萬有引力定律公式、例題及其應(yīng)用

1、萬有引力定律公式、例題及其應(yīng)用作者:日期：萬有引力定律及其應(yīng)用知識網(wǎng)絡(luò):萬有引力定地球衛(wèi)教學(xué)目標(biāo):1 .掌握萬有引力定律的內(nèi)容并能夠應(yīng)用萬有引力定律解決大體、衛(wèi)星的運(yùn)動問題2 .掌握宇宙速度的概念3 .掌握用萬有引力定律和牛頓運(yùn)動定律解決衛(wèi)星運(yùn)動問題的基本方法和基本技能教學(xué)重點：萬有引力定律的應(yīng)用教學(xué)難點：宇宙速度、人造衛(wèi)星的運(yùn)動教學(xué)方法：講練結(jié)合，計算機(jī)輔助教學(xué)教學(xué)過程：一、萬有引力定律：（1687年）適用于兩個質(zhì)點或均勻球體；r為兩質(zhì)點或球心間的距離；G為萬有引力包量(1798年由英國物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤裝置測出)_1122G6.6710Nm/kg、萬有引力定律的應(yīng)用1.解題的相關(guān)知識

2、:(1)在高考試題中，應(yīng)用萬有引力定律解題的知識常集中于兩點:2天體運(yùn)動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即GMm-m3=rr八mMG R2422m2-rmr;一是地球?qū)ξ矬w的萬有引力近似等于物體的重力，即T2=mg從而得出GM=R2g。(2)圓周運(yùn)動的有關(guān)公式:討論:Mm由G r2 vm1-可得：v rGM r越大，v越小。Mm由G 2- rm 2r可得:r越大，越小。由G” r2 2m r可得:TT 2 Jr3/ GM r越大，T越大。Mm由G rmm可得：a向GM- r越大,a向越小。r點評：需要說明的是，萬有引力定律中兩個物體的距離，對于相距很遠(yuǎn)因而可以看作質(zhì)點的物體就是指兩質(zhì)點的距離

3、；對于未特別說明的天體，都可認(rèn)為是均勻球體，則指的是兩個球心的距離。人造衛(wèi)星及天體的運(yùn)動都近似為勻速圓周運(yùn)動。2.常見題型萬有引力定律的應(yīng)用主要涉及幾個方面:（1）測天體的質(zhì)量及密度：（萬有引力全部提供向心力）Mm3 r3GT2R3GT243又M-R33【例11中子星是恒星演化過程的一種可能結(jié)果，它的密度很大?，F(xiàn)有一中子星，觀測到它的自轉(zhuǎn)周期為T=s。問該中子星的最小密度應(yīng)是多少才能30維持該星的穩(wěn)定，不致因自轉(zhuǎn)而瓦解。計算時星體可視為均勻球體。（引力常數(shù)G=6.671011m3/kg.s2）解析：設(shè)想中子星赤道處一小塊物質(zhì)，只有當(dāng)它受到的萬有引力大于或等于它隨星體所需的向心力時，中子星才不會

4、瓦解設(shè)中子星的密度為，質(zhì)量為M,半徑為R,自轉(zhuǎn)角速度為，位于赤道處的小物塊質(zhì)量為m,則有GMm m 2RR2243 M R3T3由以上各式得J,代入數(shù)據(jù)解得：1.271014kg/m3GT2點評：在應(yīng)用萬有引力定律解題時，經(jīng)常需要像本題一樣先假設(shè)某處存在一個物體再分析求解是應(yīng)用萬有引力定律解題慣用的一種方法。（2）行星表面重力加速度、軌道重力加速度問題：（重力近似等于萬有引力）Mm表面重力加速度：G -R2-mgogoGM-R2軌道重力加速度:GMm2 mgh ghR hGMR h 2【例2】一衛(wèi)星繞某行星做勻速圓周運(yùn)動，已知行星表面的重力加速度為g0,行星的質(zhì)量M與衛(wèi)星的質(zhì)量m之比M/m=8

5、1,行星的半徑R0與衛(wèi)星的半徑衛(wèi)星表面的重力加速度為g,則在衛(wèi)星表面有GMm mgR之比Ro/R=3.6,行星與衛(wèi)星之間的距離r與行星的半徑Ro之比r/Ro=60。設(shè)r經(jīng)過計算得出：衛(wèi)星表面的重力加速度為行星表面的重力加速度的1/36000上述結(jié)果是否正確？若正確，列式證明；若有錯誤，求出正確結(jié)果。解析：題中所列關(guān)于g的表達(dá)式并不是衛(wèi)星表面的重力加速度，而是衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動的向心加速度。正確的解法是GmGMR、2mg衛(wèi)星表面一-=g仃星表面一r=g0即（一）一=R2R。2RMg0即g=0.16g0o（3）人造衛(wèi)星、宇宙速度:人造衛(wèi)星分類（略）：其中重點了解同步衛(wèi)星宇宙速度：（弄清第一宇

6、宙速度與發(fā)衛(wèi)星發(fā)射速度的區(qū)別）【例3】我國自行研制的“風(fēng)云一號”、“風(fēng)云二號”氣象衛(wèi)星運(yùn)行的軌道是不同的?！耙惶枴笔菢O地圓形軌道衛(wèi)星。其軌道平面與赤道平面垂直，周期是12h;“二號”是地球同步衛(wèi)星。兩顆衛(wèi)星相比一號離地面較高；一號觀察范圍較大;號運(yùn)行速度較大。若某天上午8點“風(fēng)云一號”正好通過某城市的上空，那么下一次它通過該城市上空的時刻將是。解析：根據(jù)周期公式T=2或知，高度越大，周期越大，則“風(fēng)云二號”氣象衛(wèi)星離地面較高；根據(jù)運(yùn)行軌道的特點知，“風(fēng)云一號”觀察范圍較大；根據(jù)運(yùn)行速度公式V=JGM知，高度越小，速度越大，則“風(fēng)云一號”運(yùn)行速度較大，由于“風(fēng)云一號”衛(wèi)星的周期是12h,每天能對

7、同一地區(qū)進(jìn)行兩次觀測，在這種軌道上運(yùn)動的衛(wèi)星通過任意緯度的地方時時間保持不變。則下一次它通過該城市上空的時刻將是第二天上午8點。【例4】可發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，使其圓軌道滿足下列條件（）A、與地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面的同心圓B、與地球表面上某一經(jīng)度線是共面的同心圓C、與地球表面上的赤道線是共面同心圓，且衛(wèi)星相對地面是運(yùn)動的D、與地球表面上的赤道線是共面同心圓，且衛(wèi)星相對地面是靜止的解析：衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的向心力由萬有引力提供，且萬有引力始終指向地心，因此衛(wèi)星的軌道不可能與地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面的同心圓，故A是錯誤的。由于地球在不停的自轉(zhuǎn)，即使是極地衛(wèi)星的軌道也不可能與任一條

8、經(jīng)度線是共面的同心圓，故B是錯誤的。赤道上的衛(wèi)星除通信衛(wèi)星采用地球靜止軌道外，其它衛(wèi)星相對地球表面都是運(yùn)動的，故C、D是正確的。【例5】偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上的圓軌道上運(yùn)行，它的運(yùn)行軌道距地面高度為h,要使衛(wèi)星在一天的時間內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件的情況下全都拍攝下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時，衛(wèi)星上的攝像機(jī)至少應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長是多少？設(shè)地球半徑為R,地面處的重力加速度為g,地球自轉(zhuǎn)的周期為To解析：如果周期是12小時，每天能對同一地區(qū)進(jìn)行兩次觀測。如果周期是6小時，每天能對同一緯度的地方進(jìn)行四次觀測。如果周期是年小時，每天能對同一緯度的地方進(jìn)行n次觀測。設(shè)上星運(yùn)行周期為Ti,則有G

9、 （hMmmjTi2R)3物體處在地面上時有GMm”m0g解得：Tij（hR）RRg在一天內(nèi)衛(wèi)星繞地或?qū)＿^的圈數(shù)為T,即在日照條件下有T次經(jīng)過赤道上TiTi空，所以每次攝像機(jī)拍攝的赤道弧長為S丁節(jié)Ti,將Ti結(jié)果代入得42(hR)3Tg【例6】在地球（看作質(zhì)量均勻分布的球體）上空有許多同步衛(wèi)星，下面說法中正確的是（）A.它們的質(zhì)量可能不同B.它們的速度可能不同C.它們的向心加速度可能不同D.它們離地心的距離可能不同解析：同步衛(wèi)星繞地球近似作勻速圓周運(yùn)動所需的向心力由同步衛(wèi)星的地球間的萬有引力提供。設(shè)地球的質(zhì)量為M,同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m,地球半徑為R,同步衛(wèi)星距離地面的高度為h,由5引=5向，gM

10、=m±(R+h)(Rh)2T2得：h=3GMT-R,可見同步衛(wèi)星離地心的距離是一定的。42由GmM=m-v2-得:v=j里，所以同步衛(wèi)星的速度相同。(Rh)2RhRh由GmM°=ma得:a=GM即同步衛(wèi)星的向心加速度相同。(Rh)2(Rh)2由以上各式均可看出地球同步衛(wèi)星的除質(zhì)量可以不同外，其它物理量值都應(yīng)是固定的。所以正確選項為A。點評：需要特別提出的是：地球同步衛(wèi)星的有關(guān)知識必須引起高度重視，因為在高考試題中多次出現(xiàn)。所謂地球同步衛(wèi)星，是相對地面靜止的且和地球有相同周期、角速度的衛(wèi)星。具運(yùn)行軌道與赤道平面重合。22【例7】地球同步衛(wèi)星到地心的距離r可由r3aAc求出，已

11、知式中a的4單位是m, b的單位是s, c的單位是m/s2,則:A. a是地球半徑,b是地球自轉(zhuǎn)的周期，C是地球表面處的重力加速度;B. a是地球半徑ob是同步衛(wèi)星繞地心運(yùn)動的周期，C是同步衛(wèi)星的加速C. a是赤道周長,b是地球自轉(zhuǎn)周期，C是同步衛(wèi)星的加速度D. a是地球半徑,b是同步衛(wèi)星繞地心運(yùn)動的周期，C是地球表面處的重力加速度。解析：由萬有引力定律導(dǎo)出人造地球衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)半徑的表達(dá)式，再將其與題給表達(dá)式中各項對比，以明確式中各項的物理意義。AD正確?！纠?】我國自制新型“長征”運(yùn)載火箭，將模擬載人航天試驗飛船“神舟三號”送入預(yù)定軌道，飛船繞地球遨游太空t=7天后又順利返回地面。飛船在運(yùn)動過程

12、中進(jìn)行了預(yù)定的空間科學(xué)實驗，獲得圓滿成功。設(shè)飛船軌道離地高度為h,地球半徑為R,地面重力加速度為g.則“神舟三號”飛船繞地球正常運(yùn)轉(zhuǎn)多少圈？(用給定字母表示)。則圈數(shù)為多少？若h=600km,R=6400km,解析：(1)在軌道上-GmM(R h)22vm dR hv=2(Rh)(2T在地球表面：GmM=mgR2聯(lián)立式得：T=2(Rh)RM t 故n= TtR2 (R h) . R h代人數(shù)據(jù)得：n=105圈(4)雙星問題：R,其運(yùn)動周期為【例9】兩個星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運(yùn)動?，F(xiàn)測得兩星中心距離為T,求兩星的總質(zhì)量。解析：設(shè)兩星質(zhì)量分別

13、為Mi和M2,都繞連線上。點作周期為T的圓周運(yùn)4 2R2I1GT2動，星球1和星球2到O的距離分別為li和12。由萬有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得Mi：GMlM2=Mi()2li；M2=R2T對M2：GM1M2=M2(2-)2l2Mi=42R2|2R2TGT242R2,42R3兩式相力口得Mi+M2=(Ii+l2)=GT2GT2(5)有關(guān)航天問題的分析:【例iQ無人飛船“神州二號”曾在離地高度為H=3.4105m的圓軌道上運(yùn)行了47小時。求在這段時間內(nèi)它繞行地球多少圈？(地球半徑R=6.37iQ6m,重力加速度g=9.8m/s2)解析：用r表示飛船圓軌道半徑r=H+R=6.7ii06m

14、。M表示地球質(zhì)量，m表示飛船質(zhì)量，表示飛船繞地球運(yùn)行的角速度，G表示萬有引力常數(shù)。由萬有引力定律和牛頓定律得GMmr2利用64=9得噂=2由于=,T表示周期。解得R2r3TT=2'J,又n=L代入數(shù)值解得繞行圈數(shù)為n=3ioRgT【例in2QQ3年iQ月i6日北京時間6時34分，中國首位航天員楊利偉乘坐“神舟”五號飛船在內(nèi)蒙古中部地區(qū)成功著陸，中國首次載人航天飛行任務(wù)獲得圓滿成功。中國由此成為世界上繼俄、美之后第三個有能力將航天員送上太空的國家。據(jù)報道，中國首位航天員楊利偉乘坐的“神舟”五號載人飛船，于北京時間十月十五日九時，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用“長征二號F"型運(yùn)載火箭發(fā)射升

15、空。此后，飛船按照預(yù)定軌道環(huán)繞地球十四圈，在太空飛行約二十一小時,若其運(yùn)動可近似認(rèn)為是勻速圓周運(yùn)動，飛船距地面高度約為340千米，已知萬有引力常量為G=6.67X1011牛米/千克2,地球半徑約為6400千米，且地球可視為均勻球體，則試根據(jù)以上條件估算地球的密度。(結(jié)果保留1位有效數(shù)學(xué))解析：設(shè)地球半么為R,地球質(zhì)量為M,地球密度為p;飛船距地面高度為h,運(yùn)行周期為T,飛船質(zhì)量為m。t213600據(jù)題,苴、題T-s=5400sn14飛船沿軌道運(yùn)行時有F引F向即GmM2(Rh)2242m(Rh)T一4_3而MV-R33由式得:33(Rh)GT2R3代入數(shù)據(jù)解得33.14(640010334010

16、3)36.67101154002(6400103)36103kg/m3(6)天體問題為背景的信息給予題近兩年，以大體問題為背景的信息給予題在全國各類高考試卷中頻頻出現(xiàn)，不僅考查學(xué)生對知識的掌握，而且考查考生從材料、信息中獲取有用信息以及綜合能力。這類題目一般由兩部分組成：信息給予部分和問題部分。信息給予部分是向?qū)W生提供解題信息，包括文字?jǐn)⑹?、?shù)據(jù)等，內(nèi)容是物理學(xué)研究的概念、定律、規(guī)律等，問題部分是圍繞信息給予部分來展開，考查學(xué)生能否從信息給予部分獲得有用信息，以及能否遷移到回答的問題中來。從題目中提煉有效信息是解決此類問題的關(guān)鍵所在。【例12地球質(zhì)量為M,半徑為R,自轉(zhuǎn)角速度為。萬有引力包量為

17、G,如果規(guī)定物體在離地球無窮遠(yuǎn)處勢能為0,則質(zhì)量為m的物體離地心距離為r時，具有的萬有引力勢能可表示為EpG-o國際空間站是迄今世界上pr最大的航天工程，它是在地球大氣層上空繞地球飛行的一個巨大人造大體，可供宇航員在其上居住和科學(xué)實驗。設(shè)空間站離地面高度為h,如果雜該空間站上直接發(fā)射一顆質(zhì)量為m的小衛(wèi)星，使其能到達(dá)地球同步衛(wèi)星軌道并能在軌道上正常運(yùn)行，由該衛(wèi)星在離開空間站時必須具有多大的動能?2解析：由GMm1S得，衛(wèi)星在空間站上動能為Ek-mv2GMmrr22(Rh)衛(wèi)星在空間站上的引力勢能為EpG(Rh)機(jī)械能為EiEkEpG/同步衛(wèi)星在軌道上正常運(yùn)行時有 G 嗎 mr2r故其軌道半徑MG

18、由上式可得同步衛(wèi)星的機(jī)械能E26地2r衛(wèi)星運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒，故離開航天飛機(jī)的衛(wèi)星的機(jī)械能應(yīng)為E2設(shè)離開航天飛機(jī)時衛(wèi)星的動能為Ekx則Ekx=E2Ep-m3vG2M22GMm-p2Rh【例13】1997年8月26日在日本舉行的國際學(xué)術(shù)大會上，德國MaxPlanck學(xué)會的一個研究組宣布了他們的研究成果：銀河系的中心可能存在大黑洞，他們的根據(jù)是用口徑為3.5m的天文望遠(yuǎn)鏡對獵戶座中位于銀河系中心附近的星體進(jìn)行近六年的觀測所得的數(shù)據(jù)。他們發(fā)現(xiàn)，距離銀河系中約60億千米的星體正以2000km/s的速度圍繞銀河系中心旋轉(zhuǎn)。根據(jù)上面數(shù)據(jù)，試在經(jīng)典力學(xué)的范圍內(nèi)（見提示2）通過計算確認(rèn)，如果銀河系中心確實存在黑洞的話，其最大半徑是多少？（引力常數(shù)是G=6.67X1020km3kg1s2）解析：表面上的所有物質(zhì)，即使速度等于光速c也逃脫不了其引力的作用。本題的題源背景是銀河系中心的黑洞，而題目的“提示”內(nèi)容則給出了本題的基本原理：（1）它是一個“密度極大的天體”，表面引力強(qiáng)到“包括光在內(nèi)的所有物質(zhì)都逃脫不了其引力的作用”，（2）計算采用“拉普拉斯黑洞模型”。這些描繪當(dāng)代前沿科學(xué)的詞匯令