一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

1、元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一、目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；2能夠利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求簡(jiǎn)單的關(guān)于根的對(duì)稱式的值；3能夠利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系判斷兩個(gè)數(shù)是否是方程的根；4能夠利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出以兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程.重點(diǎn)對(duì)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的掌握，以與在各類問(wèn)題中的運(yùn)用.難點(diǎn)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的運(yùn)用.、知識(shí)要點(diǎn)梳理一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程 ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)根是xi, x 2,那么. 注意它的使用條件為a豐0,A> 0.三、規(guī)律方法指導(dǎo)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的用法：

2、不解方程，檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是否為一元二次方程的根； 方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根與未知系數(shù)； 不解方程，求一元二次方程的根的對(duì)稱式的值； 方程的兩根，求這個(gè)一元二次方程； 兩個(gè)數(shù)的和與積，求這兩數(shù)； 方程的兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值;四、經(jīng)典例題透析 討論方程根的性質(zhì)。1. 一元二次方程的一個(gè)根，求出另一個(gè)根以與字母系數(shù)的值1.方程x2-6x+m2-2m+5=0 個(gè)根為2,求另一個(gè)根與 m的值.思路點(diǎn)撥：此題通常有兩種 做法，一是根據(jù)方程根的定義，把x=2代入原方程，先求出 m的值，再通過(guò)解方程求另一個(gè)根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根與m的值.解：法一：把x=2代入原方

3、程，得2 22 -6 x 2+m-2m+5=02即 m-2m-3=0解得 m=3， m=-1當(dāng)m=3，m=-1時(shí)，原方程都化為x2-6x+8=0/ X1=2，X2=44，m的值為3或-1.x.方程的另一個(gè)根為法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為 那么2. 判別一元二次方程兩根的符號(hào)2. 不解方程，判別2x2+3x-7=0兩根的符號(hào)情況思路點(diǎn)撥：因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系 數(shù)，常數(shù)項(xiàng)皆為，可求根的判別式，但只能用于判定根存在與否，假設(shè)判定根的正負(fù)， 那么需要考察X1 X2或X1+X2的正負(fù)情況2解：/ =3-4 X 2X (-7)=65 > 0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)方程的兩個(gè)根為Xi, X2,原方

4、程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根總結(jié)升華：判別根的符號(hào)，需要“根的判別式，“根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合起來(lái)進(jìn)展確定.另外此題中X1 X2V 0，可判定根為一正一負(fù)，假設(shè)X1 X2> 0,仍需考慮X1+X2的正負(fù)，從而判別是兩個(gè)正根還是兩個(gè)負(fù)根.舉一反三：【變式1】當(dāng)m為什么實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于 x的二次方程 mX2(m+1)x+m-仁0的兩個(gè)根都是正 數(shù).思路點(diǎn)撥：正、負(fù)根的問(wèn)題應(yīng)這樣想：如正數(shù)根，應(yīng)確保兩根之和大于零，兩根之積大 于零，根的判別式大于等于零.解：設(shè)方程的二根為Xi, X2,且Xi >0, X 2>0, 那么有2由 =-2(m+1)-4m(m-1) > 0,解得：/0, m>

5、 0 或 m< 0,上面不等式組化為：由得m> 1 :不等式組無(wú)解. m> 1當(dāng)m> 1時(shí)，方程的兩個(gè)根都是正數(shù).總結(jié)升華：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含有字母時(shí)，不要忘記a工0的條件.【變式2】k為何值時(shí)，方程 2(k+1)x 2+4kx+3k-2=01兩根互為相反數(shù)；2兩根互為倒數(shù)；3有一根為零，另一根不為零.思路點(diǎn)撥：兩根“互為相反數(shù)、“互為倒數(shù)，“有一根為零，另一根不為零等是對(duì)兩根的性質(zhì)要求，在滿足這個(gè)要求的條件下，求待定字母的取值.方程的根互為相反數(shù)，那么X1 =-X 2，即X1+X2=0；互為倒數(shù)，那么 X1 = ,l卩X1 -X2=1，但要注意考察判別式0.解：設(shè)方程的兩

6、根為X1, X2,那么X計(jì)X2=X1X2=1要使方程兩根互為相反數(shù)，必須兩根的和是零，即 x計(jì)X2=,. k=0 ,當(dāng) k=0 時(shí)， =(4k) 2-4 X 2(k+1)(3k-2)=16>0當(dāng)k=0時(shí)，方程兩根互為相反數(shù).2要使方程兩根互為倒數(shù)，必須兩根的積是1,即x 1X2=1，解得 k=4當(dāng) k=4 時(shí)， =(4k) -4 X 2(k+1)(3k-2)=-144< 0 k為任何實(shí)數(shù)，方程都沒(méi)有互為倒數(shù)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根3要使方程只有一個(gè)根為零，必須二根的積為零，且二根的和不是零，即 xiX2=0,解得 k=又當(dāng) k=時(shí)，xi +X2=,當(dāng) k=時(shí)， =(4k) -4 x 2(k+1

7、)(3k-2)=> 0, k=時(shí)，原方程有一根是零，另一根不是零.總結(jié)升華：研究?jī)蓚€(gè)實(shí)數(shù)根問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意二次項(xiàng)系數(shù)不得為零，=b2-4ac不得小于零.3. 根的關(guān)系，確定方程系中字母的取值圍或取值3. 關(guān)于x的一元二次方程 x2-3x+k+仁0的兩根的平方和小于 5，求k的取值圍.解：設(shè) 方程兩根分別為xi， X2 ,xi+x2=3,xi x2=k+12 222/ xi+X2 =(x 1+X2) -2x 1x2=3 -2(k+1) v 5 k > 12又 =(-3) -4(k+1) > 0 k w由得：1 v k w .總結(jié)升華：應(yīng)用根的判別式，條件，構(gòu)造不等式，用不等式組的

8、思想，確定字母的取值 圍.舉一反三：【變式1】方程x2+2(m-2)x+m 2+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21,求m的值.思路點(diǎn)撥：此題是利用轉(zhuǎn)化的思想將等量關(guān)系“兩個(gè)根的平方和比兩根的積大2T轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程，就可求得 m的值.解：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， =2(m-2) 2-4 x 1 x (m2+4) > 0解這個(gè)不等式，得mw 0設(shè)方程兩根為X1，X2，2 X1+X2=-2(m-2)x 1 X2=m+42 2/ X1 +X2 -x 1X2=212 (x 1+X2) -3x 1X2=212 2 -2(m-2)-3(m +4)=21整理得：m-16m-17=0解得

9、：m=17，m=-1又 T mW 0， m=-1.總結(jié)升華：1.求出m=17， m=-1后，還要注意隱含條件mW0，舍去不合題意的 m=17.【變式2】設(shè)與是方程x2-7mx+4ni=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且(-1)(-1)=3 ，求m的值.思路點(diǎn)撥：利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系把等式(-1)(-1)=3轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程.解：由于與是方程x2-7mx+4ni=0的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有所以，有(-1)(-1)=-()+1=4m2-7m+1=3.所以，得方程4甫-7口-2=0 .解這個(gè)方程，或 m=2經(jīng)檢驗(yàn)，或 m=2都能使判別式 =(7m)2-4 x (4m)=33m2> 0,

10、所以，m=2都符合題意.總結(jié)升華：如果所求m的值使方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，就是錯(cuò)誤的結(jié)果，所以檢驗(yàn)的步驟是十 分必要的.討論方程的實(shí)數(shù)根的問(wèn)題， 只有在判別式的值是非負(fù)數(shù)時(shí)才有意義，在解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意這個(gè)重要的條件.4. 求簡(jiǎn)單的關(guān)于根的對(duì)稱式的值.在關(guān)于一元二次方程的根 X1與X2的式子中，如果交換這兩個(gè)字母的位置后式子不變(我們常把這種式子叫做對(duì)稱式)，就可以通過(guò)恒等變形，轉(zhuǎn)化為用X計(jì)X2與X1X2表達(dá)的式子，從而可以利用根與系數(shù)的關(guān)系解決.如+ , , (1+X 1)(1+X 2)都是對(duì)稱式，它們可以變形為用X1+X2與X1X2表達(dá)的式子，如(1+X i)(1+X 2)=1+(X i+X2)+X

11、 1X2,+ =(X1+X2)2-2x 1X2 ,24. 如果與是方程2x +4x+仁0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值.思路點(diǎn)撥：注意到交換與的位置時(shí)，代數(shù)式不變，所以代數(shù)式是關(guān)于與的對(duì)稱式2解：TA =b -4ac=8 > 0,方程有實(shí)根.£ + 儼二(口 +戸一如二- - = 4-= .二'-舉一反三：【變式1】與是方程3x2-x-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式的值.思路點(diǎn)撥：中的與的位置互換時(shí)，式子的形式不變，所以它們都是對(duì)稱式，可以轉(zhuǎn)化為含有與的式子，利用根與系數(shù)的關(guān)系簡(jiǎn)化計(jì)算.解：由于0,v 0,所以> 0,方程一定有實(shí)根.于是把=與=-代入，得總結(jié)升華：這是一個(gè)無(wú)

12、理數(shù)系數(shù)的一元二次方程， 如果分別求出根與的值， 計(jì)算過(guò)程將 冗長(zhǎng)而煩瑣，利用根與系數(shù)的關(guān)系就可以有效地到達(dá)簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程的目的， 讀者如果用求根 后代入的方法演算一遍，將會(huì)有深刻的體會(huì).5 .利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系判斷兩個(gè)數(shù)是否方程的根，能夠求出以兩 個(gè)數(shù)為根的一元二次方程.事實(shí)上，我們有這樣的定理：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)X1與X2使得X1+X2=-p，且X1X2=q，那么X1與X2是方程x +px+q=0的兩個(gè)根.證明如下：由于 X1+X2=-p， X1X2=q，那么方程2x +px+q=0可以化為X2-(X 1+X2)X+X 1X2=0 ,X2-X 1X-X 2X+XiX2=0,X(X-X

13、 i)-X 2(X-X 1)=0 ,(X-X 1)(X-X 2)=0 ,.X=X 1 或 X=X2.這就是說(shuō)，Xi和X2是方程x2+px+q=0的兩個(gè)根.5. 判斷以下方程后面括號(hào)的兩個(gè)數(shù)是不是方程的根：2x -8x-20=0，(10，-2)；2 6y +19y+10=0,;(3)a 2-2a+3=0 ； (+ ； -+).解：(1)/ 10+(-2)=+8=-(-8)； 10X (-2)=-20 ；.10與-2是方程x2-8x-20=0的兩個(gè)根;(2)-；2.-與-是方程6y +19y+10=0的兩個(gè)根；(3)雖然有(+)(-+)=+3；但是(+)+(-+)=+2 豐-(-2);2所以+與 -+不是方程a +2a-3=0的根.6. (1)作一個(gè)以-與為根的