2015步步高高中數(shù)學(xué)文科第四章_4.6正弦定理、余弦定理及解三角形

1、§4.6正弦定理、余弦定理及解三角形1正弦、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容2Ra2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C變形(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C2.SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)·r(

2、r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R、r.3在ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin A<a<baba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解4.實(shí)際問題中的常用角(1)仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖)(2)方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等(3)方位角指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為(如圖)(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值1判斷下面結(jié)論是否正確(

3、請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)在ABC中，A>B必有sin A>sin B()(2)若滿足條件C60°，AB，BCa的ABC有兩個(gè)，那么a的取值范圍是(，2)()(3)若ABC中，acos Bbcos A，則ABC是等腰三角形()(4)在ABC中，tan Aa2，tan Bb2，那么ABC是等腰三角形(×)(5)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為180°.(×)2(2013·湖南)在銳角ABC中，角A，B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，若2asin Bb，則角A等于()A. B. C. D.答案D解析在AB

4、C中，利用正弦定理得2sin Asin Bsin B，sin A.又A為銳角，A.3(2013·陜西)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Basin A，則ABC的形狀為()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不確定答案B解析由bcos Cccos Basin A，得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即sin(BC)sin2A，所以sin A1，由0<A<，得A，所以ABC為直角三角形4在ABC中，B60°，AC，則AB2BC的最大值為_答案2解析由正弦定理知，AB2sin C，BC2sin A.又A

5、C120°，AB2BC2sin C4sin(120°C)2(sin C2sin 120°cos C2cos 120°sin C)2(sin Ccos Csin C)2(2sin Ccos C)2sin(C)，其中tan ，是第一象限角，由于0°C120°，且是第一象限角，因此AB2BC有最大值2.5一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60°方向，行駛4 h后，船到B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向，這時(shí)船與燈塔的距離為_ km.答案30解析如圖所示，依題意有AB15×46

6、0，MAB30°，AMB45°，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30 (km)題型一正、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用例1(1)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，則A等于()A30° B60° C120° D150°(2)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，則sin Bsin C的最大值為()A0 B1 C. D.思維啟迪(1)由sin C2sin B利用正弦定理得b、c的關(guān)系，再利用余弦定理求A.(2)要求sin B

7、sin C的最大值，顯然要將角B，C統(tǒng)一成一個(gè)角，故需先求角A，而題目給出了邊角之間的關(guān)系，可對(duì)其進(jìn)行化邊處理，然后結(jié)合余弦定理求角A.答案(1)A(2)B解析(1)sin C2sin B，由正弦定理得c2b，cos A，又A為三角形的內(nèi)角，A30°.(2)已知2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，根據(jù)正弦定理，得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，又A為三角形的內(nèi)角，A120°.故sin Bsin Csin Bsin(60°B)cos Bsin Bsin(60°B

8、)，故當(dāng)B30°時(shí)，sin Bsin C取得最大值1.思維升華(1)在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到(2)解題中注意三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用及角的范圍限制(1)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知8b5c，C2B，則cos C等于()A. B C± D.(2)已知a，b，c分別是ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，

9、若a1，b，AC2B，則角A的大小為_答案(1)A(2)解析(1)由正弦定理，將8b5c及C2B代入得，化簡(jiǎn)得，則cos B，所以cos Ccos 2B2cos2B12×()21，故選A.(2)AC2B且ABC，B.由正弦定理知：sin A，又a<b，A<B，A.題型二正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用例2(2012·課標(biāo)全國(guó))已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面積為，求b，c.思維啟迪利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再利用和差公式可求出A；面積公式和余弦定理相結(jié)合，可求出b，c.解(1)由

10、acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因?yàn)锽AC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin.又0<A<，故A.(2)ABC的面積Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.思維升華有關(guān)三角形面積問題的求解方法：(1)靈活運(yùn)用正、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化(2)合理運(yùn)用三角函數(shù)公式，如同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式等在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a，b，c.(1)若c2，C，且ABC的面積為，求a，b的值；(2)若sin

11、 Csin(BA)sin 2A，試判斷ABC的形狀解(1)c2，C，由余弦定理c2a2b22abcos C得a2b2ab4.又ABC的面積為，absin C，ab4.聯(lián)立方程組解得a2，b2.(2)由sin Csin(BA)sin 2A，得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即2sin Bcos A2sin Acos A，cos A·(sin Asin B)0，cos A0或sin Asin B0，當(dāng)cos A0時(shí)，0<A<，A，ABC為直角三角形；當(dāng)sin Asin B0時(shí)，得sin Bsin A，由正弦定理得ab，即ABC為等腰三角形ABC為等腰三角形

12、或直角三角形題型三解三角形的實(shí)際應(yīng)用例3某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測(cè)出該漁輪在方位角為45°，距離為10 n mile的C處，并測(cè)得漁輪正沿方位角為105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小島靠攏，我海軍艦艇立即以21 n mile/h的速度前去營(yíng)救，求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間思維啟迪本題中所涉及的路程在不斷變化，但艦艇和漁輪相遇時(shí)所用時(shí)間相等，先設(shè)出所用時(shí)間t，找出等量關(guān)系，然后解三角形解如圖所示，根據(jù)題意可知AC10，ACB120°，設(shè)艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間為t h，并在B處與漁輪相遇，則AB21t，BC9

13、t，在ABC中，根據(jù)余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC·cos 120°，所以212t210292t22×10×9t×，即360t290t1000，解得t或t(舍去)所以艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間為 h此時(shí)AB14，BC6.在ABC中，根據(jù)正弦定理得，所以sinCAB，即CAB21.8°或CAB158.2°(舍去)即艦艇航行的方位角為45°21.8°66.8°.所以艦艇以66.8°的方位角航行，需 h才能靠近漁輪思維升華求解測(cè)量問題的關(guān)鍵是把測(cè)量目標(biāo)納入到一個(gè)可解三角形中，

14、三角形可解，則至少要知道這個(gè)三角形的一條邊長(zhǎng)解題中注意各個(gè)角的含義，根據(jù)這些角把需要的三角形的內(nèi)角表示出來，注意不要把角的含義弄錯(cuò)，不要把這些角與要求解的三角形的內(nèi)角之間的關(guān)系弄錯(cuò)在斜度一定的山坡上的一點(diǎn)A測(cè)得山頂上一建筑物頂端對(duì)于山坡的斜度為15°，如圖所示，向山頂前進(jìn)100 m后，又從B點(diǎn)測(cè)得斜度為45°，設(shè)建筑物的高為50 m求此山對(duì)于地平面的斜度的余弦值解在ABC中，BAC15°，CBA180°45°135°，AB100 m，所以ACB30°.由正弦定理，得，即BC.在BCD中，因?yàn)镃D50，BC，CBD45

15、6;，CDB90°，由正弦定理，得，解得cos 1.因此，山對(duì)地面的斜度的余弦值為1.代數(shù)式化簡(jiǎn)或三角運(yùn)算不當(dāng)致誤典例：(12分)在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)·sin(AB)，試判斷ABC的形狀易錯(cuò)分析(1)從兩個(gè)角的正弦值相等直接得到兩角相等，忽略兩角互補(bǔ)情形；(2)代數(shù)運(yùn)算中兩邊同除一個(gè)可能為0的式子，導(dǎo)致漏解；(3)結(jié)論表述不規(guī)范規(guī)范解答解(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sin Acos B·b22cos Asin B·a2，即a2co

16、s Asin Bb2sin Acos B4分方法一由正弦定理知a2Rsin A，b2Rsin B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又sin A·sin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.8分在ABC中，0<2A<2，0<2B<2，2A2B或2A2B，AB或AB.ABC為等腰或直角三角形12分方法二由正弦定理、余弦定理得：a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，a2b20或a2b2c20.即ab或a2b2c2.ABC為等腰或直角三角形12分溫馨提

17、醒(1)判斷三角形形狀要對(duì)所給的邊角關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之變?yōu)橹缓吇蛑缓堑氖阶尤缓笈袛?；注意不要輕易兩邊同除以一個(gè)式子(2)在判斷三角形形狀時(shí)一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件另外，在變形過程中要注意角A，B，C的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響方法與技巧1應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理：ABC，中互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù)2正、余弦定理的公式應(yīng)注意靈活運(yùn)用，如由正、余弦定理結(jié)合得sin2Asin2Bsin2C2sin B·sin C·cos A，可以進(jìn)行化簡(jiǎn)或證明3合理利用換元法、代入法解決實(shí)際問題失誤與防范1在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角

18、求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解，所以要進(jìn)行分類討論2利用正、余弦定理解三角形時(shí)，要注意三角形內(nèi)角和定理對(duì)角的范圍的限制.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題1在ABC中，若A60°，B45°，BC3，則AC()A4 B2C. D.答案B解析由正弦定理得，所以AC2.2ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若<cos A，則ABC為()A鈍角三角形 B直角三角形C銳角三角形 D等邊三角形答案A解析依題意得<cos A，sin C<sin Bcos A，所以sin(AB)<sin Bcos

19、A，即sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A<0，所以cos Bsin A<0.又sin A>0，于是有cos B<0，B為鈍角，ABC是鈍角三角形3(2012·湖南)ABC中，AC，BC2，B60°，則BC邊上的高等于()A. B.C. D.答案B解析設(shè)ABa，則由AC2AB2BC22AB·BCcos B知7a242a，即a22a30，a3(負(fù)值舍去)BC邊上的高為AB·sin B3×.4(2013·遼寧)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若asin Bcos Ccsin

20、 Bcos Ab，且ab，則B等于()A. B. C. D.答案A解析由條件得sin Bcos Csin Bcos A，依正弦定理，得sin Acos Csin Ccos A，sin(AC)，從而sin B，又ab，且B(0，)，因此B.5在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，已知b2c(b2c)，若a，cos A，則ABC的面積等于()A. B. C. D3答案C解析b2c(b2c)，b2bc2c20，即(bc)·(b2c)0，b2c.又a，cos A，解得c2，b4.SABCbcsin A×4×2× .二、填空題6(2013·安徽

21、)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，則角C_.答案解析由已知條件和正弦定理得：3a5b，且bc2a，則a，c2abcos C，又0<C<，因此角C.7在ABC中，若b5，B，tan A2，則a_.答案2解析由tan A2得sin A2cos A.又sin2Acos2A1得sin A.b5，B，根據(jù)正弦定理，有，a2.8如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在點(diǎn)A的同側(cè)的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°，則A，B兩點(diǎn)的距離為_答案50 m解析由正弦定理得，所以AB50.

22、三、解答題9(2013·北京)在ABC中，a3，b2，B2A.(1)求cos A的值；(2)求c的值解(1)在ABC中，由正弦定理，cos A.(2)由余弦定理，a2b2c22bccos A32(2)2c22×2c×則c28c150.c5或c3.當(dāng)c3時(shí)，ac，AC.由ABC，知B，與a2c2b2矛盾c3舍去故c的值為5.10(2013·江西)在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知cos C(cos Asin A)cos B0.(1)求角B的大?。?2)若ac1，求b的取值范圍解(1)由已知得cos(AB)cos Acos Bsin Ac

23、os B0即有sin Asin Bsin Acos B0，因?yàn)閟in A0，所以sin Bcos B0，即cos Bsin B.因?yàn)?<B<，所以sin B>0，所以cos B>0，所以tan B，即B.(2)由余弦定理得b2a2c22accos B，因?yàn)閍c1，cos B，所以b2(ac)23ac(ac)232(ac)2，b.又ac>b，b<1，b<1.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)1ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，則等于()A2 B2 C. D.答案D解析asin Asin Bbcos2Aa，sin Asin Asin Bsin Bcos2Asin A，sin Bsin A，.2有一長(zhǎng)為1的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)高不變，將傾斜角改為10°，則斜坡長(zhǎng)為()A1 B2sin 10°C2cos 10° Dcos 20°答案C解析如圖，ABC20°，AB1，ADC10°，ABD160°.在ABD中，由正弦定理得，ADAB·2cos 10°.