習(xí)題第07章(電磁感應(yīng))-參考答案

1、第七章 電磁感應(yīng) 變化電磁場(chǎng)思考題7-1 感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與感應(yīng)電流哪一個(gè)更能反映電磁感應(yīng)現(xiàn)象的本質(zhì)？答：感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。7-2 直流電流表中線圈的框架是閉合的鋁框架，為什么？靈敏電流計(jì)的線圈處于永磁體的磁場(chǎng)中，通入電流線圈就發(fā)生偏轉(zhuǎn)。切斷電流后線圈在回復(fù)原來(lái)位置前總要來(lái)回?cái)[動(dòng)好多次。這時(shí)如果用導(dǎo)線把線圈的兩個(gè)接頭短路，則擺動(dòng)會(huì)馬上停止。這是什么緣故?答：用導(dǎo)線把線圈的兩個(gè)接頭短路，線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電流，因此線圈在磁場(chǎng)中受到一力偶矩的作用，阻礙線圈運(yùn)動(dòng)，使線圈很快停下來(lái)。7-3 讓一塊磁鐵在一根很長(zhǎng)的鉛直銅管內(nèi)落下，若不計(jì)空氣阻力，試描述磁鐵的運(yùn)動(dòng)情況，并說(shuō)明理由。答：當(dāng)磁鐵在金屬管中時(shí)，金屬管內(nèi)感應(yīng)感生

2、電流，由楞次定律可知，感生電流的方向，總是使它所激發(fā)的磁場(chǎng)去阻止引起感應(yīng)電流的原磁通量的變化，即：阻礙磁鐵相對(duì)金屬管的運(yùn)動(dòng)。磁鐵在金屬管內(nèi)除重力外，受到向上的磁力，向下的加速度減小，速度增大，相應(yīng)磁力增大。當(dāng)磁力等于重力時(shí)，磁鐵作勻速向下運(yùn)動(dòng)，達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡。7-4 用金屬絲繞制的標(biāo)準(zhǔn)電阻是無(wú)自感的，怎樣繞制才能達(dá)到自感系數(shù)為零的目的？答：如果回路周圍不存在鐵磁質(zhì)，自感L的數(shù)值將與電流無(wú)關(guān)，僅由回路的幾何性質(zhì)、匝數(shù)以及周圍磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率所決定。把一條金屬絲接成雙線繞制，就能得到自感系數(shù)為零的線圈。做純電阻用的電阻器都是這樣繞制的。7-5 舉例說(shuō)明磁能是貯藏在磁場(chǎng)中的。7-6 如果電路中通有強(qiáng)電流

3、，當(dāng)你突然拉開閘刀斷電時(shí)，就會(huì)有火花跳過(guò)閘刀。試解釋這一現(xiàn)象。答：當(dāng)突然拉開通有強(qiáng)電流電路中的刀閘而斷電時(shí)，電路中電流迅速減小，電流的變化率很大，因而在電路中會(huì)產(chǎn)生很大的自感電動(dòng)勢(shì)。此電動(dòng)勢(shì)可以把刀閘兩端間的空氣擊穿，因而在刀閘處會(huì)有大的火花跳過(guò)。7-7 變化的電場(chǎng)所產(chǎn)生的磁場(chǎng)，是否一定隨時(shí)間而變化？變化的磁場(chǎng)所產(chǎn)生的電場(chǎng)，是否也一定隨時(shí)間而變化？7-8 試比較傳導(dǎo)電流與位移電流。答：位移電流具有磁效應(yīng)-與傳導(dǎo)電流相同。兩者不同之處：產(chǎn)生機(jī)理不同，傳導(dǎo)電流是電荷定向運(yùn)動(dòng)形成的，位移電流是變化的電場(chǎng)產(chǎn)生的；存在條件不同，傳導(dǎo)電流需要導(dǎo)體，位移電流不需要導(dǎo)體，可以存在于真空中、導(dǎo)體中、介質(zhì)中；位移

4、電流沒(méi)有熱效應(yīng)，傳導(dǎo)電流產(chǎn)生焦耳熱。7-9 試由麥克斯韋方程組的積分形式，定性地說(shuō)明怎樣產(chǎn)生統(tǒng)一的電磁場(chǎng)；并說(shuō)明靜電場(chǎng)和穩(wěn)恒磁場(chǎng)是統(tǒng)一的電磁場(chǎng)在一定條件下的一種特殊形式。7-10 麥克斯韋方程組積分形式中，兩個(gè)高斯定理與靜電場(chǎng)和穩(wěn)恒磁場(chǎng)的高斯定理形式相同。其物理意義是否相同？解：上述兩式形式上盡管相同，但在實(shí)質(zhì)上卻有原則區(qū)別，靜電場(chǎng)中穿過(guò)任一閉合曲面的通量由靜電荷的代數(shù)和決定。在電磁場(chǎng)中，穿過(guò)閉合曲面的通量除由靜電荷的電力線外，還有變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生的渦旋電場(chǎng)的電力線，而渦旋電場(chǎng)的電力線是閉合曲線，因而其通量總是零。習(xí) 題7-1 一導(dǎo)線ab 彎成如圖的形狀（其中cd 是一半圓，半徑r =0.10m

5、，ac 和db 兩段的長(zhǎng)度均為 l =0.10m），在均勻磁場(chǎng)（B =0.50T）繞軸線 ab 轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速 n =60rev/s 。設(shè)電路的總電阻（包括電表M 的內(nèi)阻）為1,000W，求導(dǎo)線中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流，它們的最大值各是多大？解：設(shè)t=0 時(shí)，半圓面的法向方向與B同向t時(shí)刻時(shí)，= 7-2 如圖所示，一長(zhǎng)直導(dǎo)線載有I =5.0A 的電流，旁邊有一矩形線圈ABCD（與此長(zhǎng)直導(dǎo)線共面），長(zhǎng)l1 =0.20m，寬l2 =0.10m，長(zhǎng)邊與長(zhǎng)導(dǎo)線平行，AD邊與導(dǎo)線相距a =0.10m，線圈共1,000匝。令線圈在速度v 垂直于長(zhǎng)導(dǎo)線向右運(yùn)動(dòng)，v =3.0m/s，求線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解：以直

6、導(dǎo)線上某點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)o，沿水平方向建立x軸。在矩形框內(nèi)距離原點(diǎn)x處取長(zhǎng)為、寬為dx的矩形條作為面積元。則穿過(guò)此面積元的磁通量為 t時(shí)刻穿過(guò)矩形框的磁通量為 此時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 時(shí), 7-3 如果上題中的線圈保持不動(dòng)，而在長(zhǎng)直導(dǎo)線中通有交變電流 ，t 以秒計(jì)，則線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)如何？解：7-4 如圖所示，質(zhì)量為M、長(zhǎng)度約為 l 的金屬棒ab 從靜止開始沿傾斜的絕緣框架下滑，設(shè)磁場(chǎng)豎直向上，求棒內(nèi)的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。假定摩擦可以忽略不計(jì)。解：金屬棒所受重力加速度沿斜面方向的分量為，棒的速度。磁場(chǎng)沿垂直于棒運(yùn)動(dòng)方向（垂直于斜面）的分量為故棒的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為7-5如圖所示，金屬桿AB 以勻

7、速 v 平行于一長(zhǎng)直導(dǎo)線移動(dòng)，此導(dǎo)線通有電流。問(wèn)：此桿中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為多大？桿的哪一端電勢(shì)較高？解:在上距長(zhǎng)直導(dǎo)線為處任取一微元, 其方向指向B，根據(jù)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的定義式，可得：電動(dòng)勢(shì)的方向由A指向B，B端的電勢(shì)高。7-6 有一均勻磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度為，的量值以恒定的變化率在變化，把一塊質(zhì)量為m 的銅，拉成截面半徑為 r 的導(dǎo)線，并用它做成一個(gè)圓形回路（半徑為R）。圓形回路的平面與垂直。試證：這回路中的感應(yīng)電流為 。式中r 為銅的電阻率，d 為銅的密度。證明：磁感強(qiáng)度以恒定的變化率在變化，在周圍產(chǎn)生感生電場(chǎng)，半徑為R的圓形回路上感生電場(chǎng)的大小為，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為感應(yīng)電流的大小為，其中是圓形回路的電阻

8、是導(dǎo)線截面的半徑，與質(zhì)量的關(guān)系為， 證畢。7-7 長(zhǎng)度為L(zhǎng)的銅棒，以距端點(diǎn)（A） a 處為支點(diǎn)，并以角速率 w 繞通過(guò)支點(diǎn)垂直于銅棒的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)磁感強(qiáng)度為的均勻磁場(chǎng)與軸平行，求棒兩端的電勢(shì)差。解:以支點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)0，在距O點(diǎn)為處取一線元，其方向指向B，則該線元相對(duì)磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)速度垂直于和，其大小為 故在內(nèi)產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為所以 7-8 在如本題圖所示的平面內(nèi)，無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線通有穩(wěn)恒電流I 。一長(zhǎng)為L(zhǎng) 的金屬棒，繞其一端O 在此平面內(nèi)按順時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，角速度為w 。當(dāng)金屬棒轉(zhuǎn)至與長(zhǎng)直導(dǎo)線垂直（ON ）位置時(shí)，棒內(nèi)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向。解：建立坐標(biāo)系，在 ON 上取線元 dl ，則， ， 方向

9、O->N7-9 一電阻為R =2.0 W 的閉合回路，處于變化的磁場(chǎng)中（見題 7-9 圖）。若通過(guò)回路的磁通量與時(shí)間的關(guān)系為F m = (5t2+8t+2)×10-3 Wb，求t = 2s時(shí)回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)及感應(yīng)電流。解:, 時(shí) 電流大小為 方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较?-10 兩線圈的自感分別為L(zhǎng)1和L2，它們之間的互感為M。（1）將兩線圈順串聯(lián)，如圖(a)所示。求1和4之間的自感。（2）將兩線圈反串聯(lián)，如圖(b)所示。求1和3之間的自感。解：（1）將導(dǎo)線順著串聯(lián)，設(shè)通有電流I，線圈內(nèi)的磁通量為，總磁通鏈數(shù)為，其中由兩線圈自感L1，L2產(chǎn)生的磁通鏈數(shù)為，。由兩線圈之間互感產(chǎn)生的磁通鏈數(shù)

10、為，所以，總磁通鏈數(shù),由，則（2）將兩導(dǎo)線反串聯(lián)，設(shè)通有電流I，線圈總磁通鏈數(shù)為，其中由兩線圈自感L1，L2和它們之間互感產(chǎn)生的磁通鏈數(shù)分別為，所以，由，則7-11 已知兩共軸螺線管，外管線圈半徑為r 1 ，內(nèi)管半徑為r 2 ，線圈匝數(shù)分別為 N1 及N2 。試證它們的互感系數(shù)為 。式中L1和L2分別為兩螺線管的自感系數(shù)，稱為兩螺線管的耦合系數(shù)。證明: 設(shè)管長(zhǎng)為，內(nèi)管通有電流，可知管內(nèi)磁感強(qiáng)度及磁通鏈數(shù)分別為：由 得內(nèi)管的自感系數(shù)為同理得外管的自感系數(shù)為 由 可得 （1）又因?yàn)?（2）(1)、（2）兩式右邊相同, 故7-12 一螺繞環(huán)，橫截面的半徑為 a ，中心線的半徑為R，R »

11、a ，其上由表面絕緣的導(dǎo)線均勻地密繞兩個(gè)線圈，一個(gè)N1 匝，另一個(gè)N2 匝。試求：（1）兩線圈的自感L1和L2；（2）兩線圈的互感M；（3）M與L1和L2的關(guān)系。解：（1）設(shè)線圈1中通有電流，因?yàn)镽 » a，故螺線管內(nèi)的磁場(chǎng)近似為勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為，通過(guò)某個(gè)橫截面的磁通量為，自感系數(shù)為同理可得（2）設(shè)線圈1中通有電流I1，則螺繞環(huán)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度在線圈2中的磁通鏈數(shù)為（3）由它們的表達(dá)式可見7-13 兩根平行長(zhǎng)直導(dǎo)線，橫截面的半徑都是 a ，中心相距為 d ，屬于同一回路。設(shè)兩導(dǎo)線內(nèi)部的磁通量都可略去不計(jì)。證明：這樣一對(duì)導(dǎo)線，其長(zhǎng)為 l 的一段的自感為：解：兩根長(zhǎng)直導(dǎo)線在它們之間所

12、產(chǎn)生的磁場(chǎng)沿y軸正方向，該磁場(chǎng)的大小為    . 忽略導(dǎo)線內(nèi)部磁通量，一對(duì)導(dǎo)線長(zhǎng)為l的一段的自感為.7-14 一螺線管的自感系數(shù)為0.010H，通過(guò)它的電流為4A，試求它貯藏的磁場(chǎng)能量。解: 7-15 一無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線，截面各處的電流密度相等，總電流為I，試證：每單位長(zhǎng)度導(dǎo)線內(nèi)所貯藏的磁能為 mI 2/16p 。解：載流長(zhǎng)直導(dǎo)線內(nèi)磁場(chǎng)線是以對(duì)稱軸為圓心的一系列同心圓，取半徑為的圓為安培環(huán)路L，有 在長(zhǎng)直導(dǎo)線內(nèi)取半徑為，厚度為，高為單位長(zhǎng)的薄壁圓筒體積元，如圖所示，體積元內(nèi)磁能密度為直導(dǎo)線內(nèi)總磁能為7-16 在真空中，若一均勻電場(chǎng)中的電場(chǎng)能量密度與一個(gè)0.50T的均勻磁場(chǎng)中的磁

13、場(chǎng)能量密度相等，該電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為多少？解:真空中，電場(chǎng)能量密度 磁場(chǎng)能量密度兩者相等 7-17 試證：平行板電容器中的位移電流可寫為 。式中C是電容器的電容，U是兩板板間的電勢(shì)差。證明：對(duì)任意形狀的電容器，t時(shí)刻極板帶電量，當(dāng)不變時(shí)，7-18 半徑為R =0.10m的兩塊圓板，構(gòu)成平行板電容器，放在真空中。今對(duì)電容器勻速充電，使兩板間電場(chǎng)的變化率為。求兩板間的位移電流，并計(jì)算電容器內(nèi)離兩板中心連線 r （<R）處的磁感強(qiáng)度 B r ，以及r = R 處的BR 。解：通常假定平板電容器極板間距很小，可以忽略邊緣效應(yīng)，認(rèn)為電場(chǎng)局限在兩極板間。（1）電容器的極板面積為，穿過(guò)以L為邊界的圓平面

14、的電位移通量為，位移電流為（2）在兩極板間取半徑為r的磁場(chǎng)線為安培回路L，當(dāng)時(shí)，電位移通量為，位移電流為，由于磁場(chǎng)的對(duì)稱性，H的方向在圓周回路L的切線方向，大小處處相等，根據(jù)全電流定理，得則 當(dāng)時(shí)， 7-19 如圖所示，電荷 +q以速度 向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（+q 到O的距離以x 表示）。在O點(diǎn)處作一半徑為 a 的圓，圓面與垂直，試計(jì)算通過(guò)此圓面的位移電流。設(shè)圓周上各點(diǎn)處的磁場(chǎng)強(qiáng)度為（的方向如何？想一想），試按全電流定律算出。與第六章講過(guò)的運(yùn)動(dòng)電荷磁場(chǎng)公式是否相同？解：由運(yùn)動(dòng)電荷的磁感強(qiáng)度表示式可以看出，該磁場(chǎng)具有軸對(duì)稱性，即以電荷運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檩S線，與軸線距離相等并與電荷距離相等處磁感強(qiáng)度大小相等，方向在垂直于軸線并以軸線為中心的圓的切線方向。以半徑為a的圓中心到電荷的距離為x，其邊緣到電荷的距離，當(dāng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷周圍電場(chǎng)具有球?qū)ΨQ性。以電荷為中心，r為半徑的球的電位移通量為，通