平面向量的坐標表示

1、平面向量的坐標表示一. 明確復習目標1. 理解平面向量的坐標概念；2. 掌握平面向量的坐標運算，掌握共線向量的坐標表示;二. 建構知識網(wǎng)絡1.平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位a可表示成a的坐標，記作向量i,j作為基底。由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量片4 T 4a = xi y j,由于a與數(shù)對（x,y）是一一對應的，因此把（x,y）叫做向量a =（x,y），其中x叫作a在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標。（1）若 a =xi - yj，則 | a |x2 y2若 A(xi,yi),B(X2,y2)則 AB 工區(qū) -“2 - ),| AB 卜

2、、J（X2 -xi）2 M -yi）表示相等向量的有向線段的始點、終點的坐標未必相同(3)向量相等 坐標相同。2. 平面向量的坐標運算fc-Wr*(1)若 a 二 my ,b = X2,y2，則 a 一b 二 一x?,% - y?tr>若 a =(x,y)，則a=( ' x, ' y)*-r4 4 若 a hX1,y1 ,b =：X2,y2，則 a b% x? % y?r3. 設 a =漢1,力，b hX2,y2 貝V向量共線：a / b = x y2 - x2 y 0向量垂直：a _ b，二x1 x2 y1 y2 =0三、雙基題目練練手1. (2006 山東)設向量a=

3、(1,-3),b=(-2,4), c= (-1,-2),若表示向量4a、4b-2 c、2(a-c)、d的有向線段依次首尾相接能構成四邊形，則向量 d為()A. (2,6)B. (-2,6)C. (2,-6)D. (-2,-6)， 1 -2. 平面上 A (-2 , 1), B (1, 4), D (4, -3 ), C點滿足 AC = CB，連 DC并延長至 E,1使I CE|=| ED| ,則點E坐標為:11、(0 , 1 )或(2,)34A、(-8 ,5)B 、( -8, 11 ) C 、(0 , 1) D3333. 已知向量 a、b 滿足 |a|=1, |b|=2, |a b|=2，則

4、|a+b|等于A.1C.5剖析：欲求|a+ b| , 一是設出a、b的坐標求，二是直接根據(jù)向量模計算T T T4.(2005 全國川)已知向量 OA =(k,12),0B =(4,5),OC =(-k,10),且 三點共線，則k=5.(2005湖北).已知向量a =(-2,2),b =(5,k)若|a - b|不超過5,則k的取值范圍6.設 OA= (3, 1) , OB= (-1 , 2) , OC 丄 OB , BC / OA , O 為坐標原點，則滿廠TTTT足OD +OA =OC的OD的坐標是.7.已知向量a = 3,2 , b - -1,1 ,向量m與3a - 2b平行，| m丨=4

5、 . 137則向量 m的坐標是例題答案：1-3.DBD;2 222 222 2 23. V |a+b| +|a b| =2 (|a| +| b| ), - |a+ b| =2 (|a| +|b| ) |a b| =6.法 2:利用 |a| 二 a24.; 5. 6 , 2; 6. (11, 6) . 7. m =144,16 或 m= -44,-163四、經(jīng)典例題做一做【例1】平面內(nèi)給定三個向量 a二3,2 ,b h-1,2 ,c h4,1 ,回答下列問題:(1) 求滿足= mb nc的實數(shù)m,n ；(2) 若 a kc/ 2b -a ,求實數(shù) k；(3) 若 d 滿足 d -c / a b

6、,且 |d -沖5 ,求 d解：(1)由題意得 3,2 二 m -1,2 5 4,1所以5+4x3，得2m + n = 25m = 98 n =-9 a kc = 3 4k,2 k ,2b -a 二-5,2.23 4k ；7-5 2 k =0,. k = -1613(3)設 d = (x, y)則 d -c 二 x _4, y _1 ,a b = 2,4由題意得4(x-4)-2(y -1 )=0(x-+(y-if =5x=3x=5得丿 或丿 ,d=(3,1)或(5,3)$ = -1)=3方法提煉：1利用平面向量基本定理，2利用共線向量定理.【例 2】(2006 全國n)已知向量 a = (si

7、n r,1),b = (1,cosr),-'2 2(I)若 a b，求 v(n)求a + b的最大值。解: (I)若a_b,貝Usinv + cos： = 0,得 t an =1所以；v 2 2 f 4(n) 由 a = (sinr,1),b =(1,cosR得| a b | sin2(1 cos)2二.3 2 .2sin('二)當sin(0 +中)=1時,a +b取最大值，即當日=寸時，a +b|max = J2 + 1.解題評注：向量一三角函數(shù)綜合是一類?？嫉念}目，要理解向量及運算的幾何意 義，要能熟練解答?！纠?3】已知 ABC 中，A(2,-1) , B(3,2), C

8、(-3,-1),BC 邊上的高為 AD，求 AD。解：設 D(x,y),則 AD =x-2,y 1, BD 二 x - 3, y - 2 , BC F-b,-3 - AD _ BC,BD/BC-6(x-2)-3(y 十1 )= 0得 x=丿得冬-3(x-3)+6(y-2) = 0y =1所以 AD 二-1,2【例4】如圖，設拋物線 y2=2px ( p>0)的焦點為F經(jīng)過點F的直線交拋物線于 A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC/ x軸，證明直線AC經(jīng)過原點O解法一：設 A(xi,y i),B(x 2,y 2),F( P0)，則 C(_P,y2) 2 2則FA任一占)丘1&2

9、 -士 y2)2 2pp FA 與 FB 共線， £ )y2-(X2M =022(x1) (x2 )即= (* )y1y22 2代X1二仏，X2二仏整理得，yi y2=-p22p2pp OA =(為，yJ,OC =( y)2y12p2Py1今 今OA與OC共線，即A、O C三點共線,也就是說直線AC經(jīng)過原點O 解法二：設 A(x1,y 1) , C(_p,y2) , B(x2,y 2)2 y12p2欲證A、O C共線，只需且僅需 k OA =kOC，即-,又x 1X1_p2只需且僅需yw2=-p2,用韋達定理易證明解題評注：兩向量共線的應用非常廣泛，它可以處理線段(直線)平行，三點共

10、線 (多點共線)問題，使用向量的有關知識和運算方法，往往可以避免繁冗的運算，降低 計算量，不僅方法新穎，而且簡單明了。向量與解析幾何的綜合是又一命題熱點。核心步驟：【研討.欣賞】(2005上海)在直角坐標平面中，已知點Pi(1,2),P2(2,22), P3(3,2)Pn(n,2n)，其中n是正整數(shù)，對平面上任一點Ao,記Ai為Ao關于點Pi的對稱點，A?為A1關于點P2的對稱點，An為An-i關于點Pn的對稱點。(1) 求向量人A2的坐標；(2) 當點Ao在曲線C上移動時，點A2的軌跡是函數(shù)y=f(x)的圖象，其中f(x)是以 3為周期的周期函數(shù)，且當 x (0,3時，f(x)=lgx。求以

11、曲線C為圖象的函數(shù)在 1,4 1上的 解析式；(3) 對任意偶數(shù)n,用n表示向量A0An的坐標。解.(1)設點Ao(x,y), A o關于點Pi的對稱點Ai的坐標為(2-x,4-y),Ai為P2關于點的對稱點A2的坐標為(2+x,4+y), AoA2 =2,4./ AoA2 =2,4, f(x)的圖象由曲線C向右平移2個單位，再向上平移4個單位得到.又 x (3k,3k+3)時,x-3k (o,3), f(x)周期是 3,所以 f(x)=f(x-3k)=lg(x-3k) 設曲線C的函數(shù)是y=g(x),則g(x)=f(x+2)-4=lg(x+2-3k)-4, 此時 x+2 (3k,3k+3),即

12、 x 3k-2,3k+i), 是以3為周期的周期函數(shù)當 x (i,4時,g(x)=lg(x+2-3)-4=lg(x-i)-4.(3) Ao An=aoA2A2a4An -2 An ,由于 A2k -2 A2k-2P2k 4 P2k，得Ao An =2( pP2 + RF4 +*Pn4Pn)3ni=2(i,2+i,2+i,2 - )=22,2(2?i)=n，234(2n -i)五. 提煉總結以為師1熟練運用向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積的坐標運算法則進行運算。2、兩個向量平行的坐標表示。3、運用向量的坐標表示，使向量的運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形有機的結合。同步練習【選擇題】平面向量的坐標表示B.

13、 (3, 6)D. ( 6, 3)2.正方形PQRS寸角線交點為M坐標原點O不在正方形內(nèi)部,且 OP= (0, 3), OS =1(2004年天津，理3)若平面向量b與向量a=( 1，- 2)的夾角是180。，且|b|=35 , 則b等于A. ( 3, 6)C. (6, 3)(4, 0),則 rm =、(7,2)2 23. (2004年遼寧,6)已知點 A (- 2, 0),B( 3, 0),動點 P (x,2y)滿足 PA PB =x ,則點P的軌跡是A.圓B.橢圓4. (2004 全國 n)已知平面上直線C.雙曲線4l的方向向量e=( 一，5()D.拋物線)，點O (0, 0)和 A(1,

14、 2)在I上的射影分別是O和A '，則OA=入e,其中入等于(A.115【填空題】B. 115C.2D. 25. 已知 a =(1,2 )b =(x,1)且 a+2b與 2ab平行，則 x=6. (2005天津)在直角坐標系 xOy中，已知點 A(0,1)和點B(-3,4)，若點C在/AOB的平分線上且| OC |=2,則OC =練習簡答：1-4.AADD;4 64.v e是單位向量， OA在e上的投影為入=e OA2,5 55.1； 6.(一氾空)255【解答題】7已知平面上四點 A(1,2),B(5,8),C(-2,6),D(a,b),求當四邊形 ABCD為凸四邊形且 BD 平分A

15、C時，實數(shù)a,b應滿足的條件1 11解:設 AC,BD 交于點 E,易得 BE (BA BC) =(, -4)，又 BD 二(a - 5,b-8)11設 BD 二 BE 得(a -5,b -8) =(,-4 ),(入 >1)11a 5 2 一消入得 8a11b+48 = 0且 ab -8 - -4 1,b ： 428已知點 A(2,3),B(5,4),C(7,10),若 A ABR),試問(1)入為何值時，點P在一、三象限角平分線上？(2)入為何值時，點P第三象限？解.設點P的坐標為(x,y),則 AP = (x,y) -(2,3) =(x-2,y-3)AB AC =(5,4) -(2,

16、3)(7,10) -(2,3)-(3 5-,17)，由 AP 二 AB AC 得x =5 5y = 4 7點P坐標為(5+5入，4+7入)9.( 2005 山東)已知向量 估=(cos ：,sin J 和 d=C、2sin'cos),"(二，2二)，且 呻呻 8 J2日兀m+n =，求 cos(+)的值*528解： 因為 盤 ；二(cos ： - sin v、2,cos v sin 巧， 常 + ：| = J(cos 日一sin 日 + 0)2 + (cos° + sin 日)2由已知帯+n =珂2，得cos但+71)54725Er 兀2日兀又 cos( ) = 2

17、cos ()-142 816= *25二5兀0 兀 _二：:：v ： 2 /所以 cos( )=8288285所以cos2 ( 10.已知 A (4, 0), N (1 , 0),若點 P 滿足 AN AP=6| PN |.(1)求點P的軌跡方程，并說明該軌跡是什么曲線;(2)求|PN |的取值范圍;解：(1)設 P(x, y), AP=(x 4, y), PN = (1 x, y), AN = (-3, 0),AN AP =6| PN |, 3 (x 4) =6 (1 _x)2 (- y)2，即 3x2+4y2=12.=1. P點的軌跡是以(2) N (1, 0)為橢圓的右焦點,(1, 0)

18、、( 1 , 0)為焦點，長軸長為 4的橢圓.x=4為右準線，設P (X。，y°) , P到右準線的距離為 d, d=4 x, |PN-|=e=1 , |PN|=-d=-x2. 2< x°w 2,. 1W|PN|W 3. d 222當 |PN|=1 時，P (2,0 )；當 |PN|=3 時,P ( 2, 0)= 2,)1 c o s=422 ( eq si4n 4) c 0 s (【探索題】已知向量 b =(x, y)與7 =(y,2y -x)的對應關系用v = f (u)表示宀， *扌(1) 證明：對于任意向量 a, b及常數(shù)m, n恒有f (ma nb)二 mf(0) nf(b)成立；(2) 設 a = (1,1),b =(1,0)，求向量 f(a)及 f(