對(duì)氣體等溫氣壓公式的修正doc

1、對(duì)氣體等溫氣壓公式的修正 魏國(guó)柱，顧永偉，杜安在<<大學(xué)物理>>和一些熱學(xué)教材中，都給出了氣體等溫氣壓公式，其推導(dǎo)步驟如下：設(shè)N 和N 0分別是離地面高度z 和地面z =0處的氣體分子數(shù)密度，是氣體分子的摩爾質(zhì)量，g 是重力加速度，R 是氣體常 數(shù)，T 是絕對(duì)溫度，則氣體分子在重力場(chǎng)中按高度的分布公式是N =N 0e -gz /RT ， （1）再利用理想氣體狀態(tài)方程p =Nk B T ， （2）其中k B 是玻爾茲曼常數(shù)，和等溫平衡過(guò)程方程（3） T =c ，得到氣體等溫氣壓公式p =p 0e -gz /RT . （4）式（4）表明，在溫度均勻情形下，大氣壓強(qiáng)隨高度增加

2、按指數(shù)衰減. 由式（4）可得z =RT p 0 . （5）ln g p由于實(shí)際上大氣的溫度是隨離地面的高度而變化的，因此在爬山和航空中，由式（5）根據(jù)所測(cè)定的大氣壓強(qiáng)隨高度的變化來(lái)計(jì)算上升的高度時(shí)，得到的只是近似結(jié)果. 為了得到比較接近實(shí)際的結(jié)果，必須把式（4）和式（5）進(jìn)行修正. 在熱力學(xué)中，表示實(shí)際過(guò)程中理想氣體的壓強(qiáng)和體積關(guān)系的是多方過(guò)程. 顯然, 考慮到大氣溫度隨高度的變化，當(dāng)同樣把大氣作為理想氣體，用多方平衡過(guò)程方程取代等溫平衡過(guò)程方程，推導(dǎo)出相應(yīng)的氣壓公式會(huì)比較接近實(shí)際. 1 氣體多方平衡過(guò)程的氣壓公式的推導(dǎo)取坐標(biāo)如圖1所示，在氣體中沿Z 方向隔離一個(gè)圓柱形體積微元，這一體積微元的

3、力學(xué)平衡條件為（6） pS =(p +dp S +gSdz ，其中S 是圓柱形體積微元的底面積，是離地面高度z 處的氣體密度，dp 是在高度z +dz 和z 處之間的壓強(qiáng)差. 容易得到dp =-gdz . （7）理想氣體的多方平衡過(guò)程方程是 z zpV n =c ， （8）其中n 是多方指數(shù)，顯然當(dāng) n =1時(shí)對(duì)應(yīng)的是等溫平衡過(guò)程.對(duì)一定質(zhì)量的氣體，體積 V 和密度成反比，多方平衡過(guò)程方程可改寫(xiě)為p -n =c '. （9）式（8）和式（9）中的 c 和 c '是常數(shù). 如果大氣在地面 壓強(qiáng)為p 0，在高度為z =0的密度為0，z 時(shí)的密度為，壓強(qiáng)為p ，則有：p -n =p

4、00-n ， （10）得1p n=( 0. （11）p 0把式（11）代入式（7）得 p dp =-p 00gdz . （12）完成自地面 z =0 到離地面的高度 z 的積分有n -1n -11n -n n(p -p 0 =-p 0n 0gz ， （13） n -1-1n-1n整理后得-1nRT 0p n nz =1-( ， （14）(n -1 g p 0其中 T 0 是地面 z =0 處的絕對(duì)溫度. 在得到式（14）時(shí)我們用到了理想氣體的狀態(tài)方程式（2）. 由此得到氣體多方過(guò)程的氣壓公式：(n -1 gz n n p =p 01-1 . （15）nRT 0有意思的是，若令x =-(n -1 gz， （16）nRT 0則式（15）可寫(xiě)成p =p 0(1+x 1-gzRT 0x， （17）當(dāng) n 1，即等溫平衡過(guò)程 ，x 0，利用lim (1+x =e ，x 01x有p =p 0e-gzRT