2019-2020學年四川內江高二上期末數(shù)學試卷理科

1、2019-2020學年四川省內江市高二（上）期末數(shù)學試卷（理科）一、選擇題：（本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題的四個選項中只有一個是正確的，把正確選項的代號填涂在答題卡的指定位置上.）1. （5分）已知某班有學生 48人，為了解該班學生視力情況，現(xiàn)將所有學生隨機編號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本已知3號，15號，39號學生在樣本中，則樣本中另外一個學生的編號是 （）A. 26B . 27C. 28D. 292. （5分）設B點是點A（2 ,3, 5）關于平面xOy的對稱點，則|AB | （）A. 10B.V10C. v138D.383. （5分）直線2x y 1 0

2、和x 2y 1 0的位置關系是（）A,平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能確定4. （5分）如圖1是某高三學生進入高中三年來的數(shù)學考試成績莖葉圖，第 1次到第14次的考試成績依次記為 A, A, A, , A4,如圖2是統(tǒng)計莖葉圖中成績在一定范圍內考試次數(shù)的一個算法流程圖，那么輸出的結果是（）105. （5 分）方程（a 1）x y2a 1 0(aC. 7D. 6R）所表示的直線與圓（x 1）2 y2 25的位置關系是（）A.相離B .相切6. （5分）關于直線m、n及平面C.相交D.不能確定卜列命題中正確的個數(shù)是（）若m /若m /若m/ /若C. 2D. 37. (5 分)已知（%, y。

3、）為線性區(qū)域x, x2y120內的一點,1-0若2xo y° c 0恒成立，則c的取值范圍是（A. (2,)B. 2 ,C. (1,)D. 1 ,8. （5分）已知點M (1,3)到直線 l : mx1 0的距離等于1 ,則實數(shù)m等于（9. （5分）我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如40 3 37 .（注：如果一個大于 1）在不超過11的素數(shù)中，隨機的整數(shù)除1和自身外無其他正因數(shù)，則稱這個整數(shù)為素數(shù).選取2個不同的數(shù)，其和小于等于10的概率是（C.10. (5 分)若圓心坐標為2,1）的圓，被直線x

4、 y0截得的弦長為2,則這個圓的方程(x2)2 (y 1)2B.(x2)2 (y1)2C.(x222) (y 1)D.(x2)2 (y1)211. (5 分)已知正三棱錐BCD的外接球是球O ,正三棱錐底邊BC點E在線段BD上，且2BEDE ,過點E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是 （9A. ,3 42,3C. 2 , 4 11D. ,4 412. （5分）在直角坐標系內,已知 A（3,3）是以點C為圓心的圓上的一點，折疊該圓兩次使點A分別與圓上不相同的兩點（異于點A）重合，兩次的折痕方程分別為x y 1 0和uuir uun urnrx y 7 0,若圓上存在點 P,使得MPg：C

5、P CN） 0 ,其中點M （ m,0）、N（m,0）,則m的取值范圍為（）A . （4,6）B. 4 , 6C. （3,7）D. 3 , 7二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13. （5 分）已知 X1 , X2, X3 , Xn 的平均數(shù)為 a,則 2x 3, 2X2 3, 2% 3 的平均數(shù)是.14. （5分）秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的數(shù) 書九章中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法.已知一個5次多項式為f（X） 4x5 3x3 2x2 5x 1 ,用秦九韶算法求這個多項式當X 3時的值為.15. （5分）一條光

6、線從點（2, 4）射出，經直線 y x反射，其反射光線所在直線與圓22（X 3） （y 2） 1相切，則反射光線所在的直線方程為 .16. （5分）如圖所示，在長方體 ABCD AB1CQ1中，BB1 RD1 ,點E是棱CQ上的一個動點，若平面BED1交棱AA于點F ,給出下列命題：四棱錐B1 BED1F的體積恒為定值；對于棱CG上任意一點E ,在棱AD上均有相應的點G ,使得CG/平面EBD1 ;存在點E ,使得B D 平面BD1 E ； 存在唯一的點E ,使得截面四邊形 BED1F的周長取得最小值.其中為真命題的是 一.（填寫所有正確答案的序號）D.G三、解答題：（本大題共6個小題，共70

7、分.解答要寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17. （10 分）已知直線 l:（a 1）x y 2 a 0（a R）.（1）若直線l在兩坐標軸上的截距相等，求直線l的方程；(2)當0(0,0)點到直線l距離最大時，求直線l的方程.18. (12分)某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：50 , 60) , 60 , 70) , 70 , 80) , 80 , 90) , 90 , 100.(I)求圖中a的值;(n)根據(jù)頻率分布直方圖， 估計這100名學生語文成績的平均分和中位數(shù)(要求寫出計算過程，結果保留一位小數(shù))19. (12分)如圖，把長為 6,寬

8、為3的矩形折成正三棱柱 ABC A1B1C1 ,三棱柱的高度為3,矩形的對角線和三棱柱的側棱BB、CCi的交點記為E、F .(1)在三棱柱ABC AB1C1中，若過Ai、E、F三點做一平面，求截得的幾何體AB1C1EF的表面積;(2)求三棱柱中異面直線 AE與AF所成角的余弦值.20. (12分)某公交公司為了方便市民出行，科學規(guī)劃車輛投放，在一個人員密集流動地段增設一個起點站，為了研究車輛發(fā)車間隔時間 x與乘客等候人數(shù)y之間的關系，經過調查得到如下數(shù)據(jù):間隔時間x/分101112131415等候人數(shù)y /人232526292831再用剩下的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.檢調查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組

9、數(shù)據(jù)求線性回歸方程,驗方法如下：先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應的等候人數(shù)？，再求？與實際等候人數(shù)y的差，若差值的絕對值都不超過1,則稱所求方程是“恰當回歸方程” .(1)從這6組數(shù)據(jù)中隨機選取 4組數(shù)據(jù)，求剩下的 2組數(shù)據(jù)的間隔時間相鄰的概率；(2)若選取的是中間4組數(shù)據(jù)，求y關于x的線性回歸方程 y依 夕，并判斷此方程是否是“恰當回歸方程”附：對于一組數(shù)據(jù)(Xi , yi), (X2 , y2),n(Xi X)(yi y)距的最小二乘估計分別為：t? J(Xi X)2i 121. (12分)如圖，在四棱錐中 P ABCD中，AD,(Xn , yn),其回歸直線y bX夕的斜率和截 n

10、Xi yi nXy二，夕 y bX .2-2Xi nX i 1CD, AD/BC, AD 2BC 2CD 4 ,PC 2而, PAD是正三角形.(1)求證：CD PA;(2)求AB與平面PCD所成角的余弦值.22 . (12分)已知圓心在X軸上的圓.一，3C與直線I:4x 3y 6 0切于點E(- , n),圓522P: x (a 3)x y ay 2a 2 0(1)求圓C的標準方程;(2)已知a 1,圓P與x軸相交于兩點M , N (點M在點N的右側).過點M任作一條傾斜角不為0的直線與圓C相交于A,B兩點.問：是否存在實數(shù)a ,使得ANM BNM ?若存在，求出實數(shù) a的值，若不存在，請說

11、明理由.2019-2020學年四川省內江市高二（上）期末數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題的四個選項中只有一個是正確的，把正確選項的代號填涂在答題卡的指定位置上.）1. （5分）已知某班有學生 48人，為了解該班學生視力情況，現(xiàn)將所有學生隨機編號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本已知3號，15號，39號學生在樣本中，則樣本中另外一個學生的編號是 （）A. 26B. 27C. 28D. 29【解答】解：樣本間隔為48 4 12 ,則3 12 15 , 15 12 27 ,即另外一個學生編號是 27,故選：B .2. （5分）設

12、B點是點A（2 ,3, 5）關于平面xOy的對稱點，則|AB | （）A . 10B . 710C.聞D. 38【解答】 解：Q點B是點A（2 ,3, 5）關于平面xOy的對稱點，B的橫標和縱標與 A相同，而豎標與 A相反，B（2 ,3,5）,直線AB與z軸平行，|AB| 5 （ 5） 10 ,故選：A .3. （5分）直線2x y 1 0和x 2y 1 0的位置關系是（）A,平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能確定【解答】解：直線2x y 1 0的斜率K 2,1x 2y 1 0的斜率k2一.2可得斜率不相等，因此直線不平行.又kk21,因此不垂直.可得聊天直線位置關系是相交但是不垂直.故選：

13、B .4. （5分）如圖1是某高三學生進入高中三年來的數(shù)學考試成績莖葉圖，第 1次到第14次的考試成績依次記為 A, A, A, , A4,如圖2是統(tǒng)計莖葉圖中成績在一定范圍內考第6頁（共19頁）試次數(shù)的一個算法流程圖，那么輸出的結果是（）畫10C.i=M是D. 6解：分析程序中各變量、各語句的作用.根據(jù)流程圖所示的順序,可知該程序的作用是累計14次考試成績大于等于 90分的次數(shù).根據(jù)莖葉圖可得大于等于90 分的成績有 91, 93, 99, 98, 94, 95, 94, 102,105共9個.5. （5分）方程(a1)x2a 10（a R）所表示的直線與圓（x 1）2 y2 25的位置關系

14、是（）A.相離B.相切C.相交D,不能確定【解答】解:(a1)x2a 12) x y 10,聯(lián)立x 2直線(a 1)x2a 10過定點(2,3),Q( 2221)2 321025,2,3)在圓(x1)2y2 25的內部,則直線(a 1)x y2a1 0與圓（x1)225的位置關系是相交.故選:6. （5分）關于直線n及平面卜列命題中正確的個數(shù)是（）若m/ , I若 m/ , n/ ,則 m/n若m, m/ / ,則若m, ，則mA. 0B. 1C. 2D. 3【解答】解：若m/ ,| n ,則m與n的關系是平行、異面，即 錯誤；若m/ , n/ ,則m與n的關系為平行、相交或異面，即 錯誤；若

15、m, m/ ,由面面垂直的判定定理，可知，即正確；若m , ，則m與 的關系是平行、相交（含垂直），即錯誤；所以只有正確，故選：B .x 2y 207. （5分）已知（% , yo）為線性區(qū)域 x, 1內的一點，若2x0 y c 0恒成立，則cx y 1-0的取值范圍是（）A . （2,）B. 2 ,）C. （1, ）D. 1 ,）【解答】 解：由已知得到可行域如圖：由圖可知，對任意（x°, y°） D ,不等式2xo y c 0恒成立，即c 2x y恒成立，即c （2x y）max ,當直線z 2x y經過圖中B（1,0）時z最大為2,所以c 2;故選：A.8. (5分)

16、已知點 M(1,3)到直線l :mx y 1 0的距離等于1,則實數(shù)m等于(C.D.【解答】 解：根據(jù)題意，點 M (1,3)到直線l :mx y 1 0的距離等于1,則有d 1mJJ1 1 ,解可得m -；,m2 149. (5分)我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于 2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如40 3 37 .(注：如果一個大于 1)在不超過11的素數(shù)中，隨機的整數(shù)除1和自身外無其他正因數(shù)，則稱這個整數(shù)為素數(shù).選取2個不同的數(shù)，其和小于等于10的概率是()B.C.D.【解答】 解：根據(jù)題意，不超過 11的素數(shù)有2、3、5、7、11,

17、共5個,從中任選 2 個，有(2,3) , (2,5) , (2,7) , (2,11)、(3,5)、(3,7)、(3,11)、(5,7)、(5,11) , (7,11),共10種取法；其中和小于等于 10的取法有(2,3) , (2,5) , (2,7) , (3,5)、(3,7),共5種，則取出的兩個數(shù)和小于等于10的概率P - - -10 2故選：A.10. (5分)若圓心坐標為(2,1)的圓，被直線x y 1 0截得的弦長為2,則這個圓的方程是()2222A. (x 2)2 (y 1)2 4B. (x 2)2 (y 1)2 4_ 22_ 22C. (x 2) (y 1)9D. (x 2

18、) (y 1)9【解答】解：由題意可得圓心到直線的距離d | 21| 2短，2所以圓的半徑為：r2 d2 (-)2 9 ,所以圓的方程為：(x 2)2 (y 1)2 9;2故選：C .11. (5分)已知正三棱錐A BCD的外接球是球O ,正三棱錐底邊BC 3,側棱AB 2衣，點E在線段BD上，且2BE DE ,過點E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是()9-11A.,3 B. 2 , 3 C. 2 , 4 D.,4 44【解答】解：如圖，設 BDC的中心為O1,球O的半徑為R,連接 oQD , OD , O1E , OE , 2_ _2_ _ 2則 O1D 3sin60 -3 , A

19、O1AD DO1 3,在 Rt OO1D 中，R2 3 (3 R)2 ,解得 R 2 ,Q BD 3BE , DE 2 ,在 DEOi 中，Q E J3 4 2 V3 2 cos30 1 ,OE . O1E2 OO122 ,過點E作圓O的截面，當截面與 OE垂直時，截面的面積最小，此時截面圓的半徑為：r 22 ( .2)22 ,最小面積為2當截面過球心時，截面面積最大，最大面積為4 .所得截面圓面積的取值范圍是 2 , 4 .故選：C .12. (5分)在直角坐標系內，已知 A(3,3)是以點C為圓心的圓上的一點，折疊該圓兩次使點A分別與圓上不相同的兩點(異于點A)重合，兩次的折痕方程分別為x

20、 y 1 0和uuir uun urnrx y 7 0,若圓上存在點 P,使得MPg：CP CN) 0 ,其中點M ( m,0)、N(m,0),則m的取值范圍為()A . (4,6)B. 4 , 6C. (3,7)D. 3 , 7【解答】 解：由已知可得： A(3,3),A關于直線x y 1 0的對稱點(2,4),A關于直線x y 7 0的對稱點(4,4)均在以點C為圓心的圓上，故C點坐標為(3,4),半徑為1,故設P點坐標為為(3 cos ,4 sin ), uuir則 MP (3 m cos ,4 sin ), uju uuir ujuCP CN NP (3 m cos ,4 sin ),

21、umr uur uuir2222MPgCP CN) cos 9 6cos m 16 8sin sin 10sin( ) 26 m 0(其中tan 3) 4故 m2 10sin( ) 26 16 , 36,解得：m 4 , 6故選：B .二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)13. (5 分)已知 X1 , X2, X3 , Xn 的平均數(shù)為 a,則 2x 3, 2X2 3, 2% 3 的平均數(shù)是_2a 3【解答】 解：QX1, x2 , x3 , Xn的平均數(shù)為a ,XiX2X3Xn(2xi 3) (2X2 3) n(2 xn3)2X1X2Xnn故答案為：2a 3.14. (5

22、分)秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學家，普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人，他在所著的數(shù)書九章中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法.已知一個5次多項式為f(x) 4x5 3x3 2x2 5x 1 ,用秦九韶算法求這個多項式當x 3時的值為859 .【解答】 解：f(x) 4x5 3x3 2x2 5x 1 (4 x) x 3)x 2)x 5)x 1 ,貝U f (3)(4 3) 3 3) 3 2) 3 5) 3 1 859 ,故答案為：859.15. (5分)一條光線從點(2, 4)射出，經直線 y X反射，其反射光線所在直線與圓(X 3)2 (y 2)2 1相切，則反射光線所在的直線方程為X

23、 4 15x 8y 44 0_.【解答】解：點A( 2, 4)關于y軸的對稱點為 A( 4, 2),當斜率存在時；故可設反射光線所在直線的方程為：y 2 k(x 4),化為kx y 4k 2 0 .Q反射光線與圓(x 3)2 (y 2)2 1相切，I 3k 2 4k 21圓心(3,2)到直線的距離d 1-不1 1 ,k2 ( 1)2化為8k 15 0;15.k 一.此時直線萬程為：15x 8y 44 0 .8當斜率不存在時：直線的方程為X 4與圓(x 3)2 (y 2)2 1相切；反射光線所在的直線方程為：X 4, 15x 8y 44 0.故答案為：X 4, 15x 8y 44 0.16. (

24、5分)如圖所示，在長方體 ABCD AB1C1D1中，BB1 BD1 ,點E是棱C。上的一個動點，若平面BED交棱AA于點F ,給出下列命題：四棱錐B1 BED1F的體積恒為定值；對于棱CCi上任意一點E ,在棱AD上均有相應的點G ,使得CG/平面EBDi ;存在點E ,使得B D 平面BDi E ;存在唯一的點E ,使得截面四邊形 BED1F的周長取得最小值.其中為真命題的是 .（填寫所有正確答案的序號）0.G【解答】解：由切割法可知， Vbi BEDF Ve BBDi Vf BBR ,因為CC"/AAi/平面BBQ ,所以E , F到平面 BBQi的距離為定值，可得四棱錐B B

25、EDiF的體積為定值，即 正確；可作出過CG的平面與平面EBD1平行，由面面平行的性質定理可得，存在無數(shù)個點E,在AD上均有相應的點G ,使得CG/平面EBD1 .同理，也存在無數(shù)個點 E ,在棱AD上均有相應的點 G ,使得CG與平面EBDi相交，即 錯誤；因為BB BDi ,所以對角面 BBiDiD為正方形，所以 BD BDi ,若BE BiC ,由三垂線定理知，BQ BE ,即有BD 平面BDiE ,故正確；存在點E使四邊形BEDF為平行四邊形，由對稱性可得，當四邊形BEDiF為菱形時，其周長取得最小值，即 正確.故答案為：.三、解答題：（本大題共6個小題，共70分.解答要寫出文字說明，

26、證明過程或演算步驟.）17. (10 分)已知直線 l:(a 1)x y 2 a 0(a R).(1)若直線l在兩坐標軸上的截距相等，求直線l的方程；(2)當0(0,0)點到直線l距離最大時，求直線l的方程.【解答】解：(1)直線l : (a 1)x y 2 a 0,取x 0, y a 2 ,取 y 0, x a 1即a 2 a2，解得a 2或a 0, a 1故直線方程為x y 0或x y 2 0 .(2) l : (a 1)x y 2 a 0 變換得到 a(x 1) x y 2 0,故過定點 A(1,1),當直線l與AO垂直時，距離最大.koA 1 ,故 k 1,解得 a 0,故所求直線方程

27、為x y 2 0 .18. (12分)某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：50 , 60) , 60 , 70) , 70 , 80) , 80 , 90) , 90 , 100.(I)求圖中a的值;(n)根據(jù)頻率分布直方圖， 估計這100名學生語文成績的平均分和中位數(shù)(要求寫出計算過程，結果保留一位小數(shù))解：(1)由頻率分布直方圖中小矩形有面積之和為1,得:10(2a 0.02 0.03 0.04) 1,解得 a 0.005 .(2)這100名學生語文成績的平均分為:55 0.05 65 0.4 75 0.3 85 0.2 95 0.05 73 （分

28、）Q這100名學生語文成績在 50 , 70）的頻率為（0.005 0.04） 10 0.45 ,這100名學生語文成績在70 , 80）的頻率為0.03 10 0.3, 05 0 45這100名學生語文成績的中位數(shù)為：70 1071.7 （分）.0.319. （12分）如圖，把長為 6,寬為3的矩形折成正三棱柱 ABC A1B1C1 ,三棱柱的高度為3,矩形的對角線和三棱柱的側棱BR、CC1的交點記為E、F .（1）在三棱柱ABC AB1G中，若過AE、F三點做一平面，求截得的幾何體AB1C1EF的表面積；（2）求三棱柱中異面直線 AE與AF所成角的余弦值.【解答】解：（1）由操作可知，該正

29、三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，正三棱柱的高為3.所求幾何體的表面積為各面的面積之和.1 F 211, 21 _sin60 2 2sin60 . 3 ，21 2 2 2, 2BE B1C1 11 22 3,2AF V5, EF 而,AE 2五邪6 p邪.（2）延長CC到H ,使CH C F 1,連結AH , EH則易證AF / /AH ,p 一1 . _又 S/ACF - AC1S/ABC12 ABi1&ABE -A1B1 I 2S血邊形B1cl FE又在三角形B1cB1E；CiFAEF 中,S/AEF。6 ,在 AEH 中，AE >/T-4 55, AH 療7 F , EH

30、T-4 2夜,由余弦定值得cos EAH2,55 520. （12分）某公交公司為了方便市民出行，科學規(guī)劃車輛投放，在一個人員密集流動地段增設一個起點站，為了研究車輛發(fā)車間隔時間 x與乘客等候人數(shù)y之間的關系，經過調查得到如下數(shù)據(jù)：間隔時間x/分101112131415等候人數(shù)y /人232526292831調查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程， 再用剩下的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.檢驗方法如下：先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應的等候人數(shù)？，再求？與實際等候人數(shù)y的差，若差值的絕對值都不超過1,則稱所求方程是“恰當回歸方程”.（1）從這6組數(shù)據(jù)中隨機選取 4組數(shù)據(jù)，求剩下的 2組數(shù)

31、據(jù)的間隔時間相鄰的概率；（2）若選取的是中間4組數(shù)據(jù)，求y關于x的線性回歸方程 ？ & 充，并判斷此方程是否是“恰當回歸方程” .附：對于一組數(shù)據(jù)（Xi , yj,（X2, y2）, （Xn , yn）,其回歸直線？ 右 夕的斜率和截(x X)(yi y)x y nxy距的最小二乘估計分別為:a? y 取.(xi x)22xinx【解答】解：（1）設“從這6組數(shù)據(jù)中隨機選取 4組數(shù)據(jù)后，剩下的2組數(shù)據(jù)相鄰”為事件A,記這六組數(shù)據(jù)分別為 1, 2, 3, 4, 5, 6,剩下的 2 組數(shù)據(jù)的基本事件有 12, 13, 14, 15, 16, 23, 24, 25, 26, 34, 35,

32、 36, 45 , 46, 56,共 15 種,其中相鄰的有12, 23, 34, 45, 56,共5種,所以 P(A) 1 .1.2 ，15 3間隔時間（分鐘）11121314等候人數(shù)（人）25262928國以 _ 11 12 13 14_ 25 26 29 28因為 x 12.5, y 44nn所以 (x x)(y y) 6, (x x)2 5, i 1i 1（2）中間4組數(shù)據(jù)是:27 ,所以Bn(Xi x)(yi y) i 1 n(X X)2 i i夕 y bx 27 1.2 12.512,所以 y 1.2x 12 ,當x 10時，y1.2 10 12 24,2423 1, 1 ;當 x 15 時，？ 1.2 15 12 30,30 311,1 1|, 1；所以求出的線性回歸方程是“恰當回歸方程”21. （12分）如圖，在四