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文檔簡介
1、函數(shù)復習主要知識點一、函數(shù)的概念與表示 1、映射與函數(shù)(1)映射:設,如果按照某種映射法則f,對于集合A中的任一個元素,在集合B中都有唯一的元素和它對應,則這樣的對應(包括集合A、B以及A到B的對應法則f)叫做集合A到集合B的映射,記作f:AB。(2)函數(shù)是特殊的映射:f:AB(A、B是兩個 集)注意點:(1)對映射定義的理解。(2)判斷一個對應是映射的方法。一對多不是映射, 是映射2、函數(shù):(1)函數(shù)記法及理解; :(2)構成函數(shù)概念的三要素 定義域?qū)▌t值域兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的條件:三要素有兩個相同(3)函數(shù)的三種表示法: (4)幾種常見函數(shù)的三要素 (1)一次函數(shù) 、(2)二次函數(shù)
2、(3)反比例函數(shù) (4)指數(shù)函數(shù) (5)對數(shù)函數(shù) (6)三角函數(shù) (7)冪函數(shù) 特例 ,熱練:1、下列各對函數(shù)中,相同的是 ( )A、 B、 C、 D、f(x)=x,2、給出下列四個圖形,其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關系的有 ( )A、 0個 B、 1個 C、 2個 D、3個xxxx1211122211112222yyyy3OOOO3函數(shù)y=定義域是( )A、 B C D其它函數(shù)如雙鉤函數(shù),分段函數(shù),復合函數(shù),抽象函數(shù)等也涉及二、函數(shù)的解析式與定義域(1)求 函 數(shù) 解 析 式 的 幾 種形式 例1 設是一次函數(shù),且,求待定系數(shù)法:在已知函數(shù)解析式的構造時,可用待定系數(shù)法。例2 已知 ,求
3、 的解析式配湊法:已知復合函數(shù)的表達式,求的解析式,的表達式容易配成的運算形式時,常用配湊法。但要注意所求函數(shù)的定義域不是原復合函數(shù)的定義域,而是的值域。例3 已知,求 及的解析式換元法:已知復合函數(shù)的表達式時,還可以用換元法求的解析式。與配湊法一樣,要注意所換元的定義域的變化。例4已知:函數(shù)的圖象關于點對稱,求的解析式解:設為上任一點,且為關于點的對稱點 則,解得: ,點在上 把代入得: 整理得 代入法:求已知函數(shù)關于某點或者某條直線的對稱函數(shù)時,一般用代入法。例5 設求例6 設為偶函數(shù),為奇函數(shù),又試求的解析式構造方程組法:若已知的函數(shù)關系較為抽象簡約,則可以對變量進行置換,設法構造方程組
4、,通過解方程組求得函數(shù)解析式。例7 已知:,對于任意實數(shù)x、y,等式恒成立,求解對于任意實數(shù)x、y,等式恒成立,不妨令,則有 再令 得函數(shù)解析式為:賦值法:當題中所給變量較多,且含有“任意”等條件時,往往可以對具有“任意性”的變量進行賦值,使問題具體化、簡單化,從而求得解析式。七、遞推法:若題中所給條件含有某種遞進關系,則可以遞推得出系列關系式,然后通過迭加、迭乘或者迭代等運算求得函數(shù)解析式。例8 設是定義在上的函數(shù),滿足,對任意的自然數(shù) 都有,求 解 ,不妨令,得:,又 分別令式中的 得: 將上述各式相加得:, 1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù):(1)分式的分母不為零;(2)偶次方根的被開方數(shù)不小
5、于零,零取零次方?jīng)]有意義;(3)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;(4)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1; 6.(05江蘇卷)函數(shù)的定義域為2求函數(shù)定義域的兩個難點問題(1) (2) 例2設,則的定義域為_變式練習:,求的定義域。 變式三、函數(shù)的值域1求函數(shù)值域的方法直接法:從自變量x的范圍出發(fā),推出y=f(x)的取值范圍,適合于簡單的復合函數(shù);換元法:利用換元法將函數(shù)轉化為二次函數(shù)求值域,適合根式內(nèi)外皆為一次式;判別式法:運用方程思想,依據(jù)二次方程有根,求出y的取值范圍;適合分母為二次且R的分式;分離常數(shù):適合分子分母皆為一次式(x有范圍限制時要畫圖);單調(diào)性法:利用函數(shù)的單調(diào)性求值域;
6、圖象法:二次函數(shù)必畫草圖求其值域;利用對號函數(shù)幾何意義法:由數(shù)形結合,轉化距離等求值域。主要是含絕對值函數(shù)1(直接法)2 3(換元法)4. (法) 5. 6. (分離常數(shù)法) 7. (單調(diào)性)8., (結合分子/分母有理化的數(shù)學方法)9(圖象法)10(對勾函數(shù)) 11. (幾何意義)一、選擇題1判斷下列各組中的兩個函數(shù)是同一函數(shù)的為( ),;,;,;,;,。A、 B、 C D、2函數(shù)的圖象與直線的公共點數(shù)目是( )A B C或 D或3已知集合,且使中元素和中的元素對應,則的值分別為( )A B C D4已知,若,則的值是( )A B或 C,或 D5已知函數(shù)定義域是,則的定義域是( )A B.
7、C. D. 6函數(shù)的值域是( )A B C D7已知,則的解析式為( )A B C D8若集合,則是( )A B. C. D.有限集9函數(shù)的圖象是( )10若函數(shù)的定義域為,值域為,則的取值范圍是( )A B C D11若函數(shù),則對任意實數(shù),下列不等式總成立的是( )A BC D12函數(shù)的值域是( )A B C D 二、填空題1若函數(shù),則= .2函數(shù)的值域是 。3設函數(shù),當時,的值有正有負,則實數(shù)的范圍 。4設函數(shù)則實數(shù)的取值范圍是 。5函數(shù)的定義域是_。三、解答題1求下列函數(shù)的定義域(1) (2)(3) (4)2求下列函數(shù)的值域(1) (2) (3) (4)3.求函數(shù)的值域。4設是方程的兩實
8、根,當為何值時, 有最小值?求出這個最小值.5利用判別式方法求函數(shù)的值域。6已知為常數(shù),若則求的值。7對于任意實數(shù),函數(shù)恒為正值,求的取值范圍。四函數(shù)的奇偶性1定義:設y=f(x),xA,如果對于任意A,都有,則稱y=f(x)為偶函數(shù)。如果對于任意A,都有,則稱y=f(x)為奇函數(shù)。2.性質(zhì):y=f(x)是偶函數(shù)y=f(x)的圖象關于軸對稱, y=f(x)是奇函數(shù)y=f(x)的圖象關于原點對稱,若函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱,則f(0)=0奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇兩函數(shù)的定義域D1 ,D2,D1D2要關于原
9、點對稱3奇偶性的判斷看定義域是否關于原點對稱看f(x)與f(-x)的關系1 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù). 當時,則當時, .2 已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)。()求的值;()若對任意的,不等式恒成立,求的取值范圍;3 已知在(1,1)上有定義,且滿足證明:在(1,1)上為奇函數(shù);4 若奇函數(shù)滿足,則_五、函數(shù)的單調(diào)性1、函數(shù)單調(diào)性的定義:2 設是定義在M上的函數(shù),若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反,則在M上是減函數(shù);若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同,則在M上是增函數(shù)。1判斷函數(shù)的單調(diào)性。2例 函數(shù)對任意的,都有,并且當時, 求證:在上是增函數(shù); 若,解不等式 3函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_4(高考真題)已
10、知是上的減函數(shù),那么的取值范圍是 ( )(A) (B) (C)(D)函數(shù)單調(diào)性 題型一:函數(shù)單調(diào)性的證明1, 取值 2,作差 3,定號 4,結論 二:函數(shù)單調(diào)性的判定,求單調(diào)區(qū)間 () ()三:函數(shù)單調(diào)性的應用1.比較大小 例:如果函數(shù)對任意實數(shù)都有,那么 A、 B、C、 C、2.解不等式例:定義在(1,1)上的函數(shù)是減函數(shù),且滿足:,求實數(shù)的取值范圍。 例:設 是定義在 上的增函數(shù), ,且 ,求滿足不等式 的x的取值范圍.3.取值范圍例: 函數(shù) 在 上是減函數(shù),則 的取值范圍是_例:若是上的減函數(shù),那么的取值范圍是( )A. B. C.D.4. 二次函數(shù)最值例:探究函數(shù)在區(qū)間的最
11、大值和最小值。例:探究函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值。5.抽象函數(shù)單調(diào)性判斷例:已知函數(shù)的定義域是,當時,且 求,證明在定義域上是增函數(shù)如果,求滿足不等式2的的取值范圍例:已知函數(shù)f(x)對于任意x,yR,總有f(x)f(y)f(xy),且當x>0時,f(x)<0,f(1).(1)求證:f(x)在R上是減函數(shù); (2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值例:已知定義在區(qū)間(0,)上的函數(shù)f(x)滿足f()f(x1)f(x2),且當x>1時,f(x)<0.(1)求f(1)的值;(2)判斷f(x)的單調(diào)性;(3)若f(3)1,解不等式f(|x|)<2.單調(diào)性習題1在區(qū)間(
12、0,)上不是增函數(shù)的函數(shù)是( )Ay=2x1By=3x21Cy=Dy=2x2x12函數(shù)f(x)=4x2mx5在區(qū)間2,上是增函數(shù),在區(qū)間(,2)上是減函數(shù),則f(1)等于A7B1C17D253函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)上是增函數(shù),則y=f(x5)的遞增區(qū)間是( )A(3,8)B(7,2)C(2,3)D(0,5)4已知函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上單調(diào),且f(a)f(b)0,則方程f(x)=0在區(qū)間a,b內(nèi)( )A至少有一實根 B至多有一實根 C沒有實根 D必有唯一的實根5已知定義域為R的函數(shù)f(x)在區(qū)間(,5)上單調(diào)遞減,對任意實數(shù)t,都有f(5t)f(5t),那么下列式子一定成立的是( )A
13、f(1)f(9)f(13)Bf(13)f(9)f(1)Cf(9)f(1)f(13)Df(13)f(1)f(9)6已知f(x)在區(qū)間(,)上是增函數(shù),a、bR且ab0,則下列不等式中正確的是( )Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)Cf(a)f(b)f(a)f(b)Df(a)f(b)f(a)f(b)7、已知函數(shù),若,則等于 A、 B、 C、 D、-8、若是R上的減函,且的圖象經(jīng)過點和,則不等式的解集為 A、 B、 C、 D、9、已知函數(shù)在R上是減函數(shù),則有 A、 B、 C、 D、10定義在R上的函數(shù)y=f(x)在(,2)上是增函數(shù),且y=f(x2)圖象的對稱軸是x
14、=0,則( )Af(1)f(3)Bf (0)f(3) Cf (1)=f (3) Df(2)f(3)11已知 是常數(shù)),且 ,則 的值為_12、函數(shù)的增區(qū)間是 13、設是上的減函數(shù),則的單調(diào)遞減區(qū)間為 .14.用定義證明:函數(shù)在上是增函數(shù)15f(x)是定義在( 0,)上的增函數(shù),且f() = f(x)f(y) (1)求f(1)的值 (2)若f(6)= 1,解不等式 f( x3 )f() 2 16已知函數(shù)f(x)=,x1,(1)當a=時,求函數(shù)f(x)的最小值;(2)若對任意x1,f(x)0恒成立,試求實數(shù)a的取值范圍六函數(shù)的周期性:1(定義)若是周期函數(shù),T是它的一個周期。說明:nT也是的周期(
15、推廣)若,則是周期函數(shù),是它的一個周期對照記憶說明:說明:2若;則周期是21 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),則,f(6)的值為(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)22 定義在R上的偶函數(shù),滿足,在區(qū)間-2,0上單調(diào)遞減,設,則的大小順序為_3 已知f (x)是定義在實數(shù)集上的函數(shù),且則f (2005)= .4 已知是(-)上的奇函數(shù),當01時,f(x)=x,則f(7.5)=_例11 設是定義在R上的奇函數(shù),且對任意實數(shù)x恒滿足,當時求證:是周期函數(shù);當時,求的解析式;計算:七二次函數(shù)(涉及二次函數(shù)問題必畫圖分析)1二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)的圖象
16、是一條拋物線,對稱軸,頂點坐標2二次函數(shù)與一元二次方程關系一元二次方程的根為二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)的的取值。一元二次不等式的解集(a>0)二次函數(shù)情況一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c (a>0)=b2-4acax2+bx+c>0 (a>0)ax2+bx+c<0 (a>0)圖象與解>0=0<0R1、已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),則的范圍是( )(A) (B) (C) (D) 2、方程有一根大于1,另一根小于1,則實根m的取值范圍是_八指數(shù)式與對數(shù)式1冪的有關概念(1)零指數(shù)冪(2)負整數(shù)指數(shù)冪(3)正分數(shù)指數(shù)冪;(5)負分數(shù)指
17、數(shù)冪(6)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.2有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì) 3根式根式的性質(zhì):當是奇數(shù),則;當是偶數(shù),則4對數(shù)(1)對數(shù)的概念:如果,那么b叫做以a為底N的對數(shù),記(2)對數(shù)的性質(zhì):零與負數(shù)沒有對數(shù) (3)對數(shù)的運算性質(zhì) logMN=logM+logN 對數(shù)換底公式:對數(shù)的降冪公式: (1) (2) 十指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)1、 指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax (a>0 , a1)互為反函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一般形式Y=ax (a>0且a1)y=logax (a>0 , a1)定義域(-,+ )(0,+ )值域(0,+ )(-,+ )過定點(,1
18、)(1,)圖象指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax (a>0 , a1)圖象關于y=x對稱單調(diào)性a> 1,在(-,+ )上為增函數(shù)a<1, 在(-,+ )上為減函數(shù)a>1,在(0,+ )上為增函數(shù)a<1, 在(0,+ )上為減函數(shù)值分布y>1 ? y<1?y>0? y<0?2. 比較兩個冪值的大小,是一類易錯題,解決這類問題,首先要分清底數(shù)相同還是指數(shù)相同2、 ,如果底數(shù)相同,可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性;指數(shù)相同,可以利用指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖象關系(對數(shù)式比較大小同理)記住下列特殊值為底數(shù)的函數(shù)圖象:3、 研究指數(shù),對數(shù)函數(shù)問題,盡量化為同底
19、,并注意對數(shù)問題中的定義域限制4、 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)中的絕大部分問題是指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)的復合問題,討論復合函數(shù)的單調(diào)性是解決問題的重要途徑。1、(1)的定義域為_;(2)的值域為_;(3)的遞增區(qū)間為,值域為2、(1),則3、要使函數(shù)在上恒成立。求的取值范圍。4.若a2x+·ax0(a0且a1),求y=2a2x3·ax+4的值域.基礎練習題一、選擇題1 下列函數(shù)與有相同圖象的一個函數(shù)是( )A B C D 2 下列函數(shù)中是奇函數(shù)的有幾個( ) A B C D 3 函數(shù)與的圖象關于下列那種圖形對稱( )A 軸 B 軸 C 直線 D 原點中心對稱4 已知,則值為(
20、 )A B C D 5 函數(shù)的定義域是( )A B C D 6 三個數(shù)的大小關系為( )A B C D 7 若,則的表達式為( )A B C D 二、填空題1 從小到大的排列順序是 2 化簡的值等于_ 3 計算:= 4 已知,則的值是_ 5 方程的解是_ 6 函數(shù)的定義域是_;值域是_ 7 判斷函數(shù)的奇偶性 三、解答題1 已知求的值 2 計算的值 3 已知函數(shù),求函數(shù)的定義域,并討論它的奇偶性單調(diào)性 4 (1)求函數(shù)的定義域 (2)求函數(shù)的值域 考點訓練考點1、指數(shù)函數(shù)、圖像、性質(zhì)(注意參數(shù)的分類討論、及數(shù)形結合的應用、轉化思想的應用)EG1、若方程有正數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍是 D (A) (
21、B) (C) (D)B1-1、下列函數(shù)中,值域為(0,+)的是 B ( )A B C DB1-2、關于方程 的解的個數(shù)是B( )A. 1B. 2C. 0D. 視a的值而定B1-3、 已知函數(shù)是奇函數(shù),當時,設的反函數(shù)是,則 .-2考點2、對數(shù)函數(shù)、圖像、性質(zhì)(注意參數(shù)的分類討論、及數(shù)形結合的應用、轉化思想的應用)EG2、.函數(shù)y=loga(-x2-4x+12)(0a1)的單調(diào)遞減區(qū)間是A. (-2,-) B. (-6,-2) C. (-2,2) D. (-,-2B2-1. 若關于x的方程(2-2-x)2=2+a有實根,則實數(shù)a的取值范圍是A. a-2 B. 0a2 C. -1a2 D. -2a
22、2B2-2函數(shù)y=log(xax3a)在2,)上是減函數(shù),則a的取值范圍是(A)(,4) (B)(4,4 (C)(,4)2, (D)4,4B2-3.若,則實數(shù)的取值范圍是 A或 B C DB2-4若函數(shù)在上的最大值是最小值的3倍,則a=A. B. C. D. B2-5、函數(shù)y=log2(1-x)的圖象是y1Oxy1Oxxy1Oy1Ox (A) (B) (C) (D)方法歸納1解決與對數(shù)函數(shù)有關的問題,要特別重視定義域; 2指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于底數(shù)大于1還是小于1,要注意對底數(shù)的討論;3比較幾個數(shù)的大小的常用方法有:以和為橋梁;利用函數(shù)的單調(diào)性;作差實戰(zhàn)訓練2、函數(shù)y=()x-2x在
23、區(qū)間-1, 1上的最大值為 . 3、記函數(shù)的反函數(shù)為,則 A 2 B C 3 D 4、 若函數(shù)f(x)=logxa在2,4上的最大值與最小值之差為2,則a=_5函數(shù)的定義域是_ 6f(x)=則滿足f(x)=的x的值是_7設是函數(shù)的反函數(shù),若,則f(a+b)的值為 A. 1 B. 2 C. 3 D. 8函數(shù)在上是增函數(shù),則的取值范圍是( ).A. B. C. D. .9、 如果那么的取值范圍是A、 B、 C、 D、10、a若不等式內(nèi)恒成立,則實數(shù)的取值11函數(shù)的反函數(shù)為等于AB7C9D7或912已知函數(shù)(其中,)。(1)求反函數(shù)及其定義域;(2)解關于的不等式解1)當時,由得出函數(shù)定義域;當時,
24、由得函數(shù)定義域為。 由則故 當時,;當時,(2)由 則原不等式13已知函數(shù)的圖象與的圖象關于直線y=x對稱,求的遞減區(qū)間解: 而 遞增, 遞減14、定義在R上的奇函數(shù)有最小正周期為2,且時,(1)求在1,1上的解析式;(2)判斷在(0,1)上的單調(diào)性;(3)當為何值時,方程=在上有實數(shù)解.解(1)xR上的奇函數(shù) 又2為最小正周期 設x(1,0),則x(0,1),(2)設0<x1<x2<1 = 在(0,1)上為減函數(shù)。(3)在(0,1)上為減函數(shù)。 即 同理在(1,0)時,又當或時在1,1內(nèi)有實數(shù)解。補充:1、函數(shù)對于任意的實數(shù)都有(A)(B)(C)(D)2、方程的解是_ 3、
25、函數(shù)的反函數(shù)4、已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f-1(x),則函數(shù)y= f-1(1-x)的圖象是5、是函數(shù)為偶函數(shù)的(A) 充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C) 充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件6已知函數(shù)的值域為R,且f(x)在(上是增函數(shù),則a的范圍是 .十函數(shù)的圖象變換(1) 1、平移變換:(左+ 右- ,上+ 下- )即 對稱變換:(對稱誰,誰不變,對稱原點都要變)1f(x)的圖象過點(0,1),則f(4-x)的反函數(shù)的圖象過點( )A.(3,0) B.(0,3) C.(4,1) D.(1,4)2作出下列函數(shù)的簡圖:(1)y=|log|; (2)y=|2x-1|;(3
26、)y=2|x|; 函數(shù)圖像的變換 函數(shù)圖象及變化規(guī)則掌握幾類基本的初等函數(shù)圖像是學好本內(nèi)容的前題 1、 基本函數(shù)(1)一次函數(shù)、(2)二次函數(shù)、(3)反比例函數(shù)、 (4)指數(shù)函數(shù)、(5)對數(shù)函數(shù)、(6)三角函數(shù)。 2、圖象的變換 (1)平移變換(左加右減)函數(shù)y=f(x+2)的圖象是把函數(shù)y=f(x)的圖像沿x軸向左平移2個單位得到的;反之向右移2個單位函數(shù)y=f(x)-3(的圖象是把函數(shù)y=f(x)的圖像沿y軸向下平移3個單位得到的;反之向上移3個單位(2)對稱變換 函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(-x)的圖象關于直線x=0對稱; 函數(shù)y=f(x) 與函數(shù)y=-f(x)的圖象關于直線y=0對稱
27、;函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=-f(-x)的圖象關于坐標原點對稱;如果函數(shù)y=f(x)對于一切xR都有f(x+a)=f(x-a),那么y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱。y=f-1(x)與y=f(x)關于直線y=x對稱 y=f(x)y=f(|x|) 3、伸縮變換y=af(x)(a>0)的圖象,可將y=f(x)的圖象上的每一點的縱坐標伸長(a>1)或縮短(0<a<1)到原來的a倍。 y=f(ax)(a>0)的圖象,可將y=f(x)的圖象上的每一點的橫坐標縮短(a>1)或伸長(0<a<1)到原來的a倍。 1. 函數(shù)y=1+ax(0<a<1)的反函數(shù)的圖象大致是 (A) (B) (C) (D) 2、函數(shù)y=-lg(x+1)的圖象大致是 3、的圖象不經(jīng)過第二象限,則必有( )。(A) (B) (C) (D)4、設函數(shù),則( )。 (A) (B) (C) (D) 5、已知函數(shù)的反函數(shù)的對稱中心是,則實數(shù)等于(A) (B) (C) (D)6、函數(shù)的圖象(A)關于點對稱 (B)關于點對稱(C)關于直線對稱 (D)關于直線對稱7、 函數(shù)的反函數(shù)圖像大致是 (A) (B) (C) ( D)8、為了得到函數(shù)的圖像,只需把函數(shù)的圖像上所有的點 ( )A向左平移3個單位長度,再向上平移1個單位長
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