小波理論基礎(chǔ)上的NVH分析與計算.

1、基于哈爾小波的降低汽車發(fā)動機(jī)體振動的最優(yōu)控制摘要 ：本文運(yùn)用哈爾小波討論了發(fā)動機(jī)體系統(tǒng)振動的建模和彈跳俯仰振動的最 優(yōu)控制。作者重點(diǎn)集中在基于哈爾小波的降低發(fā)動機(jī)體系統(tǒng)振動計算的發(fā)展上， 保證獲得理想的 L2 增益性能。引入了哈爾小波的性能，并利用它近似找到降低 振動的規(guī)律和最優(yōu)控制，只需求解代數(shù)方程而不用求解 Riccati 微分方程。數(shù)值 結(jié)果用來說明該方法的優(yōu)勢。關(guān)鍵字：哈爾小波發(fā)動機(jī)體系統(tǒng)控制減振1. 引言近年來，汽車的噪聲和振動變得越來越重要 22,25,31,32,37 。發(fā)動機(jī)產(chǎn)生 的振動通過動力總成裝置傳遞給底盤成為一大問題 （ 見圖 1，2）。發(fā)動機(jī)和動力 總成裝置通常以隔離

2、發(fā)動機(jī)和底盤、 限制發(fā)動機(jī)運(yùn)動為設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)。 發(fā)動機(jī)裝置是 一個有效的被動方法來隔離發(fā)動機(jī)振動傳到底盤的機(jī)構(gòu)。 然而，用于隔離的被動 方法只在高頻率范圍內(nèi)有效。 可是，發(fā)動機(jī)產(chǎn)生的振動干擾主要發(fā)生在低頻率范 圍 8,21,25,32 。這些振動是由于汽缸內(nèi)燃油爆燃和發(fā)動機(jī)不同部件的旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生 的（如圖 3）。為了衰減發(fā)動機(jī)的低頻振動，同時保證空間和數(shù)值不變，主動減 振方法是必須的。有很多控制技術(shù)，諸如比例積分導(dǎo)數(shù)（PID）或滯后補(bǔ)償、線性二次咼斯（LQG）、 H2、店、u-綜合前饋控制等，已經(jīng)被應(yīng)用于振動控制系統(tǒng) 1 , 3, 4, 10, 11, 15， 26， 28， 33， 34， 36，

3、37 。前饋控制的主要特征是：關(guān)于干擾源的信息是 可利用的，通常通過過濾X-最小平方差FX-LMS算法來實(shí)現(xiàn)?？墒?，在反饋控制 中,干擾源是假定未知的,于是存在多種不同的反饋控制方案來衰減未知煩擾, 從經(jīng)典方法到先進(jìn)方法。近來，通過Hx反饋控制得到的性能結(jié)果和通過用FX-LMS算法的前饋控制器得到的結(jié)果相比較，在32，37汽車發(fā)動機(jī)體振動系 統(tǒng)。通過比較發(fā)現(xiàn)，反饋控制器實(shí)現(xiàn)了干擾衰減，然而，相比于運(yùn)用FX-LMS算法的前饋控制器，反饋控制器性能要差些。另一方面，F(xiàn)X-LMS算法比較復(fù)雜，包含許多參數(shù)用來穩(wěn)定同步。 可是，最優(yōu)控制設(shè)計還沒有在汽車發(fā)動機(jī)體振動系 統(tǒng)中完全研究，仍是重要和富有挑戰(zhàn)性

4、的 。另一方面，小波理論相對較新，在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中是一個新興領(lǐng)域 2 。它 被廣泛應(yīng)用于各種工程學(xué)科，諸如信號處理、模式識別和計算圖形。近來，也有 些試圖用于解決表面積分方程， 改進(jìn)有限微分方法， 求解線性微分方程和非線性 偏微分方程以及建模非線性半導(dǎo)體方程 5-7 ， 13， 16-18， 23， 29. 最近，正在 研究用于識別控制非線性動力學(xué)系統(tǒng)的小波網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用 19 。chassis subfrmeengine mount point圖2奧迪A8的前橋，摘自24,32Engine Mouni.Engjnt Bloc!Chi 游PlftDAZ'Crunk圖3由發(fā)動機(jī)產(chǎn)生的振動傳遞

5、給底盤方程29，正交函數(shù)，像哈爾小波 13,16 ，Walsh方程7,block pulseLaguerre多項式14 , legendry多項式5 , Chebysher方程12和傅立葉級數(shù) 30,通常用來代表任意時間方程，在處理各種動力學(xué)系統(tǒng)中，已經(jīng)獲得人們相 當(dāng)?shù)年P(guān)注。這些技術(shù)的主要特征是將這些問題簡化為求解系統(tǒng)的代數(shù)方程，用微分方程描述求解問題，諸如分析線性時不變系統(tǒng)16,27，奇異攝動系統(tǒng)17，二階系統(tǒng)18，時變系統(tǒng)20,23，模型降階，優(yōu)化控制16-18,20和系統(tǒng)辨識 13,16。因此，求解識別和優(yōu)化過程大大降低或簡化很多。這些可利用的正交 函數(shù)可以分為3類：分段基礎(chǔ)函數(shù)，leg

6、endry諸如哈爾小波、Walsh方程和black pulse方程，正交多項式，諸如，Laguerre、legendry、hebysher和傅立葉級數(shù) 23中的正余弦函數(shù)。在這方面，我們第一次引入基于哈爾小波的用于有限最優(yōu)控制解決汽車發(fā)動 機(jī)體振動系統(tǒng)問題的計算求解。發(fā)動機(jī)體振動結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)為：用于研究 最優(yōu)控制的作動器和傳感器被選配。此外，哈爾小波的性質(zhì)、哈爾小波積分和 product operational矩陣被給予并應(yīng)用提供一個系統(tǒng)計算框架。汽車發(fā)動機(jī)體 振動系統(tǒng)的最優(yōu)Majectory?和有限時間最優(yōu)控制可以大概通過力性能獲得，H %性能通過求解線性代數(shù)方程而不是求解微分方程求得

7、。一個最主要的優(yōu)點(diǎn)是： 求解線性代數(shù)方程替代求解非線性微分Riccati方程，來優(yōu)化汽車發(fā)動機(jī)體振動系統(tǒng)的控制問題。另一個優(yōu)點(diǎn)是在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中基于哈爾小波的優(yōu)化控制可以簡單 完成。我們通過模擬結(jié)果演示這項技術(shù)的應(yīng)用。本文章的結(jié)果安排如下：第二部分引入哈爾小波的性質(zhì)，第三部分陳述了發(fā) 動機(jī)體振動結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，第四部分給出了發(fā)動機(jī)體系統(tǒng)的代數(shù)解，第五部分描述了基于哈爾小波的最優(yōu)方法和最優(yōu)控制。發(fā)動機(jī)體振動系統(tǒng)的最優(yōu)控制的模 擬結(jié)果在第六部分表示出來，最后討論結(jié)果。貫穿全文的批注都是相當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)的，矩陣Ir ，Or和Or*s是一致的，以及分別 用r*r,r*r,r*s表示零矩陣。符號和 <>

8、分別表示Kronecker乘積和內(nèi)積.同樣，tr(A)、vec(x)分別表示矩陣A的TRAC和通過將矩陣M排成一列獲得的向量。最后， 所給的符號x(t) , _ x(t) _2表示x(t)的L2平均數(shù)等等，_x(t) _22= _0x(t) Tx(t) dt ?、.2.哈爾小波的性質(zhì)最古老、最基本的小波系統(tǒng)命名為哈爾小波，它是一組方波，這些方波大小為土 1,在0，1區(qū)間6內(nèi)。換句話說，哈爾小波是定義在區(qū)間0, 1)L r w 0+ I)*(1)1 * tor t w 0, 4),一 L tor t 4* 1) *書 i (t)= 書 1(2 j t - k) 當(dāng) i > 1 時書 0(t

9、) and 書 1(t)我們將i寫成i = 2 j + k 對于j > 0 and 0< k < 2 j . 可以輕易看出書0(t)和書1(t) 緊緊支持。它們由相對應(yīng)的功能，在不同尺度j時給予局部 描述。 在接下來，我們引入哈爾小波的性質(zhì)，它會應(yīng)用于下面的部分。2.1函數(shù)逼近用在區(qū)間為0 , 1)的哈爾函數(shù)書0(t),書1(t),.,書m- 1(t) 術(shù)語表示的任何平方可積函數(shù)y(t)的有限次逼近值，用？ y(t)表述可如下給出：rtl Iy (t)=，歎險；=丿%(“1=0其中 a ：= a0a1 am-1-書 m- 1(t) T m = 2 j以及哈爾系數(shù)ai，它們可以

10、確定最小化平方積分錯率砧(F 一 &T%()2_m(t)：=書 0(t)書 1(t)記錄1.逼近差值_y(m) ：= y (t)- ?y (t)由m決定，增加解析參數(shù)m可以使之趨近于0.矩陣Hm定義為H/n = 2用伽)“心期* (fjjj L) (4)其中i/m < ti < i + 1 /m.。運(yùn)用等式(2)我們可以得到y(tǒng)(to)y(f) -=aT(5)向量M的積分可由下式逼近得到：/ 中剛什 1山=Pfl 4/71 (f I矩陣'_ '' :'表示在區(qū)間0, 1)，系數(shù)m表示分段常量基本功能的積分乘法矩陣。對于哈爾小波，平方矩陣Prt滿

11、足下面的 回歸方程13_ 1 r 2ffl Pm fl Hfn/2mPj = 1/2 and H石' =idiag(r)由(4)定義的矩陣Hn及向量r同樣可由下式表示其中m>2例如，j=3時，矩陣H8和P8可分別表示為rlr u- 1J- _ 旳旳s/0旳巾旳ro JJl JI. drf JJl. Jrf Jf. rff o 1 773 4 s- 6 7- LO123456rn n /f n. /I- -f,0 1 2 3 4 5 6 7olou-rnbFJi 1 呂斗旳-2Afj一出4和0nc =-164 nr"0-0r 32 -16 -8-8一 416 0-8K-A

12、4400-4_ 114 -4000_ 641 19iU-a001 1-2001 -1020I -10_20oloo-4斗00000-440400ou更多信息見13，272.2 The product operati onal matrix?13,20的乘積通常是必要的?，F(xiàn)定義乘積操作矩陣？估計兩個哈爾函數(shù)向量Am(0 ：= % 屮 f"Rm(t)滿足如下回歸方程Hm/2 d咤Wm/2diag ('Pfrtf)T diag (也怎Rm U)有 | ' ' 1更多的，我們%) ；= 0山) *11 卄Vi/2-l Ulr =助%f)：=為竝 Uh flr/2+J

13、(0臨一】"卩和需要如下性質(zhì)來簡化 The product operatio nal matrixi 11)其中a1=a0(12)H和 ding (&)diag (fij Hm/2)at）；=' a（m/2 1 °h、（ *） 丁 (12)(12)2L圖4發(fā)動機(jī)體振動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)(12)(12)圖5由在參數(shù)j=5時哈爾小波和解析解得到的底盤振動比較3發(fā)動機(jī)體系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型對于控制設(shè)計來說，一個發(fā)動機(jī)體系統(tǒng)的模型是必須的。通過37，可以擴(kuò)展出一個數(shù)學(xué)模型來模擬此系統(tǒng)。圖4表示一個圖解形式的發(fā)動機(jī)體振動系統(tǒng)， 用于這一控制系統(tǒng)的作動器和傳感器選定被配置。對于一個有輕

14、微阻尼的結(jié)構(gòu)， 這是一種理想的布置，來保證這一閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性28。此外，該控制器可檢 測單頻率信號，在某一特定頻率可用來模擬發(fā)動機(jī)干擾。在我們的研究中，只考慮發(fā)動機(jī)和機(jī)體的彈跳俯仰振動。質(zhì)量為 Me轉(zhuǎn)動慣 量為Ie的發(fā)動機(jī)，通過彈簧剛度為ke阻尼為ce懸置安裝在機(jī)體上。前裝置為主動 裝置，可以通過電信號控制力的輸出。 主動裝置包括一個主缸，它的慣性質(zhì)量上 下變動，這個慣性質(zhì)量由電磁力驅(qū)動，電磁力通過磁圈產(chǎn)生，由輸入電流控制。質(zhì)量為Mi轉(zhuǎn)動慣量為Ib的汽車車體由前后輪胎支撐，每一個部分作為一個包 含彈簧剛度為kb阻尼為cb的系統(tǒng)。這樣，一個四自由度的振動懸架模型如圖 4, 可以用如下等式描述：

15、+ 2ce + 2 2 22 (L 2(L = / + <4陽3遜4-左2 + 2(舄+炸)工22ce_i 2 T + 2( L f)化壬4+2 (£ = f人為 +2卩樺3 + 2l2kcxy 2/2Q.i4 2心詁斗=I f丿b 丘4 +(仏 + 4 L )ce +(£? + (£ 屁 + 2 Ekb)耳42/2ce.n 212kex 21 cei2 / 屆才| + 2(£. I)-I- L- I)kX2 L fx1(t), x 2(t), x 3(t) and x4(t)分別表示發(fā)動機(jī)及機(jī)體的彈跳和俯仰狀態(tài)。通 常x2(t)作為輸出。輸入力f

16、(t)用來當(dāng)作主動力補(bǔ)償振動傳遞給汽車車體(或底 盤)。更多的，由內(nèi)部不同部件上下運(yùn)動產(chǎn)生的發(fā)動機(jī)干擾 de(t)能被激發(fā)。系統(tǒng)(14)可以由下面的狀態(tài)空間形式表示：A/.v(r)+ C + K .r(z)(15)=Bf /(f) + B鳳(縱 t £ 0, TfCi x(t)z(t = Ci 壬(/)Cyf(t)其中，x(t) R4表示狀態(tài)，f (t) R是控制輸入。de(t) F是干擾輸入，它屬于L20, s), z(t) R3是控制輸出，C1 R1*4, C2 R1*4,C3為主動標(biāo)尺。狀態(tài)空間矩陣也可定義為哄0-2(L -訂殊r一2履2血+畑02(L -叭0n_-2lkt-2

17、T皺<L1+(£-2f)X + 2Z2*b_本文中，必須滿足下列條件，優(yōu)化反饋控制器才能計算出：1. 閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。2. 在零初始條件下，閉環(huán)系統(tǒng)滿足_ z(t)_2 < 丫_ de(t)_2。對于任何非零de(t) 0, s),r>0可精確標(biāo)定。4系統(tǒng)方程的代數(shù)解在這一部分，我們研究發(fā)動機(jī)體系統(tǒng)的二階微分方程的求解問題，運(yùn)用哈爾 小波和擴(kuò)展適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)方程進(jìn)行內(nèi)部控制和外部干擾。在區(qū)間為0,1的哈爾小波定義基礎(chǔ)上，我們通過考慮t = Tf c來重新調(diào)節(jié) 有限時間區(qū)間0, Tf )到0, 1)，用時間范圍來標(biāo)準(zhǔn)化系統(tǒng)如下：左)+ C ilrr) + K )+

18、勵必. (16)在區(qū)間0, c 對系統(tǒng)積分可得a/(r)dr + Tf /df(r) dr. (17)ooo為了避免小波的差別，我們再一次在區(qū)間0, c )內(nèi)對(17)積分如下/(T) drd +Je(r) dr TeM i(0)+ Tr C a(0)疋,0 0.r( r I ck il£（運(yùn)用擴(kuò)展的哈爾小波，我們可以表示方程（15）的解，輸入力f & ）和發(fā)動機(jī)干擾de（ c ）用哈爾小波表示為(I9i（2（nA（T = X 屮曲（7）+/(<r) = F其中X R4*m ,F R1*m ,De R1*m分別代表x ( c ) , f ( c )和 de( c ) 的

19、系數(shù)。x(0) and ' x (0)的初始條件可分別由x(0) = X0 _m(c )和x ' (0)= X" 0 _m( c ),矩陣X0, X - 0 只4*0分別被定義為Ao := v(0)(,4xi *儷一1)Xo ：= (i(0)(>4x)- 04xl+儷一in這樣，通過擴(kuò)展小波，關(guān)系式（18）變?yōu)閐r 龍Af (X A o 2搟 9) + Tf C A"/ ®rrt () dro=I f(rdr 曲o o+丁Bd Dq j/ 4jt( v)dr(J2十(A/ Xoo o+TfC X“U)肚而且，通過方程(6)中的小波積分oper

20、ati on al矩陣Pm我們可以這樣重新 寫方程(24)為V(X-Xoi (m+Tf 5KX P點(diǎn) =乎腸F碼g +Tf弘2疫9)+(A/i0 + TfCX0)P %(C(25)等價的，我們有MX - X" +TfCXPdT；KXP：(2 =耳& F P盒+Tf旳臥丘+ (射乳+ 丁山后心為了計算矩陣X,我們在方程(26)中運(yùn)用操作向量(.)。根據(jù)Kronecker乘 積的性質(zhì) vec (ABC) = (CT ? A) vec (B), 我們有(vec(X) vec(Xo) + Tf 燉妁 C)vec(X>+Tf (P? ® )vcc(X)= TiPT &#

21、174; Bf) vec(F) + Tj (® Bd) vec(De)+ Tj ( P< ® C) veXX" + (礎(chǔ)國如 vccXo)(27)求解方程(27)，導(dǎo)入向量(X)vec(X) = ilivec(r)+ $ vec( Pe + Asvec(Xo)+A4VE (壬o)(28)其中矩陣厶1 , 2 R4m*m,13, 4 R4m*4這樣定義Ai = Tf (Tf (/J® C)+Tf (卿K) + " M廣】(丘丁 ® ft)A? = T： (Tf (P、 C)+T； ( 國 K) + im ® 如)g =

22、(Tf 屮訃 C) + T；心t®K)3+陰 ®Hfj (如® Af+ Tf P®C)A4 = (Tf (P丐 ® C)+T和擰T® K) + lm ® Mr可(& M.于是，運(yùn)用(28)( 29)和Kronecker乘積的性質(zhì)，系統(tǒng)(15)的解可近似 求解為x(tr)=(吧(序)® ?4)vec (X),(30)我們也可以清楚的找出系統(tǒng)的逼近解，我們只要反向通過4m*4r求解矩陣Tf (PTm ? C) + T2f(P2Tm ? K) + Im ? M次即可。5基于哈爾小波最優(yōu)控制設(shè)計控制的目標(biāo)是運(yùn)用H性

23、能找到逼近的最優(yōu)控制f(t),這樣f(t)可當(dāng)作主動 力來補(bǔ)償傳給車身(或底盤)的振動，保證 預(yù)期的L2。接下來，我們將在零初 始條件下建立系統(tǒng)(15)的性能。最后，我們引入J = * .vT(Tf) S x (Tf) + xT(Tf) S2 i (TfTf+ f ( J") w-卩跡)山.(31)o眾所周知，對于每一個de(t) L20,)來說，不等式J<0對達(dá)到干擾衰減35,38是一個充分條件。因此，我們將根據(jù)Inf Sup J(vev(F), vecDe) <0*(32)vec(Ftvec(/?je)建立條件。根據(jù)(15)，方程(31)可表示為心掙5)尹)鞏霜+/(

24、幾)E呵階0+ Cj/2(r)- y2(t) dr(33)其中 S? = diag (S1, S2) and C ? = diag (CT1 C1, CT2 C2). 用時間范圍 t = Tf(T標(biāo)準(zhǔn)化(33)有0+ C?/2(cr) - y2J2(df) da.(34)運(yùn)用方程（19）和關(guān)系式x - （T ） = X - _m（T ）,其中X只4*仃代表哈 爾小波基本方程擴(kuò)展后的X - （ （7 ）的小波系數(shù)，我們有TJ i(cr)(35lvcc (Xaug = vccT (X)而且，根據(jù)18的記錄2,在vec (X)和vec (X -)中滿足下面的關(guān)系vec (X) vec(Xo) = (

25、Pj ® 打 ve(X).(37)通過運(yùn)用（34）方程的限定（35）和根據(jù)擴(kuò)展小波（19） - （21），我們有 中盤（1）S 足mg（1）1+¥ / （呀F *魄9）Q+C制訃g薩*屮期屮扛口）氏幾 町）曲 （38 >上面的cost方程也可以寫成+“(& FtF)- y2tr Mm D D)(39)其中，矩陣Mm, Mmf Rm*分別定義為% :-陽 2）吧E亦 M時：=%吧,記錄2根據(jù)哈爾小波的性質(zhì)和2.2部分哈爾小波乘積操作矩陣，矩陣 Mr可由下 面回歸方程計算H亦 diag （%）山咚I H爲(wèi)空%），其中 M1(t) = 1暫：=In F嵐中剛(1 )

26、*比瑞(1)嘰；=jn/2 Pfw U”( I h ©曲/2)+1 Pm 中刑(I )* * * r T.切*，其中 ei = 01 x(i -1), 1,01 x (m- i ) for i = 1,2,., m.利用 Kronecker 乘積的性質(zhì) tr(ABC) = vecT(AT) (I ? B) vec(C),我們可以 將(39)式寫成1 T -J = -VCC (Jfflug)( Im ® VCC( Xaui)+ 工(/m ® C) vecXaug)+CjvecF) AJvec(F) y2 vecT(De vec(De)(40)根據(jù)vec (ABC)

27、= (CT ? A) vec (B)的性質(zhì),我們發(fā)現(xiàn)J =mT(Xaug) "£叮 ® /jj)( Aw ® £八0'主馳扌T+vevTi Xauf) (® /a) i Aw ®)vec(X；iug>H-C|vecT(F)WflJ vec(F) - y2 vecT(De)Ain wc(Q訂).(41)然后，由性質(zhì)(A ? C) (D ? B) = A D ? C B,我們得到1 T - J W' I A auj)® vcc( XaiipiX 抽習(xí) i '4ffj ® 1 vc

28、c( A jjr 14-C； vecT(F) Mfj vec(F) - y2 vecT( D©) jVfmvec( Dc) 4或J = ； (vecT(Xaug) 口和 vec(XaUg)(434-CF) fl沁 vv( F)-y2 vecT( De) nffl2 vec f»e)其中矩陣 ml R8m*8和m1 Rm*r分別定義為 m1 = Mmf? S? + Tf （Mm ? C?）m2 =Tf Mm o既然cost函數(shù)（43）是一個向量（De）的函數(shù)，為了找到最壞情況的干擾來 最小化J，我們要滿足下面的必要條件dJ=化c* vcciPe）方程（43）中最壞情況的干擾1

29、44vec*(a)=廠'口益T-1 ApP-1 ® ；4)nM (45)xvcc (Xauci =:VmJvcc aug)將(45)帶入方程(43)，我們得到Jnf Sup J (vec 1Fk vcc(De) fFgcc (如=Inf J (vec (F), vec*(De)(46)vcc t 鬥類似的，方程(46)的右邊變成一個vec(F)的函數(shù)，然后通過最小化方程(46) 求vec(F)，在次優(yōu)控制和次優(yōu)狀態(tài)軌跡系數(shù)間的代數(shù)關(guān)系可獲得如下vec(F = -C2nX (rijjj Y 口I口曲2 口咖) =J rj/n/vcc ( Xaug)(47)于是我們有Inf Su

30、p J(vcc(F). vcc(De) < vecT (Xauc)(山訂vec ()vec(Dft)+R門/n2 y' nm2 >vcc(48)所以，如果對于矩陣不等式門曲i +爲(wèi)口： 口曲2 口剛f 一廠門:J沁門血蘭“(4Q存在主動范圍，那么不等式(32)是可推出的。從關(guān)系式(28)( 29)( 36)( 47),我們在一些矩陣計算F0得到vec(X)和 vec(F)的次優(yōu)向量vec (X) = (a - (Ai nffl/ + y2A2 n冋)><(3 ( a 口町 + *l- 口 初)X片1(現(xiàn)因如j(50)vec (F) = Vlffjfr 心 iyl

31、x (As 口用+ y2 口初卜% 1f4rt!x (打沖(紐口咐+口朋亦q (盅“廠屮|jj可訕)T丿x vec < XQ) +J最后，基于哈爾小波的次優(yōu)軌道？和次優(yōu)控制可分別由方程(30)和f (t) = _Tm(t)vec (F)逼近得到。i記錄3 值得注意的是，在上面的關(guān)系式中，參數(shù)r和次優(yōu)H?？刂破飨噙m應(yīng)，這個結(jié)果可通過求解下面的優(yōu)化問題 Min r到(49)再來表示作為優(yōu)化H控制器。i記錄4.我們用哈爾小波提供一種新的計算方法來計算二階微分方程的H控制。換句話說，根據(jù)第三部分的必要條件1和2,現(xiàn)在的方法是18中結(jié)果的擴(kuò)展。記錄5因為在每一個m寸間區(qū)間內(nèi)，向量_m(c )是不變

32、的，逼近的優(yōu)化次優(yōu)軌道？和次優(yōu)控制可表述如下：/nm耳=Gi vec(Xq) + 藝 Gj vec(Xo),(-1t-jmm/(/)=工斥 vec (Xo) 工石 vec (Xoh/=有常量矩陣Gi , G - i R4*4m, Fi , F - i R1*4m.其中每一個時間區(qū)間 i/m < (T i < i + 1/m ，對于 i = 0, 1, . . . , (m- 1).i記錄6常系數(shù)矩陣是運(yùn)用分段的，像常量基本函數(shù)哈爾小波或Walsh函數(shù)，不能通過像Legendre或Laguerre多項式的平順函數(shù)設(shè)置來實(shí)現(xiàn)。相比于 Walsh函數(shù)，哈爾小波在計算效果上有另外的優(yōu)勢，當(dāng)

33、然，哈爾小波在更多方面 比其他基本函數(shù)有優(yōu)勢。6數(shù)字結(jié)果在這部分，建議的計算方法應(yīng)用于汽車發(fā)動機(jī)及機(jī)體振動系統(tǒng)15中，這樣,外部干擾de(t)可假定為一個sin (.)函數(shù)。在頻率為10赫茲的低頻范圍。用作設(shè)計和模擬的系統(tǒng)的參數(shù)，在附錄的表1, 2中給出。附錄A中的表給出了汽車發(fā) 動機(jī)體振動系統(tǒng)的八階模型的零極位置?.可以很清楚的看到，汽車發(fā)動機(jī)體振動系統(tǒng)不穩(wěn)定，沒有最小狀態(tài)屬性。我們的目標(biāo)是找到底盤的優(yōu)化布置和在有限時 間區(qū)間0,1)利用哈爾小波，根據(jù)H的性質(zhì)找出次優(yōu)輸入的力。而且，在控制的輸 出z(t)中的矩陣S1, S1 R4*4,向量C1,C2,標(biāo)尺C3可這樣選擇S1 = S2 = 0

34、4,C1 = 0 , 1, 1, 2, C2 = 3 ,-1, 0, 1 C3 = 1.為了比較由哈爾小波得到的逼近解 X2(t) f(t)與由附錄B中的定理1得到的解 析解，我們選擇給彈跳性能和resolution參數(shù)分別賦值3.15和5: 丫 = 3. 15和j =5。時間曲線標(biāo)示在圖5.6上?？梢郧宄吹剑l(fā)動機(jī)干擾的影響和輸出一樣衰 減到底盤。換句話說，f(t)補(bǔ)償傳遞給底盤的振動。比較基于哈爾小波的解和運(yùn) 用微分Riccati方程求得的連續(xù)解，二者均可表述逼近解(50)( 51)，優(yōu)化控 制f(t)和狀態(tài)？ x(t),通過求解線性代數(shù)方程而不是求解非線性微分Riccati方程獲得，狀

35、態(tài)逼近的精確性 &mi=1 (x2(ti )- ?x2(ti )2 ti = i/m有i = 0,1, . . . , m - 1,對于輸入力有&mi=1 ( f (ti )- f ?(ti )2,可以輕松的通過增加resolution 參數(shù)J改進(jìn)，見表4.Q.080.060.040.02-0.02-0.04-0.06O.fi0.2圖6比較由參數(shù)j=5時的哈爾小波和解析解得到的輸入力圖板1兩個參數(shù)時的容錯值)=40 00790.00310.00520-00177結(jié)論本段講述了運(yùn)用哈爾小波對汽車發(fā)動機(jī)體振動機(jī)構(gòu)的彈跳俯仰振動的建模與 控制?；诠栃〔ǖ挠糜诎l(fā)動機(jī)體系統(tǒng)降振的優(yōu)化

36、控制在計算上是發(fā)展著的。 引入哈爾小波的性質(zhì)，并運(yùn)用它找出優(yōu)化的解，并通過求解一次代數(shù)方程而不是 Riccati微分方程來逼近?，F(xiàn)用列出的結(jié)果來說明此方法的優(yōu)勢。附錄A圖板2汽車車體參數(shù)參數(shù)數(shù)值Ms)000 1燼1fb810(>対20 卿(1 (N/m)2%)圖板3發(fā)動機(jī)參數(shù)參數(shù)數(shù)值h250 (kg；) 乩10 ik£jm25a300,000 <NAm)a te乂)Of NAW “0.5 (jn)圖板4 8自由度模型的零極位置 極？零？-6.23L3±i 1 1 J.62-623±i 1 I 1.&9一 1.09士汀 JU 7-D.97

37、7;ifiX590 14±j 2.481 .士門Mh-LIO附錄B定理1 (狀態(tài)返回)9考慮動態(tài)系統(tǒng)x(r) = A x(t + 舟“ + Bi富=Ca(z) + Dm()I假定值是(A,B1,C)穩(wěn)定的.如果r>0，微分的Reccati方程為又=AJX + X A + X (y-呱砒_ 枷耐)X + CTC有一個主動的半定義解X(t)，這樣A-(B1 BT1 - 丫 -2B2 BT2 ) X(t)是穩(wěn)定的。 然后，控制規(guī)律 u (t) = - BT1 X(t) x(t) := K(t) x(t)滿足_ z(t) _2 < 丫 _w(t) _2.鳴謝 作者感謝亞歷山大凡提

38、供這項研究的支持，作者同時想在文章中感謝幫 助他們的同事以及他們的有價值的建議。參考資料1. Aglietti G, Stoustrup J, Rogers E, Langley R, Gabriel S (1998)LTR con trol methodologies for micro vibrati ons. In: Proceedi ngsof the IEEE CCA pp 624 6282. Burrus CS, Gopinath RA, Guo H (1998) Introduction to waveletsand wavelet tran sforms. Pren tice

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