高中數(shù)學(xué)平面向量講義(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題六 平面向量一. 基本知識【1】 向量的基本概念與基本運(yùn)算（1）向量的基本概念：向量：既有大小又有方向的量 向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行單位向量：模為1個單位長度的向量平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量 相等向量：長度相等且方向相同的向量 （2）向量的加法：設(shè)，則+=；向量加法滿足交換律與結(jié)合律；，但這時必須“首尾相連”（3）向量的減法： 相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，作圖法：可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量（、有共同

2、起點(diǎn)）（4）實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（）； （）當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反；當(dāng)時，方向是任意的（5）兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=（6）平面向量的基本定理：如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底【2】平面向量的坐標(biāo)表示（1） 平面向量的坐標(biāo)表示：平面內(nèi)的任一向量可表示成，記作=(x,y)。 （2） 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若，則若，則若=(x,y)，則=(x, y)若，則若，則若，則【3】平面向量的數(shù)

3、量積（1）兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則=cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定（2）向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影（3）數(shù)量積的幾何意義： 等于的長度與在方向上的投影的乘積（4）向量的模與平方的關(guān)系：（5）乘法公式成立： ；（6）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：交換律成立：對實數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=（7）兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：已知兩個向量，則=（8）向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=, =,則AOB= （）叫做向量與的夾角cos=當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向

4、量與同方向時，=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題（9）垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作（10）兩個非零向量垂直的充要條件：O平面向量數(shù)量積的性質(zhì)二. 例題分析【模塊一】向量的基本運(yùn)算【例1】給出下列六個命題：兩個向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；若，則在平行四邊形ABCD中一定有；若，則； 若/，/,則/任一向量與它的相反下列不相等.已知向量，且，則的充要條件是且/；若與方向相同，且，則；由于零向量的方向不確定，故零向量不與任意向量平行；其中正確的命題的序號是 【例2】已知向量夾角為 ，且；求的值.【變式1】若，求的值.【變式2】設(shè)向

5、量a，b滿足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3，求|3a+b|的值【例3】已知向量、的夾角為，若，求的值.【例4】若向量，求與的夾角.【變式】設(shè)R,向量,且,則（）ABCD10【例5】已知兩個非零向量滿足，則下列結(jié)論一定正確的是 （ ）A / B C D 【變式1】設(shè)a,b是兩個非零向量.（）A若|a+b|=|a|-|b|,則ab B若ab,則|a+b|=|a|-|b| C若|a+b|=|a|-|b|,則存在實數(shù),使得a=b D若存在實數(shù),使得a=b,則|a+b|=|a|-|b|【變式2】若平面向量滿足:;則的最小值是【例6】設(shè)，（1） 證明；（2） 當(dāng)時求角的值.【例7】設(shè)、都是非零向量

6、,下列四個條件中,使成立的充分條件是（）ABCD且【模塊二】向量與平面幾何【例1】在ABC中， ,設(shè)P、Q滿足 ， ， ，則= （ ）A B C D 【變式1】已知ABC為等邊三角形， 設(shè)P、Q滿足 ， ， ，則= （ ）A B C D 【例2】在ABC中,AB=2,AC=3,= 1則.（）ABCD【變式1】若向量,則（）ABCD【例3】若等邊的邊長為，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足,則_. 【例4】中,邊上的高為,若,則（）ABCD 【例5】在平面直角坐標(biāo)系中,將向量按逆時針旋轉(zhuǎn)后,得向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）ABCD【例6】在ABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=3,BC=10,則=_.【例7】在平行四邊形ABCD中,A=, 邊AB、AD的長分別為2、1. 若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn),且滿足,則的取值范圍是_ ., 【例8】如圖,在矩形中,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)在邊上,若,則的值是_.【例9】已知正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn),則的值為_;的最大值為_.【例10】已知直角梯形中，/,是腰上的動點(diǎn)，則的最小值為_【例11】如圖，在中，,則 .【例12】 (15)在四邊形ABCD中，=（1，1），則四邊形ABCD