奧數(shù)二年級講義小二教案212第五講枚舉法(2)

1、 在我們所學(xué)的很多重要知識中，解決問題的方法就是一一列舉，這種方法也就是枚舉.枚舉法在解決數(shù)學(xué)問題中，經(jīng)常會被用到.在這節(jié)課中我們就把以往所學(xué)的一些需要通過枚舉法來解答的問題進(jìn)行整合（如付錢問題、數(shù)字拆分問題、排列組合問題等）.一是為了讓學(xué)生對難點進(jìn)一步鞏固，二是讓學(xué)生學(xué)會這種數(shù)學(xué)方法，為以后解決問題所用.1、教學(xué)點為老師提供本節(jié)課的掛圖.有一天，小兔去小猴家找小猴一起去圖書館看書，而從小兔家到小猴家不能直接到達(dá)，必須要經(jīng)過公園或小田鼠家（如下圖），小朋友們找一找，從小兔家到小猴家共有幾條路可以走？【教學(xué)思路】首先我們可以把幾條路標(biāo)上序號，這樣我們更容易來觀察.我們可以把這些路線一一列舉出來，

2、具體情況如下：從小兔家到公園然后到小猴家的路線有6條：（1）(3); （1）(4); （1）(5); （2）(3); （2）(4); （2）(5);從小兔家到小田鼠家然后到小猴家的路線有2條：（6）(8); （7）(8);這樣通過枚舉總共得出8條從小兔家到小猴家的路線.課前通過解決這個問題，讓學(xué)生初步感知到枚舉在生活中的用途. 小朋友們，我們常常遇到一些問題會出現(xiàn)很多種的情況（如：數(shù)字的拆分，付錢等），解決這些問題的時候需要我們把每一種情況都考慮周全，怎樣才能做到不遺漏不重復(fù)呢？這就需要我們把每一種情況按一定的順序一一列舉出來，這種方法就是“枚舉法”，枚舉法可以幫助我們解決很多數(shù)學(xué)問題，今天這

3、節(jié)課我們就一起來體會枚舉法的妙用吧！ 動物學(xué)校今天正在進(jìn)行數(shù)學(xué)競賽，大象老師給各位小動物們出了很多難題，現(xiàn)在讓我們也去試試吧！ 小熊維尼買回了7個一樣的蘋果，準(zhǔn)備放在三個同樣的盤子里，如果允許有的盤子空著不放共有多少種不同的放法? 【教學(xué)思路】在這里因為強調(diào)是完全一樣的蘋果和同樣的盤子，我們就不考慮蘋果和盤子的順序.在解決這個問題時，用數(shù)字代表盤子里的蘋果數(shù)，用由3個數(shù)字組成的數(shù)組表示不同的放置方式這時候，問題轉(zhuǎn)化成把7拆分成3個數(shù)的和的形式.如(7，0，0)表示：一個盤子里放7個蘋果，而另外兩個盤子里都空著不放各種可能的放置情況如下： (7，0，0) (6，1，0) (5，2，0)，(5，1

4、，1) (4，3，0)，(4，2，1) (3，3，1)，(3，2，2) 數(shù)一數(shù)，共有8種不同的放法Hello kitty最近迷上了集郵，一天她收集到了4張3角郵票和3張5角郵票，請你幫她算一算，她用這些郵票可以組成多少種不同的郵資? 【教學(xué)思路】這道題的情況非常多，此題跟付錢問題類似，我們可以把組成的不同郵資一一枚舉出來.(1)只用3角的郵票可以組成4種不同的郵資：3角(1張)，6角(2張)，9角(3張)，1元2角(4張)(2)只用5角的郵票可以組成3種不同的郵資：5角(1張)，1元(2張)，l元5角(3張)(3)兩種郵票搭配可以組成12種不同的郵資：所以，共有4+3+12=19種不同的郵資另

5、外這道題我們也可以通過表格的方法進(jìn)行枚舉.小兔妮妮在家做寒假作業(yè)，其中有一道題是要從1寫到100，你知道當(dāng)她寫完時一共寫了多少個數(shù)字“9”嗎?【教學(xué)思路】小兔共寫了20個數(shù)字“9”.我們可以用枚舉的方法來進(jìn)行統(tǒng)計.方法一：因為從1到100的數(shù)中有18個數(shù)含有一個數(shù)字“9”，它們是：9、19、29、39、49、59、69、79、89、90、91、92、93、94、95、96、97、98，另外自然數(shù)99含有兩個數(shù)字9.共20個9.法二：分類數(shù)，“9”出現(xiàn)在個位上的數(shù)有：9、19、29、39、49、59、69、79、89、99，共10個；“9”出現(xiàn)在十位上的數(shù)有：90、91、92、93、94、95、

6、96、97、98、99，共10個共20個.用分別寫著0、5、6、9的四張卡片，可以組成多少個不同的三位數(shù)? 【教學(xué)思路】0不能在百位，那么百位的數(shù)只能是5、6、9.百位上是5的三位數(shù)有：506、509、569、560、596、590；百位上是6的三位數(shù)有605、609、650、659、695、690；百位上是9的三位數(shù)有905、906、965、960、956、950.這樣用0、5、6、9四張卡片，可以組成6×3=18個不同的三位數(shù).小蜜蜂家門前共有5級臺階她發(fā)現(xiàn)每天上樓梯的方法都不相同，小蜜蜂很想研究一下這個問題.如果規(guī)定一步只能登上一級或兩級臺階，小朋友幫她算一算上這個臺階共有多少

7、種不同的上法?【教學(xué)思路】如下圖，我們可以按順序把這些方法用數(shù)對比較出來，具體分析如下：見上圖（1），用數(shù)組表示不同的上法.（1，1，1，1，1）表示每步只上一級，只有1種上法.見上圖（2），（2，1，1，1）（1，2，1，1）（1，1，2，1）（1，1，1，2）表示有一步上兩個臺階，其他幾步都各上一個臺階，共有4種上法. 見上圖（3），（2，2，1）（1，2，2）（2，1，2）表示有兩步各上兩個臺階，有一步上一個臺階，這種上法共有3種. 因此，上臺階共有1+4+3=8種不同的上法. 小兔餓了，到處尋找食物.它來到一棵大樹下，看到離樹1米遠(yuǎn)的地方有個大蘿卜，滿心歡喜.但這棵樹下拴了一條狗，繩長

8、2米.小兔要吃蘿卜，狗就會咬它.小兔想了個好辦法既能吃到蘿卜，又不會被狗咬.你知道是什么辦法嗎?【教學(xué)思路】小兔在以樹為圓心，2米為半徑的圓以外圍著樹跑，狗看見小兔就追，跑了幾圈繩子就會繞在樹上，繩子越繞越短，小兔就可以放心地把蘿卜拔走了.生活中交通跟我們密不可分，大象老師出了一道跟交通有關(guān)的題，你能幫助解決嗎？北京到廣州的火車中途經(jīng)過天津、武漢，如果只考慮北京到廣州中的北京、天津、武漢、廣州這4個車站，那么這4個車站間的往返火車票共需多少種?【教學(xué)思路】這里要注意，題目要求在這4個車站間有多少種往返車票“往返車票”指在這4個車站中，任何一個車站既可以作起點站也可以作終點站，因此，可以任取1個

9、站作起點站，則其余3個站就是終點站了即一個起點和一個終點間都應(yīng)設(shè)一種車票，因此需要準(zhǔn)備3×4=12(種)不同的車票 小豬歡歡喜歡吃披薩、漢堡和薯條三種快餐.她在相鄰的兩天不會吃同一種.如果她第一天吃的是披薩，第五天也是吃的披薩，那么在這五天里她的食譜有多少種安排方案? 【教學(xué)思路】可以用樹形圖分析：這樣我們發(fā)現(xiàn)，小豬的食譜一共有6種安排的方法，具體情況如下：（1）披薩漢堡披薩漢堡披薩； （2）披薩漢堡披薩薯條披薩；(3) 披薩漢堡薯條漢堡披薩； (4) 披薩薯條披薩漢堡披薩；(5) 披薩薯條披薩薯條披薩； (6) 披薩薯條漢堡薯條披薩；拓展與提高小雞咪咪給4個好朋友寫信由于粗心，在把

10、信紙裝入信封時都給裝錯了4個好朋友收到的都是給別人的信問咪咪裝錯的情況共有多少種可能? 【教學(xué)思路】把4封信編號：1，2，3，4；把小朋友編號，友,友,友，友.并假定1號信是給友寫的，2號信是給友寫的，3號信是給友寫的，4號信是給友寫的：再把各種可能的錯裝情況列成下表：所以，共有9種可能 附加題（老師可根據(jù)自己的課堂進(jìn)度靈活處理講義內(nèi)容，附加題僅供老師參考使用.）一個盒中裝有七枚硬幣，兩枚1分的，兩枚5分的，兩枚1角的，一枚5角的，每次取出兩枚，記下它們的和，然后放回盒中，如此反復(fù)地取出和放回，那么記下的和至多有多少種不同的錢數(shù)?【教學(xué)思路】我們?nèi)园凑找欢ǖ捻樞騺砜紤]，我們先從取最小硬幣開始考

11、慮(1)先取1枚1分的，第2枚取時有4種情況分別為：1分，5分，10分，50分兩枚硬幣的幣值分別為：2分，6分，11分，51分；(2)如果第l枚取的是5分的幣值，第2枚取時有3種情況：5分，10分，50分兩枚硬幣的幣值分別為：10分，15分，55分；(3)如果第1枚取的是1角的幣值，第2枚取時有2種情況：1角，5角兩枚硬幣的幣值分別為：20分，60分這樣共有4+3+2=9(種)不同的錢數(shù)有一個大長方形的周長是20厘米，它的長和寬都是整厘米數(shù)，這樣的不同的長方形有多少？【教學(xué)思路】由于長方形的周長是20厘米，所以它的長和寬之和為10厘米，下面列舉出符合這個條件的各種長方形 (注意，正方形可以說成

12、是長與寬相等的長方形)所以有5個.兩個整數(shù)之積為144，差為10，求這兩個數(shù)?【教學(xué)思路】列出兩個數(shù)積為144的各種情況，再尋找滿足題目條件的一對出來： 1 2 3 4 6 8 9 12 144 72 48 36 24 18 16 12 可見其中差是10的兩個數(shù)是8和18，這一對數(shù)即為所求 1. 從2張5元人民幣、5張2元人民幣、lO張1元人民幣中取10元錢，共多少種不同的取法? 【答案】畫表分析可得10種.2. 用3、7、5、0這四個數(shù)字，可以組成（ 18 ）個不同的三位數(shù)。3. 商店有圍巾3種，每種價錢依次是14元、12元和10元.帽子有5種，每種價錢依次是13元、11元、9元、7元、和5

13、元.如果一頂帽子和一條圍巾配成一套，每套可以有多少種不同價錢?【答案】 我們可以把這些情況一一枚舉出來：13+14=27 ，13+12=25 ，13+10=23 ，11+14=25（舍），11+12=23（舍），11+10=21 ，9+14=23（舍），9+12=21（舍），9+10=19 ，7+14=21（舍），7+12=19（舍），7+10=17 ，5+14=19（舍），5+12=17（舍），5+10=15 .所以共有7種不同價錢.4. 小螞蟻小小生病了，她要從A點爬到E點去看病，怎樣走線路最短？這樣的路線一共有多少條？請你用彩筆畫一畫. （圖中每一小段都一樣長）【答案】要想走的路線最短，

14、那么只能向右和向下走，最短的線路是走四小段.將各種路線一一列出，可知共6條，見下圖（1）AHGDE； （2）ABGDE； （3）ABCDE；（4）AHIFE； （5）AHGFE； （6）ABGFE5. 一個學(xué)生假期往A、B、C三個城市游覽他今天在這個城市，明天就到另一個城市假如他第一天在A市，第五天又回到A市問他的游覽路線共有幾種不同的方案? 【答案】請看右面的樹形圖可見他第五天回到A市的不同游覽路線共有6種，分別是：八歲的高斯發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)定理 德國著名大科學(xué)家高斯(17771855)出生在一個貧窮的家庭.高斯在還不會講話就自己學(xué)計算，在三歲時有一天晚上他看著父親在算工錢時，還糾正父親計算的錯誤

15、.長大后他成為當(dāng)代最杰出的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家.他在物理的電磁學(xué)方面有一些貢獻(xiàn)，現(xiàn)在電磁學(xué)的一個單位就是用他的名字命名.數(shù)學(xué)家們則稱呼他為“數(shù)學(xué)王子”. 他八歲時進(jìn)入鄉(xiāng)村小學(xué)讀書.教數(shù)學(xué)的老師是一個從城里來的人，覺得在一個窮鄉(xiāng)僻壤教幾個小猢猻讀書，真是大材小用.而他又有些偏見：窮人的孩子天生都是笨蛋，教這些蠢笨的孩子念書不必認(rèn)真，如果有機會還應(yīng)該處罰他們，使自己在這枯燥的生活里添一些樂趣. 這一天正是數(shù)學(xué)老師情緒低落的一天.同學(xué)們看到老師那抑郁的臉孔，心里畏縮起來，知道老師又會在今天捉這些學(xué)生處罰了.“你們今天替我算從1加2加3一直到100的和.誰算不出來就罰他不能回家吃午飯.”老師講了這句話后就一言不發(fā)的拿起一本小說坐在椅子上看去了.教室里的小朋友們拿起石板開始計算：“1加2等于3，3加3等于6,6加4等于10”一些小朋友加到一個數(shù)后就擦掉石板上的結(jié)果，再加下去，數(shù)越來越大，很不好算.有些孩子的小臉孔漲紅了，有些手心、額上滲出了汗來.還不到半個小時，小高斯拿起了他的石板走上前去.“老師，答案是不是這樣?”老師頭也不抬，揮著那肥厚的手，說：“去，回去再算!錯了.”他想不可能這么快就會有答案了.可是高斯卻站著不動，把石板伸向老師面