小學(xué)奧數(shù)-列舉法

1、列舉法解應(yīng)用題時(shí)，為了解題的方便， 把問(wèn)題分為不重復(fù)、不遺漏的有限情況，一一列舉出來(lái)加以分析、解決，最終達(dá)到解決整個(gè)問(wèn)題的目的。這種分析、解決問(wèn)題的方法叫做列舉法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。用列舉法解應(yīng)用題時(shí)，往往把題中的條件以列表的形式排列起來(lái)，有時(shí)也要畫(huà)圖。例 1 一本書(shū)共100 頁(yè)，在排頁(yè)碼時(shí)要用多少個(gè)數(shù)字是6 的鉛字？（適于三年級(jí)程度）解：把個(gè)位是6 和十位是6 的數(shù)一個(gè)一個(gè)地列舉出來(lái)，數(shù)一數(shù)。個(gè)位是 6 的數(shù)字有： 6、 16、26、 36、46、 56、 66、 76、 86、 96，共 10 個(gè)。十位是 6 的數(shù)字有： 60、 61、62、 63、64、 65、66、 67、 6

2、8、 69，共 10 個(gè)。10+10=20（個(gè)）答：在排頁(yè)碼時(shí)要用20 個(gè)數(shù)字是6 的鉛字。*例 2 從 A市到 B 市有 3 條路，從 B 市到 C市有兩條路。 從 A市經(jīng)過(guò) B市到 C市有幾種走法？（適于三年級(jí)程度）解：作圖3-1 ，然后把每一種走法一一列舉出來(lái)。第一種走法：AB C第二種走法：AB C第三種走法：AB C第四種走法：AB C第五種走法：AB C第六種走法：AB C答：從 A 市經(jīng)過(guò) B 市到 C 市共有 6 種走法。 * 例 3 9137=1001425=1 / 9把+、 - 、四種運(yùn)算符號(hào)分別填在適當(dāng)?shù)膱A圈中（每種運(yùn)算符號(hào)只能用一次），并在長(zhǎng)方形中填上適當(dāng)?shù)恼麛?shù)， 使上

3、面的兩個(gè)等式都成立。 這時(shí)長(zhǎng)方形中的數(shù)是幾？ （適于四年級(jí)程度）解：把 +、 - 、四種運(yùn)算符號(hào)填在四個(gè)圓圈里，有許多不同的填法，要是逐一討論怎樣填會(huì)特別麻煩。 如果用些簡(jiǎn)單的推理， 排除不可能的填法， 就能使問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解答。先看第一個(gè)式子： 9137=100如果在兩個(gè)圓圈內(nèi)填上“”號(hào)，等式右端就要出現(xiàn)小于100 的分?jǐn)?shù)；如果在兩個(gè)圓圈內(nèi)僅填“ +”、“ - ”號(hào)，等式右端得出的數(shù)也小于 100，所以在兩個(gè)圓圈內(nèi)不能同時(shí)填“”號(hào)，也不能同時(shí)填“ +”、“ - ”號(hào)。要是在等式的一個(gè)圓圈中填入“”號(hào)，另一個(gè)圓圈中填入適當(dāng)?shù)姆?hào)就容易使等式右端得出 100。913 -7=117-7=110 ，

4、未湊出 100。如果在兩個(gè)圈中分別填入“ +”和“”號(hào)，就會(huì)湊出 100 了。9+137=100再看第二個(gè)式子： 1425=上面已經(jīng)用過(guò)四個(gè)運(yùn)算符號(hào)中的兩個(gè)，只剩下“”號(hào)和“- ”號(hào)了。 如果在第一個(gè)圓圈內(nèi)填上“”號(hào)，142得到整數(shù)，所以：142-5=2即長(zhǎng)方形中的數(shù)是2。*例 4印刷工人在排印一本書(shū)的頁(yè)碼時(shí)共用1890 個(gè)數(shù)碼，這本書(shū)有多少頁(yè)？（適于四年級(jí)程度）解：（ 1）數(shù)碼一共有 10 個(gè)： 0、 1、2 8、 9。 0 不能用于表示頁(yè)碼，所以頁(yè)碼是一位數(shù)的頁(yè)有 9 頁(yè)，用數(shù)碼 9 個(gè)。（ 2）頁(yè)碼是兩位數(shù)的從第 10 頁(yè)到第 99 頁(yè)。因?yàn)?99-9=90 ，所以，頁(yè)碼是兩位數(shù)的頁(yè)有

5、90 頁(yè)，用數(shù)碼：290=180（個(gè)）（3）還剩下的數(shù)碼：1890-9-180=1701 （個(gè)）2 / 9（4）因?yàn)轫?yè)碼是三位數(shù)的頁(yè)，每頁(yè)用3 個(gè)數(shù)碼， 100 頁(yè)到 999 頁(yè)， 999-99=900 ，而剩下的 1701 個(gè)數(shù)碼除以 3 時(shí)，商不足 600，即商小于 900。所以頁(yè)碼最高是 3 位數(shù)，不必考慮是 4 位數(shù)了。往下要看 1701 個(gè)數(shù)碼可以排多少頁(yè)。17013=567（頁(yè)）（5）這本書(shū)的頁(yè)數(shù)：9+90+567=666（頁(yè)）答略。*例 5 用一根 80 厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)和寬都要是5 的倍數(shù)。哪一種方法圍成的長(zhǎng)方形面積最大？（適于四年級(jí)程度）解：要知道哪種方法所圍成

6、的面積最大，應(yīng)將符合條件的圍法一一列舉出來(lái)，然后加以比較。因?yàn)殚L(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是80 厘米，所以長(zhǎng)與寬的和是40 厘米。列表3-1 ：表 3-1表 3-1 中，長(zhǎng)、寬的數(shù)字都是 5 的倍數(shù)。因?yàn)轭}目要求的是哪一種圍法的長(zhǎng)方形面積最大，第四種圍法圍出的是正方形，所以第四種圍法應(yīng)舍去。前三種圍法的長(zhǎng)方形面積分別是：355=175（平方厘米）3010=300（平方厘米）2515=375（平方厘米）答：當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是25 厘米，寬是15 厘米時(shí)，長(zhǎng)方形的面積最大。例 6 如圖 3-2 ，有三張卡片，每一張上寫(xiě)有一個(gè)數(shù)字1、 2、3，從中抽出一張、兩張、三張，按任意次序排列起來(lái)，可以得到不同的一位數(shù)、兩位數(shù)

7、、三位數(shù)。請(qǐng)將其中的質(zhì)數(shù)都寫(xiě)出來(lái)。（適于五年級(jí)程度）3 / 9解：任意抽一張，可得到三個(gè)一位數(shù)：1、 2、 3，其中 2 和 3 是質(zhì)數(shù)；任意抽兩張排列， 一共可得到六個(gè)不同的兩位數(shù)： 12、13、21、23、31、32，其中 13 、 23 和 31 是質(zhì)數(shù)；三張卡片可排列成六個(gè)不同的三位數(shù)， 但每個(gè)三位數(shù)數(shù)碼的和都是 1+2+3=6，即它們都是 3 的倍數(shù)，所以都不是質(zhì)數(shù)。綜上所說(shuō)，所能得到的質(zhì)數(shù)是2、 3、 13、 23、 31，共五個(gè)。*例 7 在一條筆直的公路上，每隔10 千米建有一個(gè)糧站。一號(hào)糧站存有10 噸糧食， 2號(hào)糧站存有20 噸糧食，3 號(hào)糧站存有30 噸糧食，4 號(hào)糧站是

8、空的， 5 號(hào)糧站存有40 噸糧食?，F(xiàn)在要把全部糧食集中放在一個(gè)糧站里，如果每噸1 千米的運(yùn)費(fèi)是0.5 元，那么糧食集中到第幾號(hào)糧站所用的運(yùn)費(fèi)最少（圖3-3 ）？（適于五年級(jí)程度）解：看圖3-3 ，可以斷定糧食不能集中在1 號(hào)和 2 號(hào)糧站。下面將運(yùn)到3 號(hào)、 4 號(hào)、 5 號(hào)糧站時(shí)所用的運(yùn)費(fèi)一一列舉，并比較。（1）如果運(yùn)到3 號(hào)糧站，所用運(yùn)費(fèi)是：0.5 10（ 10+10）+0.5 2010+0.5 40（10+10）=100+100+400=600（元）（2）如果運(yùn)到4 號(hào)糧站，所用運(yùn)費(fèi)是：0.5 10（ 10+10+10）+0.5 20（ 10+10）+0.5 3010+0.5 4010

9、=150+200+150+200=700（元）（3）如果運(yùn)到5 號(hào)糧站，所用費(fèi)用是：4 / 90.5 10（ 10+10+10+10）+0.5 20（ 10+10+10）+0.5 30（ 10+10）=200+300+300=800（元）800 700600答：集中到第三號(hào)糧站所用運(yùn)費(fèi)最少。*例 8 小明有 10 個(gè) 1 分硬幣，5 個(gè) 2 分硬幣，2 個(gè) 5 分硬幣。要拿出 1 角錢(qián)買(mǎi) 1 支鉛筆，問(wèn)可以有幾種拿法？用算式表達(dá)出來(lái)。（適于五年級(jí)程度）解：（ 1）只拿出一種硬幣的方法：全拿 1 分的：1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）全拿 2 分的：2+2+2+2+2=1（角）全

10、拿 5 分的：5+5=1（角）只拿出一種硬幣，有3 種方法。（ 2）只拿兩種硬幣的方法：拿 8枚 1分的， 1枚 2分的：1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）拿 6枚 1分的， 2枚 2分的：1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）拿 4枚 1分的， 3枚 2分的：1+1+1+1+2+2+2=1（角）拿 2枚 1分的， 4枚 2分的：1+1+2+2+2+2=1（角）5 / 9拿 5枚 1分的， 1枚 5分的：1+1+1+1+1+5=1（角）只拿出兩種硬幣，有5 種方法。（3）拿三種硬幣的方法：拿 3枚 1分，1枚2分，1枚5分的：1+1+1+2+5=1（角）拿 1枚 1分，2枚2分，1

11、枚5分的：1+2+2+5=1（角）拿出三種硬幣，有2 種方法。共有：3+5+2=10（種）答：共有10 種拿法。*例 9 甲、乙、丙、丁與小強(qiáng)五位同學(xué)一起比賽象棋，每?jī)扇硕家荣愐槐P(pán)。到現(xiàn)在為止，甲賽了 4 盤(pán)，乙賽了 3 盤(pán)，丙賽了 2 盤(pán)，丁賽了 1 盤(pán)。問(wèn)小強(qiáng)賽了幾盤(pán)？（適于五年級(jí)程度）解：作表3-2 。表 3-2甲已經(jīng)賽了4 盤(pán)，就是甲與乙、丙、丁、小強(qiáng)各賽了一盤(pán)，在甲與乙、丙、丁、小強(qiáng)相交的那些格里都打上； 乙賽的盤(pán)數(shù)，就是除了與甲賽的那一盤(pán)， 又與丙和小強(qiáng)各賽一盤(pán)，在乙與丙、小強(qiáng)相交的那兩個(gè)格中都打上；丙賽了兩盤(pán)，就是丙與甲、乙各賽一盤(pán)，打上；丁與甲賽的那一盤(pán)也打上。丁未與乙、丙、

12、小強(qiáng)賽過(guò)，在丁與乙、丙與小強(qiáng)相交的格中都畫(huà)上圈。6 / 9根據(jù)條件分析，填完表格以后，可明顯地看出，小強(qiáng)與甲、乙各賽一盤(pán)，未與丙、丁賽，共賽 2 盤(pán)。答：小強(qiáng)賽了2 盤(pán)。*例 10 商店出售餅干，現(xiàn)存10 箱 5 千克重的， 4 箱 2 千克重的， 8 箱 1 千克重的，一位顧客要買(mǎi)9 千克餅干， 為了便于攜帶要求不開(kāi)箱。營(yíng)業(yè)員有多少種發(fā)貨方式？（適于五年級(jí)程度）解：作表3-3 列舉發(fā)貨方式。表 3-3答：不開(kāi)箱有7 種發(fā)貨方式。*例 11 運(yùn)輸隊(duì)有30 輛汽車(chē)，按 1 30 的編號(hào)順序橫排停在院子里。第一次陸續(xù)開(kāi)走的全部是單號(hào)車(chē)， 以后幾次都由余下的第一輛車(chē)開(kāi)始隔一輛開(kāi)走一輛。到第幾次時(shí)汽車(chē)

13、全部開(kāi)走？最后開(kāi)走的是第幾號(hào)車(chē)？（適于五年級(jí)程度）解：按題意畫(huà)出表3-4 列舉各次哪些車(chē)開(kāi)走。表 3-47 / 9從表 3-4 中看得出，第三次開(kāi)走后剩下的是第8 號(hào)、 16 號(hào)、 24 號(hào)車(chē)。按題意，第四次8 號(hào)、 24 號(hào)車(chē)開(kāi)走。到第五次時(shí)汽車(chē)全部開(kāi)走，最后開(kāi)走的是第16號(hào)車(chē)。答：到第五次時(shí)汽車(chē)全部開(kāi)走，最后開(kāi)走的是第16 號(hào)車(chē)。*例 12 在甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放大米，甲倉(cāng)存90 袋，乙倉(cāng)存50袋，甲倉(cāng)每次運(yùn)出 12袋，乙倉(cāng)每次運(yùn)出4 袋。運(yùn)出幾次后，兩倉(cāng)庫(kù)剩下大米的袋數(shù)相等？（適于五年級(jí)程度）解：根據(jù)題意列表3-5 。表 3-5從表 3-5 可以看出，原來(lái)甲乙兩倉(cāng)庫(kù)所存大米相差40 袋；第

14、一次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米相差78-46=32 （袋）；第二次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米相差66-42=24 （袋）；第三次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米相差 54-38=16（袋）；第四次運(yùn)走后， 兩倉(cāng)剩下的大米相差 42-34=8 （袋）；第五次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米袋數(shù)相等。40-32=832-24=824-16=8從這里可以看出，每運(yùn)走一次，兩倉(cāng)庫(kù)剩下大米袋數(shù)的相差數(shù)就減少8 袋。由此可以看出，兩倉(cāng)庫(kù)原存大米袋數(shù)的差， 除以每次運(yùn)出的袋數(shù)差就得出運(yùn)幾次后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)剩下大米的袋數(shù)相等。（ 90-50 ）（ 12-4 ） =5（次）答：運(yùn)出 5 次后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)剩下大米的袋數(shù)相等。*例 13 有三組小朋友共72 人，第一次從第一組里把與第二組同樣多的人數(shù)并入第二組；第二次從第二組里把與第三組同樣多的人數(shù)并入第三組；第三次從第三組里把與第一組同樣8 / 9多的人數(shù)并入第一組。這時(shí)，三組的人數(shù)一樣多。問(wèn)原來(lái)各組有多少個(gè)小朋友？（適于五年級(jí)程度）解：三個(gè)小組共72 人，第三次并入后三個(gè)小組人數(shù)相等，都是723=24（人）。在這以前，即第三組未把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組時(shí)，第一組應(yīng)是242=12（人），第三組應(yīng)是（ 24+12） =36（人），第二組人數(shù)仍為24