數(shù)值分析復(fù)化Simpson積分公式和復(fù)化梯形積分公式計算積分的通用程序

1、數(shù)值分析第五次程序作業(yè) PB09001057 孫琪【問題】分別編寫用復(fù)化Simpson積分公式和復(fù)化梯形積分公式計算積分的通用程序；用如上程序計算積分： If=04sinxdx 取節(jié)點xi ， i=0,N, N為2k, k=0,1,12，并分析誤差；簡單分析你得到的數(shù)據(jù)?！緩?fù)化Simpson積分公式】Simpson法則：abfxdxb-a6fa+4fa+b2+fb使用偶數(shù)個子區(qū)間上的復(fù)合Simpson法則：設(shè)n是偶數(shù)，xi=a+ih , h=b-an ,(0in)則有abfxdx=x0x2fxdx+x2x4fxdx+xn-2xnfxdx=i=1n2x2i-2x2ifxdx將Simpson法則應(yīng)

2、用于每一個區(qū)間，得到復(fù)合Simpson法則：abfxdxh3fx0+2i=2n2fx2i-2+4i=1n2fx2i-1+fxn公式的誤差項為：-1180b-ah4f4()其中(a,b)【復(fù)化梯形積分公式】梯形法則：對兩個節(jié)點相應(yīng)的積分法則稱為梯形法則：abfxdxb-a2fa+fb如果劃分區(qū)間a,b為：a=x0<x1<<xn=b那么在每個區(qū)間上可應(yīng)用梯形法則，此時節(jié)點未必是等距的，由此得到復(fù)合梯形法則：abfxdx=i=1nxi-1xifxdx12i=1nxi-xi-1fxi-1+fxi對等間距h=(b-a)/n及節(jié)點xi=a+ih，復(fù)合梯形法則具有形式：abfxdxh2fa

3、+2i=1n-1fa+ih+fb誤差項為：-112b-ah2f''() 【算法分析】復(fù)合Simpson法則和復(fù)合梯形法則的算法上述描述中都已介紹了，在此不多做敘述?！緦嶒灐客ㄟ^Mathematica編寫程序得到如下結(jié)果：1. 利用 復(fù)化Simpson積分公式得：可以看出，當節(jié)點數(shù)選取越來越多時，誤差項越來越小，這從復(fù)合的Simpson公式很好看出來，因為在每一段小區(qū)間內(nèi)，都是用Simpson法則去逼近，而每一段的誤差都是由函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)4階導(dǎo)數(shù)值和區(qū)間長度的4次方乘積決定的，當每一段小區(qū)間越來越小時，相應(yīng)的每一段小區(qū)間內(nèi)的逼近就會越來越好，從而整體的逼近效果就會越來越好。2.

4、利用 復(fù)化梯形積分公式得：可以看出，當節(jié)點數(shù)選取越來越多時，誤差項越來越小，這從復(fù)合的梯形公式很好看出來，因為在每一段小區(qū)間內(nèi)，都是用梯形法則去逼近，而每一段的誤差都是由函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)2階導(dǎo)數(shù)值和區(qū)間長度的2次方乘積決定的，當每一段小區(qū)間越來越小時，相應(yīng)的每一段小區(qū)間內(nèi)的逼近就會越來越好，從而整體的逼近效果就會越來越好。【分析】通過對上述兩種法則的效果來看，復(fù)合Simpson法則的誤差要比復(fù)合梯形法則收斂到0更快，說明復(fù)合Simpson法則逼近到原來的解更快，這主要是因為在每一段小區(qū)間內(nèi)，復(fù)合Simpson法則利用得是Simpson法則，復(fù)合梯形法則利用得是梯形法則，前者的誤差項要比后者的誤差項小很多，因此造成了逼近速度的不一樣。