中考壓軸題的研究與復(fù)習(xí)策略

1、中考壓軸題的研究與復(fù)習(xí)策略劉勇華【摘要】 本文通過對近年廣東省中考數(shù)學(xué)壓軸題的初探，分析考查的數(shù)學(xué)知識、方法和思想，提出解答的一些策略。【關(guān)鍵詞】 壓軸題；策略；變換；規(guī)律；代數(shù)與幾何。中考復(fù)習(xí)備考時間緊，任務(wù)重，要求高，如何提高數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)備考的質(zhì)量和效益，是每位畢業(yè)班數(shù)學(xué)教師必須面對的問題。尤其是壓軸題，我們老師講了，學(xué)生練了，但很多同學(xué)總覺得心中還是沒有底,這是為什么呢？我認(rèn)為是對根底知識掌握不牢，對根本概念尚未完全把握所致。有些同學(xué)是做了很多題，但僅限于得到了答案，而沒有從中找到解題的方法，沒有從中找到規(guī)律，因而無論題做多少都覺得心中沒有底。下面結(jié)合近幾年中考壓軸題，談幾點(diǎn)粗淺體會。1

2、 近幾年廣東中考壓軸題考查情況1.1 近幾年中考壓軸題型一覽2021年2021年2021年2021年20題閱讀理解題韋達(dá)定理旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換代數(shù)找規(guī)律21題旋轉(zhuǎn)變換閱讀理解換元法代數(shù)找規(guī)律幾何綜合相似、等腰直角三角形22題直角三角形、等腰梯形、平移、平面直角坐標(biāo)系等相關(guān)的綜合運(yùn)用正方形中的動點(diǎn)問題、全等、相似及最大面積求解 動點(diǎn)問題、相似、矩形、三角形、 最值問題的 綜合運(yùn)用二次函數(shù)中線動問題、特殊平行 四邊形1.2 幾個考查的知識點(diǎn)1、幾何題設(shè)計新穎，大多數(shù)是牽涉到圖形變換，其中以平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形變換為解題思路的題目更是成為中考壓軸大戲的主角，而且?guī)缀趺糠菰嚲矶加小?、規(guī)律探索或閱讀理

3、解題，這類題目本身蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)探索思想，給出一段文字或式子來理解推理，表達(dá)了從特殊到一般的發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是中考的一個重難點(diǎn)。3、函數(shù)與幾何綜合問題，坐標(biāo)系下考查動點(diǎn)問題，求最值問題或存在性問題，此類題目考查的知識點(diǎn)多且繁，對綜合能力有較高的要求。2 策略與建議中考數(shù)學(xué)壓軸題近些年來與數(shù)形結(jié)合、動態(tài)幾何、動手操作、實(shí)驗(yàn)探究、規(guī)律探索等方向密切聯(lián)系。這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的是考察學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識、推理能力等。從數(shù)學(xué)思想的層面上講：運(yùn)動觀點(diǎn)、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、轉(zhuǎn)化思想等。這就要求學(xué)生具備扎實(shí)的根底知識和熟練的根本技能。2.1 熟練掌握圖形

4、變換，尤其是旋轉(zhuǎn)變換我們的同學(xué)一碰到運(yùn)動的問題就心神不寧，我們要給他們吃定心丸，運(yùn)動是為結(jié)果的靜止效勞的，要教會他們“以靜制動，做到“心如止水。 近幾年的中考，一些題型靈活、設(shè)計新穎、富有創(chuàng)意的壓軸試題涌現(xiàn)出來，其中一類以平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形變換為解題思路的題目更是成為中考壓軸大戲的主角。不過這些傳說中的主角，并沒有大家想象的那么神秘，只是我們需要找出這些壓軸題目的切入點(diǎn)。2.1.1 相關(guān)知識平移，我們簡單地概括為：“一變，兩不變，三對應(yīng)，兩相等，兩平行。即平移前后，一變：圖形的位置發(fā)生了改變；兩不變：形狀和大小沒有發(fā)生改變；三對應(yīng)：對應(yīng)點(diǎn)、對應(yīng)角、對應(yīng)線段；兩相等：對應(yīng)角相等、對應(yīng)線段相等

5、；兩平行：對應(yīng)線段平行、對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行。旋轉(zhuǎn)：我們將一個旋轉(zhuǎn)中心、三個對應(yīng)關(guān)系和五個相等關(guān)系概括為“一中心，三對應(yīng)，四相等；將位置發(fā)生了變化，形狀和大小沒有發(fā)生變化概括為“一變兩不變。2.1.2 解題攻略要學(xué)會挖掘變換前后變與不變隱含的條件，善于處理五種關(guān)系：靜與動的關(guān)系，位置關(guān)系，對應(yīng)關(guān)系，相等關(guān)系，形狀關(guān)系。構(gòu)造定理所需的圖形或根本圖形。在解決問題的過程中，有時添加輔助線是必不可少的。中考對學(xué)生添線的要求還是挺高的，但添輔助線幾乎都遵循這樣一個原那么：構(gòu)造定理所需的圖形或構(gòu)造一些常見的根本圖形。做不出、找相似，有相似、用相似。壓軸題牽涉到的知識點(diǎn)較多，知識轉(zhuǎn)化的難度較高。學(xué)生往往不知

6、道該怎樣入手，這時往往應(yīng)根據(jù)題意去尋找相似三角形。學(xué)習(xí)從復(fù)雜圖形中別離出根本圖形方法。由于圖形變化的綜合題往往作為壓軸題，問題較多，圖形復(fù)雜，要訓(xùn)練學(xué)生快速提煉出有用的圖形來研究，排除其他圖形的干擾。要教會學(xué)生大膽地讓圖形按照題意運(yùn)動起來，細(xì)心觀察到特殊位置，做出大膽猜測，運(yùn)用條件進(jìn)行驗(yàn)證，最后證明之?？傊?，問題的切入點(diǎn)很多，考試時也不是一定要找到那么多，往往只需找到一兩個就行了，關(guān)鍵是找到以后一定要敢于去做。有些同學(xué)往往想想覺得不行就放棄了，其實(shí)絕大多數(shù)的題目只要想到上述切入點(diǎn)，認(rèn)真做下去，問題根本都可以得到解決。例2.1.12021廣東兩個全等的直角三角形紙片ABC、DEF，如圖1放置，點(diǎn)

7、B、D重合，點(diǎn)F在BC上，AB與EF交于點(diǎn)G.CEFB90°，EABC30°，ABDE41求證：是等腰三角形；圖1圖22假設(shè)紙片DEF不動，問繞點(diǎn)F逆時針旋轉(zhuǎn)最小_度時，四邊形ACDE成為以ED為底的梯形如圖2求此梯形的高分析：第(1)問，找好對應(yīng)關(guān)系，純屬送分；第(2)問，讓圖形按照題意運(yùn)動起來，30度并不難發(fā)現(xiàn)，從而構(gòu)造出梯形，再別離出根本圖形逐步擊破。例2.1.22021廣東如圖1，ABC與EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=AC=EF=9，BAC=DEF=90º，固定ABC，將DEF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時，旋轉(zhuǎn)中止現(xiàn)不考慮旋轉(zhuǎn)開

8、始和結(jié)束時重合的情況，設(shè)DE，DF(或它們的延長線)分別交BC(或它的延長線) 于G，H點(diǎn)，如圖(2).圖(1)BHFADGCECEBFAD圖(2)1問：始終與AGC相似的三角形有HAB及HGA；2設(shè)CG=x，BH=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式只要求根據(jù)圖(2)的情形說明理由；3問：當(dāng)x為何值時，AGH是等腰三角形.分析：利用旋轉(zhuǎn)過程中三角形全等，找到角之間的關(guān)系，推得三角形相似；再利用三角形相似得到對應(yīng)邊的比相等而得到函數(shù)關(guān)系式。解題思路相當(dāng)清晰，但為什么我們的學(xué)生就是團(tuán)團(tuán)轉(zhuǎn)，沒有個所以然呢？糾其原因，不外乎就是被紛繁的條件困住，這時我們就要發(fā)輝“分段得分思想，有時也不要忘了從結(jié)果去找條件來解

9、決問題。第(3)問，有些學(xué)生看到題就胡亂計算了，不會將問題中的等腰三角形當(dāng)成條件來利用，把操作性題目先轉(zhuǎn)為探究性問題來進(jìn)行；另一方面是考查學(xué)生讀題、畫圖的能力和指向性論證能力；要結(jié)合到旋轉(zhuǎn)的知識，分類討論解決之。2.2 規(guī)律探索問題2.2.1 相關(guān)知識數(shù)列或式，常見數(shù)列的一般公式：等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及前n項(xiàng)和公式。從一次函數(shù)的角度來理解等差數(shù)列通項(xiàng)公式。幾何圖形三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓、全等的性質(zhì)、相似形自相似。從等比數(shù)列的通項(xiàng)公式來理解自相似圖形。2.2.2 解題攻略要抓題目里的變量。數(shù)學(xué)規(guī)律的題目，都會涉及到一個或者幾個變化的量。所謂找規(guī)律，多數(shù)情況下，是指

10、變量的變化規(guī)律。所以，抓住了變量，就等于抓住了解決問題的關(guān)鍵。要善于比擬?！坝斜葦M才有鑒別。通過比擬，可以發(fā)現(xiàn)事物的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，更容易找到事物的變化規(guī)律。找規(guī)律的題目，通常按照一定的順序給出一系列量，要求我們根據(jù)這些的量找出一般規(guī)律。揭示的規(guī)律，常常包含著事物的序列號。所以，把變量和序列號放在一起加以比擬，就比擬容易發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。要善于尋找事物的循環(huán)節(jié)周期性。規(guī)律不可防止地包含著循環(huán)規(guī)律，找到了事物的循環(huán)規(guī)律，其他問題就可以迎刃而解。要抓住題目中隱藏的不變量。有些題目，雖然形式發(fā)生了變化，但是本質(zhì)并沒有改變。我們只要在觀察形式變化的過程中，始終注意尋找它的不變量，就可以揭示出事物的本質(zhì)規(guī)

11、律。要進(jìn)行計算嘗試。找規(guī)律，當(dāng)然是找數(shù)學(xué)規(guī)律。而數(shù)學(xué)規(guī)律，多數(shù)是數(shù)字的規(guī)律，有時能用函數(shù)的解析式來反映。函數(shù)的解析式里常常包含著數(shù)學(xué)運(yùn)算。因此，找規(guī)律，在很大程度上是在找能夠反映量的數(shù)學(xué)運(yùn)算式子。所以，從運(yùn)算入手，嘗試著做一些計算，也是解答找規(guī)律題的好途徑。學(xué)會檢驗(yàn)。有些同學(xué)能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但所得表達(dá)式卻不能準(zhǔn)確表示規(guī)律，就是沒有檢驗(yàn)，良好的檢驗(yàn)習(xí)慣能確保答題的準(zhǔn)確率。例2.2.12021廣東下數(shù)表是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答.12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 2526 27 28 29

12、30 31 32 33 34 35 36 1表中第8行的最后一個數(shù)是_，它是自然數(shù)_的平方，第8行共有_個數(shù)；2用含n的代數(shù)式表示：第n行的第一個數(shù)是_，最后一個數(shù)是_，第n行共有_個數(shù)；3求第n行各數(shù)之和 分析：第(2)問，抓住變量，每個數(shù)遞增1，很多同學(xué)都知道，但沒有用到。原來第n行的第一個數(shù)，就是第(n-1)行的最后一個數(shù)+1?。∽詈蟛灰洐z驗(yàn)。例2.2.22021廣東閱讀以下材料：由以上三個等式相加，可得讀完以上材料，請你計算下各題：1寫出過程；2；3 分析：抓住題目中變的和不變的，在給出的等式中，左邊的乘數(shù)在變化，右邊的積后差也在變化；進(jìn)行比擬的因素也比擬多，應(yīng)從上到下、從左而右進(jìn)

13、行比擬；而第(3)問，那么需要由題目給出的方法進(jìn)行嘗試的計算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律。2.3 代數(shù)與幾何綜合題代數(shù)幾何綜合題從內(nèi)容上來說，是把代數(shù)中的數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)，幾何中的三角形、四邊形、圓等圖形的性質(zhì)，以及解直角三角形的方法、圖形的變換、相似等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合在一起，同時也融入了開放性、探究性等問題，如探究條件、探究結(jié)論、探究存在性等。經(jīng)?？疾榈念}目類型主要有坐標(biāo)系中的幾何問題，以及圖形運(yùn)動過程中求函數(shù)解析式問題等。2.3.1 相關(guān)知識以動態(tài)幾何為主線。此類題目以形為載體，依托點(diǎn)動、線動、面動，研究數(shù)量關(guān)系；通過設(shè)、表、列獲得函數(shù)關(guān)系式；研究特殊情況下的函數(shù)值。函數(shù)圖像中動點(diǎn)產(chǎn)生幾何圖形三角形

14、，特殊四邊形。點(diǎn)：求圖形的最后一個頂點(diǎn)時，先要分析圖形的邊和角的特點(diǎn)，進(jìn)而得出圖形是否為特殊圖形；根據(jù)未知圖形中邊做分類討論。角：或利用圖形中對應(yīng)角，在未知圖形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉(zhuǎn)等知識來推導(dǎo)邊的大小。 邊：假設(shè)邊均未給出，那么應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后利用等量關(guān)系來列方程求解。2.3.2 解題攻略以形論數(shù)，形象；以數(shù)折形，精確。要努力培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，動靜結(jié)合的邏輯思維能力、空間想象能力。需要認(rèn)真審題，分析、挖掘題目的隱含條件，“翻譯并轉(zhuǎn)化為顯性條件。特殊探路，一般推證。將復(fù)雜問題分解為根本問題，逐個擊破；準(zhǔn)確的判斷運(yùn)動會引起哪些圖形改變、哪些量

15、的變化，分清“父對象與“子對象。動手實(shí)踐，操作確認(rèn)。特別要重視運(yùn)動中的一些關(guān)鍵點(diǎn)，不僅有利于掌握運(yùn)動的情況，而且這些點(diǎn)往往是發(fā)生質(zhì)變的分界點(diǎn)。建立聯(lián)系，計算說明。要善于聯(lián)想和轉(zhuǎn)化，將以上得到的顯性條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)亟M合，比方說用含有變量的式子表示線段長，在直角坐標(biāo)系中，水平或垂直的線段長用坐標(biāo)之差表示；帶有時間、速度的題目，用路程表示線段長；把動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)幾何來計算說明。例2.3.12021廣東如圖1，ABC與EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=AC=EF=9，BAC=DEF=90º，固定ABC，將DEF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時，旋轉(zhuǎn)中止現(xiàn)不考慮旋轉(zhuǎn)開始和

16、結(jié)束時重合的情況，設(shè)DE，DF(或它們的延長線)分別交BC(或它的延長線) 于G，H點(diǎn)，如圖(2).圖(1)BHFADGCECEBFAD圖(2)1問：始終與AGC相似的三角形有HAB及HGA；2設(shè)CG=x，BH=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式只要求根據(jù)圖(2)的情形說明理由；3問：當(dāng)x為何值時，AGH是等腰三角形.分析：依形判數(shù)，以數(shù)助形是解函數(shù)型綜合題時重要的思想方法。此題根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，列方程函數(shù)來求解。有時還必須根據(jù)題目條件對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，舍去不合題意的解。此題第3問是典型的在圖形運(yùn)動過程中求函數(shù)解析式問題，讓圖形運(yùn)動起來，分類討論運(yùn)動中的各種情況，寫出自變量的取值范圍；把每種情況分別畫

17、圖，使圖形由“動變“靜，尋找兩個變量之間的等量關(guān)系。像第3問這樣，經(jīng)常利用所列出的函數(shù)解析式求解運(yùn)動過程中某一特殊狀態(tài)下的相關(guān)問題，這正表達(dá)了方程與函數(shù)的聯(lián)系。例2.3.22021廣東如圖，拋物線與y軸交于A點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于另一點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BCx軸，垂足為點(diǎn)C3，01求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；2動點(diǎn)P在線段OC上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個單位的速度向C移動，過點(diǎn)P作PNx軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N設(shè)點(diǎn)P移動的時間為t秒，MN的長度為s個單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；3設(shè)在2的條件下不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)O，點(diǎn)C重合的情況，連接CM，BN，當(dāng)t為何值時，四邊形BCMN為

18、平行四邊形？問對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由分析：動點(diǎn)問題，指的是一個或幾個點(diǎn)在線段、射線或弧線上運(yùn)動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題.一般會有兩種類型；這是一道函數(shù)中的動點(diǎn)問題。首先求出直線AB的函數(shù)解析式，用含有t的式子表示點(diǎn)N、M、P,MN=NP-MP；利用MN=BC建立方程，求出t為何值是平行四邊形，解出兩個答案，其中一個t值可以使平行四邊形BCMN為菱形，而另一個不可以。3 把壓軸題變成最有價值的壓臺戲近幾年壓軸題的設(shè)置一般是有兩至三個問，剛好符合“起點(diǎn)低，坡度緩，尾巴翹的特點(diǎn)，并不是高不可攀，我們要培養(yǎng)學(xué)生的信心，大膽去嘗試。有兩個建議供參考:1、分題得分：在解答時要把第1小題的分?jǐn)?shù)一定拿到，第2小題的分?jǐn)?shù)要力爭拿到，第3小題的分?jǐn)?shù)要爭取得到，這樣就大大提高了獲得中考數(shù)學(xué)高分的可能性。2、分段得分：一道中考壓軸題做不出來，不等于一點(diǎn)也不懂，一點(diǎn)也不會，要將片段的思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)，因此，要強(qiáng)調(diào)分段得分，因?yàn)橹锌际恰胺侄卧u分。因此，對中考壓軸題要理解多少做多少，最大限度地發(fā)揮自己的水平，把中考數(shù)學(xué)的壓軸題變成最有價值的壓臺戲?？偠灾瑧?yīng)從不同的側(cè)面、不同的角度，識別題目的條件和結(jié)論，注意挖掘隱蔽的條件和內(nèi)在聯(lián)系，區(qū)分條件和結(jié)論之間的關(guān)系、圖形的幾何特征與數(shù)、