勾股定理的逆定理(提高)知識(shí)講解

1、初二數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課時(shí)訓(xùn)練、專題匯編（附詳解）如杲a、b必為直角三角形要點(diǎn)詮釋:(1)nn 1， 2n, n?+1（ n > 1, n是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長;勾股定理的逆定理（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解勾股定理的逆定理，并能與勾股定理相區(qū)別；2. 能運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股數(shù)的含義；4. 通過探索直角三角形的判定條件的過程，培養(yǎng)動(dòng)手操作能力和邏輯推理能力【要點(diǎn)梳理】【高清課堂勾股定理逆定理知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長 a, b, c，滿足a2+b2 =c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形要點(diǎn)詮釋：（1 ）勾股定理的逆定

2、理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計(jì)算來判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.要點(diǎn)二、如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形（1） 首先確定最大邊（如 C）.2 2 2 2 2 2（2） 驗(yàn)證C與a +b是否具有相等關(guān)系.若c=a+b ,則 ABC是/ O90°的直角三角形；若C2工a2 +b2，則 ABC不是直角三角形.a2 +b2 > c2時(shí)，此三角形要點(diǎn)詮釋：當(dāng)a2 +b2 cc2時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)為銳角三角形，其中C為三角形的最大邊.要點(diǎn)三、勾股數(shù)滿足不定方程X2 +y2 =z2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為

3、高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)）顯然，以X、y z為三邊長的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對解題會(huì)很有幫助： 3、4、5；5、12、13 :匕 15、17; 7、24、25; 9、40、41C是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以at、bt、Ct為三角形的三邊長， 此三角形(2)2n2 +2n,2n+1,2n2+2n+1（ n是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長;m2 -n2, m2 +n2,2mn （ mn, m、n是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長;【典型例題】 類型一、勾股定理的逆定理1、(優(yōu)質(zhì)試題春？咸豐縣月考)如圖所示，在 ABC中，AB : BC: CA=3 : 4: 5,且 周長為36cm，點(diǎn)P從

4、點(diǎn)A開始沿AB邊向B點(diǎn)以每秒1cm的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC 邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動(dòng)，如果同時(shí)出發(fā)，則過3秒時(shí)，BPQ的面積為多少cm2.【思路點(diǎn)撥】 本題先設(shè)適當(dāng)?shù)膮?shù)求出三角形的三邊，由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形再求出 3秒后的BP, BQ的長，利用三角形的面積公式計(jì)算求解.【答案與解析】解：設(shè) AB 為 3xcm , BC 為 4xcm , AC 為 5xcm ,周長為36cm,AB+BC+AC=36cm , 3x+4x+5x=36 ,得 x=3 , AB=9cm , BC=12cm , AC=15cm ,2 2 2AB +BC =AC , ABC是直角三角形，過

5、3 秒時(shí)，BP=9 - 3 xi=6 (cm), BQ=2 X3=6 ( cm),C112、- SapbqBP?BQ= X (9 - 3) X3=18 (cm ).故過3秒時(shí)，MPQ的面積為18cm2.【總結(jié)升華】本題是道綜合性較強(qiáng)的題，需要學(xué)生把勾股定理的逆定理、 三角形的面積公式 結(jié)合求解.由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形，是解題的關(guān)鍵.隱含了整體的數(shù)學(xué)思想和正確運(yùn)算的能力.判斷 DEC的形狀，并說明理由; 求/ ADB的度數(shù).2、如圖，點(diǎn)D是 ABC內(nèi)一點(diǎn)，把 ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到 CBE , 若 AD=4 , BD=3 , CD=5 .(1)(2)【思

6、路點(diǎn)撥】 把 ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 角形的邊長和角度并沒有變，并且旋轉(zhuǎn)的角度 利的判斷三角形的形狀和求/ADB的度數(shù).【答案與解析】解：（1）根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)不變性，AD=EC , BD=BE ,又/ DBE= / ABC=60 °, ABC和 DBE均為等邊三角形，于是 DE=BD=3 , EC=AD=4 ,又 CD=5 ,- DE2+EC2=32+42=52=CD2；故 dec為直角三角形.（2） dec為直角三角形，又60 °,注意旋轉(zhuǎn)只是三角形的位置變了，三60°，因此出現(xiàn)等邊 BDE，從而才能更有DEC=9O °, bde為等邊三角形，BE

7、D=6O °,BEC=9O °+6O°=15O°,即/ ADB=15O .全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾 解答（2）時(shí)要注意運(yùn)用（1）的結(jié)論.【總結(jié)升華】 此題考查了旋轉(zhuǎn)后圖形的不變性、股定理的逆定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，是一道好題.舉一反三：【變式】如圖所示,在 ABC中，已知/ ACB= 90° , AC= BC,卩是 ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA= 3 , PB= 1 , PC= CD= 2 , CD! CP 求/ BPC的度數(shù).【答案】 解：連接 BD / CD 丄 CP 且 CD= CP= 2, CPD為等腰直角三角形，即/ CPD=

8、45°./ ACP+Z BCP=/ BCP+Z BCD= 90°,/ ACP=/ BCDCA = CB CAPA CBD(SAS)DB = PA= 3.在 Rt CPD中，DP2 =Cp2 + CD2 = 22 +22 =8又 PB = 1,貝y PB2 =1 .DB2 =9,2 2DB =DP +PB =8 +1=9 , DPB為直角三角形，且/ DPB= 90°,/ CPB=/ CPD+ DPB= 45 ° +90°= 135類型二、勾股定理逆定理的應(yīng)用仝叱q，且a+b+c=12，請324你探索 ABC的形狀.c +8=k.4c+8=4k

9、,【答案與解析】 解：令土二耳332 a+4=3k , b+3=2k , a=3k - 4, b=2k - 3, c=4k - 8.又 a+b+c=12,( 3k- 4) + (2k- 3) + (4k- 8) =12 , k=3 .- a=5, b=3, c=4. ABC是直角三角形.【總結(jié)升華】此題借用設(shè)比例系數(shù)k的方法，進(jìn)一步求得三角形的三邊長，根據(jù)勾股定理的逆定理判定三角形的形狀.舉一反三：【變式】(優(yōu)質(zhì)試題春？渝中區(qū)校級(jí)月考)ABC的三邊a b、c滿足|a+b-50|+需- 32 +2(C-40) =0.試判斷AABC的形狀是 【答案】直角三角形. 2解：.Ta+b- 50|+&am

10、p; - b - 32+（ c- 40）=0,a+b - 50=0a- b- 32=0，c- 40=0護(hù)41解得 29 ,l.c=402 2 29 +40 =41 , ABC是直角三角形.故答案為直角三角形.4、如圖所示，MN以左為我國領(lǐng)海，以右為公海，上午9時(shí)50分我國緝私艇 A發(fā)現(xiàn)在其正東方向有一走私艇 C并以每小時(shí)13海里的速度偷偷向我國領(lǐng)海開來，便立即通知距其 5海里，并在MN線上巡邏的緝私艇 B密切注意，并告知 A和C兩艇的距離是13海里，緝私 艇B測得C與其距離為12海里，若走私艇 C的速度不變，最早在什么時(shí)間進(jìn)入我國海域？初二數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課時(shí)訓(xùn)練、專題匯編(附詳解)2 2 2 2 2 2解： AB +BC =5 +12 =169 =13 = AC ,/ ABC= 90 ABC為直角三角形.又BD丄AC,可設(shè)CD= x ,廣 222lx +BD =12 ,: 2 2