微分與積分中值定理及其應(yīng)用

1、微分與積分中值定理及其應(yīng)用用心整理的精品 word文檔，下載即可編輯！ ！第二講微分與積分中值定理及其應(yīng)用1微積分中值定理0微分中值定理0微分中值定理的推廣1羅爾定理的推廣1朗格朗日中值定理的推廣2柯西中值定理的推廣21.2積分中值定理3積分中值定理的推廣33微積分中值定理的應(yīng)用33.2 進(jìn)行估值運(yùn)算73.3 證明函數(shù)的單調(diào)性83.4 求極限93.5 證明不等式93.6 推廣定理的應(yīng)用11引言Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理統(tǒng)稱為微分中值定理。微分中值定理是數(shù)學(xué)分析中最為重要的內(nèi)容之一，它是利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)在區(qū)間上整體性質(zhì)的基礎(chǔ)，是聯(lián)系閉區(qū)間上實(shí)函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的

2、橋梁與紐帶，具有重要的理論價(jià)值與使用價(jià)值。1微積分中值定理微分中值定理羅爾(Rolle)定理：若函數(shù)f滿足如下條件(i) f在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(ii) f在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(iii) f(a)f(b),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f()0.朗格朗日(Lagrange)中值定理：設(shè)函數(shù)f滿足如下條件：(i) f在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(ii) f在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)；則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f()flbf).ba柯西中值定理：設(shè)函數(shù)f和g滿足(i)在a,b上都連續(xù);(ii)在(a,b)內(nèi)都可導(dǎo)；(iii) f(x)和g(x)不同時(shí)為零;(iv)g(x)g(b),則存

3、在(a,b),使得f()f(b)f(a)g()g(b)g(a)微分中值定理的推廣羅爾定理的推廣定理1:設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且有l(wèi)imf(x)f(a0)f(b0)limf(x)A(A為有限值或或)，則存在點(diǎn)xaxb(a,b),使得f()0.證明：首先對(duì)A為有限值進(jìn)行論證:令 F(x)f(x),x(a,b)A,xa或xb則易知函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且F(a)F(b).由Rolle定理可知，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得F()0,而在(a,b)內(nèi)有F(x)f(x),所以f()0.其次對(duì)A=()進(jìn)行論證：由引理1,f(x)在(a,b)內(nèi)能取得最小值(最大值).不

4、妨設(shè)：函數(shù)f(x)在(a,b)處取得最小值(最大值).此時(shí)函數(shù)f(x)在(a,b)處也就取得極小值(極大值).又因?yàn)閒(x)在(a,b)處可導(dǎo)，由Fermat引理，可得f()0.綜上所述，從而定理得證.定理2:設(shè)函數(shù)f(x)在(a,),內(nèi)可導(dǎo)，且limf(x)limf(x),證明：在(a,)xax中存在一點(diǎn)，使得f()0.定理3:設(shè)函數(shù)M乂)在(,b),內(nèi)可導(dǎo)，且limf(x)limf(x),證明：在(,b)xxb中存在一點(diǎn)，使得f()0.定理4:設(shè)函數(shù)f(x)在(，)，內(nèi)可導(dǎo)，且limf(x)limf(x),證明：在xx(,)中存在一點(diǎn)，使得f()0.朗格朗日中值定理的推廣定理5:如果函數(shù)f

5、(x)滿足條件：在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)且lim f (x) f (a 0) f (a), lim f (x) f (b0)存在，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)精心整理，用心做精品 19f(b)f(a)使得f()ba柯西中值定理的推廣定理6:如果函數(shù)f(x)和F(x)滿足條件:都在有限區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；m2, lim F(x) M2;limf(x)m1,limf(x)M1,limF(x)x(a,b),有F(x)0;則在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得證明：作輔助函數(shù)f (x)A(x) ym1A(x),B(x),并且令x (a,b)時(shí)，B(x)F(x) m2 M2(a,b)時(shí),a時(shí)，b時(shí)，則A(x

6、),B(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)x (a,b), B'(x) 0,由Cauchy中值定理可知，至少有一點(diǎn)(a,b)使得又當(dāng)A( ) A(b) A(a)B ( ) B(b) B(a)x (a,b)時(shí),A(x) f(x), B(x) F(x).A( ) f ( ) A(b) A(a)B( ) F ()B(b) B(a)即：f-(-)一'F ( ) M2m21.2積分中值定理積分中值定理：若f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則在a,b上至少存在一點(diǎn)使得bfxdxa積分中值定理的推廣推廣的積分第一中值定理則在a,b至少存在一點(diǎn):若fx,gx在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，

7、且gx在a,b上不變號(hào),，使得b.bbfxgxdxfgxdx,aaa第一型曲線積分中值定理：若函數(shù)f(x,y)在光滑有界閉曲線C上連續(xù)，則在曲線C上至少存在一點(diǎn)(，)，使f(x,y)dsf(,)S。C其中S表示曲線C的長(zhǎng)。第二型曲線積分中值定理：若函數(shù)f(x,y)在有向光滑閉曲線C上連續(xù)，則在曲線C上至少存在一點(diǎn)(，)，使f(x,y)dsf(,)IC其中I為有向光滑曲線C在x軸上的投影，符號(hào)是由曲線C的方向確定。第一型曲面積分中值定理：若D為xoy平面上的有界閉區(qū)域，zz(x,y)是光滑曲面S,函數(shù)f(x,y,z)在S上連續(xù)，則曲面S上至少存在一點(diǎn)(，)，使得f(x,y,z)df(,)AS其中

8、A是曲面S的面積。第二型曲面積分中值定理：若有光滑曲面S:zz(x,y),(x,y)Dxy,其中Dxy是有界閉區(qū)域，函數(shù)f(x,y,z)在S上連續(xù)，則在曲面S上至少存在一點(diǎn)(，)，使得f(x,y,z)dxdyf(,)AS其中A是S的投影Dxy的面積。3微積分中值定理的應(yīng)用3.1證明方程根(零點(diǎn))的存在性例1:設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)存在占八、(a,b),使得f(a) g(a)f(b) (bg(b)g(a)證明：令F(x)f(a)g(x)f(x)g(a),則F(x)f(a)g(x)f(x)g(a),又有F(b)f(a)g(b)f(b)g(

9、a),F(a)f(a)g(a)f(a)g(a)0.易知F(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，故運(yùn)用Lagrange中值定理可得，存在一點(diǎn)(a,b),使得F(b)F(a)F(b)(ba)f(a)g()f()g(a),即f(a)g(b)f(b)g(a)(ba)f(a)g()f()g(a),所以在(a,b)內(nèi)存在一點(diǎn)任/口f(a)f(b)f(a)f()田口、十(a,b),使得(ba),故止理得證.g(a)g(b)g(a)g()例2:設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且在閉區(qū)間a,b內(nèi)存在一點(diǎn) (a, b),使得1f(a)g(a)f(b) g(b)上，有意義

10、，g(x)0.則在(a,b)g(x)f()g(b)g(a)g()證明：令F(x)f®,G(x),易知F(x)和G(x)在區(qū)間a,b上滿足Cauchy中g(shù)(x)g(x)值定理?xiàng)l件，故有,F(b) F(a)F ()即 f(b)g(a)f(a)g(b)G(b) G(a) G( ) , g(a) g(b)f ()g() f()g()，所以在(a,b) g ()內(nèi)存在一點(diǎn)“口 f (a) (a,b),使得 g( ) J g(a)f(b)g(b)g(b)g(a) f()f (),故定理得 g( ) g()證.例1:設(shè)a,b,c為三個(gè)實(shí)數(shù)，證明：方程exax2bxc的根不超過三個(gè).證明：令F(x)

11、ax2bxcex,則F'(x)2axbex,F"(x)2aex,F"'(x)ex.用反證法，設(shè)原方程的根超過程3個(gè)，那么F(x)至少有4個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為Xix2x3x4,那么有羅爾定理，存在Xi1X22X33X4，使F'(1)F'(2)F'(3)0,再用羅爾定理，存在11223,使F"(i)F"(2)0,再用羅爾定理，存在12,使F”'()0,因?yàn)镕"'(x)ex,所以F"'()0,矛盾，所以命題得證.例2:設(shè)函數(shù)a,b上連續(xù),證明:一個(gè)a,bdx0obf1bdx-fxd

12、xo2a證明：令顯然a,b上連續(xù)。dtdtdtdt可知a,b上滿足零值定理。故一個(gè)dta,bbftdt0dxdxdxdx0。dxxdx例3:設(shè)實(shí)數(shù)a1,a?JHan滿足關(guān)系式:aia23III1n1an2n10o證明：a1cosxa2cos3x小ancos2n1x0在0,2內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。證明：令fxa1sinxa23sin3xansin2n2n1顯然0,2上連續(xù)，在0-2內(nèi)可導(dǎo),0,ai2nh0，故羅爾定理成立。于是0,即:a1cosxa2cos3xx在a,bIIIa證明:一個(gè)ancos2nxx2GfXxn0O故命題得證。b,q0i1,2|,n。證明:,Jfx在a,b上連續(xù),m,M分別為G

13、C2cn有最值定理有：mfxM,fx在a,b上最小最大值，于是:G0,mfx1Mc1mc1fx1c1Mc20, m f x2Mmc2 c2 f x2Mc2cn0, m f xnMmcn cnf xnMcnc Q HI cn cf % c2f x2Gf . Qf x2 I" cnf xnci c2 T cnHIMcnfxnci c2 H| cn M由介值定理，一個(gè) a,b ,使fGf x|cnf xnGc2Icn0),證明在(a,b)內(nèi)方程例5:若f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(a22_'2xf(b)f(a)(ba)f(x)至少存在一根。證明：令F(x)f(b)f(

14、a)x2(b2a2)f(x),顯然F(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，而F(a)f(b)a2b2f(a)F(b).根據(jù)Rolle定理，至少存在一點(diǎn)，使2f(b)f(a)(b2a2)f'(x).例6:設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)(0ab),證明：在a,b內(nèi)存在一占八、)使bf(b)af(a)(ba)f()f'()成立。證明：F(x)xf(x),則F(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)可導(dǎo)，由Lagrange定理，存在一點(diǎn)a,b,使Fbf(b)af(a)即f()f(x)受一”，ba即bf(b)af(a)(ba)f()f'()例7:設(shè)fx在a,b上連續(xù)，在

15、(a,b)可導(dǎo)(0ab),證明：在a,b內(nèi)存在一點(diǎn)，.b使f(b)f(a)(ln)f()成立。a證明：令g(x)Inx,對(duì)f(x),g(x)在a,b上運(yùn)用Cauchy定理，f()f(b)f(a)行一d,1InbInaf(b)f(a)g(b)即f(b)例8:證明方程f(a)4ax3g(a)'(ln-)f'().a3bx22cxabc在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)根(p46,209)例9:設(shè)拋物線BxC.與x軸有兩個(gè)父點(diǎn)x=a,x=b(a<b),函數(shù)f在a,b上二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0,并且曲線y=f(x)與BxC4在(a,b)內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，證明：存(a,b)+f()在22

16、使得(p46,209)例10證明：2x1方程有且僅有三個(gè)實(shí)根(p46,211)3.2進(jìn)行估值運(yùn)算1x19例1:估計(jì)x03,6,1xdx的值.解：由推廣的積分第一中值定理，得1x19031x613161x19dx011-，其中20310,1因?yàn)?,所以13213161,12032112031612012032031例2:估計(jì)19dxIx62x1.20dx,二一的積分010.5sinx于是解：由于10.5110.5sinx110.5sinx2xdx0.5sinx此時(shí)可得到估計(jì)的積分值為2xdx010.5sinx1)。3.3證明函數(shù)的單調(diào)性例1;設(shè)函數(shù)f (x)在0,)上可導(dǎo)，f (x)單調(diào)增加且f

17、(0)0,證明g(x)-f-(x)在x(0,)上單調(diào)增加.例2:設(shè)函數(shù)f(x)在。)上連續(xù)，F(xiàn)(x)x0(x2t)f(t)dt,試證:在(0,)內(nèi),若f(x)為非減函數(shù)，則F(x)為非增函數(shù).證明：F (x)x0(x 2t)f(t)dtxx0 f (t)dtx0tf (t)dt對(duì)上式求導(dǎo),F (x)仔：x0 f (t)dt xf(x)x2xf(x) 0 f (t)dt xf(x)利用積分中值定理，得:F(x)xf()xf(x)xf()f(x),(0x)若f(x)為非減函數(shù)，則f()f(x)0,F(x)0,故F(x)為非增函數(shù)。3.4求極限例1:求limx 0tan(tanx)tan(sinx)

18、otanxsinx解：對(duì)函tant數(shù)在sinx,tanx（0x萬）區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理即可。例 2:求 lim n2n(二a0O解：根據(jù)題意,2/ lim n (n由 Lagrangge 定理, 1f)alimn2/ x、' in (a ) |x(-n吉）lim n2.n a ln an(n1)lna其中,例3:求極限nim 01nx2 x解：利用廣義積分中值定理1lim -n 0 1n Jdxx112 xndx12 0n 1 'A 1 n(11)則limn01 x2dxlimn(12)(1 n)3.5證明不等式求證1203219xdxIx6120證明:19xdx6X19

19、.dx11203.16其中0,1,于是由1即可獲證.例2:證明231dx102xx22證明：估計(jì)連續(xù)函數(shù)的積分值fxdx的一般的方法是求fx在a,b的最大值M和bfxdxMa因?yàn)?x'14x所以dx2xx2例3:證明110209110證明：估計(jì)積分xgxdx的一般的方法是：求在a,b的最大值M和最小值m,又若gx0,則gxdxxgxdxbgxdx.a、本題中令1,gx.1x因?yàn)?.20,1所以1102x9dx9x.dx1x1x9dx0110例4:證明2ex2xedx2e2.證明:在區(qū)間0,2上求函數(shù)x2ex的最大值M和最小值2xxx2x1e，令f10，得駐點(diǎn)x21一一，1比較f,f0,

20、f2知fe22x在0,2上的最小值，而f2e2為fx在0,2上的最大值.由積分中值定理得1ez20dxe220,12e4x2edx2e2.3.6推廣定理的應(yīng)用例1：設(shè)他）在（）上可得，且0f(x)證明:0,使得證明：?jiǎn)栴}相當(dāng)于要找0,使f1x1x20，因函數(shù)F（x）1f(x)1x十2在x）內(nèi)可導(dǎo),故0lim0xlimf(x)xlim-x1J0,即xlimf(x)x又0lim0x所以limf(x)x由定理4知例2：設(shè)f(x)在a,b1使得1baf(a)證：根據(jù)定理7,f(a)f(b)ab(blimf(x)limlimf(x)0xlimf(x)0x上連續(xù)（abbf(b)f()f(令g(x)x,那么a)f(）0,即題目得證。0）,在（a,b）上可導(dǎo)，證明存在一點(diǎn)(a,b),).