平方根知識點總結(jié)講義

1、平方根知識點總結(jié)【學(xué)習(xí)目標】1了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根.2了解開方與乘方互為逆運算，會用開方運算求某些非負數(shù)的平方根，會用計算器求平方根.【要點梳理】要點一、平方根和算術(shù)平方根的概念1. 算術(shù)平方根的定義2如果一個正數(shù)x的平方等于a，即xa,那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根規(guī)定0的算術(shù)平方根還是 0； a的算術(shù)平方根記作,a，讀作“ a的算術(shù)平方根，a叫做被 開方數(shù)要點詮釋：當式子.a有意義時，a一定表示一個非負數(shù)，即 ,a >0, a >0.2. 平方根的定義如果x2 a，那么x叫做a的平方根求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方.平方與 開平方互為逆運

2、算 a a >0的平方根的符號表達為 、aa 0，其中 ,a是a的算術(shù)平 方根要點二、平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1 .區(qū)別：1定義不同；2結(jié)果不同：a和a2 聯(lián)系：1平方根包含算術(shù)平方根；2 被開方數(shù)都是非負數(shù)；3 0的平方根和算術(shù)平方根均為0.要點詮釋：1正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，其中正的那個叫它的算術(shù)平方根；負數(shù)沒有平方根.2正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的另一個平方根因此，我們可以利用算術(shù)平方根來研究平方根要點三、平方根的性質(zhì)a(a 0)、a2|a|0(a 0)a (a 0),aa a 0要點四、平方根小數(shù)點位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點向

3、右或者向左移動2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點就相應(yīng)地向右或者向左移動 1 位.例如：.62500250 ,25 ,6252.5 ,0.06250.25.【典型例題】類型一、平方根和算術(shù)平方根的概念C1、假設(shè)2m 4與3m 1是同一個正數(shù)的兩個平方根，求m的值.【思路點撥】由于同一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，由此可以得到2m 4= ( 3m 1),解方程即可求解.【答案與解析】解：依題意得 2 m 4= ( 3 m 1),解得m = 1; m的值為1.【總結(jié)升華】 此題主要考查了平方根的性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù).舉一反三：【變式】2 a 1與一a + 2是m的平方根，求 m的值

4、.【答案】2 a 1與a + 2是m的平方根，所以2 a 1與a + 2相等或互為相反數(shù).2 2解：當 2a 1 = a + 2 時，a = 1，所以 m = 2a 12 1 11當 2a 1+( a + 2) = 0 時，a = 1,222所以 m = 2a 12 ( 1) 12392、X為何值時，以下各式有意義？(1) X2 ;(2).X 4 ;(3). X 1. 1 X ;(4)-.x 3【答案與解析】解：(1)因為X2 0 ,所以當X取任何值時， X2都有意義.(2) 由題意可知：x 4 0，所以X 4時，-,X 4有意義.X 1 0 ,(3) 由題意可知：解得：1 X 1 .所以 1

5、 X 1時. X 1 , 1 X有意1 X 0義.X 10(4) 由題意可知：，解得X 1且X 3 .X 30JZ-所以當X 1且X 3時，有意義.X 3【總結(jié)升華】(1)當被開方數(shù)不是數(shù)字，而是一個含字母的代數(shù)式時，一定要討論，只有當被開方數(shù)是非負數(shù)時，式子才有意義.(2)當分母中含有字母時，只有當分母不為0時，式子才有意義.舉一反三：1 1【變式】b 4 3a 2 2 2 3a 2，求的算術(shù)平方根.a b【答案】3a 2021131解：根據(jù)題意，得那么a 2，所以b = 2 ,-丄2 ,2 3a0.3ab22AA| AA_-的算術(shù)平方根為.2 .a b a b類型二、平方根的運算3、求以下

6、各式的值. J252 242 gj32 42 ； (2) * 20 丄 丄 J036 丄 J900 .435【思路點撥】(1)首先要弄清楚每個符號表示的意義( 2)注意運算順序.【答案與解析】解：、252 242 g . 32 4249 g . 25 7 5 35 ；(2) J20 0.36V900J0.6 300.2 61.7.435V 4352【總結(jié)升華】(1)混合運算的運算順序是先算平方開方，再乘除，后加減，同一級運算按先后順序進行.(2)初學(xué)可以根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的意義和表示方法來解，熟練后直接根據(jù)、a2 a (a 0)來解.類型三、利用平方根解方程4、求以下各式中的 X.2 2(

7、1) x2 361 0;(2) x 1289 ；(3) 9 3x 2 2 64 0【答案與解析】解：(1 ) x2 3610 x2361 x.36119(2)v x 1 2289 x1.289x + 1 = ± 17x = 16 或 x = 18.(3)v 9 3x2264 064983146-元二次方程,.x 2 或 x9【總結(jié)升華】此題的實質(zhì)是(3)小題中運用了整體思想分散了難度開平方法是解元二次方程的最根本方法.(2)舉一反三:【變式】求以下等式中的 x :(1)假設(shè) x21.21，貝U x =(2)169，貝U x =(3)假設(shè) x29,那么 x =4(4)假設(shè)x22 2，那

8、么 x =【答案】(1)± 1.1 ; (2)± 13; ( 3)32 ；( 4)± 2.類型四、平方根的綜合應(yīng)用、a、b是實數(shù)，且2a 6|b0,解關(guān)于x的方程(a 2)x b2【答案與解析】解： a、b是實數(shù)，2a 6 |b0,2a 60, |b 、2|0,' 2 代入(a 2)x b2a 1，得一x +2= 4, . x = 6【總結(jié)升華】 此題是非負數(shù)的性質(zhì)與方程的知識相結(jié)合的一道題，應(yīng)先求出a、b的值，再解方程此類題主要是考查完全平方式、算術(shù)平方根、絕對值三者的非負性，只需令每項分別等于零即可.舉一反三：【變式】假設(shè).x2 1 , y 1 0,求

9、x2021 y2021的值.【答案】解：由 x21.0,得 x210 , y 10,即 x 1 , y 1. 當 x = 1, y =- 1 時，x2021 y2021 12021 ( 1 )20212 . 當 x =- 1, y =- 1 時，x2021 y2021 ( 1 )2021 ( 1 )2021 0 .6、小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長方形紙片，使它長寬之比為3:2，請你說明小麗能否用這塊紙片裁出符合要求的長方形紙片【答案與解析】 解：設(shè)長方形紙片的長為3x ( x >0) cm，那么寬為2x cm，依題意得3x 2x 300.6x2300.x250.T x > 0, x , 50 .長方形紙片的長為 3 50 cm ./ 50 > 49, .507.