高考數(shù)學(xué) 球的內(nèi)切外接問題分類例析 北師大版

1、高考球的知識問題分類例析一、突出球心1（江西卷）如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐ABEFD與三棱錐AEFC的表面積分別是S1，S2，則必有（ ）AS1<S2 B. S1>S2C. S1=S2 D. S1，S2的大小關(guān)系不能確定解：連OA、OB、OC、OD，則VABEFDVOABDVOABEVOBEFD，VAEFCVOADCVOAECVOEFC又VABEFDVAEFC而每個三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故SABDSABESBEFDSADCSAECSE

2、FC又面AEF公共，故選C2.（四川卷）已知球的半徑是1，、三點都在球面上，、兩點和、兩點的球面距離都是，、兩點的球面距離是，則二面角的大小是（A） （B） （C） （D）解析：球的半徑是R=，三點都在球面上，兩點和兩點的球面距離都是，則AOB，AOC都等于，AB=AC，兩點的球面距離是，BOC=，BC=1，過B做BDAO，垂足為D，連接CD，則CDAD，則BDC是二面角的平面角，BD=CD=，BDC=，二面角的大小是，選C.3.（浙江卷）如圖，O是半徑為l的球心，點A、B、C在球面上，OA、OB、OC兩兩垂直，E、F分別是大圓弧AB與AC的中點，則點E、F在該球面上的球面距離是(A) (B)

3、 (C) (D) G【考點分析】本題考查球面距的計算，基礎(chǔ)題。解析：如圖，點E、F在該球面上的球面距離為故選擇B。4.（北京卷）已知三點在球心為，半徑為的球面上，且那么兩點的球面距離為_，球心到平面的距離為_.解：如右圖，因為，所以AB是截面的直徑，又ABR，所以O(shè)AB是等邊三角形，所以ÐAOB，故兩點的球面距離為，于是ÐO1OA30°，所以球心到平面的距離OO1Rcos30°.二、展示大圓5.（四川卷）如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，如果，則球的表面積是（A） （B） （C） （D）ABCPDEF解析：如圖，正四棱錐底面的四

4、個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，PO底面ABCD，PO=R，所以，R=2，球的表面積是，選D.6.（遼寧卷）如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐，則此正六棱錐的側(cè)面積是_解：顯然正六棱錐的底面的外接圓是球的一個大圓，于是可求得底面邊長為2，又正六棱錐的高依題意可得為2，依此可求得三、巧作截面7（全國II）過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為（A） (B) (C) (D)【解析】設(shè)球的半徑為R, 過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面,由勾股定理可得一個半徑為的圓,所以,故選A8.（全國II）圓是以為半徑的球的小圓，若圓的面積和球的表面積的比

5、為，則圓心到球心的距離與球半徑的比。解：設(shè)圓的半徑為r，則，由得r : R: 3又，可得1 : 3四、掌握規(guī)律在解決球問題時，除了以上幾種方法外，還應(yīng)掌握一定的規(guī)律如長方體的外接規(guī)律：長方體的外接球直徑恰為其對角線長為，即特別地，正方體的外接球直徑恰為其對角線長，即9（安徽卷）表面積為 的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為 A B C D解：此正八面體是每個面的邊長均為的正三角形，所以由知，則此球的直徑為，故選A。10（福建卷）已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于A.2 B. C. D.解：正方體外接球的體積是，則外接球的半徑R=2，正方體的對角線的長為4，棱長等于，

6、選D.11（山東卷）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為(A)1 (B)13 (C)13 (D)19解：設(shè)正方體的棱長為a，則它的內(nèi)切球的半徑為，它的外接球的半徑為，故所求的比為13，選C12.（廣東卷）棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為_.解：五巧構(gòu)模型13（山東卷）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,DAB=60°,E為AB的中點，將ADE與BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P，則PDCE三棱錐的外接球的體積為(A) (B) (C) (D) 解：易證所得三棱錐為正四面體，它的棱長為1，故外接球半徑為，外接球的體積為，選C14.(陜西卷)水平桌面上放有4個半徑均為2R的球,且相鄰的球都相切(球心的連線構(gòu)成正方形).在這4個球的上面放1個半徑為R的小球,它和下面4個球恰好都相切,則小球的球心到水平桌面的距離是 解：水平桌面上放有4個半徑均為2R的球，且相鄰的球都相切(球心的連