高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)第七版)上冊(cè)-知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)第七版)上冊(cè)-知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章函數(shù)與極限一.函數(shù)的概念1 .兩個(gè)無窮小的比較設(shè) lim f(x) Qlimg(x) 0 且加 JLLx) l g(x)(1) l = 0 ,稱f(x)是比g(x)高階的無窮小，記以f(x) = 0 g(x),稱g(x)是比f(x)低階的無窮小。(2) l豐0 ,稱f (x)與g(x)是同階無窮小。(3) l = 1 ，稱f (x)與g(x)是等價(jià)無窮小，記以f (x) g(x)2 .常見的等價(jià)無窮小當(dāng)x 一 0時(shí)I - COS L XA'sin x x, tan x x, arcsinx x, arccosx x,1- cos x xA2/

2、2 , ex-1 x , ln(1 x) x , (1 x) 1 x二.求極限的方法1 .兩個(gè)準(zhǔn)則準(zhǔn)則1.單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在準(zhǔn)則2.(夾逼定理)設(shè)g(x) < f (x) < h(x)若 lim g(x) A,lim h(x) A,則 lim f(x) A2 .兩個(gè)重要公式sin x .公式1 lim 1 x 0 x公式 2lim(1 x)1/x e x 03 .用無窮小重要性質(zhì)和等價(jià)無窮小代換4 .用泰勒公式當(dāng)x 0時(shí)，有以下公式，可當(dāng)做等價(jià)無窮小更深層次2!3!n!o(xn)sin x3!5!1)n2n 1x(2n 1)!2n 1o(x )cosx242n1;(%/ 2n

3、x o(x )ln(1 x)23nx xn 1 xn、x . ( 1) o(x )(1 x) 1 x (1) x2 2!35(1).( (n 1) n / n、 - x o(x )n!2n 123n19x xn 1 x2n 1、arctan x x. ( 1)o(x )352n 15 .洛必達(dá)法則定理1 設(shè)函數(shù)f (x)、F(x)滿足下列條件:(1) lim f (x) 0, lim F(x) 0 ; x xox x)(2) f(x)與F(x)在x。的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且 F (x) 0;(3)limx xo匚兇存在(或?yàn)闊o窮大)，則im出F (x)x x° F(x)lim 3x

4、xo F (x)這個(gè)定理說明：當(dāng)lim 3存在時(shí)，lim上區(qū) 也存在且等于lim 5) x M F (x)x x) F (x)x M F (x)lim工且為無窮大時(shí),x X。F (x)lim -f-()也是無窮大.x X。F (x)這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的極限值 的方法稱為洛必達(dá)(L H ospital )法則.型未定式 定理2設(shè)函數(shù)f(x)、F(x)滿足下列條件：(3) lim f(x), lim F (x);x x。x x。F (x)。；.f (x) lim x x。F (x)(4) f(x)與F(x)在x。的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且(5) lim匚兇存在(

5、或?yàn)闊o窮大)，則limf®x x。F (x)X X。F (x)注：上述關(guān)于x x。時(shí)未定式一型的洛必達(dá)法則，對(duì)于x時(shí)未定式一型 同樣適用.使用洛必達(dá)法則時(shí)必須注意以下幾點(diǎn)：(1)洛必達(dá)法則只能適用于“?！焙汀耙弧毙偷奈炊ㄊ剑渌奈炊ㄊ巾?。先化簡(jiǎn)變形成“?！被颉耙弧毙筒拍苓\(yùn)用該法則；。(2)只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則；(3)洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要.因此，在該法則失效時(shí)并不 能斷定原極限不存在.6 .利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式lim f(xx) f(X0) f'(%)(如果存在)x 0x7.利用定積分定義求極限、1n k 1基本格式lim f ()f (

6、x)dx (如果存在)n n k i n o三.函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：(1)第一類間斷點(diǎn)設(shè)Xo是函數(shù)y = f (x)的間斷點(diǎn)。如果f (x)在間斷點(diǎn)Xo處的左、右極限都存在,則稱xo是f (x)的第一類間斷點(diǎn)。左右極限存在且相同但不等于該點(diǎn)的函數(shù)值為可去間斷點(diǎn)。左右極限不存在為跳躍間斷點(diǎn)。第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳 躍間斷點(diǎn)。(2)第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。常見的第二類間斷點(diǎn)有無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。四.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)f (x),有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都 要用至U 0定理1.(有界定理)如果函

7、數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f (x)必在a,b上有定理2.(最大值和最小值定理)如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則在這個(gè) 區(qū)間上一定存在最大值M和最小值m。定理3.(介值定理)如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且其最大值和最小值 分別為M和m，則對(duì)于介于m和M之間的任何實(shí)數(shù)c,在a,b上至少存在一個(gè) 工 使得f (己)=c推論：如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f (a)與f (b)異號(hào)，則在(a,b) 內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)己，使得f(E)= 0這個(gè)推論也稱為零點(diǎn)定理第二章導(dǎo)數(shù)與微分一.基本概念1.可微和可導(dǎo)等價(jià)，都可以推出連續(xù)，但是連續(xù)不能推出可微和可導(dǎo)二.求導(dǎo)公

8、式(cos x)' = - sin(ID(13)(15)(tan x)r = sec' x(sec 到=sec xtan(ar:tanxy =!-；-1 +x爐(6)(8)(10)(12)(14)(16)(cot)r = -csc"(esc x) = cscxcot x0n)，=- x P /(arccQ5M)' = _ J .蟲-工，wCarccotx)r = -1 +x +?設(shè)”火力，吁”3都可導(dǎo)，珈(1)3±¥)'=靚'土/<2） gy=a是常麴l£（4）（m）=clLQ(de* = sLjgy =-n

9、ch x_i戶(ardur)'二 1.(archx)=1Jj(artkx)=;1 Jl 4j三.常見求導(dǎo)1 .復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則2 .由參數(shù)方程確定函數(shù)的運(yùn)算法則(t)(t)設(shè)x = (t),y = (t)確定函數(shù)y = y(x),其中'(t), '(t)存在，且'(t)w 0,則包 dx3 .反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)丫 = f (x)的反函數(shù)x = g(y),兩者皆可導(dǎo)，且f ' (x) w 0則 g(y)f'(g(y)(f'(x)0)4 .隱函數(shù)運(yùn)算法則設(shè)y = y(x)是由方程F(x, y) = 0所確定，求y'的方法如下：把F(x,

10、 y) = 0兩邊的各項(xiàng)對(duì)x求導(dǎo)，把y看作中間變量，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì) 算，然后再解出y'的表達(dá)式(允許出現(xiàn)y變量)5 .對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則(指數(shù)類型 如y xsinx)先兩邊取對(duì)數(shù)，然后再用隱函數(shù)求導(dǎo)方法得出導(dǎo)數(shù) y'。對(duì)數(shù)求導(dǎo)法主要用于：幕指函數(shù)求導(dǎo)數(shù)多個(gè)函數(shù)連乘除或開方求導(dǎo)數(shù)(注意 定義域。關(guān)于幕指函數(shù)y = f (x) g (x)常用的一種方法,y = eg(x)lnf(x)這樣就可以直接用復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行。6 .求n階導(dǎo)數(shù)(n>2 ,正整數(shù))先求出y' , y'',，總結(jié)出規(guī)律性，然后寫出y(n),最后用歸納法證明。有一些常用的初等函數(shù)的

11、n階導(dǎo)數(shù)公式 x (n)x(1) y e , yeX (n)xn(2) y a , ya (ln a)(3) y sin x, y(n) sin(x n-)(4) y cosx, y(n) cos(x n-)(5) y ln x, y(n) ( 1)n 1(n 1)!x n兩十函數(shù)垂積的曾引導(dǎo)蚊有里布尼效公K即才-2力)假設(shè)"T)即v(t)都W n埼i-f,第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1 .羅爾定理設(shè)函數(shù)f (x)滿足(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(3) f (a) = f(b) 則存在七 (a,b),使得f，(己)=02 .拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)f(x

12、)滿足(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；則存在七 (a,b),使得 f (b) f (a)f'()b a推論1.若f (x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f ' (x)三0,則f(x)在(a,b)內(nèi)為常數(shù)。推論2.若f(x) ,g(x)在(a,b)內(nèi)皆可導(dǎo)，且f ' (x)三g' (x),則在(a,b)內(nèi)f (x)=g(x)+ c,其中c為一個(gè)常數(shù)。三.柯西中值定理設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)滿足：(1)在閉區(qū)間a,b上皆連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)皆可導(dǎo)；且g' (x)豐0則存在七 (a,b)使得 f(b) f(a) -f (a b)

13、 g(b) g(a) g'()(注：柯西中值定理為拉格朗日中值定理的推廣，特殊情形g(x) = x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。)四.泰勒公式( 估值 求極限(麥克勞林)定理1.(皮亞諾余項(xiàng)的n階泰勒公式) 設(shè)f (x)在0 x處有n階導(dǎo)數(shù)，則有公式其中0(丁)=0卜一與稱為皮亞諾余項(xiàng)定理2 (拉格朗日余項(xiàng)的n階泰勒公式)設(shè)f(x)在包含0 x的區(qū)間(a,b)內(nèi)有n +1階導(dǎo)數(shù)，在a,b上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對(duì)x,囚=/1為卜、見聞C a,b,有公式“=",其中及6)=噌系廿rj"例十】J，稱為拉格朗日余項(xiàng)上面展開式稱為以0(x)為中心的n階泰勒公式。當(dāng)x0=

14、0時(shí)，也稱為n階麥克勞林公式常用公式（前8個(gè)）1工 jL4 Lj-+l +- -,JE (-1,11 23Fi+1二2工“= 1 + H ,+/- +F +十/ +工 W (-1,1)1-K期1 w .=5 (-1J， = 1 -X 十，x3+*-+(1) /"十一a9x E("LD J + x nfl(5f-l)-(a-fa+1)ff(c-l).由(企_1)(a 兀+1),_TX ，T (J；心" 1r ，! ”-(-if ttllax tan _? =)s. 二工一士 2u4l三arcsm x = > So4"(ft!)(2ft+l)7 i,&

15、quot;一LjdLA+( I)j.j ef-ljl35力Hl'1jt JjI=x + 6/十40112113M產(chǎn)，八旦, 右 （2?i）t315315nF必4”（月?。?？（2月十1）顯 h-1,1)* 里U */ + 929569 t % 途Ui 9256081075635312875早“算=£上2型±=i十'/十#占（2句！Z 2461720V 1產(chǎn)刈射叫叫與產(chǎn)T/門三島工八上一 +X七 （江）！H 636015120601S0012114014L4-I77_ r65383718400十，CDtK = Z口-0)!1 ,2 <工 H 、* 七(0.

16、需)45945m w2m-HX+14x = '-n-(j(2r+1)S3! 5! 7!:十”,，二£ （一出,寸也）（2閥十1）!由工二k _口（加!工" x 工J1h11+ -：1-，工三廠%+)V. 4! S!(力7)!b戶山=V戶-1泡尸1T 了 623153132835155925/ 于J# K（工用U）11+匕L。35。+性藝”1+6 4C 1L21152 Il(2n + 0archx = hi Zx - £InLi-/I/Lix = y_才+乙+土+土十,.斗+s|x|<i仁所+13 572 + 1五.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一.基本知識(shí)設(shè)函數(shù)f (x

17、)在X0處可導(dǎo)，且X0為f (x)的一個(gè)極值點(diǎn)，則f'(x0) 0 0我們稱X滿足f'(X0)0的X。稱為f(x)的駐點(diǎn)，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)， 反之不然。極值點(diǎn)只能是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)，所以只要從這兩種點(diǎn)中進(jìn)一步去判斷。 極值點(diǎn)判斷方法1 .第一充分條件f (x)在X。的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f(X。)0,則若當(dāng)X X。時(shí), f (X) 0 ,當(dāng)X X0時(shí)，f (X) 0 ,則X0為極大值點(diǎn)；若當(dāng)x X0時(shí)， f (X) 0,當(dāng)X X0時(shí)，f (X) 0,則X0為極小值點(diǎn)；若在X0的兩側(cè) f (x)不變號(hào)，則X0不是極值點(diǎn).2 .第二充分條件f (X)在 X0處二階可導(dǎo)，且 f (

18、X0) 0, f (X0) 0,則若 f (X0) 0, 則x0為極大值點(diǎn)；若f (X0) 0,則X°為極小值點(diǎn).3 .泰勒公式判別法(用的比較少，可以自行百度) 二.凹凸性與拐點(diǎn)1 .凹凸的定義設(shè)f (x)在區(qū)間I上連續(xù)，若對(duì)任意不同的兩點(diǎn)1 2 x , x，包有苫*卜g I/&)+七五卜)巧)+-3)1則稱f (X)在I上是凸(凹)的。在幾何上，曲線y = f (x) 上任意兩點(diǎn)的割線在曲線下(上)面，則 y = f (x) 是凸(凹)的。如果曲線y = f (x)有切線的話，每一點(diǎn)的切線都在曲線之上(下) 則丫 = f (x) 是凸(凹)的。2 .拐點(diǎn)的定義曲線上凹與凸

19、的分界點(diǎn)，稱為曲線的拐點(diǎn)。3 .凹凸性的判別和拐點(diǎn)的求法設(shè)函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)f''(x),如果在(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)x,包有f''(x) > 0,則曲線y= f (x)在(a,b)內(nèi)是凹的;如果在(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)x,包有f''(x)< 0,則曲線y = f (x)在(a,b)內(nèi)是凸的求曲線y = f (x)的拐點(diǎn)的方法步驟是：第一步：求出二階導(dǎo)數(shù)f''(x)； 第二步：求出使二階導(dǎo)數(shù)等于零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn) x1,x2，xk ；第三步：對(duì)于以上的連續(xù)點(diǎn)，檢驗(yàn)各點(diǎn)兩邊二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，如果符號(hào)不

20、同，該 點(diǎn)就是拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；第四步：求出拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)。.漸近線的求法1 .垂直漸近線若 lim，(#) = w 或 liiu /(工)=0則# =。為曲線y = f卜)的一條垂直漸近域.2 .水平淅近線卷 lim = i,或 lini/G) = b則s=6是曲線y=的一條水平漸近線.limg) r-Wt3.斜漸近線若 lim = zi 0 +HTXt 主或 liiu "" = 口壬 0 ,HTT 工-ar = bImi Lf(x)-a = bJF-WC "則y =+ 3是曲線)，= /(耳)的一條斜漸近域。四.曲率設(shè)曲線了 二 .它在點(diǎn)處的曲率若則稱R =*為點(diǎn)處

21、rk-的曲率半傳，在收點(diǎn)的法線1 ,凹向這一邊取 &D,使|M0卜R.則稱Q為曲率中心.以D為限1心P K為半徑的圓周稱為曲率圓第四章不定積分一.基本積分表:tgxdx ln cosx C ctgxdx In sin x Csecxdx In secx tgx Cdx2- cos xdx一 2 sin x2sec xdx tgx C2csc xdx ctgx Ccscxdx In cscx ctgx Csecx tgxdx secx Cdx1x-2 arctg- Caxaa/ ；ln|x a Cxa2a|xacscx ctgxdx cscx Cx x a axdx CIn ashxdx

22、 chx Cchxdx shx C. x arcsin adxln( x x2a2)CIn2sinn xdxocosn xdx02 a / ln(x2x2 a2dx-Vx2 a222 a 一 In x.xarcsin - Ca二.換元積分法和分部積分法換元積分法(1)第一類換元法(湊微分)：f (x) (x)dx f(u)du u (x)(2)第二類換元法(變量代換)：f(x)dx f (t) (t)dt t 1t (x)分部積分法udv uv vdu使用分部積分法時(shí)被積函數(shù)中誰看作 u(x)誰看作v'(x)有一定規(guī)律。記住口訣，反對(duì)幕指三為 u(x),靠前就為u(x),例如exarc

23、sinxdx,應(yīng)該是arcsinx為u(x),因?yàn)榉慈呛瘮?shù)排在指數(shù)函數(shù)之前，同理可以推出其他。三.有理函數(shù)積分有理函數(shù)：f(x)簡(jiǎn)單有理函數(shù)：P(x)Q(x)其中P(x)和Q(x)是多項(xiàng)式 f (x) f (x)口、P(x) 一、 P(x) f (x) , f (x) 21 x1 xP(x)(x a)(x b)P(x)(x a)2 b1、“拆”；2、變量代換(三角代換、倒代換、根式代換等)第五章定積分一.概念與性質(zhì)1、定義:bf(x)dx anlimf(Jx0i ii 12、 性質(zhì)：（10條）j fGMx = -£<2 ) £ f(x)dx = 0f k/卜）+ k

24、J卜）依二kX f1 （x依+打人（x）出(4)= ff/(x)rfx+/(#用(c 也可以在院方 J口JiJr之外)(5)設(shè)/x)Kg(M)gwK3)¥ 則f fxdx < f g' x HxLJ a(6) Kcfl < b, m < /(x) <3/(6; < x < ft),貝!m(b a)< J fxdx < M(b a(7)設(shè)a <3,貝ij J /(工上7, £ J(8)定枳分中值定理 設(shè)了(d)在鼠引上連續(xù)、則存在= /(初一日)定義:分平均俏我們稱f為f(x)在卜間上的枳(9)奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)f

25、(xix = 0 ( /奇函數(shù))f(x)dx - 2 f f(x)dx (/偶函數(shù))j-口jo (10)周期函數(shù)的枳分性質(zhì)設(shè)/(*)以丁為周期，為常數(shù)，則丁/(工用=j fxdx3 .基本定理x變上限積分：設(shè) (x) f (t)dt ,則 (x) f (x)推廣：addx(x)(x)f出f (x) (x) f (x) (x)bNHl公式：若F(x)為f (x)的一個(gè)原函數(shù)，則f (x)dx F (b) F (a)a4 .定積分的換元積分法和分部積分法1.定積分的換元積分法設(shè)/Q)在上耳上連續(xù)，若變顯替換T二Hr)滿足(1)伊(。在«夕| (或/?)上連續(xù):(2 ) >3)二門.

26、(pp - h ,旦節(jié)以才</?時(shí), a <q)t<h ,則 £ /(#班=，/尹(亦(，歷，定積分的分部積分法設(shè)，(1)./卜)在q司上連續(xù)，則二.定積分的特殊性質(zhì)1 .對(duì)稱區(qū)間上的函數(shù)的定枳分性質(zhì)設(shè)f在卜a. a上連續(xù)，則/(X)dx=J y(x) +f (-x)dxZ三的函數(shù)定積分性質(zhì)用A設(shè)口式)在0,1上連續(xù)，WlJ 2/(sin x) dx=J?/(cosx) dx1(2)設(shè)fix)在0J上連續(xù)，0rjJo7(anx) dx=2jj/(sinx) dxfl設(shè)取)在0J上連續(xù).xf(sinx) dx=Jo /(sinx) dxr= nj/(sinx) dx(4)點(diǎn)火公式3 .周期函數(shù)定積分的性質(zhì)八k) dK=£/g dxjjf(x) dx=nj /(x) dx第六章 定積分的應(yīng)用.平面圖形的面積ba.體積1.旋轉(zhuǎn)體體積:a)曲邊梯形yf (x), x a, x b, x軸，繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積:b - 2Vx a f2(x)dxb)曲邊梯形yf (x), x a, x b, x軸，繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)b體的體積：Vy2 xf (x)dx(柱殼法)a三.弧長(zhǎng)1 .直角坐標(biāo)：sj1f (x) 2dxa 、2 2 112 .參數(shù)方程：S(