相似三角形的總復(fù)習(xí)模型地總結(jié)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔三角形相似總復(fù)習(xí)第一部分相似三角形知識(shí)要點(diǎn)大全知識(shí)點(diǎn) 1. 相似圖形的含義把形狀相同的圖形叫做相似圖形。 （即對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊的比也相等的圖形）解讀 ：（ 1）兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看做由另一個(gè)圖形放大或縮小得到（ 2）全等形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同（ 3）判斷兩個(gè)圖形是否相似，就是看這兩個(gè)圖形是不是形狀相同，與其他因素?zé)o關(guān)例 1放大鏡中的正方形與原正方形具有怎樣的關(guān)系呢？分析：要注意鏡中的正方形與原正方形的形狀沒(méi)有改變解：是相似圖形。因?yàn)樗鼈兊男螤钕嗤?，大小不一定相同?2下列各組圖形：兩個(gè)平行四邊形；兩個(gè)圓；兩個(gè)矩形；有一個(gè)內(nèi)角80

2、6;的兩個(gè)等腰三角形；兩個(gè)正五邊形；有一個(gè)內(nèi)角是100°的兩個(gè)等腰三角形，其中一定是相似圖形的是_( 填序號(hào))解析：根據(jù)相似圖形的定義知，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，而平行四邊形、矩形、等腰三角形都屬于形狀不唯一的圖形， 而圓、正多邊形、 頂角為 100°的等腰三角形的形狀不唯一，它們都相似 答案：知識(shí)點(diǎn) 2比例線段對(duì)于四條線段 a,b,c,d，如果其中兩條線段的長(zhǎng)度的比與另兩條線段的長(zhǎng)度的比相等，即 ac （或bda:b=c:d ）那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段解讀 ：（ 1）四條線段a,b,c,d成比例，記作 ac （或 a:b=c:d ），不能寫

3、成其他形式，即比例線段bd有順序性（ 2）在比例式ac（或 a:b=c:d ）中，比例的項(xiàng)為a,b,c,d，其中 a,d 為比例外項(xiàng)， b,c 為比例內(nèi)項(xiàng)， dbd是第四比例項(xiàng)ab（ 3）如果比例內(nèi)項(xiàng)是相同的線段，即bc或 a:b=b:c ，那么線段b 叫做線段和的比例中項(xiàng)。(4) 通常四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)一致，但有時(shí)為了計(jì)算方便，a 和 b 統(tǒng)一為一個(gè)單位，c 和 d 統(tǒng)一為另一個(gè)單位也可以，因?yàn)檎w表示兩個(gè)比相等例 3已知線段 a=2cm, b=6mm, 求 a b分析：求a 即求與長(zhǎng)度的比，與的單位不同，先統(tǒng)一單位，再求比b例 4已知 a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3

4、dm,d= 3 dm，求 c 的長(zhǎng)度2分析：由a,b,c,d成比例，寫出比例式a:b=c:d ，再把所給各線段a,b,d統(tǒng)一單位后代入求c知識(shí)點(diǎn) 3相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等解讀 ：（ 1）正確理解相似多邊形的定義，明確“對(duì)應(yīng)”關(guān)系（ 2）明確相似多邊形的“對(duì)應(yīng)”來(lái)自于書寫，且要明確相似比具有順序性例 5若四邊形ABCD的四邊長(zhǎng)分別是4， 6，8， 10，與四邊形ABCD相似的四邊形A1B1C1D1 的最大邊長(zhǎng)為30，則四邊形A1B1C1D1 的最小邊長(zhǎng)是多少？精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔分析：四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1 相似，且它們的相似比為

5、對(duì)應(yīng)的最大邊長(zhǎng)的比，即為1 ，再根據(jù)相似3多邊形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，利用方程思想求出最小邊的長(zhǎng)知識(shí)點(diǎn) 4相似三角形的概念對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊之比相等的三角形叫做相似三角形解讀 ：（ 1）相似三角形是相似多邊形中的一種；（ 2）應(yīng)結(jié)合相似多邊形的性質(zhì)來(lái)理解相似三角形；（ 3）相似三角形應(yīng)滿足形狀一樣，但大小可以不同；（ 4）相似用“”表示，讀作“相似于” ；（ 5）相似三角形的對(duì)應(yīng)邊之比叫做相似比注意 ：相似比是有順序的，比如ABC A1B1C1，相似比為k, 若 A1B1C1ABC，則相似比為1 。若兩個(gè)三角形的相似比為1，則這兩個(gè)三角形全等，全等三Ak角形是相似三角形的特殊情況。若兩個(gè)三角形全

6、等，則這兩個(gè)三角形相似；若兩個(gè)三角形相似，則這兩個(gè)三角形不一定全等例 6如圖，已知ADE ABC，DE=2， BC=4，則和的相似比是多少？點(diǎn)D， E分別是 AB， AC的中點(diǎn)嗎？DEBC注意 ：解決此類問(wèn)題應(yīng)注意兩方面：（ 1）相似比的順序性， （ 2）圖形的識(shí)別解：因?yàn)?ADE ABC，所以 DEADAE ，因?yàn)镈E21，BCABACBC42所以 ADAE1，所以 D， E 分別是 AB，AC的中點(diǎn)ABAC2知識(shí)點(diǎn) 5相似三角的判定方法（ 1） 定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似；（ 2） 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或其他兩邊的延長(zhǎng)線）所構(gòu)成的三角形與原三角形相似（ 3

7、） 如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似（ 4） 如果一個(gè)三角的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似（ 5） 如果一個(gè)三角形的三條邊分別與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似（ 6） 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形都相似例 7如圖，點(diǎn) D 在 ABC的邊 AB上，滿足怎樣的條件時(shí)，ACD與 ABC相似？試分別加以列舉分析：此題屬于探索性問(wèn)題，由相似三角形的判別方法可知，ACD與 ABC已有公共角 A，要使此兩個(gè)三角形相似，可根據(jù)相似三角形的判別方法尋找一個(gè)條件即可解：當(dāng)滿足以下

8、三個(gè)條件之一時(shí)，ACD ABC條件一：ADAC2ACAB 1=B；條件二： 2= ACB；條件三：，即 AC=AD· AB知識(shí)點(diǎn) 6相似三角形的性質(zhì)（ 1） 對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；（ 2） 對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；（ 3） 相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方例 8如圖，已知 ADE ABC，AD=8， BD=4， BC=15， EC=7（ 1） 求 DE、 AE的長(zhǎng)；（ 2） 你還能發(fā)現(xiàn)哪些線段成比例精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔ADEBC分析：此題重點(diǎn)考查由兩個(gè)三角形相似，可得到對(duì)應(yīng)邊成例，即DEADAEBCABAC例 9已知 ABC

9、 A1B1C1，= 2，AB ABC的周長(zhǎng)為 20cm，面積為 40cm23A1B1求（ 1） A1B1 C1 的周長(zhǎng)；（2） A1B1C1 的面積分析：根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方求解易求出 A1B1C1 的周長(zhǎng)為30cm; A1B1C1 的面積 90cm2第二部分相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型認(rèn)識(shí)（一） A 字型、反A 字型（斜A 字型）AADDEEBCBC（平行）（不平行）（二） 8 字型、反8 字型AABBOJCDDC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔AADDBCC（四）一線三等角型：三等角型相似三角形是以等腰

10、三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景（五）一線三直角型：（六）雙垂型：精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔ADC二、相似三角形判定的變化模型旋轉(zhuǎn)型： 由 A 字型旋轉(zhuǎn)得到。8 字型拓展AAEFGDBCEBC共享性一線三等角的變形精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔一線三直角的變形第三部分相似三角形典型例題講解母子型相似三角形例 1：如圖，梯形ABCD 中， AD BC，對(duì)角線 AC、 BD 交于點(diǎn) O， BE CD 交 CA 延長(zhǎng)線于E求證： OC2OA OE 例 2：已知：如圖，ABC 中，點(diǎn) E 在中線 AD 上 ,求證：（1） DB 2DE DA ； （2）DEBABC DCEDACBDEAC例 3：已知：如圖，等腰

11、ABC 中， AB AC， AD BC 于 D ， CG AB， BG 分別交 AD 、 AC 于 E、 F精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔求證： BE2EFEG 相關(guān)練習(xí)：1、如圖，已知AD 為 ABC 的角平分線，EF 為 AD 的垂直平分線求證：FD 2FBFC 2、已知： AD是 Rt ABC中 A 的平分線， C=90°， EF 是 AD的垂直平分線交 AD于 M， EF、 BC的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn) N。求證： (1) AME NMD;(2)ND2 =NC· NB3、已知：如圖，在ABC中， ACB=90°， CD AB于 D， E 是 AC上一點(diǎn)， CF BE 于 F

12、。求證： EB·DF=AE· DB精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔5 已知：如圖，在Rt ABC中， C=90°， BC=2， AC=4， P 是斜邊 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD AB，交邊 AC于點(diǎn) （點(diǎn)D與點(diǎn) 、 都不重合），E是射線上一點(diǎn)， 且= 設(shè)、DA CDCEPD AABP兩點(diǎn)的距離為x， BEP的面積為 y（ 1）求證： AE=2PE；P（ 2）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（ 3）當(dāng) BEP與 ABC相似時(shí)，求 BEP的面積AD EC（第 25 題圖）雙垂型1 、如圖，在ABC中， A=60°， BD、 CE分別是 AC、 AB上的

13、高精彩文案AED實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔求證：（ 1） ABD ACE；（2） ADE ABC；(3)BC=2ED2、如圖，已知銳角 ABC ，AD 、CE 分別是 BC 、AB 邊上的高， ABC 和 BDE 的面積分別是27和3，DE=6 2 ，求：點(diǎn) B 到直線 AC 的距離。AEBDC共享型相似三角形1 、 ABC是等邊三角形,D、 B、 C、 E 在一條直線上120，已知 BD=1， CE=3， , 求等邊三角形的邊, DAE=長(zhǎng) .精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔ADBCE2、已知：如圖，在Rt ABC 中， AB=AC， DAE =45°求證：（ 1） ABE ACD ；（ 2） BC 22B

14、E CD ACBDE一線三等角型相似三角形A精彩文案EF實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔例 1：如圖，等邊ABC 中，邊長(zhǎng)為6，D 是 BC 上動(dòng)點(diǎn)， EDF =60°（ 1）求證： BDE CFD（ 2）當(dāng) BD =1， FC=3 時(shí)，求 BE例 2：（ 1）在ABC 中， ABAC 5， BC8，點(diǎn) P 、Q分別在射線 CB、 AC 上（點(diǎn) P不與點(diǎn) C、點(diǎn) B 重合），且保持 APQABC .若點(diǎn) P 在線段 CB 上（如圖），且 BP6 ，求線段 CQ 的長(zhǎng)；若 BPx ， CQy ，求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；AAAQBPCBCBC備用圖備用圖（ 2）正方形ABCD

15、的邊長(zhǎng)為 5 （如下圖），點(diǎn) P 、 Q 分別在直線 CB 、 DC 上（點(diǎn) P 不與點(diǎn) C 、點(diǎn) B 重合），且保持APQ 90 .當(dāng)CQ1 時(shí)，求出線段BP的長(zhǎng).ADADADBCBCBC例 3：已知在梯形 ABCD 中， ADBC， AD BC，且 AD 5， AB DC 2（ 1）如圖 8， P 為 AD 上的一點(diǎn)，滿足 BPC A精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔求證； ABP DPC求 AP 的長(zhǎng)APDBC（ 2）如果點(diǎn) P 在 AD 邊上移動(dòng)（點(diǎn) P 與點(diǎn) A、D 不重合），且滿足 BPE A， PE 交直線 BC 于點(diǎn) E，同時(shí)交直線 DC 于點(diǎn) Q，那么當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AP

16、x，CQyy關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的 ，求定義域；當(dāng) CE 1 時(shí)，寫出 AP 的長(zhǎng)ADBCADBC例 4：如圖，在梯形ABCD 中， AD BC ， ABCDBC6 ， AD3 點(diǎn) M 為邊 BC 的中點(diǎn)，以M 為頂點(diǎn)作EMFB ，射線 ME 交腰 AB 于點(diǎn) E ，射線 MF 交腰 CD 于點(diǎn) F ，聯(lián)結(jié) EF （ 1）求證：MEF BEM ；（ 2）若 BEM 是以 BM 為腰的等腰三角形，求EF 的長(zhǎng)；精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔（ 3）若 EFCD ，求 BE 的長(zhǎng)相關(guān)練習(xí)：1、如圖，在ABC 中， ABAC8 ， BC10 ， D 是 BC 邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E 在 AC 邊上，且

17、ADEC (1) 求證： ABD DCE；A精彩文案E實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔(2) 如果 BDx ， AEy ，求 y 與 x 的函數(shù)解析式，并寫出自變量x 的定義域；(3) 當(dāng)點(diǎn) D 是 BC 的中點(diǎn)時(shí)，試說(shuō)明 ADE 是什么三角形，并說(shuō)明理由2、如圖，已知在ABC 中， AB=AC=6，BC=5 ，D 是 AB 上一點(diǎn)， BD=2，E 是 BC 上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE ，并作DEFB ，射線 EF 交線段 AC 于 F（ 1）求證： DBE ECF ；（2）當(dāng) F 是線段 AC 中點(diǎn)時(shí)，求線段BE 的長(zhǎng)；（ 3）聯(lián)結(jié) DF ，如果 DEF 與 DBE 相似，求FC 的長(zhǎng)AFDBEC3、已知在梯形 ABC

18、D 中， AD BC， AD BC，且 BC =6， AB=DC =4，點(diǎn) E 是 AB 的中點(diǎn)（ 1）如圖， P 為 BC 上的一點(diǎn)，且 BP=2 求證： BEP CPD；（ 2）如果點(diǎn) P 在 BC 邊上移動(dòng)（點(diǎn) P 與點(diǎn) B、 C 不重合），且滿足 EPF= C，PF 交直線 CD 于點(diǎn) F ，同時(shí)交直線 AD 于點(diǎn) M，那么當(dāng)點(diǎn) F 在線段 CD 的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè) BP= x ， DF = y ，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔當(dāng) S DMF9時(shí)，求 BP 的長(zhǎng)S BEP4ADADEEBPCBC（第 25 題圖）（備用圖）4、如圖，已知邊長(zhǎng)為3 的等邊 ABC ，點(diǎn) F 在邊 BC 上， CF 1 ，點(diǎn) E 是射線 BA 上一動(dòng)點(diǎn)， 以線段 EF為邊向右側(cè)作等邊EFG ，直線 EG, FG 交直線 AC 于點(diǎn) M , N ，（ 1）寫出圖中與 BE