二分法求函數(shù)零點教案.

1、用二分法求方程的近似解、二分法的概念對于在區(qū)間a, b上連續(xù)不斷且f (a) ·f (b) < 0 的函數(shù)yf ( x),通過不斷把函數(shù)f ( x)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點的近似值的方法叫二分法。、用二分法求函數(shù)f ( x) 的零點的近似值的步驟：（）確定區(qū)間 a, b, 驗證： f ( a) · f (b) < 0，確定精確度（）求區(qū)間 (a , b)的中點 x1（）計算 f ( x )若 f (x) =0, 則就 x1 是函數(shù)的零點11若 f (a) · f ( x1 ) <，則令 b = x1 （

2、此時零點 x0 (a,x1) ）若 f ( x1 ) · f (b) <，則令 a = x1 （此時零點 x0 ( x1, b) ）（）判斷是否達(dá)到精確度即若| a b | <,則得到零點的近似值為a（或 b），否則重復(fù)（）（）3、用二分法求函數(shù)零點的條件：若函數(shù)零點左右兩側(cè)函數(shù)值符號相反，則此零點為函數(shù)的變號零點，從圖象來看，若圖象穿過零點，則此零點為變號零點。否則為不變號零點。二分法只能求函數(shù)的變號零點。例題講解：例 1：下列函數(shù)圖象與x 軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是（）解：應(yīng)選 B，利用二分法求函數(shù)零點必須滿足零點兩側(cè)函數(shù)值異號。例 、 利用二分法

3、求方程 1x 的一個近似解（精確到0.1）。231x1解：設(shè) fx 的一個近似解，即求函數(shù)f x 的一個近似零xx 3 ，則求方程3xx點。 f210 ， f 31作為計算的初始區(qū)間。20 ，取區(qū)間 2,33用二分法逐次計算，列表如下：端點（中點）坐標(biāo)計算中點的函數(shù)值取區(qū)間2,3x 02.5f (2.5)0.102.5,3x 02.75f (2.75)0.1102.5,2.75x 02.625f (2.625)0.00602.5,2.625x 02.5625f ( 2.5625)0.04702.5625,2.625區(qū)間 2.5625,2.625 的左右端點精確到 0.1 所取的近似值都是2.6

4、，函數(shù) f ( x ) 滿足題設(shè)的一個近似零點是2.61x 滿足題設(shè)的一個近似解是2.6故方程3x例 3、 二次函數(shù) yax2bxc(xR ) 的部分對應(yīng)值如下表：x3 2 101234y60 46 6 406則使函數(shù)值大于0 的自變量的取值集合是_。解： 由上表提供數(shù)值大于0 的自變量的取值集合是 (, 2)( 3,)評析： 開口方向是解題關(guān)鍵信息，零點是2， 3，且開口向上，例 4、已知函數(shù) f ( x )x32x 25x6 的一個零點為（ 1）求函數(shù)的其他零點；（ 2）求函數(shù)值大于 0 時自變量 x 的取值范圍。解：（ 1）由題意，設(shè) f ( x)( x 1)( x 2mx n)x 3m

5、12nm5m1n 6解得 n6 令 f (x )0 ，即 ( x1)( x 2x6)0 ，解得 x1， 2， 31( m1) x 2(nm) xn ，函數(shù)的其他零點是2，3（2）函數(shù)的三個零點將 x 軸分成 4 個區(qū)間： (, 2，(2,1 ， (1,3 ， (3, 作出函數(shù)的示意圖， 觀察圖象得函數(shù)值大于0 時自變量 x 的取值范圍是： ( 2,1) ( 3, )例 5、求函數(shù) f(x) x2 5 的負(fù)零點 (精確度 0.1)【解析】由于 f( 2) 1<0 ，f( 3) 4>0，故取區(qū)間 ( 3， 2)作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐次計算，列表如圖：區(qū)間中點中點函數(shù)值 (或近似

6、值 )( 3， 2) 2.51.25( 2.5， 2) 2.250.0625( 2.25， 2) 2.125 0.484 4( 2.25， 2.125)2.187 5 0.214 8( 2.25， 2.187 5)2.218 75 0.077 1由于 |2.25 ( 2.187 5)|0.062 5<0.1 ，所以函數(shù)的一個近似負(fù)零點可取2.25.達(dá)標(biāo)練習(xí)：1下列函數(shù)零點不宜用二分法的是()A f(x) x3 8B f(x) lnx 3【答案】 CCf(x) x2 22x 2D f(x) x2 4x 12用二分法求方程f(x) 0 在 (1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)<0 ，f

7、(1.5)>0 ，f(1.25)<0 ，則方程的根在區(qū)間 ()A (1.25,1.5)B (1,1.25)C(1.5,2)D不能確定【解析 】由題意知f(1.25)f(1·.5)<0 ，方程的根在區(qū)間(1.25,1.5) 內(nèi)，故選 A.3若函數(shù) f(x) x3 x2 2x 2 的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算，參考數(shù)據(jù)如下：f(1) 2， f(1.5) 0.625，f(1.25) 0.984f(1.375) 0.260， f(1.437 5) 0.16，f(1.406 25) 0.0542，那么方程 x3 x2 2x 2 0 的一個近似根 (精確度 0.1)為

8、 _【解析 】根據(jù)題意知函數(shù)的零點在1.406 25 至 1.437 5 之間，因為此時 |1.437 5 1.406 25| 0.031 25<0.1 ，故方程的一個近似根可以是1.437 5. 答案不唯一，可以是1.437 5,1.406 25 之間的任意一個數(shù) 【答案 】 1.437 51 x ln x 的根的個數(shù)是 ()4、方程 2A 0B1 C2D 3【解析 】方法一：令 f(x) ln x 1x，則 f(1)112<0， f(e) 1>0，22e f(x) 在 (1， e)內(nèi)有零點又 f(x) 在定義域 (0， ) 上為增函數(shù)， f(x) 在定義域內(nèi)僅有1 個零點

9、方法二：作出1 x 與 y ln x 的圖象觀察可知只有一個交點故選B.y 25、方程 2x1 x 5的解所在的區(qū)間是 ()A (0,1)B (1,2)C(2,3)D (3,4)【解析】x1x 5，則f(2) 2 25 1<0， f(3) 223 5 2>0，從令 f(x) 2而方程在區(qū)間 (2,3)內(nèi)有解故選C.6、利用計算器，算出自變量和函數(shù)值的對應(yīng)值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4y 2x1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.55620.040.361.01.963.244.846.769.011.56y

10、 x那么方程2x x2 的一個根所在區(qū)間為 ()A (0.6,1.0)B (1.4,1.8)C (1.8,2.2)D (2.6,3.0)【解】 設(shè) f(x) 2x x2 ，由表格觀察出在x1.8 時，2x>x2，即 f(1.8)>0 ；在 x2.2 時，2x<x2，即 f(2.2)<0. 所以 f(1.8) f(2·.2)<0 ，所以方程2x x2的一個根位于區(qū)間(1.8,2.2) 內(nèi)故選 C.7、函數(shù) f(x) ex1的零點所在的區(qū)間是()xA. 0，1B. 1，1C. 1，3D.3，22222【解析】 f( 1) e2<0，f(1) e 1&g

11、t;0，f(1) ·f(1)<0 ，故選 B.22二、填空題 (每小題5 分，共 10 分)8、用二分法求函數(shù)y f(x) 在區(qū)間 (2,4)上的近似解，驗證f(2) f(4)<0· ，給定精確度 0.01，取區(qū)間 (2,4)的中點 x1 2 43，計算得 f(2) f(x· 1)<0 ，則此時零點 x0 _(填區(qū)間 )2【解析】 由 f(2) f(3)<0·可知【答案 】 (2,3)9、用二分法求方程 x3 2x5 0 在區(qū)間 2,3 內(nèi)的實數(shù)根時，取區(qū)間中間x0 2.5，那么下一個有根區(qū)間是 _【解析 】 f(2)<0

12、，f(2.5)>0 ， 下一個有根區(qū)間是(2,2.5)三、解答題 (每小題 10 分，共 20 分 )10、求方程 2x3 3x 30的一個近似解 (精確度 0.1)【解析】 設(shè) f(x) 2x33x 3，經(jīng)試算， f(0) 3<0 ，f(1) 2>0，所以函數(shù)在 (0,1)內(nèi)存在零點，即方程 2x33x 3 0 在 (0,1) 內(nèi)有實數(shù)解，取 (0,1)的中點 0.5，經(jīng)計算f(0.5)<0 ，又 f(1)>0 ，所以方程 2x3 3x 3 0 在 (0.5,1) 內(nèi)有解如此繼續(xù)下去，得到方程的一個實數(shù)解所在的區(qū)間，如下表：(a，b)(a， b)的中點f(a)f

13、(b)fa b2(0,1)0.5f(0)<0f(1)>0f(0.5)<0(0.5,1)0.75f(0.5)<0f(1)>0f(0.75)>0(0.5,0.75)0.625f(0.5)<0f(0.75)>0f(0.625)<0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)<0f(0.75)>0f(0.687 5)<0因為 |0.687 5 0.75| 0.062 5<0.1 ，所以方程 2x3 3x 3 0 的精確度為0.1 的一個近似解可取為 0.75.11、求方程 ln x x 3 0在(2,3) 內(nèi)的根

14、(精確到 0.1)【解析 】 令 f(x) ln x x 3，即求函數(shù) f(x) 在 (2,3) 內(nèi)的零點用二分法逐步計算列表如下：區(qū)間中點中點函數(shù)值2,32.50.416 32,2.52.250.060 92,2.252.125 0.121 22.125,2.252.187 5 0.029 72.187 5,2.25由于區(qū)間 2.187 5,2.25 的長度 2.25 2.187 5 0.062 5<0.1 ，所以其兩個端點的近似值2.2就是方程的根下為學(xué)生卷用二分法求方程的近似解、二分法的概念對于在區(qū)間a, b 上連續(xù)不斷且f (a) ·f (b) < 0的函數(shù)yf

15、( x) ,通過不斷把函數(shù)f ( x)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點的近似值的方法叫二分法。、用二分法求函數(shù)f ( x) 的零點的近似值的步驟：（）確定區(qū)間 a, b, 驗證： f ( a) · f (b) < 0，確定精確度（）求區(qū)間 (a , b)的中點 x1（）計算 f ( x )若 f (x) =0, 則就 x1 是函數(shù)的零點11若 f (a) · f ( x1 ) <，則令 b = x1 （此時零點 x0 (a,x1) ）若 f ( x1 ) · f (b) <，則令 a = x1 （此時零點 x0

16、 ( x1, b) ）（）判斷是否達(dá)到精確度即若| a b | <,則得到零點的近似值為a（或 b），否則重復(fù)（）（）3、用二分法求函數(shù)零點的條件：若函數(shù)零點左右兩側(cè)函數(shù)值符號相反，則此零點為函數(shù)的變號零點，從圖象來看，若圖象穿過零點，則此零點為變號零點。否則為不變號零點。二分法只能求函數(shù)的變號零點。例題講解：例 1、下列函數(shù)圖象與x 軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是（）例 2、 利用二分法求方程1x 的一個近似解（精確到0.1）。3x例 3、 二次函數(shù) yax2bxc(xR ) 的部分對應(yīng)值如下表：x3 2 101234y60 46 6 406則使函數(shù)值大于0 的自變量的

17、取值集合是_。例 4、已知函數(shù) f ( x )x32x 25x6 的一個零點為1（ 1）求函數(shù)的其他零點；（ 2）求函數(shù)值大于 0 時自變量 x 的取值范圍。例 5、求函數(shù) f(x) x2 5 的負(fù)零點 (精確度 0.1)達(dá)標(biāo)練習(xí)：1下列函數(shù)零點不宜用二分法的是()A f(x) x3 8B f(x) lnx 3Cf(x) x2 22x 2D f(x) x2 4x 12用二分法求方程f(x) 0 在 (1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)<0 ，f(1.5)>0 ，f(1.25)<0 ，則方程的根在區(qū)間 ()A (1.25,1.5)B (1,1.25)C(1.5,2)D不能確定3

18、若函數(shù)f(x) x3 x2 2x 2 的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算，參考數(shù)據(jù)如下：f(1) 2， f(1.5) 0.625，f(1.25) 0.984f(1.375) 0.260， f(1.437 5) 0.16，f(1.406 25) 0.0542，那么方程 x3 x2 2x 2 0 的一個近似根 (精確度 0.1)為 _4、方程1 x ln x 的根的個數(shù)是 ()2A 0B1 C2D 35、方程2x1 x 5的解所在的區(qū)間是 ()A (0,1)B (1,2)C(2,3)D (3,4)6、利用計算器，算出自變量和函數(shù)值的對應(yīng)值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4y2x1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556y x20.040.361.01.963.244.846.769.011.56那么方程2x x2 的一個根所在區(qū)間為 ()A (0.6,1.0)B (1.4,1.8)C (1.8,2.2)D (2.6,3.0)x1()7、函數(shù) f(x) e 的零點所在的區(qū)間是xA. 0，1B.1， 1C. 1，3D. 3，22222二、填空