水文地質(zhì)學(xué)第8章-3

1、18-7 8-7 地下水非穩(wěn)定井流公式地下水非穩(wěn)定井流公式一、承壓水完整井非穩(wěn)定流公式一、承壓水完整井非穩(wěn)定流公式-泰斯公式泰斯公式 1、泰斯公式的假定條件：、泰斯公式的假定條件：（1）單井位于含水層中央，井徑無限小，定流量抽水 （如下圖示）；（2）含水層均質(zhì)、等厚、各向同性，水平埋藏且無限延伸；（3）無垂向水量交換，無側(cè)向補給；（4）滲流符合達(dá)西定律；（5）抽水前水頭面水平，水頭為H0。抽水后形成以井軸 為對稱的降落漏斗；（6）含水層和水都具有彈性。 2M無越流承壓井流示意剖面圖無越流承壓井流示意剖面圖3 方程推導(dǎo)：根據(jù)水均衡原理：Q1-Q2=V-(1)根據(jù)達(dá)西定律：因為單位時間的水頭下降為

2、 ，則單位時間內(nèi)單元含水柱體內(nèi)的彈性釋放水量應(yīng)為rHrMKKIWQ22)(22)(2222221rHrHrKMdrrHKMrdrrrHrKMrHrMKdrrQQQtHtHrHrrHTVQQ*1) 1 (2221式，化簡后得：代入、把tHrdrV*242、泰斯公式的導(dǎo)出：、泰斯公式的導(dǎo)出：根據(jù)上述假定條件，建立數(shù)學(xué)模型：求解上述數(shù)學(xué)模型的思路：先將二階偏微分方程變換為只含一個變量的常微分方程，求出該微分方程的解，最后得出計算公式-泰斯公式。TQrHrHHHHrHrrHTtHrt2lim1*00022r 0t0 r 0t = 0 r 0t0 r t0 duueTQsduueTQHHuuuu4405

3、 W(u)值可由表中查得，根據(jù)泰斯公式就可求出承壓含水層中單井抽水時任一時刻t，距離抽水井r處的水頭降深值s。443322ln5772. 0) 1(ln5772. 04321uuuuunnuuduuennnuu！1432) 1(ln5772. 0443322ln5772. 0)(nnnnnuuuuuuuuW令：！TtruuWuWTQs4*)()(42泰斯井函數(shù)，泰斯公式，6從W(u)的級數(shù)展開式可看出，當(dāng)u值足夠小時，級數(shù)第三項以后的各項數(shù)值都非常小，W(u)可用級數(shù)的前兩項近似表示。將 代入上式，泰斯公式變?yōu)椋?-雅各布公式泰斯公式的近似表達(dá)式為雅各布公式，其近似程度作如下分析：當(dāng) 時，泰斯

4、公式和雅各布公式計算結(jié)果誤差 ；當(dāng) 時，誤差 ；當(dāng) 時，誤差 。 uuuW1ln781. 1lnln5772. 0)(Ttru4*2*25. 2lg183. 0*25. 2lg43 . 2*25. 2ln4)(4222rTtTQrTtTQrTtTQuWTQs*25. 2lg183. 02rTtTQs 1 . 0u%505. 0u%201. 0u%25. 07 例：有一鑿于寬闊承壓含水層中的完整井，井徑0.305m， 出水量2700m3/d，含水層厚度M=30m，滲透系數(shù) K=41m/d，彈性釋水系數(shù)*= 0.00025，試求抽水4 小時，距井60m處的水位降深s。解：根據(jù)題意滿足泰斯公式應(yīng)用條

5、件，查表查表W(u)=6.2363 322101 . 12443041400025. 0604*Ttru)(09. 10899. 12363. 6304114. 342700)(4muWTQs如果用雅各布公式求解其結(jié)果為：)(09. 10885. 100025. 060244304125. 2lg30412700183. 0*25. 2lg183. 022mrTtTQs8井函數(shù)井函數(shù)W（u）表）表9 3、泰斯公式的討論、泰斯公式的討論（1） 井函數(shù)W(u)的值隨u的增大而減?。ㄈ缦聢D示），當(dāng) 抽水井作定流量抽水時，降深s隨著離抽水井距離r的增大而減小，隨著抽水時間t的延長而增大。（2）水頭的下

6、降速度： 把 代入：水頭下降速度是時間t與距離r的函數(shù)，對于同一時間t，近井軸處的下降快，遠(yuǎn)離井軸處的下降速度慢。r一定時，當(dāng)t足夠大時， 0， 1tuduueTQHutHduueTQHHuuuu4400Ttru4*2TtrTtretTQtsetTQtH4*4*221414Ttru4*2Ttre4*2101112 則： 即抽水井周圍的某一范圍內(nèi)，水頭下降的速度基本相同，與距離r無關(guān)經(jīng)過一定時間抽水后，抽水井附近的降落漏斗曲面近乎等速（幅）下降。tTQts14（3）設(shè)通過柱形徑距為r過水?dāng)嗝媪髁繛镼r，當(dāng)t一定時，通過各過水?dāng)嗝娴牧髁侩S著距離r的減小而增大，因為 恒為正，所以 ，故 QrQ，當(dāng)r

7、 0 Qr Q。Ttr4*214*2TtreTtrrTtrrQeQeTQTrHrTQ4*4*22222據(jù)達(dá)西定律14*2TtreTtreTQrHr4*2213 當(dāng)r一定時，流量隨著抽水時間的t延長而增大。當(dāng) 時， 則： QrQ。即：在距離r以內(nèi)，各斷面的流量均近似等于井的出水量。（4）井徑無限小對泰斯公式的影響：e-0.01=0.99 1，誤差1%，所以：在 或 的影響下，由于井徑無限小的假設(shè)引起的相對誤差不超過1%。Trt*25214*2Ttre01. 04*2TtrTrt*25214 二、潛水完整井非穩(wěn)定流公式二、潛水完整井非穩(wěn)定流公式-仿泰斯公式仿泰斯公式 潛水向完整井的運動（如下圖示）

8、，其潛水面 是一個隨時間不斷變化的可動邊界。即：（1）在潛水含水層中抽水，近井范圍內(nèi)具有三維流特征，要考 慮滲流速度的垂直分量；（2）含水層厚度是時間t及向徑r的函數(shù)，因此T也是t和r的函數(shù)。（3）在潛水含水層中抽水具有“滯后疏干”和“延遲補給”的 特點。 1、假定條件：、假定條件： （1）含水層均質(zhì)、等厚、隔水底板水平埋藏，含水層側(cè)向無界；（2）垂向無水量交換，抽水前潛水面水平；（3）當(dāng)抽水降深與含水層厚度比不大時，將近井范圍內(nèi)三維流 簡化為二維流。15潛水完整井非穩(wěn)定流運動示意圖潛水完整井非穩(wěn)定流運動示意圖16（4）定流量抽水，水量來自含水層的瞬時疏干，滲流服 從達(dá)西定律；（5）井徑無限小

9、。2、潛水仿泰斯公式的導(dǎo)出：、潛水仿泰斯公式的導(dǎo)出：根據(jù)上述假定條件，建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行線性化處理：令 ， 數(shù)學(xué)模型變?yōu)椋簉 0221HTQKHQrHrHHHHrHHrrHHrKtHrt22lim1)(000TQrrrrrTtrt2lim100022r 017 上述形式與承壓水完整井相同，其解的形式為： 將 、 代入上式得：因為：H02H2=（2H0s)s 上式可表示為： -潛水仿泰斯公式duueKQuu40Ttru42221H20021HduueKQHHuu2202)(2220uWKQHH)(2)2(0uWKQssH如果W(u)取級數(shù)展開式前兩項近似表示：225. 2ln)(rTtuW2202

10、5. 2lg23 . 225. 2ln2)2(rTtKQrTtKQssH-潛水的雅各布公式183、仿泰斯公式的討論、仿泰斯公式的討論（1）用s0表示抽水井中的水位降深，當(dāng) 時，即 水位降深與含水層厚度相比很小可忽略不計時， ，潛水井的非穩(wěn)定流可直接用承壓水的泰斯公式計算： ， 10100Hs002)2(HsH)(40uWKHQs2025. 2lg43 . 2rTtKHQs （2）當(dāng) 時，10310100HssHssrTtKHQsuWKHQs)21 (*25. 2lg43 . 2*)(4*0200（3）當(dāng) 時，近井范圍內(nèi)滲流速度的垂直分量不 可忽略及T隨t、r的變化和含水層疏干的非瞬時性， 將導(dǎo)

11、致潛水中的泰斯公式不能應(yīng)用。10300Hs19三、泰斯公式的應(yīng)用三、泰斯公式的應(yīng)用1、計算、計算s和和Q：給定T、*、Q，確定井中或含水層任一點處的s，可預(yù)測抽水降落漏斗的發(fā)展趨勢。給定t和s時，可確定Q。2、計算水文地質(zhì)參數(shù)：、計算水文地質(zhì)參數(shù)：根據(jù)完整井定流量非穩(wěn)定抽水試驗資料，確定含水層的T和*。 （1）配線法）配線法（標(biāo)準(zhǔn)曲線對比法）： 優(yōu)點：能用抽水試驗中所取得的全部數(shù)據(jù)求參，用此參數(shù) 進(jìn)行地下水資源評價結(jié)果較可靠。缺點：當(dāng)實測的s變化不大時，會給配線法帶來很大的隨意 性，影響計算結(jié)果的精度。20原理：對于承壓水 取對數(shù)從解析幾何中得知，如果上述關(guān)系成立，則曲線和 的形狀相同，只是曲

12、線 相對于 在橫坐標(biāo)上位移了a，在縱坐標(biāo)上位移了b。TrutTtruuWTQs4*14*)(422axxbyy11)2(4*lg1lglg) 1 (4lg)(lglg2TrutTQuWs)(xfy )(11xfy )(xfy )(11xfy 降深降深-時間時間配線法（配線法（適用于主井或任意一個觀測井）21 同理： 曲線和 曲線形狀相同，只是縱坐標(biāo)相差 ，橫坐標(biāo)相差 兩個常數(shù)。那么將兩個座標(biāo)系繪制的曲線，保持對應(yīng)座標(biāo)平移，兩曲線必定重合。在重合的線上任取一點，為兩曲線方程的解。換言之，由這一點分別在兩個座標(biāo)系內(nèi)，確定出t、s、1/u、w(u)的值，將值代入泰斯公式就可求出T，*。 計算公式：)

13、1 (4*)(42urTtuWsQTTQ4lgTr4*lg2)(lglgtfs )1(lg)(lgufuW22具體作法具體作法：（1）根據(jù)井函數(shù)表中w(u) 、1/u的數(shù)據(jù)，在雙 對數(shù)座標(biāo)A紙上，繪制w(u) -1/u理論曲線。 （2）在透明雙對數(shù)座標(biāo)B紙上繪制實測s 和t曲線， （3）將B紙放在A紙上平移、重合； （4）任取一點讀：w(u) 、1/u、s、 t，求取T、*。 例：某機械廠供水井，井深246m，含水層累計厚度58m， 抽水流量77.45m3/h，觀測孔距抽水井距離為1450m， 其抽水試驗資料如下表示，試用降深-時間配線法 求含水層的T、*。23 機機 械械 廠廠 供供 水水

14、井井 抽抽 水水 試試 驗驗 資資 料料觀觀測測時時間間抽抽水水孔孔觀觀測測孔孔月月日日時時分分累累計計時時間間(min)出出水水量量(m3/h)水水位位(m)降降深深(m)281115774534040281602857745345500512980124577454435103129160172577454965156121016031657745649530912108041257745669532512111604605774568553451211805565774572503846212160604577457425402121218456210停停泵泵24解: （1）在雙對數(shù)A紙

15、上繪制w(u) -1/u標(biāo)準(zhǔn)曲線； （2）在雙對數(shù)B紙上繪制s-t曲線； （3）B紙與A紙重合，平移（如圖）； （4）在重合線選配合點查出相應(yīng)的各值： w(u)=0.0378 、1/u=0.443、s=0.1m、t=365分 配合點可不選在重合的曲線上，但計算結(jié)果一樣。為了計算方便，配合點可以選一個對數(shù)周期。)/(9 .550378. 01 . 014. 342445.77)(42dmuWsQT522101 . 6000061. 0443. 014501440365564)1 (4*urTt2526 作業(yè)：在江蘇豐縣王溝村鄉(xiāng)曹樓大隊的一機井進(jìn)行非穩(wěn) 定流抽水試驗，抽水井位于廣闊的第四紀(jì)沖積平

16、原上，可以認(rèn)為平面上是無限的。含水層為粉細(xì) 砂和亞砂土。抽水井深120m，直徑0.20m，觀1孔 具抽水井距離117.85m，觀2孔具抽水井158.30m， 觀3孔具抽水井235.00m。抽水試驗持續(xù)時間97h， 流量為22.60m3/h。試根據(jù)觀1孔資料（下表）計算 含水層的*和T。2728 作業(yè)參考答案解：（1）根據(jù)表中資料在雙對數(shù)座標(biāo)紙上作s-t曲線；（2）將曲線重疊在標(biāo)準(zhǔn)曲線上，平移、重合；（3）取配合點：s=10-1=0.1m t=10h W(u)=0.185 1/u=6.2（4）計算： )/(34. 3185. 01 . 06 .2208. 0)(08. 02hmuWsQT3221

17、054. 12 . 6)85.117(1034. 34)1(4*urTt2930具體作法具體作法：（1）根據(jù)井函數(shù)表中w(u) 、u的數(shù)據(jù)，在雙對 數(shù)座標(biāo)A紙上，繪制w(u) -u理論曲線； （2）在雙對數(shù)座標(biāo)B紙上繪制實測的r2和 s曲線； （3）將B紙重在A紙上，平移，重合； （4）讀出：w(u) 、u、s、r2 ，求取T、*。 )(4uWsQT24*rTtu降深降深-距離距離配線法：配線法：適用于三個以上的觀測井。原理：與前述方法相同。即：在雙對數(shù)紙上s-r2和W(u)-u關(guān)系曲線形狀相同，平移、 兩曲線重合，任取一點為其公共解。TturTQuWs4*lglglg4lg)(lglg2對泰

18、斯公式取對數(shù)：31 例：某城市供水水源地十四號井抽水， Q=60m3/h，在 400分鐘時（從開抽算起）， 測得各觀測井降深為： 2號井:s2=3.2m；15號井:s15=1.89m； 16號井:s16=1.45m； 10號井:s10=0.65m； 9號井:s9=0.50m。井位分布如下圖示。試用降深- 距離配線法求取含水層的T、*。 解: （1）在雙對數(shù)A紙上繪制w(u) -u曲線； （2）在雙對數(shù)B紙上繪制s- r2曲線； （3）B紙與A紙重合，平移（如下圖）； （4）在重合線選配合點查出相應(yīng)的各值： w(u)=1.0、u=0.01、s=0.5m、 r2=17000m2323334 )/(

19、2290 . 15 . 014. 342460)(42dmuWsQT42105 . 100015. 014401700040001. 022944*rTtu作業(yè)：在某承壓含水層中有一完整井，以60m3/h流量進(jìn)行 抽水試驗，在抽水開始后990分時，測得五個觀測孔 中的水位降深資料如下表所示。試根據(jù)表中資料利 用配線法計算含水層的T和*。孔孔 號號12345與與抽抽水水井井的的距距離離r (m)43125140510780水水位位降降深深s (m)3.772.461.981.240.9535 （2）直線法）直線法 優(yōu)點：作圖和計算簡便。 缺點：受u0.01條件的限制，某些數(shù)據(jù)點（抽水初 期的數(shù)據(jù)

20、和距抽水井遠(yuǎn)的觀測孔數(shù)據(jù)）無法利用。降深降深-時間直線圖解法時間直線圖解法 在主井或觀測孔不同時間持續(xù)進(jìn)行降深觀測，t為變量。原理：根據(jù)雅各布公式 式中： 由上可知：s-lgt是直線關(guān)系tCAtTQrTTQrTtTQslglg183. 0*25. 2lg183. 0*25. 2lg183. 022斜率截距，TQCrTTQA183. 0*25. 2lg183. 0236 具體作法具體作法：（1）在半對數(shù)紙上以s為縱座標(biāo)，t為橫座標(biāo) 繪制降深歷時曲線（如下圖示）； （2）確定曲線的直線段和斜率C： （3）延長直線段與橫座標(biāo)相交，讀出 s = 0處 的 t0值。tsttssClglglg1212*2

21、5. 2lg183. 0020rTtTQ0*25. 2lg20rTt1*25. 220rTt2025. 2*rTtCQT183. 03738 例：某承壓完整井以Q=1362.5m3/d定流量抽水，在距 主井15.27m處的觀測井進(jìn)行水位降深的觀測，資料 如下：解：由上表資料繪制s-lgt曲線（如下圖），在直線上 按對數(shù)周期取兩點：s1=0.8，s2=4.9， s =4.1 觀測時間觀測時間（s）1800180030003000420042005400540072007200900090001200012000240002400036000360005400054000水位降深水位降深(m)1

22、1.98.982.742.743.343.343.773.774.294.294.684.685.175.176.456.457.187.187.907.90)/(8 .601 . 45 .1362183. 0183. 02dmCQT3940 作業(yè)：利用曹樓大隊資料，采用降深-時間直線 圖解法求取含水層的T和*。0042. 08640027.156208 .6025. 225. 225. 2*22020rTtrTt延長直線與橫軸相交s1=0， t0=620秒41 參考答案參考答案解：根據(jù)前表資料，在單對數(shù)座標(biāo)紙上作s和lgt的關(guān)系曲 線； 在直線段上按一個對數(shù)周期（t =3和t =30）截 取

23、一段A、B，該線段在縱軸上的投影長度 s =1.21m（如圖示）；直線在橫軸上（s = 0）的截 距t0= 2.40h； 計算： )/(42. 321. 160.22183. 0183. 0183. 02hmsQiQT32201033. 1)85.117(40. 242. 325. 225. 2*rTt42C=S=1.2143 降深降深-距離直線圖解法距離直線圖解法 同一時間在不同的觀測孔中進(jìn)行觀測，此時只有r為變量，雅各布公式化為如下形式： 式中： 由上可知：s-lgr是直線關(guān)系rCArTQTtTQslglg230. 2*25. 2lg430. 2截距*25. 2lg430. 2TtTQA斜

24、率TQC230. 244 具體作法具體作法：（1）以s為縱坐標(biāo)，lgr為橫坐標(biāo)的半對數(shù)紙 上，繪制降深歷時曲線（如下圖示）； （2）確定曲線的直線段和斜率C： （3）延長直線段與橫坐標(biāo)相交，讀出s =0處 的 r0值，代入公式：2025. 2*rTtsQTCQT366. 0366. 0或45 例：某井以1907m3/d的流量抽水，在抽水二小時后，從附近的幾個觀測孔中測的水位資料如下表所示，利用降深-距離直線法求含 水層的T和*。解：根據(jù)上表資料繪制s-lgr曲線（如圖示），在lgr軸截取一個對 數(shù)周期對應(yīng)的s軸量得s=2.94m，代入公式： 再截取橫軸的s= 0處截距r0=315m，代入公式：

25、井號井號12345678距抽水井的距抽水井的距離距離 r（m）8.810.713.418.325.950.538.149.7降深降深s（m）4.544.213.873.573.082.932.622.13)/(40.23794. 21907366. 0366. 02dmsQT422201048. 43151033. 840.23725. 225. 2*rTt4647 作業(yè)：根據(jù)作業(yè)：根據(jù)34片中的資料，利用降深片中的資料，利用降深-距離直線法求含水層的距離直線法求含水層的T和和*。（3）水位恢復(fù)法）水位恢復(fù)法 單井以定流量Q抽水，持續(xù)到t0時停抽，水位開始恢復(fù)（下圖示）。設(shè)停抽后任一時刻t所對

26、應(yīng)的降深為剩余降深s。48 對水位恢復(fù)階段，可視為該井在停抽后仍以流量Q繼續(xù)抽水，與此同時在抽水井的位置上設(shè)想又有一虛構(gòu)的等流量的注水井開始工作，剩余降深s是以二井共同作用的結(jié)果。用雅各布公式計算： 化簡得：*25. 2lg43 . 2*25. 2lg43 . 222rtTTQrTtTQs)1lg(43 . 2lg43 . 20ttTQttTQsttt0式中：49 由上式可知：s與 在單對數(shù)座標(biāo)系中為直線關(guān)系?？捎弥本€圖解法求T， ，但不能求*。只有當(dāng)抽水持續(xù)時間很長，恢復(fù)時間較短時，即t0t時，可近似地確定*。設(shè)停抽后水位回升值為s*，則tt01CQT183. 00202011*25. 2l

27、g43 . 2)1lg(43 . 2*25. 2lg43 . 2*ttrtTTQttTQrTtTQsss由于t0t，則 ，上式可寫成110tt*25. 2lg43 . 2*2rtTTQs50 顯然，水位回升值和水位恢復(fù)時間在單對數(shù)座標(biāo)系上也是直線關(guān)系，因此也可用直線圖解法求*，即：例：利用曹樓大隊非穩(wěn)定流抽水試驗觀1孔的水位恢復(fù)資料（下表示），計算導(dǎo)水系數(shù)T。解：根據(jù)表列資料在單對數(shù)紙作s與 的關(guān)系圖 （如下圖示），在橫坐標(biāo)上截取一個對數(shù)周期，對應(yīng)的縱坐標(biāo)差值為C=1.12，代入公式計算：2025. 2*rtT 01tt)/(69. 312. 16 .22183. 0183. 02dmCQT5

28、1t052tt0153 作業(yè)：某潛水含水層厚度為作業(yè)：某潛水含水層厚度為31m，現(xiàn)有一完整井（井半徑為，現(xiàn)有一完整井（井半徑為0.2m）以以6.48m3/h抽水量進(jìn)行抽水，當(dāng)抽到抽水量進(jìn)行抽水，當(dāng)抽到191min時停泵，而后進(jìn)行水時停泵，而后進(jìn)行水位觀測（資料如下所示）。試用直線法計算含水層的位觀測（資料如下所示）。試用直線法計算含水層的T。（對于。（對于潛水含水層，當(dāng)潛水含水層，當(dāng)s0.1H0時，可用泰斯公式計算）。時，可用泰斯公式計算）。1+（t0/t）ss*tT=134.3m2/d54 8-8 8-8 有越流補給時有越流補給時非穩(wěn)定井流公式非穩(wěn)定井流公式一、漢土什一、漢土什-雅各布公式假定條件：雅各布公式假定條件：（1）單井位于含水層中央，井徑無限小，定流量抽水 （如下圖示）；（2）含水層均質(zhì)、等厚，水平埋藏且無限延伸；（3）越流的強度與降深成正比；（4）滲流符合達(dá)西定律；（5）抽水