球的表面積和體積第一課時教案-數(shù)學高一必修2第一章立體幾何初步1.4人教A版

1、.第二章立體幾何初步14 球的表面積與體積一學習目標1知識與技能(1)了解球的體積、表面積的推導過程.（難點）(2)會用球的表面積公式、體積公式解決相關問題. （重點）(3)能解決與球的截面有關的計算問題及球的“內接”與“外切”的幾何體問題（難點）2過程與方法(1)讓學生經歷球的切割過程，感知幾何體的形狀 (2)讓學生通過對照比較，加強對球的表面積與體積的理解3情感、態(tài)度與價值觀使學生通過表面積與體積公式的探究過程，體會數(shù)學的轉化和類比的思想，從而增強學習的積極性二重點難點重點：球的表面積體積公式的理解難點：球的表面積體積公式的應用三專家建議通過學習球的表面積體積，公式的推導應用“分割近似求和

2、化為準確和”的思想，幫助學生深入了解割圓術在推導公式過程的應用，給學生滲透極限的數(shù)學思想，結合球與其他幾何體的組合體問題進一步鞏固公式的應用。四教學方法自學探究法，公式訓練法五教學過程情景導入問題1：制作一個乒乓球和一個籃球，分別需要多少材質.問題2：把氫氣球充滿，需要多少氫氣呢.問題3：怎樣求球的體積m=rVV=實驗：排液法測小球的體積探究新知怎樣求球的體積和表面積.割圓術：早在公元三世紀，我國數(shù)學家X徽為推導圓的面積公式而發(fā)明了“倍邊法割圓術”.他用加倍的方式不斷增加圓內接正多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面積之差更小，即所謂“割之彌細，所失彌小”.這樣重復下去，就達到了“割之又割，以至于不可

3、再割，則與圓合體而無所失矣”.這是世界上最早的“極限”思想.1.球的體積球體由N個這樣形狀的幾何體組成，這樣可以求出球體的體積為.2.球的表面積球面不能展平成平面，我們要用其他方法求它的表面積：分割近似求和化為準確和球面被分割成n個網(wǎng)格，表面積分別為，則球的表面積為球的表面積:,球的表面積是大圓面積的4倍。例1 如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證：（1）球的體積等于圓柱體積的（2）球的表面積等于圓柱的側面積證明:（1）設球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.因為,V圓柱所以，V圓柱（2）因為，S圓柱側=，所以, S圓柱側.【變式練習】(2015全國卷)圓柱被一個平面截去一部分

4、后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20,則r=() A.1 B.2 C.4 D.8【解析】由正視圖和俯視圖知,該幾何體是半球與半個圓柱的組合體,圓柱的底面半徑與球的半徑都為r,圓柱的高為2r,其表面積為4r2+r2r+r2+2r2r=5r2+4r2=16+20,解得r=2.【例2】(1)火星的直徑約為地球直徑的一半，地球的體積約是火星體積的多少倍.(2)木星的表面積約為地球表面積的120倍，木星的體積約是地球體積的多少倍.【解析】(1)設火星的半徑為R，則地球的半徑為2R，因此8.故地球的體積約是火星體積的8倍(2)設木星和

5、地球的半徑分別為r、R.依題意，有4r21204R2，解得r2R.所以240.故木星的體積約是地球體積是240倍【總結提升】求解球的體積的大小問題，實際是轉化為求它們的半徑之間的關系【變式練習】一個球的大圓面積擴大到原來的100倍，那么這個球的體積有什么變化.【答案】球的體積擴大到原來1 000倍例3.有三個球，第一個球內切于正方體，第二個球與這個正方體各條棱相切，第三個球過這個正方體的各個頂點，求這三個球的表面積之比【解析】設正方體的棱長為a.(1)正方體的內切球球心是正方體的中心，切點是六個面正方形的中心，經過四個切點及球心作截面，如圖，所以有2r1a，r1，所以S14ra2.(2)球與正

6、方體的各棱的切點在每條棱的中點，過球心作正方體的對角面得截面，如圖，2r2a，r2a，所以S24r2a2.(3)正方體的各個頂點在球面上，過球心作正方體的對角面得截面，如圖，所以有2r3a，r3a，所以S34r3a2.綜上可得S1S2S3123.【總結提升】1在處理球和長方體的組合問題時，通常先作出過球心且過長方體對角面的截面圖，然后通過已知條件求解2球的表面積的考查常以外接球的形式出現(xiàn)，可利用幾何體的結構特征構造熟悉的正方體，長方體等，通過彼此關系建立關于球的半徑的等式求解【變式訓練】一個三棱錐的三視圖是三個直角三角形，如圖1165所示，則該三棱錐的外接球的表面積為()圖1165A29B28

7、C25 D26【解析】由三視圖得直觀圖如圖，三棱錐OABC中OA，OB，OC兩兩垂直，OA3，OC4，OB2，可看作是長方體從同一頂點出發(fā)的三條棱長，長方體的對角線，即為球的直徑，長為，故外接球半徑為，外接球的表面積S球429.【答案】A例4.過球面上三點A，B，C的截面到球心O的距離等于球的半徑的一半，且ABBCCA3 cm，求球的體積和表面積【解析】如圖，設過A、B、C三點的截面為圓O，連接OO、AO、AO.ABBCCA3 cm，O為正三角形ABC的中心，AOAB (cm)設OAR，則OOR，OO截面ABC，OOAO，AOR (cm)，R2 cm，V球R3(cm3)，S球4R216(cm2

8、)即球的體積為 cm3，表面積為16 cm2.【總結提升】球的基本性質是解決與球有關的問題的依據(jù)，球半徑、截面圓半徑和球心到截面的距離所構成的直角三角形是把空間問題轉化為平面問題的主要方法【變式訓練】如果三個球的半徑之比是123，那么最大球的體積是其余兩個球的體積之和的()A1倍B2倍C3倍D4倍【解析】半徑大的球的體積也大，設三個球的半徑分別為x，2x，3x，則最大球的半徑為3x，其體積為(3x)3，其余兩個球的體積之和為x3(2x)3，(3x)33.【答案】C課堂小結球的體積與表面積1.球的體積公式：2.球的表面積公式：六板書設計球的表面積與體積小結：作業(yè)當堂檢測反饋典例分析例1例2例3例

9、4學生練習1. 注意事項：1234.學習目標(1)了解球的體積、表面積的推導過程.（難點）(2)會用球的表面積公式、體積公式解決相關問題. （重點）(3)能解決與球的截面有關的計算問題及球的“內接”與“外切”的幾何體問題（難點）七當堂檢測當堂檢測1已知兩個球的半徑之比為12，則這兩個球的表面積之比為()A12B14C16D18【解析】半徑比為12，且S4R2，表面積比為半徑比的平方，故選B.【答案】B2(2014XX高考)已知底面邊長為1,側棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上,則該球的體積為()A. B.4 C.2 D. 【答案】C3、兩個半徑為1的鐵球，熔化成一個大球，這個大球的半徑為()A2 B.C.D.【答案】C4.長方體的一個頂點上三條棱長分別是3,4,5，且它的8個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是（）A25 B 50 C 125 D都不對【答案】B5.(2015全國卷)已知A,B是球O的球面上兩點,AOB=90,C為該球面上的動點,若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()A.36B.64C.144D.256【解析】如圖所示,當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時,三棱錐O-ABC的體積最大,設球O的半徑為R,此時VO-ABC=VC-AOB=