架起等差與等比數(shù)列“三座橋梁”

1、架起等差與等比數(shù)列的“三座橋梁”-中學(xué)數(shù)學(xué)論文架起等差與等比數(shù)列的“三座橋梁”上官翰明（福州市閩江學(xué)院附屬中學(xué)，福建福州 350001）摘要：數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把數(shù)列視為反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，要求在教 學(xué)中通過日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種表示方法，特別指出要體現(xiàn) 數(shù)列是一種特殊函數(shù)（離散函數(shù)），通過列表、圖像、通項(xiàng)公式表示數(shù)列，把數(shù) 列融于函數(shù)之中。函數(shù)思想是中學(xué)階段學(xué)生所接觸到的最重要的數(shù)學(xué)思想方法之 一。數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，更是與函數(shù)思想密不可分，任何數(shù)列問題都蘊(yùn)含 著函數(shù)的本質(zhì)及意義，具有函數(shù)的一些固有特征。因此我們?cè)跀?shù)列教學(xué)中，應(yīng)充 分利用其函數(shù)本質(zhì)，以函數(shù)的概念、圖象、

2、性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列之間的 橋梁，揭示它們間的內(nèi)在聯(lián)系。而函數(shù)、方程和不等式三者密不可分，等差數(shù)列 和等比數(shù)列作為兩類特殊數(shù)列，自然有著千絲萬縷的聯(lián)系。關(guān)鍵詞：等差；等比；數(shù)列中圖分類號(hào)：G633文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1005-6351（2013）-01-0060-01數(shù)學(xué)是關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，而現(xiàn)實(shí)世界又是充滿著矛盾 的統(tǒng)一整體，所以，作為現(xiàn)實(shí)世界一個(gè)側(cè)面反映的數(shù)學(xué)，也必然是一個(gè)有著內(nèi)在聯(lián) 系的有機(jī)整體。正如德國(guó)著名數(shù)學(xué)家希爾伯特在巴黎召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家第二次代 表會(huì)議上所說的那樣：數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體，它的生命力正是在于 各個(gè)部分之間的聯(lián)系；盡管數(shù)學(xué)知識(shí)

3、千差萬別，我們?nèi)匀磺宄匾庾R(shí)到，在作為整 體的數(shù)學(xué)中，使用著相同的邏輯工具，存在著概念的親緣關(guān)系，同時(shí),在它的不同部 分之間也有著大量相似之處。正確地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的這種普遍聯(lián)系，并從而把握數(shù)學(xué) 的辯證性質(zhì)，對(duì)于我們深刻理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，拓廣數(shù)學(xué)視野，增強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)的 能力，靈活解決問題的能力，推動(dòng)數(shù)學(xué)研究的開展，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的水平，培養(yǎng)可 持續(xù)發(fā)展的學(xué)生，都有著十分重要的意義。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把數(shù)列視為反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，要求在教學(xué)中通 過日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種表示方法，特別指出要體現(xiàn)數(shù)列是 一種特殊函數(shù)（離散函數(shù)），通過列表、圖像、通項(xiàng)公式表示數(shù)列，把數(shù)列融于 函數(shù)之中。函數(shù)

4、思想是中學(xué)階段學(xué)生所接觸到的最重要的數(shù)學(xué)思想方法之一。數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，更是與函數(shù)思想密不可分，任何數(shù)列問題都蘊(yùn)含著函數(shù) 的本質(zhì)及意義，具有函數(shù)的一些固有特征。因此我們?cè)跀?shù)列教學(xué)中，應(yīng)充分利用 其函數(shù)本質(zhì)，以函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列之間的橋梁， 揭示它們間的內(nèi)在聯(lián)系。而函數(shù)、方程和不等式三者密不可分，等差數(shù)列和等比 數(shù)列作為兩類特殊數(shù)列，自然有著千絲萬縷的聯(lián)系。一、函數(shù)做“橋梁”等差數(shù)列與等比數(shù)列互化性質(zhì)：般地、若數(shù)列（5 > o）為等比數(shù)列，當(dāng)2 o且g I時(shí)，數(shù)列Hog.歸|為等差數(shù)列；若 數(shù)列叫為等差數(shù)列當(dāng)2（）且"1時(shí)數(shù)列丨宀 為等比數(shù)列0例1

5、.（2011全國(guó)新課標(biāo)高考卷，理V7）已知等比數(shù)列仏訂的 各頂均為正數(shù)，且2叭+3% = 1 & =9u2a6O（1）求數(shù)列仏的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)bn二碣山+ 1傑厲+ iog3tir,求數(shù)列的前n 項(xiàng)和。解析:（1）（解略）5 土 （2）因?yàn)閿?shù)列%為等比數(shù)列易 知數(shù)列i log3«J是首項(xiàng)為-公左為-1的等墓數(shù)列由等崖數(shù)列 求和公式得Q -山屮丄,而-斗（丄-七），利用裂項(xiàng) 2&2 n. n +1求和法得到數(shù)列丿-的前“項(xiàng)和-丸三冇。嘰25 + 1）例2、若數(shù)列叫為等差數(shù)列，則數(shù)列角+絢+學(xué)+叫也是等差數(shù)列，類比上述結(jié)論，當(dāng)數(shù)列I 4-2 + 3 + * + n牯（

6、如>0）為等比數(shù)列時(shí)，則數(shù)列1是等比數(shù)列。解析:根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化關(guān)系,數(shù)列® >0為等比數(shù)列，當(dāng)Q0且 M 時(shí)、數(shù)列/ogtbj為等差數(shù)列。 曲小,山氐® + 2k»氐錢+ nlog>K 檢*嚀和 工 所以帀一廠等差數(shù)列而L d- Z 4- * * 4- n1略婦+ 21ogtA2斗+麗艮札祐冷門1瞧（以彼J = 呃6血6；）曲所以（占廚£“吃）站為等比數(shù)列。二方程做和橋梁袖例靈若afllt是方程X4二0的兩根。（1）求出。的等差中項(xiàng);（2）求出“上的等比中項(xiàng)。解析:本題依托一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、考杳等差中項(xiàng) 和等比中壩

7、的概念易得<7+ b二亂血二4,所以的等差中項(xiàng)為 -=4.等比中項(xiàng)為土石百±2心變迖1、數(shù)列J亞為等差數(shù)列、碼和5是方程“滋+ 4二0 的兩根，求：（1）衍；（2）如+仙的值。解析：因?yàn)樨? J二趴所以旳二了 "二4,例+吟=：碼+。11 = ® o變式2、若數(shù)列仏為等比數(shù)列和治是/ -滋十1二0的 兩根，求：（1也；（2）如爲(wèi)的值。解析；因?yàn)?b3bu =4所以 b7 = ±2,b5b9 =bbn =40例4、若成等差數(shù)列,則直線粧+ By + C二0必過定點(diǎn)解析：丙為2甘=4 + C,所以A - 2/? + C 伏因此直線+旳 +必過定點(diǎn)（l,-2）o三、不等式做澤橋梁"例5、已知兩個(gè)正數(shù)°的等差中項(xiàng)為4,則叭6的等比屮項(xiàng) 的最大值為（）A.2B.4C8116解析:皿W號(hào)=4,選匹一般地，兩個(gè)正數(shù)柑的等差中項(xiàng)記為它們止的等比中項(xiàng) 記為N,試比較