記數(shù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計法卡方檢驗法.

1、第八章記數(shù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計法一卡方檢驗法 知識引入在各個研究領域中，有些研究問題只能劃分為不同性質(zhì)的類別，各類別沒有量的聯(lián)系。例如，性別分男女，職業(yè)分為公務員、教師、工人、 ，教師職稱又分為教授、副教授、 。有時雖有量的關系， 因研究需要將其按一定的標準分為不同的類別，例如，學習成績、能力水平、態(tài)度等都是連續(xù)數(shù)據(jù)， 只是研究者依一定標準將其劃分為優(yōu)良中差，喜歡與不喜歡等少數(shù)幾個等級。對這些非連續(xù)等距性數(shù)據(jù)， 要判別這些分類間的差異或者多個變量間的相關 性方法稱為計數(shù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計方法?？ǚ綑z驗是專用于解決計數(shù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析的假設檢驗法。本章主要介紹卡方檢驗的兩個應用：擬合性檢驗和獨立性檢驗。 擬合性檢驗是用于

2、分析實際次數(shù)與理論次數(shù)是否相同，適用于單個因素分類的計數(shù)數(shù)據(jù)。 獨立性檢驗用于分析各有多項分類的兩個或兩個以上的因素 之間是否有關聯(lián)或是否獨立的問題。在計數(shù)數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析時要特別注意取樣的代表性。我們知道，統(tǒng)計分析就是依據(jù)樣本所提供的信息，正確推論總體的情況。在這一過程中，最根本的一環(huán)是確保樣本的代表性 及對實驗的良好控制。 在心理與教育研究中， 所搜集到的有些數(shù)據(jù)屬于定性資料，它們常常是通過調(diào)查、訪問或問卷獲得，除了少數(shù)實驗可以事先計劃外，大部分收集數(shù)據(jù)的過程是難于控制的。例如，某研究者關于某項教育措施的問卷調(diào)查，由于有一部分教師和學生對該項措施存有意見，或?qū)柧肀旧碛衅姡?根本就不填寫

3、問卷。 這樣該研究所能收回的問卷只能 代表一部分觀點，所以它是一個有偏樣本，若據(jù)此對總體進行推論，就會產(chǎn)生一定的偏差， 勢必不能真實地反映出教師與學生對這項教育措施的意見。因此應用計數(shù)資料進行統(tǒng)計推斷時，要特別小心謹慎，防止樣本的偏倚性，只有具有代表性的樣本才能作出正確的推論。第一節(jié)卡方擬合性檢驗一、卡方檢驗的一般問題卡方檢驗應用于計數(shù)數(shù)據(jù)的分析，對于總體的分布不作任何假設，因此它又是非參數(shù)檢驗法中的一種。它由統(tǒng)計學家皮爾遜推導。 理論證明，實際觀察次數(shù)（f。）與理論次數(shù)（fe）, 又稱期望次數(shù)）之差的平方再除以理論次數(shù)所得的統(tǒng)計量，近似服從卡方分布，可表示為：才=£伉/尸I

4、4;這是卡方檢驗的原始公式，其中當fe越大（fe>5 ,近似得越好。顯然fo與fe相差越大,卡方值就越大；fo與fe相差越小，卡方值就越?。灰虼怂軌蛴脕肀硎緁o與fe相差的程度。根據(jù)這個公式，可認為卡方檢驗的一般問題是要檢驗名義型變量的實際觀測次數(shù)和理論次數(shù) 分布之間是否存在顯著差異。它主要應用于兩種情況：卡方檢驗能檢驗單個多項分類名義型變量各分類間的實際觀測次數(shù)與理論次數(shù)之間是否一致的問題，這里的觀測次數(shù)是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得多的實計數(shù)，理論次數(shù)則是根據(jù)理論或經(jīng)驗得到的期望次數(shù)。這一類檢驗稱為 擬合性檢驗。擬合性檢驗的零假設是觀測次數(shù)與理論次數(shù)之間無差異。其中理論次數(shù)的計算一般是根據(jù)某種理

5、論，按一定的概率通過樣本即實際觀測次數(shù)來計算。這里所說的某種理論，可能是經(jīng)驗規(guī)律，也可能是理論分布。確定理論次數(shù)是卡方檢驗的關鍵。擬合性檢驗自由度的確定與兩個因素有關：一是分類的項數(shù)，二是在計算理論次數(shù)時， 所用統(tǒng)計量或約束條件的個數(shù)，這兩者之差即為自由度。由于一般情況下，計算理論次數(shù)時只用到 總數(shù)”這一統(tǒng)計量，所以自由度一般是分類的項數(shù)減1。但在對連續(xù)數(shù)據(jù)分布的配合度檢驗中，常常會用數(shù)據(jù)個數(shù)、 平均數(shù)、標準差等統(tǒng)計量來計算理論次數(shù)，所以此時的自由度應從總分類項中減去更多的個數(shù)。按照檢驗中理論次數(shù)的定義不同，擬合性檢驗有以下集中應用。二、檢驗無差假設所謂無差假設，是指各項分類的實計數(shù)之間沒有差

6、異， 也就是說各項分類之間的概率相 等（均勻分布），因此理論次數(shù)完全按概率相等的條件來計算。即任一項的理論次數(shù)都等于總數(shù)/分類項數(shù)。因此自由度也就等于分類項數(shù)減 1。至例濟制【例1】 隨機地將麻將色子拋擲 300次，檢驗該色子的六個面是否均勻。結果1-6點向上的次數(shù)依次是，43, 49, 56, 45, 66, 41。解：每個類的理論次數(shù)是300/6 = 50,代入公式：因此，在0.05的顯著性水平下，可以說這個色子的六面是均勻的。【例2】 隨機抽取60名高一學生，問他們文理要不要分科，回答贊成的39人，反對的21人，問對分科的意見是否有顯著的差異。解：如果沒有顯著的差異，則贊成與反對的各占一

7、半，因此是一個無差假設的檢驗，于是理論次數(shù)為60/2=30 ,代入公式：所以對于文理分科，學生們的態(tài)度是有顯著的差異的。三、檢驗假設分布的概率這里的假設分布可以是經(jīng)驗性的，也可以是某理論分布。公式中所需的理論次數(shù)則按照這里假設的分布進行計算?！纠?】國際色覺障礙討論會宣布，每12個男子中，有一個是先天性色盲。從某校抽取的132名男生中有4人是色盲，問該校男子色盲比率與上述比例是否有顯著差異？解：按國際色覺障礙討論會的統(tǒng)計結果，132人應該有132/12=11人是色盲，剩下的121人非色盲，代入公式有：因此，在0.05和顯著性水平下，該校男子色盲比率與國際色覺障礙討論會的統(tǒng)計結果 有顯著差異，顯

8、然根據(jù)比例可知該校的色盲率小于國際色覺障礙討論會的統(tǒng)計結果?！纠?】 在英語四級考試中，某學生做對了80個四擇一選擇題中的 28題，現(xiàn)在要判斷該生是否是完全憑猜測做題。解：假如該生完全憑猜測做題，那么平均而言每道題做對的可能性是1/4,因此80個題中平均而能做對 80/4=20題，代入公式有：因此，該生可能會做一些題。四、連續(xù)變量分布的擬合性檢驗對于一組連續(xù)數(shù)據(jù)，經(jīng)常需要對其次數(shù)分布究竟服從哪種理論分布進行探討，這一方面的主要應用就是在前面經(jīng)常所提到的總體正態(tài)性檢驗。首先要將測量數(shù)據(jù)整理成次數(shù)分布表和畫出次分布圖，并據(jù)此選擇恰當?shù)睦碚摲植?。這些理論分布是多種多樣的，例如有正態(tài)分 布、均勻分布等

9、。然后根據(jù)選擇的理論分布計算出理論次數(shù)，就可以計算卡方統(tǒng)計量并進行顯著性檢驗了。若差異顯著，說明所選擇的理論分布不合適，可以再選一個理論分布進行檢驗，直至完全擬合。當然有時也只需檢驗是否與某確定的理論分布相符，如正態(tài)性檢驗（參見教材有關內(nèi)容）。對連續(xù)隨機變量分布的吻合性檢驗， 關鍵的步驟是計算理論次數(shù)與確定自由度。 理論次 數(shù)的計算是按所選理論分布規(guī)律， 并利用觀測數(shù)據(jù)的有關統(tǒng)計量來計算各分組 （次數(shù)分布表 中）理論次數(shù)。自由度則是用分組數(shù)減去計算理論次數(shù)時所用統(tǒng)計量的數(shù)目。這種擬合性檢驗計算較為繁瑣，不做要求。五、小理論次數(shù)時的連續(xù)性校正卡方檢驗中，當某分類理論次數(shù)小于 5時，卡方統(tǒng)計量不能

10、很好地滿足卡方分布，此時需要對卡方統(tǒng)計量進行校正，稱為卡方的連續(xù)性校正，其公式如下：1 ；盡管采用此方法校正后，卡方統(tǒng)計量能較為接近卡方分布，不過我們?nèi)匀唤ㄗh在實際中 最好增大樣本的容量，盡量減少出現(xiàn)這種不大服從理論分布的情況。第二節(jié)獨立性檢驗卡方檢驗還可以用于檢驗兩個或兩個以上因素（各有兩項或以上的分類） 之間是否相互影響的問題，這種檢驗稱為 獨立性檢驗。例如要討論血型與性格的關系，血型有 A、B、AB、 O四類，性格采用心理學上的 A型性格來劃分，即有 A型和B型兩種，每個人可能是它們 之間交叉所形成的 8種類型中的一種，那么倒底它們之間有不有關系，就可以用卡方獨立性檢驗?？ǚ姜毩⑿詸z驗用

11、于檢驗兩個或兩個以上因素（各有兩項或以上的分類） 之間是否相互影響的問題。所謂獨立，即無關聯(lián)，互不影響，就意味著一個因素各個分類之間的比例關系， 在另一個因素的各項分類下都是相同的，比如在血型與性格關系中，如果A型性格人群中各血型的比例關系，與 B型性格人群中各血型的比例關系相同，就可能說血型與性格相互 獨立，當然這里的兩者比例相同”在統(tǒng)計的意義下，應表述為兩比例差異不超過誤差范圍 ”, 因為就算總體之間相互獨立，收集到兩個比例完全相同的樣本的可能是很小很小的，甚至是不可能的。相反，若一個因素各個分類之間的比例關系，在另一個因素的各項分類下是不同的，則它們之間相關。假如 A型性格中A型血的比例

12、高于 B型性格中A型血的比例，而且 達到顯著水平，那么就可以說血型與性格之間相關，不相互獨立。卡方獨立性檢驗的零假設是各因素之間相互獨立。因此理論次數(shù)的計算也是基于這一假設，具體計算時，采用列聯(lián)表的方式，后面將舉例說明?！纠?】 某校對學生課外活動內(nèi)容進行調(diào)查，結果整理成下表，表中彩色格子里的數(shù)是原始數(shù)據(jù)的匯總數(shù)，括號內(nèi)的數(shù)是理論次數(shù)（是按下面將要介紹的原理計算得來的），此 外的是原始數(shù)據(jù)。性別（因素2）課外活動內(nèi)容（因素1）小計和（fx）體育文娛閱讀男生21(15.3)11(10.2)23(29.5)55女生6(11.7)7(7.8)29(22.5)42小計和（fy）27185297由于所有

13、學生參加三項活動的比例是27:18:52，因此如果課外活動的選擇與性別沒有關系的話，男女生參加這三項活動的比例也應是這同一比例，而男女各自的人數(shù)可以計算，所以每格內(nèi)的理論次數(shù)的計算方法如下：男生中參加體育活動的理論人數(shù)：55X27/97=15.3參加文娛活動的理論人數(shù)：55X18/97=10.2參加閱讀活動的理論人數(shù)：55X52/97=29.5女生中參加體育活動的理論人數(shù)：42X27/97=11.7參加文娛活動的理論人數(shù)：42X18/97= 7.8參加閱讀活動的理論人數(shù)：42X52/97=22.5我們將行列的小計和分別用 次數(shù)的方法可以表示為：fx和fy來表示，總人數(shù)用 N來表示時，上述計算理

14、論feij = fx i Xfyj/Nfxy表所以，卡方獨立性檢驗的公式可以表示如下，其中最后一個式子比較便于計算,示每格的原始數(shù)據(jù)。忙-1 pl由于在計算理論次數(shù)時，用了按每個因素分類的小計和( fx和fy，其個數(shù)分別記為R個和C個)，和總和 N，而總和又可由按每個因素分類的小計和計算得來，因此若從總 分類個數(shù)RXC中減去R+C，則將總和重復減去了，因此要補1個自由度回來，所以最終獨立性檢驗的自由度表示為：上述例題最終計算得:2 _ (21-15.3)J (11-102)- (23-29.5)J1 = 153102293(6-11.7)2 _7.8)a (29-225F117 78 K5=8

15、.3552或者：=83217止+旦+旦+工+竺_】55x18 55x52 42x27 48x13 42x52這兩個公式的計算結果有一點點差異，這完全是計算誤差即四舍五入引起的。df = (3-1)(2-1) = 2，而X0.05(2) = 5.99，所以在0.05的顯著性水平下，拒絕零假設，即可以認為性別與課外活動內(nèi)容有關聯(lián)，或者說男女生在選擇課外活動上存在顯著的差異。四格表獨立性檢驗對于兩個都只作兩項分類的因素，它們的數(shù)據(jù)整理成的是一個2X2的表格，一般稱為四格表，對于四格表教材里給出了一個更簡潔的公式：2N(ad-bc公式中，a、b、c、d的規(guī)定要求是a和d必須呈對角線。該公式的含義非常明

16、確，即 當對角線單元格中的次數(shù)差異越大時，卡方檢驗越容易顯著，自然也就意味著兩變量間的關聯(lián)越密切。掌握了一般的 R*C表計算后，四格表計算相對簡單地多。這里不再展開。注意，在獨立性檢驗中，同樣存在某格的理論次數(shù)小于等于5的問題，如同擬合性檢驗中一樣，我們?nèi)匀唤ㄗh在實際中最好增大樣本的容量，盡量減少出現(xiàn)這種不大服從理論分布的情況。此外，在獨立性檢驗中，若拒絕了零假設，即各因素之間有關聯(lián)，則如同方差分析中僅判定了存在交互作用一樣，只是一個總體的結果， 并不能回答具體關聯(lián)的形式的問題。如果各因素之間獨立，則到此為止，若各因素間有關聯(lián)，還應該作進一步的分析，具體搞清楚各變量的次數(shù)間是如何關聯(lián)的。對此卡

17、方檢驗有一些辦法，但不如參數(shù)檢驗中那樣嚴格。 卡方獨立性檢驗一般也僅限于兩變量間的關聯(lián)考察，對于多個名義型變量， 往往采用分拆一個變量分別進行獨立性檢驗的辦法， 然后試圖整合多次檢驗的結果。 這種做法就顯得更牽強一些。品質(zhì)相關卡方檢驗既然是用來解決變量間關聯(lián)性的，則也可以構造和積差相關或等級相關系數(shù)一樣的相關程度的度量，稱為品質(zhì)相關。常用的品質(zhì)相關有以下幾種：1、相關系數(shù)相關只適用于四格表， 它要求兩變量是不同性質(zhì)的。相關的公式實際上是根據(jù)四格表的卡方值變換而來的， 通過變換使得其取值大約在正負1之間，這樣便于聯(lián)系一般的相關系數(shù)的含義進行解釋。在卡方檢驗一節(jié)，我們曾講到卡方值的大小反映了實際次

18、數(shù)與理論次 數(shù)之間差異的大小，而獨立性檢驗中的理論次數(shù)是根據(jù)兩變量獨立的假設計算出來的，因此卡方值的大小也就反映了兩變量距獨立有多遠，離獨立越遠就越相關，因此卡方值本身就反映了兩變量間相關的程度。相關的計算公式如下：ad-be+5)(c+ +rf)相關系數(shù)依分子的正負號可取正負值。不過，所有的品質(zhì)相關幾乎都不是獨立構造的，而都是對卡方檢驗中卡方統(tǒng)計量的變換。因此實際上，只要進行了卡方獨立性檢驗，則這兩步過程就一次解決了。計算品質(zhì)相關系數(shù)只是為了更好地理解兩變量間關系的密切程度。2、列聯(lián)相關C系數(shù)列聯(lián)相關實際上是將相關的適用情況從四格表擴展到一般的列聯(lián)表。列聯(lián)相關公式的來歷也基本上與 相關相同。列聯(lián)相關公式為：該系數(shù)的取值也在 0和1之間，不會取到1。與使用 相關一樣，使用列聯(lián)相關之前, 最好先檢驗兩變量是否相關，只有兩變量相