熱物理過(guò)程的數(shù)值模擬-計(jì)算傳熱學(xué)3資料

1、四、非線笥問(wèn)題迭代式解法的收斂性每一層次上滿足迭代法求解的收斂條件+相鄰次間代數(shù)方程的系數(shù)變化不太大（亦即未知量的變化不太大J多數(shù)情形下非線性問(wèn)題迭代式解法是可以收斂的）。使相鄰兩層次間未知量變化不太大的措施：1欠松弛迭代 常用逐次欠弛線迭法（SLUR）： 一組臨時(shí)系數(shù)下逐線迭代求解+對(duì)所得的解施以欠松弛，再用欠松弛后的解去計(jì)算新的系數(shù)，常數(shù)，以進(jìn)入下一層次的迭代。實(shí)施：常把欠松弛處理納入迭代過(guò)程，而不是在一個(gè)層次迭代完成后再行欠松弛。.（n 1）川）.an btnbtp =tp（tp ）ap（先）tpn1） = 7anb tnb b （1一 ）屯tpn）cooaptpn 9、anbtnb b

2、ap -a , b = b （ ）（ap ）tpn），用交替方向線迭代法求解這一方程，就實(shí)現(xiàn)了slur的迭代求解。為一般化起見(jiàn)，上式中tnb上沒(méi)有標(biāo)以迭代層次的符號(hào)（J, GS時(shí)不相同）。2、采用擬非穩(wěn)態(tài)法前面已指出，穩(wěn)態(tài)問(wèn)題的迭代解法與非穩(wěn)態(tài)問(wèn)題的步進(jìn)法十分相似。對(duì)于非線性穩(wěn)態(tài)問(wèn)題，從代數(shù)方程的一組臨時(shí)系數(shù)進(jìn)入到另一組臨時(shí)系數(shù)亦好象非穩(wěn)態(tài)問(wèn)題前進(jìn)了一個(gè)時(shí)間層，非穩(wěn)態(tài) 問(wèn)題的物理特性：系數(shù)熱慣性越大（a； = PMv/也I ），溫度變化越慢，仿此，對(duì)穩(wěn)態(tài)非線性問(wèn)題，可在離散方程中加入擬非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)，以減小未知量托兩個(gè)層次間的變化，即由（=anb -Sp：V）tpn。=Uanbtnbb=（3anb-

3、Sp：Va；）tpn。=二anbtnbbaptf（n 1）Zanbtnb - b - a；tpn）t poEanb -Sp心V +ap一直進(jìn)行到tp,tnb收斂，虛擬時(shí)間步的大小通過(guò)計(jì)算實(shí)踐確定。3、采用Jacobi點(diǎn)迭代法中止迭代的判據(jù)（該層次迭代）除前述變化率判據(jù)外，還可以規(guī)定迭代的輪數(shù)，例如規(guī)定進(jìn)行4-6次ADI線迭代就結(jié)束該層次上的計(jì)算。此時(shí)，用收斂速度低的丁迭代也就起到了欠松弛的 作用。五、迭代法的收斂速度1收斂速度對(duì)給定的代數(shù)方程組（包括是臨時(shí)系數(shù)的情形），采用不同的迭代方法求解時(shí)，使一定的初始 誤差縮小成：倍所需要的迭代輪數(shù) K是不相的e 32 e(0)因?yàn)镚是對(duì)稱的，所以 G

4、2 = . t(GTG)=匸(G2) = G) 所以|門(mén)2 斗Gk|2|e(0)|2 = P(G)k|e(0)|2a =|e|2/|e(T2 蘭(P(G)k，E 蘭kl.P(G)即 k _1八 /嶄 MG) - 一1/(嶄 ”G):- , ?(G)均 1對(duì)于給定的：，所需迭代輪數(shù)k與一 lnT(G)成反比，規(guī)定用R = _ln(G)表示迭代法的收斂速度，則k - -ln ： /R or R _ -ln ： /k即所需迭代輪數(shù)與收斂速度成反比，收斂速度又與譜半徑成反比，收斂速度愈快，迭代輪數(shù) 愈少。注意：不同的迭代方法每進(jìn)行一輪迭代所需的運(yùn)算次數(shù)不同，最終所需的計(jì)算時(shí)間的多少取 決于迭代輪數(shù)及每

5、一輪迭代所需的時(shí)間。2、收斂性的定性分析為什么不同的迭代方法的收斂速度不同，亦即為達(dá)到滿足一定精度要求所需的迭代輪數(shù)不 同？以二維常物性、無(wú)內(nèi)熱源、穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題來(lái)進(jìn)行討論。2 2yyXtBBtRB1B、C aptp 二aEtE awtw aNt” a$ts迭代法需要假定一個(gè)初場(chǎng)，例如假定一個(gè)均場(chǎng)， 從微分方程為看，均勻是其一個(gè)解，但卻不是所研究 問(wèn)題的解，為什么？因?yàn)樗m然滿足內(nèi)部節(jié)點(diǎn)上的離 散方程，卻不滿足與邊界有關(guān)的節(jié)點(diǎn)的離散方程(圖 中紅點(diǎn))，即不滿足邊界條件。 所以迭代法的實(shí)質(zhì)是要 通過(guò)迭代，盡快建立起與邊界條件相適應(yīng)的變量場(chǎng),關(guān)鍵：必須使B、C的影響迅速傳入計(jì)算區(qū)域內(nèi)部，以改進(jìn)節(jié)點(diǎn)變

6、量值，盡快與B、C相應(yīng)，B、C的影響傳入愈快，逼近真解就愈快，收斂就越快！B、C的影響傳入計(jì)算區(qū)域內(nèi)部的快慢與哪些因素有關(guān)？(1) 與迭代方法有關(guān)J迭代：節(jié)點(diǎn)溫度的更新均用上輪迭代所得的“舊”值來(lái)計(jì)算，所以完成一輪迭代后，的影響只能傳入與邊界相鄰的一批節(jié)點(diǎn)上，即僅可傳入一個(gè)網(wǎng)格，且掃描方向與收斂快慢無(wú)關(guān)。要在以后各輪迭代中，B、C的影響才由這些節(jié)點(diǎn)逐步向內(nèi)滲透，所以收斂慢。GS迭代：假設(shè)從左向右掃描，則每做完一輪迭代，左邊界和下邊界的影響傳遍全區(qū)域，而 右邊界的影響只能傳入一個(gè)網(wǎng)格，且收斂速度受迭代掃描方向的影響。線迭代：GS線迭代。自左t右掃描，完成一輪迭代不僅左邊界的影響逐步傳入，而且在每

7、 一列的直接求解中，上、下邊界的影響全部傳入到該列的各節(jié)點(diǎn)上，即一輪迭代使左、上、下邊 界影響傳入全區(qū)域，但右邊界影響仍僅傳入一個(gè)網(wǎng)格。ADI :輪迭代包括一次逐行、一次逐列的掃描；所以在每一輪迭代后所有邊界的影響均傳 入計(jì)算區(qū)域內(nèi)部，從而加快了收斂速度。收斂速度的比較，正方形區(qū)域，1B、C, Laplace方程五點(diǎn)格式，均勻網(wǎng)格步長(zhǎng)為h。迭代方法點(diǎn)迭代線迭代Jacobih2/2h2Gouss-Seidelh22h2SOR2h2 J2 h(2) 與邊界條件的性質(zhì)有關(guān)xXX1B、C規(guī)定了邊界節(jié)點(diǎn)的溫度，影響直接傳入計(jì)算區(qū)域內(nèi)部；t3B、C規(guī)定了環(huán)境溫度及定向點(diǎn)位置，t - t -,對(duì)邊界溫度的限

8、定程度比1B、C時(shí)l cX弱，所以對(duì)內(nèi)部的影響也較弱；或?qū)?tf視為外部溫度，其對(duì)計(jì)算區(qū)域內(nèi)部的影響被外部換熱熱阻削弱，而1B、C可視為，一-或外部熱阻一；0的極限情況，故3B、C的影響比1B、C時(shí)弱。2B、C僅規(guī)定了壁面的鈄率，壁溫完全不確定，對(duì)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)溫度值的改進(jìn)提供的信息最少， 收斂最慢?？梢?jiàn)，為了提高代數(shù)方程迭代解法的收斂速度，應(yīng)力求使邊界條件的影響迅速傳入計(jì)算區(qū)域 內(nèi)部，措施： 增加迭代解法中直接解法的成分，從點(diǎn)迭代t線迭代tADI ; 適當(dāng)選擇掃描的始邊，多以1B、C或3B、C的邊界為始邊，少以 2B、C (尤其是絕熱邊界)為掃描始邊。5-4不規(guī)則區(qū)域的處理一網(wǎng)格生成技術(shù)如何對(duì)不規(guī)

9、則區(qū)域進(jìn)行有效的處理，以便于進(jìn)行傳熱與流動(dòng)過(guò)程的數(shù)值模擬，是近年來(lái)計(jì)算 傳熱研究中的一個(gè)重要課題。以上討論的傳熱過(guò)程大都發(fā)生在規(guī)則而簡(jiǎn)單的區(qū)域中，但許多實(shí)際的熱傳遞現(xiàn)象是在不規(guī)則的區(qū)域中進(jìn)行的，例如：套片管中肋片的傳熱漸擴(kuò)通道中的流動(dòng)與換熱流體外掠管束以上四種情形中的流動(dòng)與換熱不是直角坐標(biāo)、圓柱軸對(duì)稱坐標(biāo)或極坐標(biāo)所能方便地予以描述。雖然有限元法在處理不規(guī)則邊界方面顯示了極大的優(yōu)越性，但就流動(dòng)與傳熱而言，在計(jì)算技 巧與方法方面，有限差分法都比有限元法成熟。用有限差分法處理這類問(wèn)題的方法可以歸納為以下幾種。1采用階梯形邊界（網(wǎng)格） 用階梯形邊界近似代替四分之一圓弧邊界。階梯形邊界（網(wǎng)格） 是采用有

10、限差分法計(jì)算不規(guī)則區(qū)域的最普通的方法。缺點(diǎn)：程序缺少通用性；曲面邊界上網(wǎng)格必須劃得比較細(xì)密（否 則會(huì)引起較大誤差）。2、采用區(qū)域擴(kuò)充法當(dāng)計(jì)算區(qū)域的邊界不規(guī)則程度不很?chē)?yán)重時(shí)，可以采用區(qū)域擴(kuò)充法，把計(jì)算區(qū)域擴(kuò)充為直角坐 標(biāo)，圓柱坐標(biāo)等常規(guī)正交坐標(biāo)系中易于描述的形狀。條件：保證原計(jì)算區(qū)域的情況不變！a ,tf流動(dòng)：把計(jì)算區(qū)域擴(kuò)充到圖中虛線所示的整個(gè)圓形通道，從而可以應(yīng)用圓柱軸對(duì)稱坐標(biāo)系中 的控制方程加以描述。如何保證原來(lái)的情況不變？孔板區(qū)視為粘性無(wú)限大的“流體”，而其余區(qū)域的流體粘性值就等于真實(shí)值，邊界上流速賦為零，計(jì)算中零邊值將迅速傳到孔板區(qū)域內(nèi)，有效地模擬了孔板的存在。傳熱：對(duì)三種不同的邊界條件

11、，具體的處理方式不同(1) 均勻壁溫邊界條件令擴(kuò)充區(qū)域中的導(dǎo)熱系數(shù)為無(wú)限大，而擴(kuò)充后的區(qū)域邊界溫度則等于已知值。(2) 絕熱的邊界條件令擴(kuò)充區(qū)域中的材料導(dǎo)熱系數(shù)為零即可實(shí)現(xiàn)此條件(3) 均勻熱流邊界條件 可應(yīng)用附加源項(xiàng)法來(lái)實(shí)現(xiàn)，真實(shí)邊界上均勻熱流可以附加源項(xiàng)的形式置于與真實(shí)邊界相鄰的控制容積中去，而 擴(kuò)充區(qū)域則處于絕熱狀態(tài)。周期性二維漸擴(kuò)、漸縮通道中的換熱，傾斜的邊界上 作用有均勻的熱流。采用左下所示階梯形網(wǎng)格，并把計(jì)算 區(qū)域擴(kuò)充到一個(gè)長(zhǎng)方形，以便利用直角坐標(biāo)系求解。入擴(kuò)三看一個(gè)網(wǎng)格單元的放大后的情形，P控制容積的附加源項(xiàng)為Sad 二 qLof/ ：V abcdLef實(shí)際邊界與控制容積 P的兩

12、條邊界相交部分的長(zhǎng)度;-Vabcd 控制容積P的體積從而實(shí)現(xiàn)了實(shí)附邊界上擴(kuò)充區(qū)域，擴(kuò)=0，則控容P中的附加源項(xiàng)Sad不會(huì)向擴(kuò)充區(qū)域傳遞, 的均勻熱流加熱條件。(4)外部對(duì)流換熱邊界條件，| _tf根據(jù)附加源項(xiàng)法，此時(shí)P控制容積的兩個(gè)附加源項(xiàng)為Sc,adtf LS p,ad6:網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)P到實(shí)際邊界的距離，擴(kuò)=0區(qū)域擴(kuò)充法的優(yōu)點(diǎn)：可以用按規(guī)則區(qū)域編制的通用程序來(lái)計(jì)算非 規(guī)則區(qū)域的問(wèn)題；易于實(shí)施。缺點(diǎn)：浪費(fèi)一些計(jì)算機(jī)內(nèi)存及計(jì)算時(shí)間。3、采用三角形網(wǎng)格外節(jié)點(diǎn)法對(duì)于不規(guī)則區(qū)域中的導(dǎo)熱問(wèn)題，采用三角形網(wǎng)格可以得 到比較滿意的結(jié)果。從不規(guī)則區(qū)域的三角形網(wǎng)格中劃出圍繞節(jié)點(diǎn)P的多邊形來(lái)分析。確定節(jié)點(diǎn)P所代表的控

13、制容積：三角形外心作為控容的頂點(diǎn)， 要求: 三角形為銳角三角形，以保證外心一定在三角形內(nèi)；以三角形重心作為控容的頂點(diǎn)，對(duì)三角形形狀無(wú)限制；外心為控制 容積頂點(diǎn)，P控制容積如圖所示，各部分平均導(dǎo)熱系數(shù)分別為 爲(wèi)，b, C,f，用控制容積能量平衡法建立離散方程。P-1 之間的熱導(dǎo) cp1 = a / La1, / Lp1 ：嘰Lbi / Lp11 . 1 .LaiL p1 cot .-1Lb1 L p1 cot，-22 2111所以 Cp1 = - a COt -1- b COt ： 2 = ( a COt b COt ： 2 )2 2 2常物性時(shí)，Cp1 =* (cot cot 2)其它各節(jié)點(diǎn)(

14、2-6)與P節(jié)點(diǎn)之間的熱導(dǎo)亦按上式計(jì)算，而只需把r2改換成相應(yīng)頂角即可,P控制容積的熱容:變物性時(shí)，圖示各部陰影部分的熱容量之和送(PMVpQii由控制容積P的熱平衡可得t _topp、(-ON-iL E八 Cpi(ti -tp) S( Vp)i常物性時(shí)，上式變?yōu)椋?c =Vpp “=11iCpi(ti -tp) S( Vp)以上二式右端溫度值的時(shí)層未標(biāo)出，它取決于所采用的格式。 邊界條件的處理：第一類邊界條件，無(wú)需專門(mén)處理；第二、三類B、C邊界上的節(jié)點(diǎn)，需要仿上述方法建立補(bǔ)充方程 和圖第二、三類邊界上的節(jié)點(diǎn)=1 b cot :2C p1P的控制容積1 _Cp3c cot 3p 21 :=(b

15、 cot 22邊界加入熱量則計(jì)入到 P控制容積的源項(xiàng)中，對(duì)第三類邊界條件,C p2 c cOt ：4)傳入熱量:(tf -tp)Lad，其中tp的時(shí)層取決于所采用的格式。Win slow指出，當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)時(shí)，三角形網(wǎng)格所建立的離散方 程的系數(shù)矩陣具有正定性， 可用SOR求解；導(dǎo)熱系數(shù)與溫度有關(guān)時(shí)， 求迭代收斂，不宜采用 SOR，且兩次迭代之間的 Cpi可用欠松弛。根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要，可以采用三角形網(wǎng)格與矩形網(wǎng)格的組合結(jié)構(gòu), 例如二維縱向肋片管。為三角形網(wǎng)格的缺點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)位置的確定、編號(hào)，節(jié)點(diǎn)間距的計(jì)算比較費(fèi)時(shí)程序比較復(fù)雜。 內(nèi)節(jié)點(diǎn)法：以每個(gè)三角形的外心為節(jié)點(diǎn)，其余同上。4、組合坐標(biāo)法二維平直

16、一彎曲段組成的通道，可采用坐標(biāo)系組合的方法，例如直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的組合， 把該計(jì)算系統(tǒng)分成三個(gè)區(qū)域，在區(qū)域I、山中采用直角坐標(biāo)系，在區(qū)域 II中采用極坐標(biāo)系。三個(gè)區(qū)域中垂直于主流方向的坐標(biāo)增量是一致 的，dy =dr，但在主流方向上的坐標(biāo)不一致，為求得一致，在I、III區(qū)域中定義x = x/Ri，則|、III區(qū)域中的也是弧度，與II區(qū)中一致，從而可以 從入口截面開(kāi)始就統(tǒng)一地連續(xù)計(jì)量坐標(biāo)。在各區(qū)域中分別按相應(yīng)的控制方程建立其離散 方程，然后在整個(gè)區(qū)域內(nèi)統(tǒng)一地求解代數(shù)方程。三個(gè)區(qū)域的兩個(gè)分界線作為主控制容積的界面線，所以當(dāng)采用交錯(cuò)網(wǎng)格時(shí)，主流方向速度的速度u的控制容積控制容積將跨越兩個(gè)區(qū)域，如圖所

17、示。該速控制容積的aE, aw分別按級(jí)坐標(biāo)和直角坐標(biāo)系計(jì)算，而 aN ,aS可按并聯(lián)處理：先分別按兩區(qū)域中的半控制容積計(jì)算，后相加，源項(xiàng)亦仿此。5、采用特殊的正交坐標(biāo)系三維正交曲線坐標(biāo)系中，穩(wěn)態(tài)對(duì)流一擴(kuò)散問(wèn)題的通用控制方程為 ; 1 :hh2h；蕩（訕並）hhh；表（訕屆）hhh；弟（譏負(fù)）（更二）3（處Shh2h3h2 ；x2h1h2h3 ；x3h3 ；:x3控制方程寫(xiě)成這種形式時(shí)，一切由曲線坐標(biāo)，滯流模型引起的附加項(xiàng)都包括在S中去了，因此，S的表達(dá)式一般比較復(fù)雜。曲面邊界平面通道中層流充分發(fā)展對(duì)流換熱，設(shè)x3主為主流方向，且為直線坐標(biāo)，再利用充丄（電二）x1 h| . x1分發(fā)展條件，可得

18、+ （&）一Shh2=C.x2h2 -X2式中，:,C例于表中rCU3uh1 h2dp/dx3tU/prc（h1hJ?U3t）/3P來(lái)分析，X3方向控制容積厚度為在該流道截面的二維正交曲線坐標(biāo)系中取出一個(gè)控制容積X3，將上面的控制方程在該控制容積上作積分，等式左端第一項(xiàng)為 = x3(-)dx1dx2$h| ；x1h1 ；x1h1 ；x1)e -G 妝TdX2h1 :x1利用度規(guī)系數(shù)的性質(zhì)，上式進(jìn)步變?yōu)閃isSnf h2sdX2Pe一 (si)wp s-L h2 dx2 w類似地，左端第二項(xiàng)積分為：II X3n( N - p)丿孕s( p (岡2)NP等號(hào)右端的積分為： C = (Sc S/ p

19、)h1h2n enIII s Cd%dx2 - -(Sc Sp p ss ；：;seh1 h2dx1 dx2一(Sc Sp p) Vp其中控容體積 Vp為:Vp_ ( :S2)e( 0) .,( 0)n(g)sJ 22X3將I、II、山代入積分式，整理得到ap = aE e aw w a” as I b其中a (如人)a _ (色s2)特a -T (sjn a(*人aE - - e() , aw, aN - - n, aS s(/) PEWsOwp(s2)NPS2)SPap =aEaw *na$ - S Vp, b = Sc 叫前面導(dǎo)出的三種典型坐標(biāo)系中的二維導(dǎo)熱的離散方程只不過(guò)是上式的特殊形

20、式，從上式出發(fā)，可以編制正交坐標(biāo)系中二維導(dǎo)熱的通用程序，不同坐標(biāo)系中只是規(guī)定h1,h2的不同計(jì)算式即可。（對(duì)流動(dòng)問(wèn)題，采用原始變量法時(shí)，亦需應(yīng)用交錯(cuò)網(wǎng)格）對(duì)于擴(kuò)散（導(dǎo)熱）問(wèn)題，當(dāng)計(jì)算區(qū)域的邊界正好與正交曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)相吻合時(shí)，采用相 當(dāng)導(dǎo)熱體的概念可以使這類問(wèn)題的計(jì)算得到簡(jiǎn)化，無(wú)內(nèi)熱源時(shí)，能量方程為:hAd過(guò)、/hih2h3 ft ,：x1h|x1x2h2.x3h3-X3或:xi(hihhhs、2) = Uhi2:Xi如果把Xi,X2及X3視為一新直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo),、h1h2h3 把hi2作為相當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù),記著*，則上式化為3-i 土 :Xi* ;:t i/U這樣，在原直角坐標(biāo)系中的一

21、個(gè)曲面物體就被轉(zhuǎn)換成了新直角坐標(biāo)系中的規(guī)則長(zhǎng)方體，導(dǎo)熱系數(shù)由變成了各向異性的相當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)*，原直角坐標(biāo)系所代表的空間稱為物理空間，而新直角坐標(biāo)系所代表的則稱為計(jì)算空間，如圖所示：2于是，該導(dǎo)熱問(wèn)題可先在計(jì)算空間中求解，由于它在計(jì)算空間中是規(guī)則區(qū)域，數(shù)值計(jì)算易于 進(jìn)行，然后把計(jì)算空間中的計(jì)算結(jié)果傳送到物理空間中去，兩個(gè)空間中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系由曲線坐標(biāo) 的定義所規(guī)定。在由物理空間向計(jì)算空間轉(zhuǎn)換時(shí)，邊界條件亦應(yīng)作相應(yīng)的轉(zhuǎn)換而成為計(jì)算空間長(zhǎng)方體的邊界 條件。第一類邊界條件：把給定溫度賦給計(jì)算空間中相應(yīng)的點(diǎn)即可。對(duì)第二、第三類邊界條件，相應(yīng)的模式列于表中類別 空間第二類邊界條件第三類邊界條件物理空間,ct一

22、、=qn Snfta (t - t f ) B=kcn B計(jì)算空間盤(pán)人i一qncxihih h2h3hZf),* ctB = 一扎iGXiB把物理空間中的曲線坐標(biāo)系當(dāng)作計(jì)算空 間中的直解坐標(biāo)系，從而把物理空間中不規(guī)則 形狀的求解區(qū)域變換成計(jì)算空間中規(guī)則的長(zhǎng)方 體（三維問(wèn)題）或矩形（二維問(wèn)題），這種做不 僅適用于導(dǎo)熱問(wèn)題，也可用于對(duì)流換熱問(wèn)題， 于是，有限差分法的一個(gè)主要弱點(diǎn)一不易處理 不規(guī)則邊界問(wèn)題，可以說(shuō)原則上已根本解決了。X2=c onst現(xiàn)在的問(wèn)題是，現(xiàn)成的曲線坐標(biāo)系的數(shù)目 畢竟是有限的，而不規(guī)則形狀的物體則是千變?nèi)f化的，不可能滿足上述變換的需要。要使上述變 換思想付諸實(shí)現(xiàn)，必須發(fā)展一套

23、方法，對(duì)于那些沒(méi)有現(xiàn)成曲線坐標(biāo)系可以利用的復(fù)雜形狀，可以 利用這套方法來(lái)建立一個(gè)與該物體相適應(yīng)的坐標(biāo)系，這就是適體坐標(biāo)系的思想。5-5 適體坐標(biāo)系(Body-Fitted coordinates)一、適體坐標(biāo)系的基本概念如上所述，最理想的坐標(biāo)系是其各坐標(biāo)軸與所計(jì)算物體的邊界一一相符合的坐標(biāo)系，稱為適 體坐標(biāo)系，又稱貼體坐標(biāo)系，附體坐標(biāo)系，無(wú)現(xiàn)成的坐標(biāo)系可資利用時(shí)，希望通過(guò)計(jì)算來(lái)構(gòu)造這 樣的坐標(biāo)系，如圖所示。x-y坐標(biāo)系中的不規(guī)則區(qū)域 ABCD，把其相交的兩個(gè)邊界作為曲線坐標(biāo)系的兩個(gè)軸，記為,，且：（1）一條邊界上，只能一個(gè)坐標(biāo)單值地發(fā)生為化，另一個(gè)坐標(biāo)保持為常數(shù)；（2）在兩條對(duì)應(yīng)邊界上，另一組

24、曲線坐標(biāo)的最大值與最小值對(duì)應(yīng)相等，以便在計(jì)算平面上 得出矩形區(qū)域。問(wèn)題：物理平面上，點(diǎn)（x，y）與計(jì)算平面上（,）的對(duì)應(yīng)關(guān)系？求解結(jié)果的傳送？如果把,視為物理平面上的兩個(gè)未知函數(shù)，那么上述確定,的問(wèn)題就是物理平面上的一個(gè)邊值問(wèn)題，因此，從物理平面上來(lái)說(shuō)，所謂要生成一個(gè)適體坐標(biāo)系，實(shí)際上相當(dāng)于要求解物理 平面上的一個(gè)邊值問(wèn)題。反之，首先把物理平面上的區(qū)域 ABCD按已規(guī)定的邊界上的,值，畫(huà)成計(jì)算平面上的,坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的矩形，然后以均勻網(wǎng)格離散化， 于是問(wèn)題變?yōu)椋阂阎?jì)算區(qū)域邊界上各節(jié)點(diǎn) （,） 相應(yīng)的（ U ），問(wèn)在計(jì)算區(qū)域內(nèi)部任意一點(diǎn)（ Jn ）對(duì)應(yīng)的（ U ）值是多少？這樣，如把 x、 y視

25、為計(jì)算平面的未知函數(shù)，則生成適體坐標(biāo)系的問(wèn)題即為計(jì)算平面中的一個(gè)邊值問(wèn)題。從數(shù)值計(jì)算的觀點(diǎn)，對(duì)生成的適體坐標(biāo)系有以下幾點(diǎn)要求：（1） 物理平面上的點(diǎn)與計(jì)算平面上的點(diǎn) 對(duì)應(yīng)，同一簇中的曲線不能相變，不同簇中的 兩曲線只能相交一次；（2）在適體坐標(biāo)系中，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是一系列曲線坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，而不是一群三角形元 素的頂點(diǎn)或無(wú)序的點(diǎn)群，以便設(shè)計(jì)有效，經(jīng)濟(jì)的算法及程序，采用矩形網(wǎng)格即可；（3）物理平面求解區(qū)域內(nèi)網(wǎng)格疏密程度易于控制；（4）在物理平面的適體坐標(biāo)的邊界上，網(wǎng)格線最好與邊界線正交或接近正交，以便于邊界 條件的離散化。二、生成適體坐標(biāo)系的方法分類大致可分為三類1、復(fù)變函數(shù)法利用復(fù)變函數(shù)的映射，

26、可以把相當(dāng)一批二維不規(guī)則區(qū)域變換成矩形區(qū)域，而且可以得出解極或部分解析的變換關(guān)系式。= 0/2二相應(yīng)地：x）= ri (D -rj cos(2二)y(,)= ri -rj xin（2二）復(fù)變函數(shù)映射W =lnz =ln（re =lnr iriP =1 r 所以丿 nn =0控制方程的變化：；：2t ；：t1；：2t c02 2 . 2 _r；r r因?yàn)?-v , ：2t/：V2 二.：2t/?y2ftC2t=lnr, ；:t/ ；r2 = 仍然是各向同性!戌cr初代入原控制方程，得（條件r = 0）r 2-y=0仍然是各向同性?？梢?jiàn)，正交坐標(biāo)系法與復(fù)變函數(shù)法并不相同！2、代數(shù)變換法一利有一些代

27、數(shù)關(guān)系式來(lái)進(jìn)行區(qū)域變換，具體實(shí)施方法頗多，最簡(jiǎn)單的是邊 界規(guī)范化的方法。3、解微分方程的方法一通過(guò)求解邊值問(wèn)題的微分方程建立物理平面與計(jì)算平面上各點(diǎn)間的 對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)該邊值問(wèn)題的控制方程的類型，物理問(wèn)題本身無(wú)任何限定，可以比較自由地按照對(duì)所生成 網(wǎng)格的要求來(lái)選擇控制方程。三、計(jì)算平面上求解區(qū)域形狀的選擇1、2、物理平面上的區(qū)域由四條兩兩相交曲線構(gòu)成的單連通域t計(jì)算平面上取為正方形或矩形; 物理平面的L型區(qū)域：有兩種選擇3411一J3n653、物理平面上的型區(qū)域：兩種選擇特別注意：節(jié)點(diǎn)間一一對(duì)應(yīng)關(guān)系不要受破壞，計(jì)算平面中求解節(jié)點(diǎn)方程時(shí)，對(duì)重迭線上的節(jié) 點(diǎn)，每一個(gè)變量應(yīng)有兩套數(shù)組，以分別存放從左邊

28、和右邊計(jì)算而得之值。注意：計(jì)算平面上的尖角點(diǎn)未必對(duì)應(yīng)于 物理平面上的尖角點(diǎn)，反之亦然，例如物理 平面上一條連續(xù)封閉的曲線所圍成的區(qū)域可 以轉(zhuǎn)換成計(jì)算平面上的一個(gè)正方形。選擇計(jì)算平面上求解區(qū)域形狀的一條件：生成的網(wǎng)格要適用于計(jì)算的問(wèn)題，通常,在計(jì)算平面上都采用正方形均勻網(wǎng)格。四、用適體坐標(biāo)系求解流動(dòng)與換熱問(wèn)題 的總體步驟1網(wǎng)格生成：在計(jì)算平面上選擇與物 理平面上復(fù)雜區(qū)域相應(yīng)的求解區(qū)域，76x = x( ),y = y(,)或其反函數(shù)。這些關(guān)系可以是解析的，也可以是數(shù)值的。2、控制方程的生成與離散，把物理平面上的控制方程及邊界條件轉(zhuǎn)換成計(jì)算平面上的相應(yīng) 形式，并利用控制容積積人法律立離散方程。3、離散方程的求解及解的傳遞。在計(jì)算平面上獲得收斂的解后，根據(jù)節(jié)點(diǎn)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系， 傳送到物理平面上去。5-6控制方程的轉(zhuǎn)換及離散化一、方程的轉(zhuǎn)換討論如何把物理平面上的穩(wěn)態(tài)對(duì)流一擴(kuò)散方程的通用形式轉(zhuǎn)換成一般曲線坐標(biāo)系-中的形式，物理平面上的通用形式為:xy；:(-u )譏)設(shè)已有函數(shù)x=