 S2的值都是常數(shù).答：這個常數(shù)是1.他在和同學們一起研究某條拋物線y=ax2(av 0)的性質時，將一把直0,兩直角邊

12、與該拋物線交于A、B兩點，請解答以下問題：4. (2011?株洲)孔明是一個喜歡探究鉆研的同學， 角三角板的直角頂點置于平面直角坐標系的原點(1) 若測得OA=OB=2寸2 (如圖1),求a的值;O旋轉到如圖2所示位置時，過 B作BF丄x軸于點F，測得OF=1，寫(2) 對同一條拋物線，孔明將三角板繞點出此時點B的坐標，并求點 A的橫坐標；22定8(3)對該拋物線，孔明將三角板繞點 試說明理由并求出該點的坐標.O旋轉任意角度時驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點A、B的連線段總經過一個固定的點,解：(1)設線段AB與y軸的交點為C , 的對稱性可得C為AB中點，丁 OA=OB=2血 NAOB =90, AC =O

13、C =BC =2 ,- B(2 , /)將B(2 , 2)代入拋物線y=ax1 2(a<0)得,(2)解法一：過點A作AE丄x軸于點E ,-點B的橫坐標為1 ,(1,1-),2_一2NAOB =90° ,NAEO =NOFB =90 °,由拋物線1 a =一2AE OF1=2OE BF12 AE= 2OE設點A ( -m,2m ) ( m A0)，貝y OE = mAE 冷 m2丄口2 =2m2- m =4，即點A的橫坐標為-4.解法二：過點A作AE丄X軸于點 丁點B的橫坐標為1 , B (1,- tan NOBF =OFBF丁 ZAOB =90。，易知 NAOE =

14、ZOBF ,ae= 2OE=tanZAOE =tan NoBF =2 , AE設點A (- m ,OE -m) ( m >0 ),則 OE =m , AE2- m =4，即點A的橫坐標為-4.)(n A0 ),設直線AB的解析式為：y =kx +b ,1 2r, j-mk +b =_ m 則'2I12nk +b =_ n2(1)Xn +(2) xm得,12 2 1 .(m+n)b= 一(m n+mn ) =一 mn(m+n),- 2mn又易知 AEO sOFB ,AE OE20.5 mOF BFm"0.5 n2mn =4 ”,- b =-1x4 =-22.由此可知不論k

15、為何值,直線AB恒過點(0,-2),10分解法二：設 A ( -m , _1 m22)(m：0)，直線AB與y軸的交點為C，根據(jù)S©OB = S梯形ABFE_ SE _ S少 F = S出OC + S胡OC，可得1 (n22 21 2 1 +- m )(m + n)2 -1 2 m '-m211=QC m + OC “n ,22化簡，得OC又易知AEO sA OFB ,OE20.5mm 20.5 nmn =4 OC =2為固定值.故直線AB恒過其與y軸的交點C ( 0，-2)10分說明：mn的值也可以通過以下方法求得由前可知，OA2=m2+1m4, OB2 = n2 +1 n

16、4442 2 1 2AB =(m + n) +(-m2由 Oa2+OB2 =AB2，得：(m2+1m4)+ (n24#n4)=(m+n)2十如2+-n2)2,2化簡，得mn =4 .5. (2011?可北)如圖，在平面直角坐標系中，點2>0),拋物線y=x+bx+c經過點O和點P,(1) 求c, b (用含t的代數(shù)式表示)：(2) 當4V tv 5時，設拋物線分別與線段 AB,x軸向右以毎秒1個單位長的速度運動 t秒(tP從原點O出發(fā)，沿已知矩形 ABCD的三個頂點為 A (1 , 0), B (1,- 5), D (4, 0).CD交于點M, N.在點P的運動過程中，你認為 / AMP

17、的大小是否會變化？若變化, 由；若不變，求出 / AMP的值；AD21求MPN的面積S與t的函數(shù)關系式，并求t為何值時，要 3上1錯8到引用源。；(3)在矩形ABCD的內部(不含邊界)，把橫、縱 坐標都是整數(shù)的點稱為 點” 若拋物線將這些 “好點”分成數(shù)量相等的兩部分，請直接寫出 圍.*1-1/AI-誤!P未找-B分析：(1)由拋物線y=x2+bx+c經過點O和點P,將點O與P的坐標代入方程即可求得 c, b;(2)當x=1時，y=1 t，求得M的坐標，則可求得 / AMP的度數(shù)，好 的取值范(定14由S=S四邊形AMN P PAM = Sa dp N+S梯形N dam Sa PAM，即可求得

18、關于t的二次函數(shù)，列方程即可求得t的值；(3)根據(jù)圖形，即可直接求得答案.解答：解：(1)把 x=0, y=0 代入 y=x2+bx+c,得 c=0, 再把x=t, y=0代入 t> 0 , b= t;(2)不變. 如圖6,當x=1時，2 2y=x+bx,得 t +bt=O,y=1 t,故 M (1, 1 t)./ tan/AMP=1, / AMP =45°S=S四邊形amn P Sa pam=Sad PN+S梯形ndam Sa PAM=錯誤！未找到引用源。(t 4) ( 4t 16) +錯誤！未找到引用源。(4t (t 1)=今錯誤！未找到引用源。t2二2丹+6.t+6=錯誤

19、！未找到引用源。，得：t1=錯誤！未找到引用源。，匕=錯16) + (t 1) >3 錯誤！未找到引用源。(t 1)解錯誤！未找到引用源。t2錯誤！未找到引用源。 誤！未找到引用源。，- 4V t< 5 , t1=錯誤！未找到引用源。舍去， t= 2711(3)亍< t< 丁.三、倒數(shù)和類型1. (2011?莆田)已知菱形 ABCD邊長為1. / ADC=60 °等邊 AEF兩邊分別交邊 DC、CB于點E、F。(1) 特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1 ,若點E、F分別是邊DC、CB的中點.求證：菱形ABCD對角線AC、BD交點O即為等邊 AEF 的外心；(2) 若點E、F始終

20、分別在邊DC、CB上移動記等邊 AEF的外心為點P. 猜想驗證：如圖2猜想 AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明； 拓展運用：如圖3,當 AEF面積最小時，過點 P任作一直線分別交邊11試判斷是否為定值.若是.請求出該定值；若不是.請說明理由。DMDNDA于點M，交邊DC的延長線于點N,25.解：(1)明：如圖I,別連接0E、OF/四邊形又 E、F分別為DC、CB中點BABCD是菱形 AC 丄 BD, BD 平分/ ADC . AO=DC=BC/ COD = / COB = / AOD =90 °1 1/ ADO ="2-/ ADC ="2- X60 

21、6;30 OE2-cd , OFu-BC, AO-ADOE=OF=OA點 0 即為 AEF 的外心。(2)猜想：外心 P定落在直線 DB上。證明：如圖2,分別連接PE、PA,過點P分別作PI丄CD于I, P J丄AD于J/ PIE = / PJD=90° / ADC=60°IPJ=360° -/ PIE- / PJD-/ JDI=120°/點P是等邊 AEF的外心，/ EFA=120° ,P E=FA,IPJ= / EPA, / IPE= / JPA PIE P JA, PI=PJB圖2點P在/ ADC的平分線上，即點 P落在直線DB上。1 1擊+"Dr為定值2.當AE丄DC時. AEF面積最小,此時點E、F分別為DC、CB中點.連接BD、AC交于點卩，由（1）可得點P即為 AEF的外心來自中國學考頻道解法一：如圖3.設MN