橢圓中的常見最值問題

1、For personal use only in study and research; not for commercial use橢圓中的常見最值問題1 橢圓上的點(diǎn) P 到二焦點(diǎn)的距離之積|PFI|PF2|取得最大值的點(diǎn)是橢圓短軸的端點(diǎn)，取得最小值的點(diǎn)在橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)。2 2例 1 橢圓xy=1上一點(diǎn)到它的二焦點(diǎn)的距離之積為m，則m取得的259最大值時(shí)，P 點(diǎn)的坐標(biāo)是_。P(0，3)或(0,-3)2 2例 2、已知橢圓方程X2y2-1(a b 0,a2=b2c2)p為橢圓上一點(diǎn)，十a(chǎn) b是橢圓的二焦點(diǎn)，求IPF1IIPF2I的取值范圍。分析：|PFIII PF2I=(a ex)(a - e

2、x)二a2- e2x2，(| x# a)當(dāng)x=_a時(shí)，|PFI|PF2馬二a2-C2=b2，當(dāng)x=0時(shí)，|PFIIIPF2|maa2即b2印PR |PF2|Za22、橢圓上到的橢圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)的距離與它到焦點(diǎn)距離之差取得最大值或最小值的點(diǎn)是這個(gè)定點(diǎn)與焦點(diǎn)連線延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)，最大值、最小值分別是定點(diǎn)到該焦點(diǎn)的距離和其相反數(shù)。2 2例 3、已知A(1,1)，F(xiàn)I、F2是橢圓-11的左右焦點(diǎn)，P 為橢圓上一動(dòng)95點(diǎn)，則|PA|-|PF2I的最大值是_，此時(shí) P 點(diǎn)坐標(biāo)為_。丨PA|-|PF2|的最小值是_，此時(shí) P 點(diǎn)坐標(biāo)為_。3、橢圓上到橢圓內(nèi)定點(diǎn)的距離與它到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的距離之和

3、取得最小值或最大值的點(diǎn)是另一焦點(diǎn)與定點(diǎn)連線的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線與橢圓的交占八、2 2例 4、已知A(1,1),R是橢圓址1的左焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則95|PA| |PF!|的最小值是_，此時(shí) P 點(diǎn)坐標(biāo)為_。|PA| | PR |的最大值是_，此時(shí) P 點(diǎn)坐標(biāo)為_。分析：|PA| |PF PF2| | PF!| | AF2|， 當(dāng) P 是AF2的延長(zhǎng)線與橢圓的交 點(diǎn)時(shí)取等號(hào)。|PA| |PF!| IPF2| |PF!M AF2|，當(dāng) P 是AF2的反向延長(zhǎng)線與橢 圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)。4、橢圓上的點(diǎn) P 到定點(diǎn) A 的距離與它到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) F 的距離的-倍e的和| PA |-| PF |的

4、最小值(e為橢圓的離心率)，可通過d=e轉(zhuǎn)化為|PA | d ed(d為 P 到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離)最小值， 取得最小值的點(diǎn)是 A 到準(zhǔn)線的垂線與 橢圓的交點(diǎn)。2 2例 5、已知定點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn) F 為橢圓- =1的右焦點(diǎn)，點(diǎn) M 在該橢圓16 12上移動(dòng)，求| AM | 2|MF |的最小值，并求此時(shí) M 點(diǎn)的坐標(biāo)。2 2例 6、已知點(diǎn)橢圓J =1及點(diǎn)A(2,2),B(-3,0)，P(x,y)為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，259則3|PA| 5|PB|的最小值是_。5、以過橢圓中心的弦的端點(diǎn)及橢圓的某一焦點(diǎn)構(gòu)成面積最大的三角形是 短軸的端點(diǎn)與該焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形。2 2例 7、過橢圓=1(a b - 0,

5、a2=b2 c2)的中心的直線交橢圓于A,B a b兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)F2(c,0)，貝 JABF2的最大面積是_。例 8、已知 F 是橢圓9x225y2=225的一個(gè)焦點(diǎn)，PQ 是過原點(diǎn)的一條弦，求PQF面積的最大值6、橢圓上的點(diǎn)與橢圓二焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的面積最大的三角形是橢圓的短軸的 一個(gè)端點(diǎn)與橢圓二焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形。2 2例 9、P 為橢圓冷與=1（a b 0,a2= b2c2） 一點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)為a bFjc,0）F2（C,0），貝 S .PF1F2的最大面積是_。7、橢圓上的點(diǎn)與橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的面積最大的三角形是短軸的一 個(gè)端點(diǎn)和長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形。例 10、已知 A 是橢圓9X

6、225y 225的長(zhǎng)軸一個(gè)端點(diǎn)，PQ 是過原點(diǎn)的一 條弦，求PQA面積的最大值。8、橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)的距離最大值、最小值問題可利用兩點(diǎn) 間的距離公式及橢圓方程聯(lián)立化為求函數(shù)最值問題。2 2例 11、設(shè) 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn) 是橢圓y1的右焦點(diǎn)，M 是 OF 的中點(diǎn),259P 為橢圓上任意一點(diǎn)，求|MP |的最大值和最小值。例 12、橢圓中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，3，已知點(diǎn)P（0,-）到這個(gè)橢2 2圓上的最遠(yuǎn)距離是7，求橢圓方程。9、橢圓的焦點(diǎn)到橢圓上的距離最近和最遠(yuǎn)點(diǎn)是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。ri=a ex（|x|）為 x 的增函數(shù)，6 二 a-ex（|x匸a）為 x 的減函數(shù)，x = -

7、 a 時(shí)，r2, r2分別取得最大值a c和最小值a-c。2 2例 13、橢圓xL=1上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最大值，最小值。25910、橢圓上的點(diǎn)到定直線的距離最近及最遠(yuǎn)點(diǎn)分別是與定直線平行的橢 圓的兩條切線的切點(diǎn)2例 14、已知橢圓x2- 8y2=8,在橢圓上求一點(diǎn) P,是 P 到直線I : x y 4 =0的距離最小，并求最小值。11、橢圓上的點(diǎn)到與它的兩個(gè)焦點(diǎn)連線的最大夾角是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)和二焦點(diǎn)的連線的夾角。范圍大于等于00，小于它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)和二焦點(diǎn)的連線的夾角。分析：|PFi| IPF2 | =2a= |PFiIIPF2l2 2 2 2 2 2 2 2 2cosH = |PFil

8、+1 PF2| 4c= 4a-4c -2|PFi|PF2|_2a2 2c2十2a22c2Cs”2|PFi|PF2|=2|PFI|PF2|=|PFiIIPF2I -_等號(hào)成立的條件：|PFI|=|PF2|二a，即 P 點(diǎn)為短軸的端點(diǎn)。2 2例 15、已知橢圓 C：篤（a.b.0），兩個(gè)焦點(diǎn)為F2,F2，如果 C 上a b有一點(diǎn) Q，使.F1QF2=120，求橢圓的離心率的取值范圍。2 2例 16、如圖所示，從橢圓 務(wù)y2=1（a b 0）上一點(diǎn) M 向x軸作垂線，恰a b好通過橢圓的左焦點(diǎn) R，且它的長(zhǎng)軸的端點(diǎn) A 短軸的端點(diǎn) B 的連線 AB 平行 于 0M。（1）求橢圓的離心率（2） 設(shè) Q

9、 為橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)2為橢圓的右焦點(diǎn)，求F1QF2的范圍。（3） 當(dāng)QF2AB時(shí)，延長(zhǎng)QF2與橢圓交于另一點(diǎn)P，若FiPQ的面積為20 3，求此橢圓方程。12、橢圓上的點(diǎn)與它長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線的最大夾角是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)和長(zhǎng)軸的二端點(diǎn)的連線的夾角。范圍為大于二， 小于它的短軸的一個(gè) 端點(diǎn)和長(zhǎng)軸的二端點(diǎn)的連線的夾角2 2例 17、已知橢圓 C:xy2=1(a b 0)，長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為 A、B，如a b果 C 上有一點(diǎn) Q,使.AQB=120，求橢圓的離心率的取值范圍。13、 點(diǎn) P 在橢圓上，u = mx ny( m,n 為常數(shù))的最大值或最小值分別是直線 mx ny - u = 0 與

10、橢圓相切時(shí)U的值。2 2例 18、已知點(diǎn)P(x,y)在二y1上的點(diǎn)，則u = x y的取值范圍是。1442514、點(diǎn) P 在橢圓上，u = 3(m,n為常數(shù))的最大值或最小值分別是x n直線 y 二 u(x - n) m 與橢圓相切時(shí)的斜率。例 19、點(diǎn)P(x,y)在橢圓4(x-2)2 y2=4上，則-的最大值_，最小x值_。2 2例 20、點(diǎn)P(x,y)在橢圓 乞丄=1上，則t-口 的最大值_，最小259y-4值_。15、y =x0acosx的最大值或最小值是直線y = k(x-x)，y與橢圓y0bs inx二aco昶相切時(shí)切線的斜率。=bs in例 21、求y二-3 sinx的最大值、最小

11、值4 2cosx16、橢圓的平行弦、過定點(diǎn)弦等弦長(zhǎng)最值問題及有關(guān)弦長(zhǎng)的最值問題：2例 22、求直線kx 1被橢圓y2=1所截得弦長(zhǎng)的最大值。2例 23、P,Q,M,N四點(diǎn)均在橢圓上，橢圓方程為：(x2=1，F(xiàn)為橢圓在y24軸正半軸的焦點(diǎn)，已知PF,FQ共線，MF,FN共線，且PF P =0，求 四邊形PMQN面積的最小值。17、利用方程元的范圍求有關(guān)最值問題:例 24、已知橢圓方程為才宀3，求過點(diǎn)p( 0, 2)的直線交橢圓于不PB，求，的取值范圍。同兩點(diǎn) A、B，PA二18、其它有關(guān)最值例 24、P為橢圓:22厶=1 (a b 0)上一動(dòng)點(diǎn)，若A為長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn),a bx2B為短軸的一個(gè)端點(diǎn)

12、，當(dāng)四邊形OAPB面積最大時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)。_ 2例 25、已知橢圓1和直線I:x y 9=0,在丨上取一點(diǎn)M，經(jīng)過點(diǎn)123M且以橢圓的焦點(diǎn)FI,F2為焦點(diǎn)作橢圓，當(dāng)M在何處時(shí)所作橢圓的長(zhǎng)軸最短,并求此橢圓方程。例 26、設(shè)橢圓 2 *(a b 0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為A(0,b),B(a,0)，右焦點(diǎn)為F，b且F到直線AB的距離等于它到原點(diǎn)的距離，求離心率的取值范圍。2 2例 27、已知橢圓 C：= 1(a b0)，F(xiàn)1,F2為其左右焦點(diǎn)，P 為橢a b3圓 C 上一點(diǎn)，PF丄X軸，且NPFF2的正切值為-(1)求橢圓 C 的離心率。(2) 過焦點(diǎn)F2的直線丨與橢圓 C 交于點(diǎn)M N，若F1MN面積

13、的最大值為 3,求橢圓 C 的方程4解：X =C代入Xy -ay2b2+a3又NPFF2的正切值為3，4b2所以P(c,-)，abj2ac注意到0 ：c:：: 1，所以a(2)設(shè)M(Xi,yi),N(X2,y2)，過焦點(diǎn)F2的直線l橢圓方程得:(my c)2a22b-1(my c)24C2y1y2-6mc3m24SFMN2a2ac的方程為x = my e，代入2y2222= 1 = (3m4)y6mcy -9c= 03c2_ 9C23m2412創(chuàng)yjI y21)二C|力曲2卜egy2)2-4y“22/ - 6mc236C(2)2 V 3m 十 43m + 46c2mi1429m 24m 16=

14、123爲(wèi) m21)26(m21) 1 =12=29m21)112m1設(shè)u = 9 m2T)飛 ，t = m21，則um + 1-1)由于u(t)在1,：)上是增函數(shù)，所以u(píng) u(1)1時(shí)取等號(hào),時(shí)取等號(hào)，此時(shí)有SMN2 12c110 63C2，又FiMN面積的最大值為 3,故橢圓 C 的方程為:4以下無(wú)正文僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommer

15、ziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la recherche uniquementades fins personnelles; pasmectealfins comTO員BKOgfljiiogeHKO TOpMenob3ymmflCH(5yHeHuac egoB u HHuefigoHM以下無(wú)正文ucno 員 B30BaTbCEBKOMMepqeckuxqe 員EX.以下無(wú)正文僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Fors