重慶市第一中學2017-2018學年高二下學期期中考試數(shù)學(理)試題含解析.

1、2018 年重慶一中高2019 級高二下期半期考試數(shù)學試題卷（理科）第卷（選擇題，共60 分）一、選擇題：（本大題共12 個小題 , 每小題 5 分 , 共 60 分） .1.是虛數(shù)單位，計算的結果為（）A.B.C.1D.-1【答案】 B【解析】分析：根據(jù)復數(shù)的除法法則計算即可詳解：由題意得故選 B點睛：本題考查復數(shù)的除法運算法則，考查學生的運算能力，屬于容易題2.極坐標方程所表示的圖形是（）A. 橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓【答案】D【解析】分析：將極坐標方程化為直角坐標方程后再進行判斷詳解：，把代入上式可得,即，極坐標方程表示的是以（1,0 ）為圓心，半徑為1 的圓故選 D點睛：本題考查

2、極坐標和直角坐標間的互化，考查學生運用所學知識解決問題的能力，解題的關鍵是靈活運用極坐標和直角坐標間的轉化公式進行求解3.用數(shù)學歸納證明：時，從到時，左邊應添加的式子是（）A.B.C.D.【答案】 C【解析】 分析：分別求出時左邊的式子，除以時左邊的式子，即得結論.詳解：當時，左邊等于時左邊的式子， 用時左邊的式子，當時，左邊等于，故從“”到“”的證明，左邊需增添的代數(shù)式是，故選 C.點睛：項數(shù)的變化規(guī)律，是利用數(shù)學歸納法解答問題的基礎，也是易錯點，要使問題順利得到解決，關鍵是注意兩點：一是首尾兩項的變化規(guī)律；二是相鄰兩項之間的變化規(guī)律.4.隨機變量服從正態(tài)分布，若，則的值（）A. 0.6B.

3、 0.4C. 0.3D. 0.2【答案】 C【解析】分析：由隨機變量服從正態(tài)分布，可得正態(tài)曲線的對稱軸線的特點，得到，從而可得結果.詳解：隨機變量服從正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)曲，得對稱軸是，所以，故選 C.點睛：本題考查了正態(tài)分布的有關概念與運算，重點考查了正態(tài)密度曲線的性質以及如何利用正態(tài)密度曲線求概率，意在考查學生對正態(tài)分布密度曲線性質的理解及基本的運算能力.5. 某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9 ，現(xiàn)播種了 1000 粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種 2 粒，補種的種子數(shù)記為，則的數(shù)學期望為（）A. 100B. 200C. 300D. 400【答案】B【解析】試題分析：，所以考點：二項分布

4、【方法點睛】一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布（如二項分布X B（ n， p），則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式（E（X） np）求得 . 因此，應熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.視頻6. 通過隨機詢問 100 名性別不同的居民是否能做到“光盤”行動，得到如下的列聯(lián)表：做不到“光盤”能做到“光盤”男4510女3015則有（）以上的把握認為“該市民能否做到光盤與性別有關”，附表及公式0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828A. 90%B. 95

5、%C. 99%D. 99.9%【答案】 A【解析】分析：根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式計算 的值，和臨界值表比對后即可得到答案 . 詳解：將列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式可得，所以有的把握認為“該市居民能否做到光盤”與性別有關.點睛：獨立性檢驗的一般步驟：（ 1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表；（ 2）根據(jù)公式計算的值； (3)查表比較與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計判斷.（注意：在實際問題中，獨立性檢驗的結論也僅僅是一種數(shù)學關系，得到的結論也可能犯錯誤 . ）7.若，則的值為（）A.2B.0C.-1D.-2【答案】 C【解析】分析：令求得的值，再令得到的值，兩式相減可得所求詳解：在二項展開式中，令，得.令，得.故選 C點

6、睛：因為二項式定理中的字母可取任意數(shù)或式，所以在解題時根據(jù)題意，給字母賦值，是求解二項展開式各項系數(shù)和的一種重要方法8.已知函數(shù)，若 是從 1， 2， 3 中任取的一個數(shù)，是從 0， 1，2 中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為（）A.B.C.D.【答案】 D【解析】試題分析：將記為橫坐標，將記為縱坐標，可知總共有9 個的結果，而函數(shù)有兩個極值點的條件為其導函數(shù)有兩個不相等的實根，滿足題中條件為，即，所以滿足條件的基本事件有共 6 個基本事件，所以所求的概率為，故選 D考點：古典概型9.小明跟父母、爺爺奶奶一同參加中國詩詞大會的現(xiàn)場錄制，5 人坐成一排，若小明的父母至少有一人與他相鄰，

7、則不同坐法的總數(shù)為（）A. 60B. 72C. 84D. 96【答案】 C【解析】根據(jù)題意，可分三種情況討論：若小明的父母只有一人與小明相鄰且父母不相鄰時，先在其父母中選一人與小明相鄰，有種情況，將小明與選出的家長看出一個整體，考慮其順序種情況，當父母不相鄰時，需要將爺爺奶奶進行全排列，將整體與另一個家長安排在空位中，有種安排方法，此時有種不同坐法；若小明的父母的只有一人與小明相鄰且父母相鄰時，將父母及小明看成一個整體，小明在一端，有種情況，考慮父母之間的順序，有種情況，則這個整體內(nèi)部有種情況，將這個整體與爺爺奶奶進行全排列，有種情況，此時有種不同坐法；小明的父母都小明相鄰，即小明在中間，父母

8、在兩邊，將 人看成一個整體，考慮父母的順序，有種情況，將這個整體與爺爺奶奶進行全排列，有種情況，此時，共有種不同坐法；綜上所述，共有種不同的坐法，故選C.點睛：本題考查了排列、組合的綜合應用問題，關鍵是根據(jù)題意，認真審題，進行不重不漏的分類討論，本題的解答中，分三種情況：小明的父母中只有一個人與小明相鄰且父母不相鄰；小明的父母有一個人與小明相鄰且父母相鄰；小明的父母都與小明相鄰，分別求解每一種情況的排法，即可得到答案。10.重慶一中為了增強學生的記憶力和辨識力，組織了一場類似最強大腦的賽，兩隊各由 4 名選手組成，每局兩隊各派一名選手，除第三局勝者得2 分外，其余各局勝者均得 1 分，每局的負

9、者得0 分 . 假設每局比賽隊選手獲勝的概率均為，且各局比賽結果相互獨立，比賽結束時隊的得分高于隊的得分的概率為（）A.B.C.D.【答案】 A【解析】分析：分三種情況求解：即A隊 5分B隊0分；A隊 4分B隊1分；A隊3分B隊2分，然后根據(jù)互斥事件的概率公式可得所求詳解：（1） A 隊 5 分 B 隊 0 分，即 A 隊四局全勝，概率為（ 2） A隊 4 分 B 隊 1 分，即 A 隊一、二、四局中敗1 局，第 3 局勝，其概率為.（ 3） A 隊 3 分 B 隊 2 分，包括兩種情況：A隊第 3 局敗，其余各局勝；A隊第一、二、四局中勝 1 局，第 3 局勝其概率為由互斥事件的概率加法公式

10、可得所求概率為故選 A點睛：求解概率問題時首先要通過讀題理解題意，分清所求概率的事件及對應的概率類型，然后選擇相應的公式求解求解時對于復雜事件的概率要合理分解為簡單事件的概率處理，同時要合理選擇計數(shù)的方法，使得問題的解決順利進行11. 將編號 1， 2， 3， 4 的小球放入編號為 1， 2， 3 的盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的號不能相同，則不同的放球方法有（）A.16種B.12種C.9種D.6種【答案】 B【解析】分析：分六種情況討論，求解每一種類型的放球方法數(shù)，然后利用分類計數(shù)加法原理求解即可 .詳解：由題意可知，這四個小球有兩個小球放在一個盒子中，當四個小球分組為如下情況時，

11、放球方法有：當 1 與 2 號球放在同一盒子中時，有2 種不同的放法；當 1 與 3 號球放在同一盒子中時，有2 種不同的放法；當 1 與 4 號球放在同一盒子中時，有2 種不同的放法；當 2 與 3 號球放在同一盒子中時，有2 種不同的放法；當 2 與 4 號球放在同一盒子中時，有2 種不同的放法；當 3 與 4 號球放在同一盒子中時，有2 種不同的放法；因此，不同的放球方法有12 種，故選 B.點睛：本題主要考查分類計數(shù)加法原理的應用，解答這類問題理解題意很關鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件. 解題過程中要首先分清“是分類還是分步”，在應用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復交叉討論又不能遺

12、漏，這樣才能提高準確率.12.已知函數(shù)，對任意，都存在，使得，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】 A【解析】分析：由題意得設得到關于的函數(shù)，通過求函數(shù)詳解：由得令，則，且，即，令，然后將的最大值可得所求結果，用 表示出來，令，則，當在時，上單調遞減，且單調遞增；當，時，單調遞減當時，有最大值，且，即的最大值為故選 A點睛：本題考查恒成立、能成立問題，難度較大，解題的關鍵是通過引入?yún)?shù)，將雙變量問題轉化為關于參數(shù)的問題處理，然后利用導數(shù)為工具，求得關于的函數(shù)的最值，從而得到所求的最值第卷（非選擇題，共90 分）二、填空題（本大題共4 個小題，每小題5 分，共 20分）各題答案必須填寫在答題

13、卡相應的位置13.的展開式中的常數(shù)項是 _ 【答案】 60【解析】分析：利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令的指數(shù)為 ，從而可求出展開式的常數(shù)項 .詳解：展開式的通項為，令得，所以展開式的常數(shù)項為，故答案為 .點睛：本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題. 二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（ 2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（ 3）二項展開式定理的應用 .14. 甲、乙、丙三名同學參加某高校組織的自主招生考試的初試，考試成績采用

14、等級制（分為三個層次），得 的同學直接進入第二輪考試. 從評委處得知，三外同學中只有一人獲得.三名同學預測誰能直接進入第二輪比賽如下：甲說：看丙的狀態(tài)，他只能得或 ；乙說：我肯定得；丙說：今天我的確沒有發(fā)揮說，我贊同甲的預測.事實證明：在這三名同學中，只有一人的預測不準確，那么得的同學是 _ 【答案】甲【解析】若得的同學是甲，則甲、丙預測都準確，乙預測不準確，符合題意；若得的同學是乙，則甲、乙、丙預測都準確，不符合題意；若得的同學是丙，則甲、乙、丙預測都不準確，不符合題意。綜上，得的同學是甲 .15. 袋中有 6 個黃色、 4 個白色的乒乓球，做不放回抽樣，每次任取1 個球，取 2 次，則事件

15、“第一次取得白球的情況下，第二次恰好取得黃球”的概率為_ 【答案】【解析】分析：根據(jù)條件概率進行求解即可詳解：設“第一次取得白球”為事件 A，“第二次恰好取得黃球”為事件由題意得 ，B點睛：解決概率問題時，若條件中含有“在, 發(fā)生的條件下，求 , 發(fā)生的概率”的字樣，則一般為條件概率類型求解時可根據(jù)條件概率的定義進行，即進行求解16.已知橢圓為其左、右焦點， 為橢圓上除長軸端點外的任一點，為內(nèi)一點，滿足的內(nèi)心為 ，且有（其中 為實數(shù)），則橢圓的離心率_ 【答案】【解析】分析：由題意得為的重心，設，由重心坐標公式可得的縱坐標，由可得內(nèi)心 的縱坐標與相同，然后利用的面積等于被內(nèi)心分割而成的三個小三

16、角形的面積之和建立的等式，從而可得離心率詳解：設， G為的重心， G點坐標為，軸， I 的縱坐標為在中，又I 為的內(nèi)心， I 的縱坐標即為內(nèi)切圓半徑由于 I 把分為三個底分別為的三邊，高為內(nèi)切圓半徑的小三角形，即，橢圓 C的離心率點睛：解答本題時注意兩點：（ 1）讀懂向量式的含義，正確地將向量式轉化為幾何關系，這是解題的基礎（ 2）求橢圓的離心率時，要把條件中給出的幾何關系轉化為關于的等式或不等式，通過解方程或不等式可得離心率或其范圍三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知曲線的參數(shù)方程為（ 為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，（

17、為極角）（ 1）分別寫出曲線的普通方程和曲線的參數(shù)方程；（ 2）已知為曲線的上頂點，為曲線上任意一點，求的最大值 .【答案】（ 1）；（ 2）.【解析】試題分析： （ 1）利用三種方程的轉化方法，分別寫出曲線C1 的普通方程與曲線C2 的參數(shù)方程；（ 2）由（ 1）知，所以當或時，最大 .試題解析：（ 1）（ 2）由（ 1）知，當或時，最大為.18. 某高中政教處為了調查學生對“一帶一路”的關注情況，在全校組織了“一帶一路知多少”的知識問卷測試，并從中隨機抽取了 12 份問卷，得到其測試成績（百分制）的莖葉圖如下：（ 1）寫出該樣本的中位數(shù)，若該校共有3000 名學生，試估計該校測試成績在70

18、 分以上的人數(shù)；（ 2）從所抽取的70 分以上的學生中再隨機選取4 人，記表示測試成績在80 分以上的人數(shù)，求 的分布列和數(shù)學期望.【答案】（ 1）約為 2000 人；（ 2）見解析 .【解析】分析： （1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)可得中位數(shù)，然后根據(jù)樣本中70 分以上的成績所占的比例可得總體中 70 分以上的人數(shù)（ 2）根據(jù)題意得到 的可能取值， 分別求出對應的概率得到分布列，然后可得期望詳解：（1）由莖葉圖可得中位數(shù)為76，樣本中70 分以上的所占比例為，故可估計該校測試成績在70 分以上的約為30002000 人（ 2 由題意可得的可能取值為0， 1， 2， 3， 4,. 的分別列為：0123

19、4.點睛：本題考查莖葉圖的應用以及用樣本估計總體，同時考查分布列、期望的求法，主要考查學生應用所學知識解決實際問題的能力和計算能力，屬中等題19.如圖，已知直角梯形所在平面垂直于平面，.（ 1）點是直線中點，證明平面；（ 2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】（ 1）見解析；（ 2）.【解析】試題分析： （ 1）建立空間直角坐標系，寫出相應點的坐標，得到向量，求出平面平面的法向量，利用向量與平面垂直，即可證明線面平行；（ 2）求出平面與平面的法向量，利用法向量所成的角即可求解二面角的余弦值試題解析：（ 1）設 AB a，取 AC的中點 O，連接 EO， OP.AE AC，又 EAC6

20、0， EOAC.又平面 ABC平面ACDE， EO平面ABC， EOOP，又 OPAB，ABAC，所以 OPAC.以射線 OP， OC，OE分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，則 C（ 0， ， 0），A（ 0， 0），E（ 0， 0，），D（ 0， ，）， B（ a， ， 0） .則 P（ ， 0，0），設平面 EAB的法向量為（ x0， y0， z0） .（ a， 0， 0），（ 0， ，），0，0，即，令 z0 1，得 y0，又 x0 0， （ 0，1）.DP平面EAB（另法：取（ 2）設平面EBD的法向量為，AB 中點 F，然后證DPEF 或證平面ODP

21、平面（ x1， y1， z1），易知平面ACDE的一個法向量為EAB）（ 1， 0，0） .，即，令 z1 1，則 x1， y1 0，（，0， 1） .考點：線面位置關系的判定與證明；二面角的求解20. 一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)與一定范圍內(nèi)的溫度有關，現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6 組觀測數(shù)據(jù)如下表：溫度212324272932產(chǎn)卵數(shù) /個61120275777（ 1）若用線性回歸模型，求關于的回歸方程（精確到0.1 ）；（ 2）若用非線性回歸模型求關 的回歸方程為，且相關指數(shù)試與（ 1）中的線性回歸模型相比，用說明哪種模型的擬合效果更好.用擬合效果好的模型預測溫度為時該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（結果取整數(shù)）

22、.附：一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計為；相關指數(shù).【答案】（ 1）；（ 2）回歸方程比線性回歸方程擬合效果更好；當溫度時，該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)估計為190 個 .【解析】分析：(1) 根據(jù)表格中數(shù)據(jù)及平均數(shù)公式可求出與的值從而可得樣本中心點的坐標，從而求可得公式中所需數(shù)據(jù)，求出，再結合樣本中心點的性質可得，進而可得 關于的回歸方程；(2) 根據(jù)相關指數(shù)的大小，即可比較模型擬合效果的優(yōu)劣；代入回歸方程求值計算即可得結果.詳解：（ 1）由題意得，所以，關于的線性回歸方程為；（ 2）由所給數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程為，相關指數(shù)為.因為，所以回歸方程比線性回歸方程擬合效果更好.由得當溫度時

23、，即當溫度時，該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)估計為190 個.點睛：求回歸直線方程的步驟：確定兩個變量具有線性相關關系；計算的值；計算回歸系數(shù)；寫出回歸直線方程為； 回歸直線過樣本點中心是一條重要性質，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.21. 在平面直角坐標系中， 點 是直線上的動點， 定點，點 為 的中點，動點滿足.（ 1）求點 的軌跡的方程；（ 2）過點 的直線交軌跡于兩點， 為 上任意一點，直線交 于兩點，以為直徑的圓是否過 軸上的定點？若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，說明理由.【答案】（ 1）；（ 2）和.【解析】分析： （ 1）根據(jù)條件可得點的軌跡是以為焦點、

24、以直線 為準線的拋物線，其方程為（ 2）假設以為直徑的圓過軸上的定點,設. 由題意可得，由得設直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立消元后得到二次方程，結合根與系數(shù)的關系和上式可得，解得，進而可得以為直徑的圓過軸上的定點詳解：（1）由已知得垂直平分，故又軸，則，所以點到點 的距離和到直線的距離相等，故點的軌跡是以 為焦點、以直線為準線的拋物線，由條件可得軌跡的方程為（ 2）假設以為直徑的圓過軸上的定點設,則，直線的方程為，令得即同理可得.由已知得恒成立 ,即，即設直線的方程為，由消去 整理得，所以，于是，整理得，解得故以為直徑的圓過軸上的定點點睛：（1）拋物線的定義有兩方面的作用，一是用來判斷點的軌跡是拋物線，二是當已知曲線是拋物線時，可將曲線上的點到準線的距離和到焦點的距離相互轉化，達到快速解題的目的（ 2）判斷定點時，可假設定點坐標，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線系