高等數(shù)學第七章07-04

1、上一頁上一頁下一頁下一頁1湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強第四節(jié)、一階線性微分方程第四節(jié)、一階線性微分方程一、線性方程一、線性方程二、伯努利方程二、伯努利方程三、小結三、小結上一頁上一頁下一頁下一頁2湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強)()(xQyxPdxdy 一階線性微分方程一階線性微分方程的標準形式的標準形式:, 0)( xQ當當方程稱為方程稱為齊次的齊次的.方程稱為方程稱為非齊次的非齊次的., 0)( xQ當當一、線性方程一、線性方程上一頁上一頁下一頁下一頁3湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,)(ln1CdxxPy

2、 齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey1. 線性齊次方程線性齊次方程一階線性微分方程的一階線性微分方程的解法解法(使用分離變量法使用分離變量法)上一頁上一頁下一頁下一頁4湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強2. 線性非齊次方程線性非齊次方程).()(xQyxPdxdy 討論討論,)()(dxxPyxQydy 兩邊積分兩邊積分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ為為設設 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齊次方程通解形式非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比與齊次方程通解相比:)(xuC 上一頁上一頁下一頁下一頁5湘潭大學數(shù)學

3、與計算科學學院 王文強常數(shù)變易法常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法. .實質實質: : 未知函數(shù)的變量代換未知函數(shù)的變量代換.),()(xyxu原未知函數(shù)原未知函數(shù)新未知函數(shù)新未知函數(shù)作變換作變換 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy上一頁上一頁下一頁下一頁6湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強對應齊次方程通解對應齊次方程通解xxPeCyd)( 齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解 xxPCed)(2. 解非齊次方程解非齊次方程)()(ddxQyxPxy 用用常數(shù)變易法常數(shù)變

4、易法:,)()(d)( xxPexuxy則則 xxPeud)()(xP xxPeud)()(xQ 故原方程的通解故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)( CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即即即作變換作變換 xxPeuxPd)()( xxPexQxud)()(ddCxexQuxxP d)(d)(兩端積分得兩端積分得上一頁上一頁下一頁下一頁7湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx

5、解解例例1 1上一頁上一頁下一頁下一頁8湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強例例2 2 如圖所示，平行與如圖所示，平行與 軸的動直線被曲軸的動直線被曲 線線 與與 截下的線段截下的線段PQ之之長數(shù)值上等于陰影部分的面積長數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線求曲線 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,兩邊求導得兩邊求導得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 上一頁上一頁下一頁下一頁9湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強 dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為

6、所求曲線為).222(32 xxeyx23xyy 上一頁上一頁下一頁下一頁10湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強在閉合回路中在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為所有支路上的電壓降為 0例例3. 有一電路如圖所示有一電路如圖所示, ,sintEEm 電動勢為電動勢為電阻電阻 R 和電和電. )(ti LERK解解: 列方程列方程 .已知經(jīng)過電阻已知經(jīng)過電阻 R 的電壓降為的電壓降為R i 經(jīng)過經(jīng)過 L的電壓降為的電壓降為tiLdd因此有因此有,0dd iRtiLE即即LtEiLRtim sindd 初始條件初始條件: 00 ti由回路電壓定律由回路電壓定律:其中電源其中電源求電流求電流感感 L

7、都是常量都是常量,上一頁上一頁下一頁下一頁11湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強 LERK解方程解方程:LtEiLRtim sindd 00 tiCxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(由初始條件由初始條件: 00 ti得得222LRLECm )(ti dtLRe tLEm sintLRmeCtLtRLRE )cossin(222 tetLRdd C 利用一階線性方程解的公式可得利用一階線性方程解的公式可得上一頁上一頁下一頁下一頁12湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強tLRmeLRLEti 222)( )cossin(222tLtRLREm tLRmeLRLEti 222)( )sin(2

8、22 tLREm暫態(tài)電流暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流則則令令,arctanRL LERK因此所求電流函數(shù)為因此所求電流函數(shù)為解的意義解的意義: 上一頁上一頁下一頁下一頁13湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強伯努利伯努利(Bernoulli)方程的標準形式方程的標準形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程為方程為線性微分方程線性微分方程. 方程為方程為非線性微分方程非線性微分方程.二、伯努利方程時時，當當1 , 0 n時時，當當1 , 0 n解法解法: : 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.上一頁上一頁下一頁下一頁14湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強,

9、1 nyz 令令，則則dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，將求出通解后，將 代入即得代入即得nyz 1，得，得兩端除以兩端除以ny代入上式代入上式. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn上一頁上一頁下一頁下一頁15湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解解，得，得兩端除以兩端除以y例例 3上一頁上一頁下一頁下一頁16湘

10、潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強例例4 4 用適當?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程用適當?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程: :;22. 122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 則則,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解為所求通解為).2(222Cxeyx 上一頁上一頁下一頁下一頁17湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 則則,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分離變量法得分離變量法得,代回代回將將

11、xyz 所求通解為所求通解為.4)2sin(2Cxxyxy 上一頁上一頁下一頁下一頁18湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強;1. 3yxdxdy 解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy則則代入原式代入原式,11udxdu 分離變量法得分離變量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回將將yxu 所求通解為所求通解為,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解. yxdydx 方程變形為方程變形為上一頁上一頁下一頁下一頁19湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強三、小結1.齊次方程齊次方程2.線性非齊次方程線性非齊次方程3.伯努利方程伯努利方程)(xyfy ;xuy 令令;)()( dxxPex

12、uy令令;1zyn 令令上一頁上一頁下一頁下一頁20湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強思考與練習思考與練習判別下列方程類型判別下列方程類型:xyyxyxyxdddd)1( )ln(lndd)2(xyyxyx 0d2d)()3(3 yxxxy0d)(d2)4(3 yxyxyyxxyxydd)2ln()5( 提示提示:xxyyydd1 可分離可分離 變量方程變量方程xyxyxylndd 齊次方程齊次方程221dd2xyxxy 線性方程線性方程221dd2yxyyx 線性方程線性方程2sin2ddyxxyxxy 伯努利伯努利方程方程上一頁上一頁下一頁下一頁21湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強P28

13、1 1 (6) , (9) ; 2 (5) ; 7 (3) , (5) 作業(yè)作業(yè)上一頁上一頁下一頁下一頁22湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強備用題備用題1. 求一連續(xù)可導函數(shù)求一連續(xù)可導函數(shù))(xf使其滿足下列方程使其滿足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0 提示提示:令令txu uufxxfxd)(sin)(0 則有則有xxfxfcos)()( 0)0( f利用公式可求出利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf 上一頁上一頁下一頁下一頁23湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強2. 設有微分方程設有微分方程, )(xfyy 其中其中 )(xf10,2 x1,0 x試求此方程滿

14、足初始條件試求此方程滿足初始條件00 xy的連續(xù)解的連續(xù)解.解解: 1) 先解定解問題先解定解問題10, 2 xyy00 xy利用通解公式利用通解公式, 得得 xeyd 1dd2Cxex )2(1Ceexx xeC 12利用利用00 xy得得21 C故有故有)10(22 xeyx上一頁上一頁下一頁下一頁24湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強2) 再解定解問題再解定解問題1,0 xyy1122)1( eyyx此齊次線性方程的通解為此齊次線性方程的通解為)1(2 xeCyx利用銜接條件得利用銜接條件得)1(22 eC因此有因此有)1()1(2 xeeyx3) 原問題的解為原問題的解為y10),1(

15、2 xex1,)1(2 xeex上一頁上一頁下一頁下一頁25湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強( 雅各布第一雅各布第一 伯努利伯努利 ) 書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用, 伯努利伯努利(1654 1705)瑞士數(shù)學家瑞士數(shù)學家, 位數(shù)學家位數(shù)學家. 標和極坐標下的曲率半徑公式標和極坐標下的曲率半徑公式, 1695年年 版了他的巨著版了他的巨著猜度術猜度術,上的一件大事上的一件大事, 而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孫三代出過十多他家祖孫三代出過十多 1694年他首

16、次給出了直角坐年他首次給出了直角坐 1713年出年出 這是組合數(shù)學與概率論史這是組合數(shù)學與概率論史此外此外, 他對他對雙紐線雙紐線, 懸鏈線和對數(shù)螺線都有深入的研究懸鏈線和對數(shù)螺線都有深入的研究 .上一頁上一頁下一頁下一頁26湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強思考題思考題求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 上一頁上一頁下一頁下一頁27湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強思考題解答思考題解答yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyyycos

17、cossin2cos .cos2cosyCy 上一頁上一頁下一頁下一頁28湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、xexyysincos ； 2 2、0)ln(ln dyyxydxy； 3 3、02)6(2 ydxdyxy. .二、二、 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解求下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、4,5cot2cos xxyexydxdy； 2 2、. 0,132132 xyyxxdxdy練練 習習 題題上一頁上一頁下一頁下一頁29湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強三、設有一質三、設有一質的的量為量為 m質點

18、作直線運動從速度等于零質點作直線運動從速度等于零的時刻起的時刻起,有一個與運動方向一致有一個與運動方向一致,大小與時間成正大小與時間成正比比(比例比例1k系數(shù)為系數(shù)為)的力作用于它的力作用于它,此外還受此外還受一與速度成正比一與速度成正比(比例比例2k系數(shù)為系數(shù)為)的阻力作用的阻力作用,求質求質點運動的速度與時間的函數(shù)關系點運動的速度與時間的函數(shù)關系 .四、四、 求下列伯努利方程的通解求下列伯努利方程的通解:1、212121yxyxy ；2、0)ln1(3 dxxxyyxdy.上一頁上一頁下一頁下一頁30湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王文強五、五、 用適當?shù)淖兞看鷵Q將下列方程化為可分離變量的用適當?shù)淖兞看鷵Q將下列方程化為可分離變量的方程方程, ,然后求出通解然后求出通解: :1 1、11 yxdxdy；2 2、1cossin2sin)1(sin222 xxxyxyy；3 3、xyxyxdxdy )(sin12. .六、六、 已知微分方程已知微分方程)(xgyy , ,其中其中 0,010,2)(xxxg, ,試求一連續(xù)函數(shù)試求一連續(xù)函數(shù))(xyy , ,滿滿足條件足條件0)0( y, ,且在區(qū)間且在區(qū)間),0 滿足上述方程滿足上述方程 . .上一頁上一頁下一頁下一頁31湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 王