(完整版)數(shù)學(xué)抽象及其在教學(xué)中的應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)抽象及其在教學(xué)中的應(yīng)用抽象性是數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)之一，所有的數(shù)學(xué)知識(shí)可以說都是經(jīng)過抽象得到的，小學(xué)數(shù)學(xué)中的知識(shí)和方法亦是如此。數(shù)學(xué)抽象也是一種基本的數(shù)學(xué)思想。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅是要學(xué)習(xí)那些由前人抽象概括形成的數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)還要學(xué)習(xí)形成知識(shí)的抽象概括的方法。了解數(shù)學(xué)抽象的特殊性以及如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有效應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象方法就顯得十分必要。本文將在分析數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵、分類、教育價(jià)值的基礎(chǔ)上，探討數(shù)學(xué)抽象在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。一、數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵和分類1. 數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵?！俺橄蟆币辉~源于拉丁語“ abstracio”，其本意是排除、抽取的意思?，F(xiàn)在人們對(duì)抽象的理解一般有兩種，一種是用來形容那種遠(yuǎn)離具

2、體經(jīng)驗(yàn)，因而不太容易理解的對(duì)象性質(zhì)的程度；另一種是指從具體事物中舍棄非本質(zhì)屬性而抽取本質(zhì)屬性的過程和方法。后者反映出抽象是一種思維活動(dòng)。抽象性是數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)之一，抽象也是數(shù)學(xué)活動(dòng)最基本的思維方法。作為方法的數(shù)學(xué)抽象抽取的是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式等方面本質(zhì)屬性，進(jìn)而提煉數(shù)學(xué)概念，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)理論。2數(shù)學(xué)抽象的分類。數(shù)學(xué)的一切活動(dòng)，從概念到方法，實(shí)質(zhì)上都是抽象的，大到組織一個(gè)數(shù)學(xué)體系所用的公理化方法，在實(shí)際應(yīng)用中的數(shù)學(xué)模型方法，小到一個(gè)概念的給出，一個(gè)計(jì)算過程的建立，一個(gè)證明技巧的發(fā)現(xiàn)，甚至于一個(gè)問題的表征都需要用到數(shù)學(xué)抽象。由此也可以看出數(shù)學(xué)抽象是多種多樣的，也是多層次的。了解數(shù)學(xué)

3、抽象的分類有助于我們?cè)诮虒W(xué)中抓住抽象的重點(diǎn)和關(guān)鍵。數(shù)學(xué)抽象根據(jù)抽象對(duì)象的性質(zhì)可以分為“表征型抽象” “原理型抽象”和“建構(gòu)型抽象”。對(duì)事物所表現(xiàn)出來的特征的抽象，稱為“表征型抽象” 。例如三角形、正方形、圓、立方體、軸對(duì)稱等概念都是“表征型抽象”的結(jié)果。對(duì)事物內(nèi)在因果性、規(guī)律性、關(guān)系性的抽象，稱為“原理型抽象” 。例如乘法分配律、三角形內(nèi)角和為 180o等基本數(shù)學(xué)關(guān)系都是“原理型抽象” ”的結(jié)果。而建立在這些抽象基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)建構(gòu)性活動(dòng)稱為“建構(gòu)型抽象”。如定義質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念的活動(dòng)就是“建構(gòu)型抽象” 。數(shù)學(xué)抽象還可以從抽象過程的特征上分為“理想化抽象” “等置抽象”“弱抽象”和“強(qiáng)抽象”。理想

4、化抽象是指從數(shù)學(xué)研究的需要出發(fā)，人們構(gòu)造出一些理想化的對(duì)象的思維過程，理想化抽象得出的數(shù)學(xué)概念包含了對(duì)于真實(shí)事物或現(xiàn)象的簡(jiǎn)化和完善化，因而這些概念與現(xiàn)實(shí)原型本身未必完全相符，如線段、射線、直線等概念都是理想化抽象的結(jié)果；又如，在解決實(shí)際問題的時(shí)候，往往用線段圖來表示題目中的數(shù)量關(guān)系，而線段圖也是理想化抽象的結(jié)果。理想化抽象也可以通過引進(jìn)理想化元素來發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)理論，如虛數(shù)概念的建立。等置抽象是指依據(jù)某種等價(jià)關(guān)系抽取一類對(duì)象共同特征的抽象方法。如從三個(gè)蘋果、三棵樹、三枚棋子 這些在數(shù)量上具有共同特征的事物中抽取出“自然數(shù) 3”這一概念，就是等置抽象。弱抽象也可以叫做概念“擴(kuò)張式抽象” ，即由原型中選

5、取某一特征或側(cè)面加以抽象，從而形成比原型更為一般的概念或理論。如對(duì)于長(zhǎng)方形的概念來講，如果只保留“兩組對(duì)邊分別相等”的屬性， 而舍棄“角”方面的特征，則可抽象出“平行四邊形”的概念，這個(gè)過程就是弱抽象。強(qiáng)抽象也可以叫做“強(qiáng)化結(jié)構(gòu)式抽象”，即通過把一些新的特征加入到某一概念中而形成新概念的抽象過程。如在一般三角形概念上引入“兩條邊相等” ，就抽象出特殊的“等腰三角形”這一概念，這個(gè)過程就是強(qiáng)抽象。從思維過程上來看， 弱抽象是 “特殊到一般” 的歸納推理過程， 這個(gè)過程比較直觀，比較貼近學(xué)生的思維水平，有利于學(xué)生的理解，適合學(xué)生自主學(xué)習(xí)；強(qiáng)抽象則是“一般到特殊”的演繹推理過程，這個(gè)過程比較直接，但

6、是不易理解，對(duì)學(xué)生的思維水平要求較高，需要教師進(jìn)行講解指導(dǎo)。二、數(shù)學(xué)抽象的教育價(jià)值數(shù)學(xué)抽象由于抽象的對(duì)象（概念、模型、理論體系等）和過程的不同，體現(xiàn)出不同的層次性，例如自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)等概念的抽象性，幾乎是逐步提高的。一般說來抽象水平越高，反映出人們抽象思維能水平也越高，相應(yīng)的民族文化發(fā)展水平也越高。因此，對(duì)教師而言，引導(dǎo)并訓(xùn)練學(xué)生逐步從初級(jí)的經(jīng)驗(yàn)水平轉(zhuǎn)向高級(jí)的科學(xué)水平的抽象，提高他們的思維水平，促進(jìn)他們智慧發(fā)展，是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)。1數(shù)學(xué)抽象可以幫助學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)抽象方法雖然多，但是這些方法實(shí)質(zhì)上都是一種構(gòu)造活動(dòng)，是借助于定義和推理進(jìn)行的邏輯建構(gòu)。這里的邏輯

7、建構(gòu)是借助于明確的定義邏輯地構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)對(duì)象，這樣的方法使得數(shù)學(xué)對(duì)象能夠由內(nèi)在的思維活動(dòng)轉(zhuǎn)化為外在的獨(dú)立存在，從而形成為一種“客觀的”知識(shí)。例如，倍數(shù)和因數(shù)是兩個(gè)整數(shù)在有整除關(guān)系的基礎(chǔ)上構(gòu)造出來的概念。通過數(shù)學(xué)抽象這一構(gòu)造活動(dòng)，不僅可以讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的過程，還有助于讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)本身的量化、形式化、模式化和理想化的特點(diǎn)，逐步形成“數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)”的數(shù)學(xué)觀和初步的“模型思想”。2數(shù)學(xué)抽象可以幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的層次性和結(jié)構(gòu)規(guī)律。通過數(shù)學(xué)抽象可以幫助我們找出數(shù)學(xué)概念和定理的原型，真正弄懂它們的含義，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈，并洞察知識(shí)形成過程的全貌，這有助于我們了解概念層

8、次結(jié)構(gòu)中各步驟的難易程度，看清概念的結(jié)構(gòu)，從而進(jìn)一步理解這些數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系及其抽象的過程。例如，從因數(shù)到最大公因數(shù)這是一個(gè)強(qiáng)抽象的過程；2、3、5 的倍數(shù)的特征是原理型抽象的結(jié)果。一般來說，人們先認(rèn)識(shí)的一些較為具體直觀的事物對(duì)象，如果其內(nèi)涵豐富，往往會(huì)成為弱抽象的原型；反之，如果內(nèi)涵非常貧乏或者不夠豐富，則會(huì)成為強(qiáng)抽象的出發(fā)點(diǎn)。當(dāng)我們認(rèn)識(shí)到這一規(guī)律后，在今后的學(xué)習(xí)中遇到一個(gè)概念，可以就其性質(zhì)特征加以追問、反思和抽象，提高抽象思維的水平。例如當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)平行四邊形時(shí)，我們可以追問“四條邊都相等的平行四邊形是什么圖形？（菱形）四個(gè)角都是直角的平行四邊形是什么圖形？（長(zhǎng)方形） ”這樣的過程實(shí)質(zhì)上就

9、是強(qiáng)抽象的過程。3數(shù)學(xué)抽象有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，發(fā)展思維能力。思維最顯著的特征就是概括性。思維之所以能揭示事物的本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律性的關(guān)系，主要來自抽象和概括，對(duì)事物的認(rèn)識(shí)只有經(jīng)過抽象概括才能由感性上升到理性。概括是指從某類事物中的個(gè)別對(duì)象具有某種特有屬性推廣到該類事物的全體對(duì)象具有這種特有屬性的思維過程。例如，從下面的圖片中排除顏色、大小等非本質(zhì)屬性，取出事物中的空間形式這是抽象，然后根據(jù)抽象出的不同大小的圖形，再找出其共同的屬性，建立梯形概念，這個(gè)過程就是概括。由此可見，在數(shù)學(xué)抽象的過程中，概括也起著至關(guān)重要的作用。可以這樣說，數(shù)學(xué)中的任何一類數(shù)、一種運(yùn)算、一個(gè)概念、一個(gè)法則，都是抽象

10、概括共同作用的結(jié)果。 如果說抽象重在分析、 提煉，那么概括則側(cè)重于歸納、 綜合。可見，抽象是概括的基礎(chǔ)，沒有抽象就不可能有概括，而概括有有助于抽象，它能使抽象而來的特有屬性推廣到研究對(duì)象的整個(gè)類中去。當(dāng)抽象概括水平越高，知識(shí)系統(tǒng)性就越強(qiáng)，遷移就越靈活，一個(gè)人的智力和思維能力就越發(fā)展。三、數(shù)學(xué)抽象在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用小學(xué)數(shù)學(xué)中的概念、運(yùn)算、性質(zhì)和法則等都是通過數(shù)學(xué)抽象逐步在學(xué)生的頭腦中建構(gòu)起來的，因此，提高數(shù)學(xué)抽象方法使用的有效性，讓學(xué)生能夠通過數(shù)學(xué)抽象建立正確的數(shù)學(xué)知識(shí)就顯得尤為重要，下面來談?wù)剶?shù)學(xué)抽象在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。1. 數(shù)學(xué)抽象時(shí)要充分發(fā)揮表象的作用。表象是感性認(rèn)識(shí)的一種高級(jí)形式

11、，它是從具體感知到抽象思維的過渡和橋梁，因此在概念形成、計(jì)算法則和公式的推導(dǎo)過程中，建立能突出事物共性的典型表象是非常關(guān)鍵的，這為進(jìn)一步高水平的抽象概括提供了基礎(chǔ)。例如，在認(rèn)識(shí)平行四邊形的時(shí)候，為了便于抽象概括出其“兩組對(duì)邊相等”“兩組對(duì)邊分別平行”等本質(zhì)特征，可以提供給學(xué)生如下典型圖形充分感知、觀察比較后，思考這些圖形共同之處，然后再抽象概括。這里典型圖形不一定只有一種，可以是多種多樣的，這樣有助于讓學(xué)生建立比較豐富的平行四邊形的表象。 但是目前的大多數(shù)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中認(rèn)識(shí)平行四邊形一課中所呈現(xiàn)的素材中并沒有給出長(zhǎng)方形和正方形（可能考慮到學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的原因），因此常導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生片面認(rèn)識(shí)，即平行

12、四邊形的四個(gè)角不能是直角，這正是提供的表象不全面導(dǎo)致的。為了避免這樣的問題產(chǎn)生，在選取表象的時(shí)候，一定要考慮全面。2數(shù)學(xué)抽象要把握時(shí)機(jī)，及時(shí)抽象概括。在對(duì)具體事物充分感知，形成表象后，就要把握好時(shí)機(jī)，及時(shí)抽象概括了，這樣才能使感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生的思維能力。試想，如果不及時(shí)抽象概括，那么學(xué)生的思維水平必然停留在表面的、膚淺的、零碎的外部現(xiàn)象上，對(duì)事物的認(rèn)識(shí)就不能夠深入下去。例如，在認(rèn)識(shí)線段的時(shí)候，先讓學(xué)生“把線拉直”，發(fā)現(xiàn)毛線兩頭拉緊后，中間一段是直直的。 然后引導(dǎo)學(xué)生在不看實(shí)物的情景下，想象出拉直后毛線的狀態(tài)，并把頭腦中形成的圖像畫下來，以此抽象出線段的概念。這里的抽象概括是建立

13、在學(xué)生充分操作、想象的基礎(chǔ)上的，時(shí)機(jī)是恰當(dāng)，也是及時(shí)的。3. 數(shù)學(xué)抽象要注意層次性。小學(xué)生的抽象能力是隨著年齡的增長(zhǎng)而逐步發(fā)展著的，是從抽取事物外部特征逐步發(fā)展到抽取事物本質(zhì)特征的，是從借助于具體事物進(jìn)行較低層次的抽象，發(fā)展到借助于表象或者數(shù)學(xué)概念的較高層次的抽象，這種發(fā)展需要教師的指導(dǎo)和點(diǎn)撥。例如，研究軸對(duì)稱圖形時(shí)，教師先通過一些具體的軸對(duì)稱物體抽象為軸對(duì)稱圖案，再抽象為具體的軸對(duì)稱圖形，最后抽象出“對(duì)折之后完全重合的圖形叫做軸對(duì)稱圖形”這一概念，其中的層次性顯而易見。又如，加法交換律的教學(xué)，教師先從具體情境“朝三暮四”的故事中抽象出數(shù)量關(guān)系“3+4=4+3”，再通過一組這樣的等式抽象概括出“交換加數(shù)的位置和不變”這一結(jié)論，最后用抽象的字母表示為“a+b=b+a”。這種抽象的層次性符合學(xué)生認(rèn)知從具體到抽象、特殊到一般的發(fā)展規(guī)律，便于學(xué)生理解和接受。4. 重視語言在數(shù)學(xué)抽象過程中的作用。數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果是形式化的，多數(shù)是用詞、詞組和句子來表達(dá)的，任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念、法則的推導(dǎo)過程也是要借助于語言的指導(dǎo)和幫助的，因此要重視語言在數(shù)學(xué)抽象過程中的作用。在數(shù)學(xué)抽象過程中使用語言，一般有兩個(gè)作用，一是加工調(diào)節(jié)作用，通過語言表達(dá)，讓感知對(duì)象的特征更加清晰，表象更加明確精細(xì)，這樣有利于后續(xù)的抽象。二是概