高等數(shù)學(xué)上定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用課件

1、上頁下頁結(jié)束返回首頁第三節(jié)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用 第六六章 上頁下頁結(jié)束返回首頁一、一、 變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力設(shè)物體在連續(xù)變力 F(x) 作用下沿作用下沿 x 軸從軸從 xa 移動到移動到,bx 力的方向與運動方向平行力的方向與運動方向平行, 求變力所做的功求變力所做的功 .xabxxxd，上任取子區(qū)間在d,xxxba在其上所作的在其上所作的功元功元素素為為xxFWd)(d因此變力因此變力F(x) 在區(qū)間在區(qū)間 ,ba上所作的功為上所作的功為baxxFWd)(上頁下頁結(jié)束返回首頁例例1.一個單一個單求電場力所作的功求電場力所作的功 . qorabrrdr 11解

2、解: 當(dāng)單位正電荷距離原點當(dāng)單位正電荷距離原點 r 時時,由由庫侖定律庫侖定律電場力為電場力為2rqkF 則則功的元素功的元素為為rrqkWdd2所求功為所求功為barrqkWd2rqk1ab)11(baqk說明說明:處的電勢為電場在ar arrqkd2aqk位正電荷沿直線從距離點電荷位正電荷沿直線從距離點電荷 a 處移動到處移動到 b 處處 (a b) , 在一個帶在一個帶 +q 電荷所產(chǎn)生的電場作用下電荷所產(chǎn)生的電場作用下, P288-1上頁下頁結(jié)束返回首頁S例例2.體體, 求移動過程中氣體壓力所求移動過程中氣體壓力所ox解解:由于氣體的膨脹由于氣體的膨脹, 把容器中的一個面積為把容器中的

3、一個面積為S 的活塞從的活塞從點點 a 處移動到點處移動到點 b 處處 (如圖如圖), 作的功作的功 .ab建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系如圖如圖.xxdx 由波義耳由波義耳馬略特定律知壓強馬略特定律知壓強 p 與體積與體積 V 成反比成反比 , 即即,SxkVkp 功元素功元素為為WdxFdxxkd故作用在活塞上的故作用在活塞上的SpFxk所求功為所求功為baxxkWdbaxk lnabkln力為力為在底面積為在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有一定量的氣的圓柱形容器中盛有一定量的氣 P288-2上頁下頁結(jié)束返回首頁例例3.試問要把桶中的水全部吸出需作多少功試問要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解:

4、 建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系如圖如圖.oxm3xxxdm5在任一小區(qū)間在任一小區(qū)間d,xxx上的一薄層水的重力為上的一薄層水的重力為gxd32這薄層水吸出桶外所作的功這薄層水吸出桶外所作的功(功元素功元素)為為Wdxxdg9故所求功為故所求功為50Wxxdg9g922xg5 .112( KJ )設(shè)水的密設(shè)水的密度為度為05(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為一蓄滿水的圓柱形水桶高為 5 m, 底圓半徑為底圓半徑為3m, P289-3上頁下頁結(jié)束返回首頁面積為面積為 A 的平板的平板二、液體側(cè)壓力二、液體側(cè)壓力設(shè)液體密度為設(shè)液體密度為 深為深為 h 處的壓強處的壓強: hpgh當(dāng)平板與水面平行時當(dāng)平板與水

5、面平行時, ApP 當(dāng)平板不與水面平行時當(dāng)平板不與水面平行時,所受側(cè)壓力問題就需用積分解決所受側(cè)壓力問題就需用積分解決 .平板一側(cè)所受的壓力為平板一側(cè)所受的壓力為上頁下頁結(jié)束返回首頁小窄條上各點的壓強小窄條上各點的壓強xpg33g2R例例4. 的的液體液體 , 求桶的一個端面所受的側(cè)壓力求桶的一個端面所受的側(cè)壓力. 解解: 建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系如圖如圖. 所論所論半圓半圓的的22xRy)0(Rx 利用對稱性利用對稱性 , 側(cè)壓力元素側(cè)壓力元素RP0 xxRxdg222oxyRxxxd222xR Pdxg端面所受側(cè)壓力為端面所受側(cè)壓力為xd方程為方程為一水平橫放的半徑為一水平橫放的半徑為R 的圓

6、桶的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為內(nèi)盛半桶密度為 P290-4上頁下頁結(jié)束返回首頁0arcsin22g4222RRxRxRxR,d222xxR 說明說明:當(dāng)桶內(nèi)充滿液體時當(dāng)桶內(nèi)充滿液體時, )(gxR 小窄條上的壓強為小窄條上的壓強為側(cè)壓力元素側(cè)壓力元素Pd故端面所受側(cè)壓力為故端面所受側(cè)壓力為RRxxRxRPd)(g222奇函數(shù)奇函數(shù)3gR)(gxRRxxRR022dg4tRxsin令oxyRxxxd上頁下頁結(jié)束返回首頁三、三、 引力問題引力問題質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為21, mm的質(zhì)點的質(zhì)點 , 相距相距 r ,1m2mr二者間的引力二者間的引力 :大小大小:221rmmkF 方向方向:沿兩質(zhì)點的連線沿兩

7、質(zhì)點的連線若考慮若考慮物體物體對質(zhì)點的引力對質(zhì)點的引力, 則需用積分解決則需用積分解決 .上頁下頁結(jié)束返回首頁例例5. 設(shè)有一長度為設(shè)有一長度為 l, 線密度為線密度為 的均勻細(xì)直棒的均勻細(xì)直棒,其中垂線上距其中垂線上距 a 單位處有一質(zhì)量為單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點的質(zhì)點 M,M該棒對質(zhì)點的引力該棒對質(zhì)點的引力.解解: 建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系如圖如圖.y2l2l,dxxx細(xì)棒上小段細(xì)棒上小段對質(zhì)點的引力大小為對質(zhì)點的引力大小為 dkF xm d22xa 故垂直故垂直分力元素分力元素為為cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkaxox在在試計算試計算FdxFdyF

8、dxxdP291-5上頁下頁結(jié)束返回首頁利用對稱性利用對稱性223022)(d2lxaxamkFy02222lxaaxamk22412laalmk由對稱性由對稱性,棒對質(zhì)點引力的棒對質(zhì)點引力的水平分力水平分力.0 xF22412llmkFaa故棒對質(zhì)點的故棒對質(zhì)點的引力大小引力大小為為2lFdxFdyFdMy2laox xxxd棒對質(zhì)點的引力的棒對質(zhì)點的引力的垂直分力垂直分力為為 上頁下頁結(jié)束返回首頁y2l2laoxxxdx說明說明:amk22) 若考慮質(zhì)點克服引力沿若考慮質(zhì)點克服引力沿 y 軸從軸從 a 處處1) 當(dāng)細(xì)棒很長時當(dāng)細(xì)棒很長時,可視可視 l 為無窮大為無窮大 ,此時引力大小此時引

9、力大小為為方向與細(xì)棒垂直且指向細(xì)棒方向與細(xì)棒垂直且指向細(xì)棒 .移到移到 b (a b) 處時克服引力作的功處時克服引力作的功,bybalyyylmkW224d222412llmkyyWdyd則有則有22412llmkFaa上頁下頁結(jié)束返回首頁loxyacosdFyFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xaxxmklyxaxamkF02223)(dlxxaxxmkF02223)(d引力大小為22yxFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFdsindF注意正負(fù)號3) 當(dāng)質(zhì)點位于棒的左端點垂線上時當(dāng)質(zhì)點位于棒的左端點垂線上時, 上頁下頁結(jié)束返回首頁內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 先用微元分析

10、法求出它的微分表達(dá)式 dQ一般微元的幾何形狀有:扇扇、片片、殼殼 等.(2) 然后用定積分來表示整體量 Q , 并計算之. 1.用定積分求一個分布在某區(qū)間上的整體量 Q 的步驟:2.定積分的物理應(yīng)用:變力作功 , 側(cè)壓力 , 引力, 轉(zhuǎn)動慣量等.條條、段段、環(huán)環(huán)、帶帶、上頁下頁結(jié)束返回首頁(99考研)思考與練習(xí)思考與練習(xí)提示提示: 作 x 軸如圖.ox30 xxd1.為清除井底污泥, 用纜繩將抓斗放入井底, 泥后提出井口,纜繩每在提升過程中污泥以20N /s 的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度為3m /s , 問克服重力需作多少焦耳(

11、J ) 功?已知井深30 m , 抓斗自重400N , 將抓起污泥的抓斗由抓起污x 提升 dx 所作的功為 米重50N ,上頁下頁結(jié)束返回首頁提升抓斗中的污泥:井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 纜繩每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度為3ms, 污泥以 20Ns 的速度從抓斗縫隙中漏掉ox30 xxdxWd400d1克服纜繩重:xxWd)30(50d2抓斗升至 x 處所需時間 :) s (3x(J)91500 xxWxd)202000()30(504003300 xWxd)202000(d33321ddddWWWW克服抓斗自重: 上頁下頁結(jié)束返回首頁xyoAB2.

12、設(shè)星形線設(shè)星形線taytax33sin,cos上每一點處線密上每一點處線密度的大小等于該點到原點距離的立方度的大小等于該點到原點距離的立方,提示提示: 如圖如圖.2222d)(d23yxsyxkFsyxkd)(2122cosddFFxsyxxyxkd)(222221sxkdsinddFFysykd),(yxsd在點在點O 處有一單處有一單 位質(zhì)點位質(zhì)點 ,求星形線在第一象限的弧段對這質(zhì)點的引力求星形線在第一象限的弧段對這質(zhì)點的引力.上頁下頁結(jié)束返回首頁同理同理takFx203costttattadcossin3)sin(cos32222tttkadsincos32042253ak253akFy

13、故星形線在第一象限的弧段對該質(zhì)點的故星形線在第一象限的弧段對該質(zhì)點的2253akF xFd,dsxkyFdsykd;sin,cos33taytaxxyoAB),(yxsd引力大小為引力大小為作業(yè)作業(yè): P291 2 , 3 , 5 , 9 , 12上頁下頁結(jié)束返回首頁銳角 取多大時, 薄板所受的壓力 P 最大 .備用題備用題斜邊為定長的直角三角形薄板, 垂直放置于解解: 選取坐標(biāo)系如圖. 設(shè)斜邊長為 l ,水中, 并使一直角邊與水面相齊, coscotlxyxxygdsin02d)coscot(lxxlxg)cos(cos633lgloyxy則其方程為問斜邊與水面交成的xxxdsin0lP上頁

14、下頁結(jié)束返回首頁)cos(cos633lgP,0ddP令33arccos0故得唯一駐點 故此唯一駐點0即為所求. 由實際意義可知最大值存在 ,即0sincos3sin2, ),0(2loyxyxxxd上頁下頁結(jié)束返回首頁四、轉(zhuǎn)動慣量四、轉(zhuǎn)動慣量 (補充補充)質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的質(zhì)點關(guān)于軸的質(zhì)點關(guān)于軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為的轉(zhuǎn)動慣量為l2rmI 的質(zhì)點系的質(zhì)點系),2, 1(,nimrlii質(zhì)量為的距離為與軸21iniirmI若考慮若考慮物體物體的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量 , 則需用積分解決則需用積分解決 .r關(guān)于軸關(guān)于軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為的轉(zhuǎn)動慣量為m上頁下頁結(jié)束返回首頁例例6. 求圓盤對通過中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量求圓盤對通過中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量 ; 求圓盤對直徑所在軸的轉(zhuǎn)動慣量求圓盤對直徑所在軸的轉(zhuǎn)動慣量 .解解: 建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系如圖如圖.設(shè)圓盤面密度為設(shè)圓盤面密度為 .的對應(yīng)于d,xxx小圓環(huán)質(zhì)量小圓環(huán)質(zhì)量xx d2對應(yīng)于對應(yīng)于d,xxx的小圓環(huán)對軸的小圓環(huán)對軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為的轉(zhuǎn)動慣量為xxId2d3故圓盤對軸故圓盤對軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量為的轉(zhuǎn)動慣量為RxxI03d2421R221R