橢圓中的常見最值問題

1、For personal use only in study and research; not for commercial use橢圓中的常見最值問題1 橢圓上的點 P 到二焦點的距離之積|PFI|PF2|取得最大值的點是橢圓短軸的端點，取得最小值的點在橢圓長軸的端點。2 2例 1 橢圓xy=1上一點到它的二焦點的距離之積為m，則m取得的259最大值時，P 點的坐標(biāo)是_。P(0，3)或(0,-3)2 2例 2、已知橢圓方程X2y2-1(a b 0,a2=b2c2)p為橢圓上一點，十a(chǎn) b是橢圓的二焦點，求IPF1IIPF2I的取值范圍。分析：|PFIII PF2I=(a ex)(a - e

2、x)二a2- e2x2，(| x# a)當(dāng)x=_a時，|PFI|PF2馬二a2-C2=b2，當(dāng)x=0時，|PFIIIPF2|maa2即b2印PR |PF2|Za22、橢圓上到的橢圓內(nèi)一個定點的距離與它到焦點距離之差取得最大值或最小值的點是這個定點與焦點連線延長線或反向延長線與橢圓的交點，最大值、最小值分別是定點到該焦點的距離和其相反數(shù)。2 2例 3、已知A(1,1)，F(xiàn)I、F2是橢圓-11的左右焦點，P 為橢圓上一動95點，則|PA|-|PF2I的最大值是_，此時 P 點坐標(biāo)為_。丨PA|-|PF2|的最小值是_，此時 P 點坐標(biāo)為_。3、橢圓上到橢圓內(nèi)定點的距離與它到橢圓的一個焦點的距離之和

3、取得最小值或最大值的點是另一焦點與定點連線的延長線或反向延長線與橢圓的交占八、2 2例 4、已知A(1,1),R是橢圓址1的左焦點，P為橢圓上一動點，則95|PA| |PF!|的最小值是_，此時 P 點坐標(biāo)為_。|PA| | PR |的最大值是_，此時 P 點坐標(biāo)為_。分析：|PA| |PF PF2| | PF!| | AF2|， 當(dāng) P 是AF2的延長線與橢圓的交 點時取等號。|PA| |PF!| IPF2| |PF!M AF2|，當(dāng) P 是AF2的反向延長線與橢 圓的交點時取等號。4、橢圓上的點 P 到定點 A 的距離與它到橢圓的一個焦點 F 的距離的-倍e的和| PA |-| PF |的

4、最小值(e為橢圓的離心率)，可通過d=e轉(zhuǎn)化為|PA | d ed(d為 P 到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離)最小值， 取得最小值的點是 A 到準(zhǔn)線的垂線與 橢圓的交點。2 2例 5、已知定點A(2,3)，點 F 為橢圓- =1的右焦點，點 M 在該橢圓16 12上移動，求| AM | 2|MF |的最小值，并求此時 M 點的坐標(biāo)。2 2例 6、已知點橢圓J =1及點A(2,2),B(-3,0)，P(x,y)為橢圓上一個動點，259則3|PA| 5|PB|的最小值是_。5、以過橢圓中心的弦的端點及橢圓的某一焦點構(gòu)成面積最大的三角形是 短軸的端點與該焦點構(gòu)成的三角形。2 2例 7、過橢圓=1(a b - 0,

5、a2=b2 c2)的中心的直線交橢圓于A,B a b兩點，右焦點F2(c,0)，貝 JABF2的最大面積是_。例 8、已知 F 是橢圓9x225y2=225的一個焦點，PQ 是過原點的一條弦，求PQF面積的最大值6、橢圓上的點與橢圓二焦點為頂點的面積最大的三角形是橢圓的短軸的 一個端點與橢圓二焦點為頂點的三角形。2 2例 9、P 為橢圓冷與=1（a b 0,a2= b2c2） 一點，左、右焦點為a bFjc,0）F2（C,0），貝 S .PF1F2的最大面積是_。7、橢圓上的點與橢圓長軸的端點為頂點的面積最大的三角形是短軸的一 個端點和長軸兩個端點為頂點的三角形。例 10、已知 A 是橢圓9X

6、225y 225的長軸一個端點，PQ 是過原點的一 條弦，求PQA面積的最大值。8、橢圓上的點到坐標(biāo)軸上的定點的距離最大值、最小值問題可利用兩點 間的距離公式及橢圓方程聯(lián)立化為求函數(shù)最值問題。2 2例 11、設(shè) 0 為坐標(biāo)原點，F(xiàn) 是橢圓y1的右焦點，M 是 OF 的中點,259P 為橢圓上任意一點，求|MP |的最大值和最小值。例 12、橢圓中心在原點，長軸在x軸上，3，已知點P（0,-）到這個橢2 2圓上的最遠距離是7，求橢圓方程。9、橢圓的焦點到橢圓上的距離最近和最遠點是橢圓長軸的兩個端點。ri=a ex（|x|）為 x 的增函數(shù)，6 二 a-ex（|x匸a）為 x 的減函數(shù)，x = -

7、 a 時，r2, r2分別取得最大值a c和最小值a-c。2 2例 13、橢圓xL=1上的點到右焦點的最大值，最小值。25910、橢圓上的點到定直線的距離最近及最遠點分別是與定直線平行的橢 圓的兩條切線的切點2例 14、已知橢圓x2- 8y2=8,在橢圓上求一點 P,是 P 到直線I : x y 4 =0的距離最小，并求最小值。11、橢圓上的點到與它的兩個焦點連線的最大夾角是它的短軸的一個端點和二焦點的連線的夾角。范圍大于等于00，小于它的短軸的一個端點和二焦點的連線的夾角。分析：|PFi| IPF2 | =2a= |PFiIIPF2l2 2 2 2 2 2 2 2 2cosH = |PFil

8、+1 PF2| 4c= 4a-4c -2|PFi|PF2|_2a2 2c2十2a22c2Cs”2|PFi|PF2|=2|PFI|PF2|=|PFiIIPF2I -_等號成立的條件：|PFI|=|PF2|二a，即 P 點為短軸的端點。2 2例 15、已知橢圓 C：篤（a.b.0），兩個焦點為F2,F2，如果 C 上a b有一點 Q，使.F1QF2=120，求橢圓的離心率的取值范圍。2 2例 16、如圖所示，從橢圓 務(wù)y2=1（a b 0）上一點 M 向x軸作垂線，恰a b好通過橢圓的左焦點 R，且它的長軸的端點 A 短軸的端點 B 的連線 AB 平行 于 0M。（1）求橢圓的離心率（2） 設(shè) Q

9、 為橢圓上任意一點，F(xiàn)2為橢圓的右焦點，求F1QF2的范圍。（3） 當(dāng)QF2AB時，延長QF2與橢圓交于另一點P，若FiPQ的面積為20 3，求此橢圓方程。12、橢圓上的點與它長軸的兩個端點的連線的最大夾角是它的短軸的一個端點和長軸的二端點的連線的夾角。范圍為大于二， 小于它的短軸的一個 端點和長軸的二端點的連線的夾角2 2例 17、已知橢圓 C:xy2=1(a b 0)，長軸的兩個端點為 A、B，如a b果 C 上有一點 Q,使.AQB=120，求橢圓的離心率的取值范圍。13、 點 P 在橢圓上，u = mx ny( m,n 為常數(shù))的最大值或最小值分別是直線 mx ny - u = 0 與

10、橢圓相切時U的值。2 2例 18、已知點P(x,y)在二y1上的點，則u = x y的取值范圍是。1442514、點 P 在橢圓上，u = 3(m,n為常數(shù))的最大值或最小值分別是x n直線 y 二 u(x - n) m 與橢圓相切時的斜率。例 19、點P(x,y)在橢圓4(x-2)2 y2=4上，則-的最大值_，最小x值_。2 2例 20、點P(x,y)在橢圓 乞丄=1上，則t-口 的最大值_，最小259y-4值_。15、y =x0acosx的最大值或最小值是直線y = k(x-x)，y與橢圓y0bs inx二aco昶相切時切線的斜率。=bs in例 21、求y二-3 sinx的最大值、最小

11、值4 2cosx16、橢圓的平行弦、過定點弦等弦長最值問題及有關(guān)弦長的最值問題：2例 22、求直線kx 1被橢圓y2=1所截得弦長的最大值。2例 23、P,Q,M,N四點均在橢圓上，橢圓方程為：(x2=1，F(xiàn)為橢圓在y24軸正半軸的焦點，已知PF,FQ共線，MF,FN共線，且PF P =0，求 四邊形PMQN面積的最小值。17、利用方程元的范圍求有關(guān)最值問題:例 24、已知橢圓方程為才宀3，求過點p( 0, 2)的直線交橢圓于不PB，求，的取值范圍。同兩點 A、B，PA二18、其它有關(guān)最值例 24、P為橢圓:22厶=1 (a b 0)上一動點，若A為長軸的一個端點,a bx2B為短軸的一個端點

12、，當(dāng)四邊形OAPB面積最大時，求P點的坐標(biāo)。_ 2例 25、已知橢圓1和直線I:x y 9=0,在丨上取一點M，經(jīng)過點123M且以橢圓的焦點FI,F2為焦點作橢圓，當(dāng)M在何處時所作橢圓的長軸最短,并求此橢圓方程。例 26、設(shè)橢圓 2 *(a b 0)的兩個頂點為A(0,b),B(a,0)，右焦點為F，b且F到直線AB的距離等于它到原點的距離，求離心率的取值范圍。2 2例 27、已知橢圓 C：= 1(a b0)，F(xiàn)1,F2為其左右焦點，P 為橢a b3圓 C 上一點，PF丄X軸，且NPFF2的正切值為-(1)求橢圓 C 的離心率。(2) 過焦點F2的直線丨與橢圓 C 交于點M N，若F1MN面積

13、的最大值為 3,求橢圓 C 的方程4解：X =C代入Xy -ay2b2+a3又NPFF2的正切值為3，4b2所以P(c,-)，abj2ac注意到0 ：c:：: 1，所以a(2)設(shè)M(Xi,yi),N(X2,y2)，過焦點F2的直線l橢圓方程得:(my c)2a22b-1(my c)24C2y1y2-6mc3m24SFMN2a2ac的方程為x = my e，代入2y2222= 1 = (3m4)y6mcy -9c= 03c2_ 9C23m2412創(chuàng)yjI y21)二C|力曲2卜egy2)2-4y“22/ - 6mc236C(2)2 V 3m 十 43m + 46c2mi1429m 24m 16=

14、123爲(wèi) m21)26(m21) 1 =12=29m21)112m1設(shè)u = 9 m2T)飛 ，t = m21，則um + 1-1)由于u(t)在1,：)上是增函數(shù)，所以u u(1)1時取等號,時取等號，此時有SMN2 12c110 63C2，又FiMN面積的最大值為 3,故橢圓 C 的方程為:4以下無正文僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommer

15、ziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la recherche uniquementades fins personnelles; pasmectealfins comTO員BKOgfljiiogeHKO TOpMenob3ymmflCH(5yHeHuac egoB u HHuefigoHM以下無正文ucno 員 B30BaTbCEBKOMMepqeckuxqe 員EX.以下無正文僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Fors