高等數(shù)學期末復習題與答案

1、一、填空題：1 .函數(shù)z 戲一寸1 ln(3 x2 y2)的定義域是1XA2+YA2<3.2 .設 z (1 x)y/U-z (1 x)y ln(1 x). y一，O O , ,- 1,123 .函數(shù) z ln(1 x y )在點(1,2)的全微分 dz (12)- dx dy334 .設 f(x y, xy)x2y2,則 f (x,y).設 f (x y,) x2 y2,則 f (x, y). x5 .設 z eusinv而 u xy v x y則z exyxsin(x y) cos(x y) y6 .函數(shù)z x2 y2在點(1, 2)處沿從點(1, 2)到點(2, 2 33)的方向導

2、數(shù)是1 2«2 2y1J177 .改換積分次序 ° dy 丫2 f (x, y)dx ; o dy y 1 f (x, y)dx .8 .若L是拋物線y2 x上從點A(1, 1)到點B(1,1)的一段弧，則 xydx = L9 .微分方程(1 e2x)dy ye2xdx 0的通解為.二、選擇題：1.lim(x,y) (2,0)tan(xy)y等于（）（上下求導）A. 2, B. 1C.0D.不存在22.函數(shù)z xx J7的定義域是（D）A. (x, y)x 0,y 0 B.(x, y) x2 yC. (x,y)y 0,x2 y D.(x,y)x 0, y 0,x2y3. 3

3、1(x0x,y。）(B)A. lim .。x,y。 y)x 0xf(x0,y°)f(x°x,y°)B. lim x 0xf (x0,y°)y) f(xox，yo) D. limf(xox, yo)0 xf (xo x, yoC. lim x 05 .設z F(x2 y2),且F具有導數(shù)，則二二(D)x yA. 2x 2y ； B. (2x 2y)F(x2 y2);C. (2x 2y)F (x2 y2); D. (2x 2y)F (x2y2).6 .曲線x acost , y asint , z amt,在t 一處的切向量是(D) 4A. (11, ,2)

4、B. ( 1,1, . 2)C.(1,1, . 2m)D.( 1,1,、2m)7 .對于函數(shù) f (x, y) x2 xy ,原點(0,0) (A)A.是駐點但不是極值點B.不是駐點C.是極大值點D.是極小值點8 .設I=5/x2 y2 1dxdy,其中D是圓環(huán)1 x2 y2 4所確定的閉區(qū)域，則必有()DA. I大于零B.I小于零C.I等于零D.I不等于零，但符號不能確定。9.已知L是平面上不包含原點的任意閉曲線，若曲線積分?L華aydy 0,則a等于 x y().A-1B1C2D-210 .若L為連接(1,0)及(0,1)兩點的直線段，則曲線積分l(xy)ds=()A. 0B.1C. 2

5、D.211 .設 D為 x2 y2 2y,則 f (x2 y2)dxdy ()D2A. 0 dyC. d02y y202 sin0f (x2 y2)dx； B.21f(r2) rdr ； D.12d 02 dx 01,20 f(r ) rdr ；f(x2)dy.12 .微分方程ex(y y)1的通解為()A. yexc ; B. ye(xc)ex； D. ycxe13 .()是微分方程ye x在初始條件0 1,y1下的特解.xA. y Ci axe ; B.三、計算題：xe x; C. y 12xe x; D. y 1xxe1.設 zf (exsin y, x3y3),求二及二，其中f具有一階

6、連續(xù)偏導數(shù). x yx y u v q u v2 .設 '，求_u ,xsinv ysin u x x3 .求旋轉拋物面z x2 y2 1在點(2,1,4)處的切平面及法線方程。4 .求函數(shù) f(x, y) x3 y3 3x2 3y2 9x 的極值5 .計算Dxy2dxdy,其中D是由圓周x2 y2 4及y軸所圍成的右半閉區(qū)域.6 .計算 De ydxdy ,其中D是以O (0,0) , A (1,1 ), B (0,1 )為頂點的三角形閉區(qū)域.7 .計算xdxdydz,其中是三個坐標面與平面x y z 1所圍成的區(qū)域.8 .計算、(2x y 4)dx (3x 5y 13)dy ,其中

7、L為圓x2 y2 25的正向邊界。9 .計算曲線積分 Jy3 x)dy (x3 y)dx,其中L是從O(0,0)沿上半圓x2 y2 2x到A(2,0).10 .驗證：在整個xoy面內，4sin xsin 3ycosxdx 3cos3ycos2xdy是某個函數(shù)的全微分，并求出這樣的一個函數(shù).11 .求微分方程(x2 1)y 2xy 4x2的通解.12 .求解微分方程的特解：(y2 3x2)dy 2xydx 0, y(0) 113 .解微分方程yy ( y )2 (y )3 0 .四、應用題：1 .用鋼板制造一個容積為V的無蓋長方形水池，應如何選擇水池的長、寬、高才最省鋼板2 .已知矩形的周長為2

8、4cm將它繞其一邊旋轉而構成一圓柱體，試求所得圓柱體體積最大 時的矩形面積.3 .求拋物線y2 4x與曲線y 2x所圍成的閉區(qū)域的面積.4 .求拋物面z 6 x2 y2與錐面z &_p所圍成的立體的體積.高等數(shù)學2期末復習題答案一、填空題：2 2.、，121、(x, y)1 x y 3 2、(1 x) ln(1 x) 3、-dx - dy3 34、x2 2y; -(1-y5、exy xsin(x y) cos(x y)1 yfy(Xo,yo)COS )6、1 2邪(注：方向導數(shù) fx(x0,y0)cosl(X0J0)4Xx01 x1Ji x27、 0 dx x f(x, y)dy;1d

9、x ° f (x, y)dy0 dx ° f(x,y)dy29、 y2(1 e2x) C4 0 ,、，1,48、一(汁： xydx x( Jx)dxxjxdx -5 L105二、選擇題：1、A;2.D;3.B;4.缺 5.D;6.D;7.A;8.A;9.A;10.C;11.C;12.C;13.D三、計算題：1 .解：令 u exsiny, v x3 y3 ,則2.解：兩方程分別兩邊對x求偏導數(shù)，注意u,v是關于x, y的二兀函數(shù)，得/u vuv/1一一1XX即 x xvuusinv xcosv ycosu ycosu xxxvxcosv- sin vx這是以上, j為未知量

10、的二元線性方程組。 x xycosuxcosv(xcosv ycosu)0時，有J sin vxcosvxcosv sinvxcosv ycosu ' x J ycosu1sin vsinv ycosuxcosv ycosu3.解：旋轉拋物面z x2y2 1在點（2,1,4）處的切向量于是，所求切平面方程為4(x 2)2(y 1) (z 4) 0,即4x2y z 6 0法線方程為一 u-3x2 6x 94 .解：解方程組 x3y2 6y 0 y得四個駐點 E(1,0), P2(1,2),P3( 3,0), P,( 3,2).又fxx 6x 6, fxy 0, fyy 6y 6.對P(1

11、,0), AC B2 0,且A 0,則R(1,0)是函數(shù)的極小值點;2對P2(1,2), ACB0,則P2(1,2)不是極值點;對巳（3,0）, AC B2 0,則P3（ 3,0）不是極值點；對口（ 3,2）, AC B2 0,且A 0,則P4（ 3,2）是函數(shù)的極大值點.于是，函數(shù)有極小值f （1,0） 1 3 95,極大值 f（ 3,2）27 8 27 12 27 31.5 .解：利用極坐標變換，令x r cos , y r sin ,則dxdy rdrd ,且D可表示為:0 r 2,- 2.于是264156.解：三角形區(qū)域D由直線yx, y 1及y軸圍成，選擇先對x積分,2d e y d

12、xdy1 y 2dy e y dx0021ye y dy 2 e y1與1 e1).02（注：此題也可以參看課本167頁例2的解法）7.解題過程見課本124頁例1.8.解：P(x,y) 2x y 4,Q(x, y) 3x 5y 13在L圍成的圓域D: x2 y2 25上全在連續(xù)的、 P Q , Q P 偏導數(shù)，上 1, 3,從而 上 4.于是由格林公式，得 y xx y? (2x y 4)dx (3x 5y 13)dy D4dxdy 4 d dxdy 4 25 10033, P9.解：P(x, y) x y, Q(x, y) y x ,有 1 yQ在整個xoy平面上包成立，所以曲 x線積分與路

13、徑無關，故可取x軸上線段OA作為積分路徑.OA的方程為y 0,且x從0變到2, dy 0,從而,3、，3、，3、，3、，.(yx)dy(xy)dx(yx)dy(xy)dxLxOA2x3dx04.10.解：P(x, y) 4sin xsin 3y cosx, Q(x, y)3cos3ycos2x ,有P .八 八 八.八 八 Q- 4sin xcosx 3cos3 y 6sin 2xcos3y , 3cos3 y 2( sin 2x) 6sin 2xcos3 y ,即有_P _Q在整個xoy平面上包成立，因此在整個xoy面內, y x4sinxsin 3ycosxdx 3cos3ycos2xdy

14、 是某個函數(shù)的全微分.取AR助積分路徑，其中各點坐標分別為A(0,0), R(x,0), B(x,y),得1. c3cos2x -sin3ysin3ycos2x.11.解法一：方程可改寫為y2x xiy4x22 x1,這是一階非齊次線性微分方程.先求對應的齊次線性方程的通解.由y £y 0,分離變量，得5 x 1y-2x-dx ,x 1兩邊積分，解得yC1x2 1用常數(shù)變易法，將Ci換成C(x).即yC(x)2. x 11X(x)2x2 C(x).(x 1)代入原方程，化簡得C(x)4x2 .故 C(x)3x3 C.于是方程的通解為y14 3Kx C).解法二：方程可改寫為y2x-2

15、 x1y4x2x2 1這是一階非齊次線性微分方程,其中P(x)2x2- x1，Q(x)4x2-2- x-.利用通解公式 114x22一xn b(x 1)dx C1x2 143(3xC).12.課本212頁第8題第(1)小題。解：原方程可寫成1 3今 2 yx蟲0.令u y dyyu ,有 dx udyy電，則原方 dy程成為1 3u2 2u(u y曲) dy0,分離變量，得2u2 u- du 1義.兩邊積分，得y2. 八u 1 Cy .代入u 并整理，得通解 y2 八 3y Cy .由初始條件x 0,y 1,得C1.于是所求特解為13.解題過程見課本212頁例5.四、應用題:1 .解法一：設水

16、池的長、寬、高分別是x, y, z.已知xyz=V,從而高z ,水池表面的面積 xyS 的定義域 D (x,y)0 x ,0 y .這個問題就是求二元函數(shù) S在區(qū)域D內的最小值.S ，1、 2V - 一y 2V( 2 ) y 2 0, 解方程組；x2 在區(qū)域D內解得唯一得駐點3/2v,V2v.一x 2V(N)xF0.yyy根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內必存在，因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當 長，寬均為3/2V,高為近V時，水池所用材料最省.2解法二：設水池的長、寬、高分別是x, y,z.已知xyz=V,水池表面的面積S的定義域D ( x, y, z) x 0, y 0,z 0.此題就

17、是求函數(shù)S xy 2( xz yz)在約束條件xyz=V下的最小值.構造拉格朗日函數(shù)L xy 2(xz yz)(xyz V).解方程組L x L y L z Ly2zyz0,即 xy2xzxyz0(1)x2zxz0,即xy2yzxyz0(2)2x 2y xy 0,即2xz 2yz xyz 0xyz V 0.(4)比較(1) , (2),(3)式，得x=y=2z,代入(4)式中，有x3 2V ,即x 我V .于是，x,y,z只有唯一一組解羯師耍2由問題的實際意義最小值在定義域內必存在.因此，函數(shù)S在其唯一駐點 3 7T73/2V-, 3/2V,二 處必取得最小值.2故當長方形水池的長，寬，高分別

18、是2 .解題過程見課本98頁例4.3 .利用二重積分求閉區(qū)域的面積 33藥,3國丁時所用材料最省.解：所求區(qū)域的面積為 A pdxdy,其中D為拋物線y2 4x與曲線y 2x所圍成的閉區(qū)域.兩曲線交于兩點(0,0) , (1,2).選擇先對x積分，于是，1 24 0(2yy2)dy - f -4 3 32 ZA Ddxdy 0 dy ：2 dx 44.利用三重積分計算立體的體積.解法一：所求立體的體積為Vdxdydz,其中是拋物面z 6 x2 y2與錐面zx2 y2所圍成的立體.利用直角坐標計算.由z 6x2 y2 與 z xxy2消去z ,解得&y面上的投影區(qū)域D為圓域x2y24.于是(x,y,z)收222z 6 (x y ),xy2 4.因此V6 (x2 y2)dxdydz Ddxdy 乒一2 dzD16(x