平面向量及坐標(biāo)表示

1、授課主題平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示教學(xué)目的1、了解平面向量的基本定理及其意義，會(huì)用平面向量基本定理解決簡(jiǎn)單問題2掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示教學(xué)重點(diǎn)1會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算2理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件教學(xué)內(nèi)容1平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)_向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，_一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a_，其中，_叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為e1，e22平面向量的坐標(biāo)表示(1)在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y使axiyj，把有序數(shù)對(duì)_

2、叫做向量a的坐標(biāo)，記作a_，其中_叫做a在x軸上的坐標(biāo)，_叫做a在y軸上的坐標(biāo)，顯然0(0,0)，i(1,0)，j(0,1)(2)設(shè)xiyj，則_就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)，即若(x，y)，則A點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，反之亦成立(O是坐標(biāo)原點(diǎn))3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算向量abababa坐標(biāo)(x1，y1)(x2，y2)(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)(2)向量坐標(biāo)的求法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則_，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于_(3)平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，則a與b共線a_.1若a(3,2)，b(0，1)，則

3、2ba的坐標(biāo)是()A(3，4) B(3,4)C(3,4) D(3，4)2已知向量a(1，m)，b(m2，m)，則向量ab所在的直線可能為()Ax軸B第一、三象限的角平分線Cy軸D第二、四象限的角平分線3已知a(4,5)，b(8，y)且ab，則y等于()A5 B10 C D154e1，e2是平面內(nèi)一組基底，那么()A若實(shí)數(shù)1，2使1e12e20，則120B空間內(nèi)任一向量a可以表示為a1e12e2(1，2為實(shí)數(shù))C對(duì)實(shí)數(shù)1，2，1e12e2不一定在該平面內(nèi)D對(duì)平面內(nèi)任一向量a，使a1e12e2的實(shí)數(shù)1，2有無數(shù)對(duì)一、平面向量基本定理【例1】已知梯形ABCD，如圖所示，2，M，N分別為AD，BC的中

4、點(diǎn)設(shè)e1，e2，試用e1，e2表示，.變式練習(xí)1、(2012大綱全國高考)ABC中，AB邊的高為CD，若a，b，a·b0，|a|1，|b|2，則()Aab BabCab Dab2、(1)(2013·江蘇)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC.若12(1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_(2)ABC的外接圓的圓心為O，半徑為2，0且|，則向量在上的投影為 ()A. B3 C D3答案(1)(2)A解析(1)如圖，()，則1，2，12.(2)由0，得.又O為ABC外接圓的圓心，OBOC，四邊形ABOC為菱形，AOBC.由|2，知AOC為等邊三角形故在上的投影為

5、|cosACB2cos .二、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例2】已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c.(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n.變式練習(xí)在ABC中，點(diǎn)P在BC上，且2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若(4,3)，(1,5)，則等于()A(6,21) B(2,7)C(6，21) D(2，7)三、平面向量共線的坐標(biāo)表示【例31】已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實(shí)數(shù)，(ab)c，則()A B C1 D2【例32】已知a(1,0)，b(2,1)，(1)當(dāng)k為何值時(shí)，kab與a2b共線；(2)若2a3b，amb且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值方法提煉向量共

6、線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解提醒：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2x2y10.同時(shí)，ab的充要條件也不能錯(cuò)記為：x1x2y1y20，x1y1x2y20等變式練習(xí)1、設(shè)a，b，且ab，則銳角x等于()A B C D2、已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)向量a(1,3)，b(m,2m3)，使得平面內(nèi)的任意一個(gè)向量c都可以唯一的表示成cab，則m的取值范圍是_四、平面向量基本定理的應(yīng)用例 如圖，已知ABC的面積為14，D、E分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且

7、ADDBBEEC21，AE與CD交于P.設(shè)存在和使，a，b.(1) 求及；(2) 用a、b表示；(3) 求PAC的面積解：(1) 由于a，b，則ab，ab.，即a(ab).解得，.(2) aab.(3) 設(shè)ABC、PAB、PBC的高分別為h、h1、h2，h1h|，SPABSABC8.h2h|1，SPBCSABC2， SPAC4.如圖所示，在ABC中，H為BC上異于B、C的任一點(diǎn)，M為AH的中點(diǎn)，若，則_答案：解析：由B、H、C三點(diǎn)共線，可令x(1x)，又M是AH的中點(diǎn)，所以x(1x).又，所以x(1x).1、已知ABC和點(diǎn)M滿足0.若存在實(shí)數(shù)m使得m成立，則m的值為()A2 B3 C4 D52

8、、如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且|1，|2，若(，R)，則的值為_答案(1)B(2)6解析(1)0，點(diǎn)M是ABC的重心3，m3.(2)方法一如圖，11，|1|2，|1|4，42.6.3、設(shè)平面向量a(1,0)，b(0,2)，則2a3b()A(6,3) B(2，6)C(2,1) D(7,2)解析：2a3b(2,0)(0,6)(2，6)答案：B4、已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，則向量ab()A平行于x軸B平行于第一、三象限的角平分線C平行于y軸D平行于第二、四象限的角平分線解析由題意得ab(xx,1x2)(0,1x2)，易知ab

9、平行于y軸答案C5、已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，則2a3b()A(2，4) B(3，6)C(4，8) D(5，10)解析由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1×m2×(2)m4，從而b(2，4)，那么2a3b2×(1,2)3×(2，4)(4，8)答案C6、 設(shè)點(diǎn)A(2,0)，B(4,2)，若點(diǎn)P在直線AB上，且|2|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A(3,1) B(1，1)C(3,1)或(1，1) D無數(shù)多個(gè)解析 設(shè)P(x，y)，則由|2|，得2或2，(2,2)，(x2，y)，即(2,2)2(x2，y)，x3，y1，P(3,1)，或(2,2)

10、2(x2，y)，x1，y1，P(1，1)答案C7、若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共線，則的值為_解析(a2，2)，(2，b2)，依題意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以.8、設(shè)向量a，b滿足|a|2，b(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為_解析設(shè)ab(0)，則|a|b|，|，又|b|，|a|2.|2，2.ab2(2,1)(4，2)答案(4，2)9、設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且ae12e2，be1e2，則向量e1e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1e2_a_b.解析由題意，設(shè)e1e2manb.又因?yàn)閍e12e2，be1e2，所以

11、e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面向量基本定理，得所以10、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD的邊ABDC，ADBC.已知點(diǎn)A(2,0)，B(6,8)，C(8,6)，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為_解析由條件中的四邊形ABCD的對(duì)邊分別平行，可以判斷該四邊形ABCD是平行四邊形設(shè)D(x，y)，則有，即(6,8)(2,0)(8,6)(x，y)，解得(x，y)(0，2)答案(0，2)11已知A(1,1)、B(3，1)、C(a，b)(1)若A、B、C三點(diǎn)共線，求a、b的關(guān)系式；(2)若2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)解析：(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A、B、C三點(diǎn)共線，.2

12、(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)，解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，3)12已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及t，求(1)t為何值時(shí)，P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限？(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說明理由解析(1)t(13t,23t)若P在x軸上，則23t0，t；若P在y軸上，只需13t0，t；若P在第二象限，則t.(2)因?yàn)?1,2)，(33t,33t)若OABP為平行四邊形，則，無解所以四邊形OABP不能成為平行四邊形參考答案基礎(chǔ)梳理自測(cè)知識(shí)梳理1不共線有且只有1e12e2不共線的向量e1，e22(1)(x

13、，y)(x，y)xy(2)向量的坐標(biāo)3(2)(x2x1，y2y1)終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)(3)bx1y2x2y10基礎(chǔ)自測(cè)1D解析：2ba2×(0，1)(3,2)(0，2)(3,2)(3，4)，故2ba(3，4)2A解析：ab(1，m)(m2，m)(m21,0)其橫坐標(biāo)恒大于零，縱坐標(biāo)等于零，故向量ab所在的直線可能為x軸3B解析：ab，4y400，得y10.4A解析：對(duì)于A，e1，e2不共線，故120正確；對(duì)于B，空間向量a應(yīng)改為與e1，e2共面的向量才可以；C中，1e12e2一定與e1，e2共面；D中，根據(jù)平面向量基本定理，1，2應(yīng)是唯一一對(duì)考點(diǎn)探究突破【例1】解：2，2e2，e2.又，e2e1e2e1e2.又由，得e1e2(e1e2)e2.【例2】解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，解得【例31】B解析：a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)，ab(1,2)(，0)(1，2)又(ab)c，解得.【例32】解：(1)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)kab與a2b共線，2(k2)(1)×50，即2k450，得k.(2)A，B，C三點(diǎn)共