線代期中考試卷及答案詳解

1、2012線性代數(shù)期中考試試卷及答案詳解一、單項選擇題(每小題 4 分，共 20分 )1. 下列各式中，哪個是5 階行列式 det(aij )的項( B )(A)aaaaa(B)a33aaa a241223344155154251(C)a15a52 a33a 24a 41(D)a22 a11a 45a33a54解 根據(jù) n 階行列式的定義，行列式的算式中，每一項都是不同行、不同列的 n 個數(shù)的乘積，并且?guī)в蟹枺?(1) 若行標(biāo)排列是標(biāo)準(zhǔn)排列，則該項的符號取決于列標(biāo)排列的逆序數(shù)的奇偶性；(2) 若列標(biāo)排列是標(biāo)準(zhǔn)排列，則符號取決于行標(biāo)排列的逆序數(shù)的奇偶性；(3) 若行標(biāo)、列標(biāo)排列都不是標(biāo)準(zhǔn)排列，則

2、符號取決于行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性( 或者，交換一般項中的元素，使行標(biāo)成為標(biāo)準(zhǔn)排列，再根據(jù)列標(biāo)排列的逆序數(shù)判斷 ).題中每個選項都是 5 階行列式不同行、不同列的5 個數(shù)的乘積，因此，需進一步判斷各項是否帶有正確的符號 .選項 (A) 錯誤。其行標(biāo)排列是標(biāo)準(zhǔn)排列，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為t(23415)=3, 故，列標(biāo)排列為奇排列， (或者，由于將列標(biāo)排列23415 變成標(biāo)準(zhǔn)排列 12345 需要進行奇數(shù)次對換，也可得 23415 為奇排列 )。所以選項(A) 缺少“-”.選項(B) 正確。其行標(biāo)和列標(biāo)排列都不是標(biāo)準(zhǔn)排列，方法一：行標(biāo)排列和列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和 t(31452)+t(3

3、5214)=4+6=10，得符號為 “+”；方法二，交換相乘的元素，使行標(biāo)成為標(biāo)準(zhǔn)排列，得 a15a24a33a42a51，此時列標(biāo)排列 54321為偶排列，故取 “+”.同理，選項 (C)和(D)錯誤，都應(yīng)帶 “-”.o2. 已知 n 階行列式 D=1，將 D 逆時針旋轉(zhuǎn) 90，得行列式 D，則 D的值為(C )(A) 1(B) -1(C) ( - 1)n(n -1)/2(D) ( - 1) n/2解 將 D 逆時針旋轉(zhuǎn) 90o，相當(dāng)于對 D 先作轉(zhuǎn)置 (這不會改變行列式的值 )，再作上下翻轉(zhuǎn) 即交換 n(n-1)/2次相鄰行的位置，每次交換都改變行列式的符號 ，因此，應(yīng)選 (C).參見“行

4、列式的性質(zhì)”布置的思考題，或者教材習(xí)題一第7 題的解答 .3. n 階行列式 D n=0 的必要條件是(D)(A) 有一行 ( 列)元素全為零(B) 有兩行 (列 )元素對應(yīng)成比例(C) 各列元素之和皆為零(D) 以 Dn 為系數(shù)行列式的齊次線性方程組有非零解解 選項(A)(B)(C)都是 D n=0 的充分條件 (但不是必要條件 ). 只有選項(D)為充分必要條件 .4. 已知 A, B 均為 n 階方陣， E 是 n 階單位矩陣，則下列命題中正確的是(D)(A)若A B，則AB;.(B) 若 (A- E)(B- E)=O，則 A=E 或 B=E(C) A2- B2=( A+B)( A-B)

5、(D) A2- E=( A+E)( A-E)解 答案為(D).1021選項(A)錯誤，反例： A1, B101選項(B) 錯誤?！皟蓚€非零矩陣的乘積可以是零矩陣”，例如200000A- E=O 或 B-E=O，00030，因此， (A- E)(B-E)=O0反例： A20,1001B22選項(C)錯誤。因為 (A+B)(A-B)=A2-AB+BA-B2，所以，當(dāng)且僅當(dāng) A, B 可交換時，才會有 (A+B)(A-B)=A2-B2.選項(D) 正確。因為 AE=EA=A，即 A, E 可交換，所以， (A+E)(A-E)=A2-AE+EA-E2=A2-E.5. 設(shè) A, B 均為 n 階可逆矩陣

6、，則下列命題中正確的是( A )(A) ( A2)-1 =(A-1)2(B) ( kA)-1=kA-1 (k 0)(C) (A+B)-1= A-1+B-1(D) A-1BA= B解 選項(A) 正確。根據(jù)方陣的冪的定義以及可逆矩陣的運算性質(zhì)，有(A 2) -1=(AA)-1 = A-1A-1 =(A-1)2選項(B)錯誤。應(yīng)該是 (kA)-1=k-1A-1 (k 0)選項(C)錯誤。 A, B 均為 n 階可逆矩陣時，A+B 不一定可逆；即使A+B 可逆， (A+B)-1也不一定是A-1+B-110。反例： A,01201020B，或者 A0,B10110選項(D)錯誤。矩陣乘法一般不滿足交換

7、律，故A-1BAA-1AB = B。二、填空題(每小題 4 分，共 20 分)00010002001. 行列式0201200= 2013！.02013000000001000100010020000200解201200=1002012002013000000000000201312013(20131)( 1)22013!2013!注：以上計算過程使用了分塊法計算行列式的公式：Ak kO(注意 A,B 必須是方陣 )A BO B m m以及副對角行列式的計算公式12n(n 1)( 1)2n1 2n01111011(- 1)n-1(n- 1) .2.行列式 1101=1110 n階0 1 11n

8、1 n 1 n 1n 11011r1 ri1011解11011101(i2,3,n)1110 n階11101111對第一行提取公因子10111) 1101( n11101111rir11(n1)1(i 2,3,n)1= ( -1) n-1 (n-1)注：本題行列式的特點是：各行(列 )元素之和都相等.01 00 3 a1a2a3 a40001 3d4d3d1d100 10b1b2b3b4001000003.0 01c1c2c3c40100=000000000d1d2d3 d4100000000100解 用0010左乘矩陣 A，相當(dāng)于將 A 的各行向上移動一行，故0001000001 003a2

9、a3a4d1d 2d 3d 4a100 10b1b2b3b4=000000 01c1c2c3c4000000 00d1d 2d3d400000001另外，用0010右乘矩陣 A，相當(dāng)于將 A 左右翻轉(zhuǎn)，故010010000103a2a3a40003d 4d 3d1 d10 a110010 b1b2b3b40010000 00001 c1c2c3c40100=00 000000d1 d2 d3 d41000000 0注：參見“矩陣的運算”所布置的思考題，或者第二章習(xí)題講義“要點和公式”中的 Part II “一些特殊矩陣的乘積”.11 / 74.已知A3-1=1 / 5，則 A1/ 3571解

10、利用副對角陣的求逆公式：11a1ana2a21ana115. 已知 A 是 4 階可逆矩陣，且 A =2，則 A-1 = 1/2 ， A* = 8 . 解 利用可逆矩陣的性質(zhì)“A-1 = A -1”以 及伴隨矩陣的性質(zhì)“A* = A n-1 ”，可得 A-1 =2-1 ， A* =24-1=8.注：也可按如下方式求A*：因為 AA*= A E，將 A =2 代入，得 AA*=2E，等號兩邊取行列式，有 A A* = 2E ，即 2 A* =24，于是 A* =8.三、計算題 （每小題 7 分，共 35 分）;.2222211. 設(shè) n 階爪形行列式 D 21, 求 D 中所有元素的代21數(shù)余子

11、式之和 .解 將 D 的第 1 行元素全部替換為1，并按第1 行展開，得D 的第1 行元素的代數(shù)余子式之和為111121A11 A12A1n 212112( n1)r1ri2131(i 2,3,n)n132n將 D 的第 2 行元素全部替換為1，并按第 2 行展開，得 D 的第 2行元素的代數(shù)余子式之和為22221111A21 A22A2n210 (兩行元素成比例 )21同理， D 的第 3, 4, , n 行元素的代數(shù)余子式之和也都是0.nn2n .于是， D 的所有元素的代數(shù)余子式之和為Aij 3i 1j 1注 1 如果改變行列式 D 的某一行 (列)元素，行列式雖然變了， 但該行(列)元

12、素的代數(shù)余子式不會改變。注 2 本題利用了行列式按行 (列)展開法則：nnaik AjkD ij或aki AkjD ij(i=1,2, ,n)k1k 1x1kx302. 問： 2x1 x4 0 只有零解時， k 必須滿足什么條件？ kx1 x2 0x32x40解 此方程組為齊次線性方程組，并且方程個數(shù) =未知量個數(shù)， 根據(jù)“方程組只有零解系數(shù)行列式D 0”，有.10k02001D104k 1 0 ，即 k 1/4.k000120001a0013. 設(shè)方陣 Aa0，0100a1(1) 求 A 的值，并指出當(dāng) a 滿足什么條件時， A 是可逆矩陣；(2) 當(dāng) A 可逆時，求 A-1.0001a00

13、1記作 OB解對矩陣 A分塊， Aa01CD000a1(1)A (1)13B Ca 3當(dāng)且僅當(dāng) a0時， A0，此時 A 為可逆矩陣 .(2)根據(jù)分塊法求逆矩陣的公式， A 1C 1DB 1C 1B 1Oa 1其中，B 11，C1a 1，a 1a 11a 1C1DB1a 111a1a 11a1a1a 100于是， A-1a 10a 10a 100a 11000注 1 解答中使用了分塊法計算行列式的公式 ( 參見第一章習(xí)題講義“要點和公式”)OAk k( 1) km ABB m m*注 2本題要求熟記分塊法求逆矩陣的公式. 雖然也可以用公式A-1 = A -1 A* ，但計算過程繁瑣，容易出錯

14、.注 3另外，求出逆矩陣后，最好驗算是否有AA-1=E.321，求 Ak (k 為正整數(shù) ).4.設(shè)方陣A 642963;.3211記作T解 A 64223,2,1.9633于是，AkTTT()( ) ()TTT( )( )Tk1T ()T1其中3,2,1210 3321An10n 1 Tn1An142 10106963注 當(dāng)矩陣的任意兩行(列 )元素對應(yīng)成比例時， 該矩陣可分解為列矩陣和行矩陣的乘積.5. 已知 A,B 都是 2 階方陣，且 A*BA = 2A*B+E，其中 A21，11A* 是 A 的伴隨矩陣， E 為 2 階單位矩陣，求矩陣B.解對A*BA=2A*B + E 兩端左乘 A

15、，得AA* BA=2AA* B+A根據(jù)伴隨矩陣的性質(zhì)AA* = A E，有A BA=2 A B+A由于 A1，于是BA=2B+AB(A-2E)= A其中 A2 E01，由于 A2 E1 ，故 A- 2E 可逆，其逆11矩陣 (A- 2E) -1=11，于是10BA(A 2E) 1211132111021注 求二階可逆矩陣的逆矩陣時，可以用“兩調(diào)一除”公式.由于 n 為奇數(shù)，故A= - A ，即A =0.因此，當(dāng) A 是奇數(shù)階反對稱矩陣時， 齊次線性方程組 Ax=O 的系數(shù)行列式等于 0，于是該方程組有非零解 .注 A 是方陣，所以 Ax=O 是 “方程個數(shù) =未知量個數(shù) ”的齊次線性方程組，于

16、是，要證明 Ax=O 有非零解，就是證 A =0.2. 已知 A, B 均為 n 階方陣，且 AB=A+ B.(1) 證明： A-E 和 B- E 均可逆，且互為逆矩陣；(2) 證明：如果 A 可逆，則 A+B 也可逆 .證 (1) AB=A+BAB-A- B+E =E(A - E)(B - E)=EA-E 和 B- E 均可逆，且互為逆矩陣(定理： “若 A 和 B 均為 n 階方陣，且AB=E，則 BA= E.亦即， A,B 均可逆，且互為逆矩陣”)(2) AB=A+BA(B-E) =B已知 A 可逆，又由 (1)知 B- E 可逆，所以 B= A(B-E)可逆(定理： n 階可逆矩陣的乘

17、積仍是n 階可逆矩陣 ).A 和 B 可逆，所以AB 可逆 . 由于 A+B= AB，故 A+B 可逆 .也可按如下方式證明：A 可逆A0，于是AB=A+B(A- E)B =AA-EB=A0B 0于是， A+B=AB=AB0 ，故 A+B 可逆注：下列錯誤不得分：在第(1)題中使用了 A-1 或 B-1；在第 (2)小題中認為兩個可逆矩陣的加和也必然是可逆矩陣.四、證明題 （每小題 8 分，共 16 分）1. 設(shè) A 是 n 階反對稱矩陣， n 為奇數(shù)，證明：齊次線性方程組 Ax =O 有非零解 .證 A 是 n 階反對稱矩陣AT=-A.對上式兩邊取行列式，有AT=-AA =(- 1)n A;

18、.五、解答題 （9 分）在某地，每年有比例為30%的農(nóng)村居民移居城鎮(zhèn)，有比例為10%的城鎮(zhèn)居民移居農(nóng)村，假設(shè)該地總?cè)丝诓蛔?，且上述人口遷移的規(guī)律也不變 . 把 n 年后農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口占總?cè)丝诘谋壤謩e記為 an 和 bn (an +bn=1).(1)an，求關(guān)系式 x nAxn1 中的矩陣 A；記 xnbn(2)已知 (1)中的矩陣 A 滿足關(guān)系式 AP=PB，其中 P11 ，求31矩陣 B；(3)設(shè)目前農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口相等，即x 00.5，求 x n .0.5解(1) 依題意，有an0.7an 10.1bn 1 ，即bn 0.3an 10.9bn 1an0.70.1an 1bn0.30.9bn 10.70.1故 A0.90. 3(2)P =4，故 P 可逆，其逆矩陣為P 1 111 .431對 AP=PB 兩邊左乘 P-1，得B=P -1AP1110.70.111=31