控制系統(tǒng)時域分析法ppt課件

1、第三章第三章 控制系統(tǒng)的時域分析控制系統(tǒng)的時域分析法法 第三章第三章 控制系統(tǒng)的時域分析法控制系統(tǒng)的時域分析法 第一節(jié) 二階系統(tǒng)的瞬態(tài)呼應(yīng)及性能目的 第二節(jié) 添加零極點對二階系統(tǒng)呼應(yīng)的影響第三節(jié) 反響控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差第四節(jié) 勞斯-霍爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)第五節(jié) 控制系統(tǒng)靈敏度分析第六節(jié) 運用MATLAB分析控制系統(tǒng)的性能第七節(jié) 設(shè)計實例 第一節(jié) 二階系統(tǒng)的瞬態(tài)呼應(yīng)及性能目的 瞬態(tài)呼應(yīng)，是指系統(tǒng)的輸出從輸入信號r(t)作用時辰起，到穩(wěn)定形狀為止，隨時間變化的過程。分析系統(tǒng)的瞬態(tài)呼應(yīng)，可以調(diào)查系統(tǒng)的穩(wěn)定性和過渡過程的性能。分析系統(tǒng)的瞬態(tài)呼應(yīng)，有以下方法： 1. 直接求解法 2. 間接評價法 3. 計算

2、機(jī)仿真法 本小節(jié)首先討論典型輸入信號、性能目的等內(nèi)容，然后討論一階、二階系統(tǒng)的瞬態(tài)呼應(yīng)，最后討論如何處置高階系統(tǒng)的瞬態(tài)呼應(yīng)問題。 一、典型輸入信號一、典型輸入信號一階躍信號一階躍信號 階躍信號的表達(dá)式為：階躍信號的表達(dá)式為： (3.1)(3.1) 當(dāng)當(dāng)A=1A=1時，那么稱為單位階躍信號，常用時，那么稱為單位階躍信號，常用1(t)1(t)表示，表示，如圖如圖3-13-1所示。所示。 圖圖3-1 3-1 階躍信號階躍信號 圖圖3-2 3-2 斜坡斜坡信號信號 000ttAtr )( 二斜坡信號二斜坡信號 斜坡信號在斜坡信號在t =0t =0時為零，并隨時間線性添加，所以也叫時為零，并隨時間線性添

3、加，所以也叫等等 速度信號。它等于階躍信號對時間的積分，而它對時間的導(dǎo)速度信號。它等于階躍信號對時間的積分，而它對時間的導(dǎo)數(shù)就是階躍信號。斜坡信號的表達(dá)式為：數(shù)就是階躍信號。斜坡信號的表達(dá)式為： (3.2) (3.2) 0 00ttAttr )(三拋物線信號 拋物線信號也叫等加速度信號，它可以經(jīng)過對斜坡信號的積分而得。拋物線信號的表達(dá)式為： 3.3 當(dāng)A =1時，那么稱為單位拋物線信號，如圖3-3所示 0 00 )(ttAttr221四脈沖信號四脈沖信號 單位脈沖信號的表達(dá)式為：單位脈沖信號的表達(dá)式為： (3.4) (3.4) 其圖形如圖其圖形如圖3-43-4所示。是一寬度為所示。是一寬度為e

4、 e ，高度為，高度為1 1e e 的矩形的矩形脈沖，當(dāng)脈沖，當(dāng)e e 趨于零時就得理想的單位脈沖信號趨于零時就得理想的單位脈沖信號( (亦稱亦稱d(t) d(t) 函函數(shù)數(shù)) )。 (3.5) (3.5) ttttr及000 1)(1d)(tt五正弦信號五正弦信號 正弦信號的表達(dá)式為正弦信號的表達(dá)式為 : 3.6 其中其中A為幅值，為幅值，w =2p/T為角頻率。為角頻率。 圖圖3-5 正弦信號正弦信號 0 00tttAtr sin)(二、系統(tǒng)的性能目的二、系統(tǒng)的性能目的系統(tǒng)的瞬態(tài)性能通常以系統(tǒng)在初始條件為零的情況下，系統(tǒng)的瞬態(tài)性能通常以系統(tǒng)在初始條件為零的情況下，對單位階躍輸入信號的呼應(yīng)特

5、性來衡量，如圖對單位階躍輸入信號的呼應(yīng)特性來衡量，如圖3-63-6所所示。示。這時瞬態(tài)呼應(yīng)的性能目的有：這時瞬態(tài)呼應(yīng)的性能目的有： 1 1。最大超調(diào)量。最大超調(diào)量spsp呼應(yīng)曲線偏離穩(wěn)態(tài)值的最大值，呼應(yīng)曲線偏離穩(wěn)態(tài)值的最大值，常以百分比表示，即常以百分比表示，即 最大百分比超調(diào)量最大百分比超調(diào)量spsp最大超調(diào)量闡明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。最大超調(diào)量闡明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。 2 2。延滯時間。延滯時間tdtd呼應(yīng)曲線到達(dá)穩(wěn)態(tài)值呼應(yīng)曲線到達(dá)穩(wěn)態(tài)值50%50%所所需的時間，需的時間，稱為延滯時間。稱為延滯時間。%)()()(100cctcp3. 上升時間tr它有幾種定義： (1) 呼應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%

6、到90%所需時間； (2) 呼應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的5%到95%所需時間； (3) 呼應(yīng)曲線從零開場至第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時間。 普通對有振蕩的系統(tǒng)常用“(3)，對無振蕩的系統(tǒng)常用“(1)。4. 峰值時間tp呼應(yīng)曲線到達(dá)第一個峰值所需的時間，定義為峰值時間。 5. 調(diào)整時間ts呼應(yīng)曲線從零開場到進(jìn)入穩(wěn)態(tài)值的95%105%或98%102%誤差帶時所需求的時間，定義為調(diào)整時間。圖圖3-6 單位階躍呼應(yīng)單位階躍呼應(yīng) 對于恒值控制系統(tǒng)，它的主要義務(wù)是維持恒值輸出，擾動輸入為主要輸入，所以常以系統(tǒng)對單位擾動輸入信號時的呼應(yīng)特性來衡量瞬態(tài)性能。這時參考輸入不變、輸出的希望值不變，呼應(yīng)曲線圍繞原來任務(wù)形狀上下動

7、搖，如圖3-7所示。 可用一階微分方程描畫其動態(tài)過程的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。思索如圖3-8所示的一階系統(tǒng)，它代表一個電機(jī)的速度控制系統(tǒng)，其中t 是電機(jī)的時間常數(shù)。 該一階系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)為 (3.7) 三、瞬態(tài)呼應(yīng)分析三、瞬態(tài)呼應(yīng)分析 一一階系統(tǒng)的瞬態(tài)呼應(yīng)一一階系統(tǒng)的瞬態(tài)呼應(yīng)圖3-8 一階控制系統(tǒng) / ) 1(/1)()()(KsKKsKsRsCsGB 當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位階躍信號時，即r(t)=1(t)或R(s)=1/s，輸出呼應(yīng)的拉氏變換為 (3.8) 取C(s)的拉氏反變換，可得一階系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng)為 (3.9) 系統(tǒng)呼應(yīng)如圖3-9所示。 從圖中看出，呼應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為 (3.10)/ ) 1

8、() 1/() 1/(1/ ) 1(/)(KsKKsKKsKsKsC/ )1(11)(tKeKKKKtc1)(KKc圖3-9 一階系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng) 假設(shè)添加放大器增益K，可使穩(wěn)態(tài)值近似為1。實踐上，由于放大器的內(nèi)部噪聲隨增益的添加而增大，K不能夠為無窮大。而且，線性模型也僅在任務(wù)點附近的一定范圍內(nèi)成立。所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 (3.11) 不能夠為零。 系統(tǒng)的時間常數(shù)為 (3.12) 它可定義為系統(tǒng)呼應(yīng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的63.2%所需求的時間。11)(1)()(lim)(lim)(Kctctrteett1KT由式(3.9)，很容易找到系統(tǒng)輸出值與時間常數(shù)T的對應(yīng)關(guān)系：從中可以看出，呼應(yīng)曲線在經(jīng)過3T

9、5%誤差或4T2%誤差的時間后進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。 t = T， c(1T) = 0.632 c()t = 2T， c(2T) = 0.865c()t = 3T， c(3T) = 0.950c()t = 4T， c(4T) = 0.982c() 假設(shè)系統(tǒng)呼應(yīng)曲線以初始速率繼續(xù)添加，如圖3-9中 的c1(t)所示，T還可定義為c1(t)曲線到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需求 的時間。KeKttcttKt0/)1(0d)(d (3.13) 因此tKtc)(1當(dāng)t= T時，c1(t)曲線到達(dá)穩(wěn)態(tài)值，即1)(1KKTKTc， 所以1KT二二階系統(tǒng)的階躍呼應(yīng)二二階系統(tǒng)的階躍呼應(yīng) 在工程實踐中，三階或三階以以上的系統(tǒng)，常在工程實踐中

10、，三階或三階以以上的系統(tǒng)，?？梢越苹蚪惦A為二階系統(tǒng)處置?？梢越苹蚪惦A為二階系統(tǒng)處置。 圖3-10是典型二階系統(tǒng)的構(gòu)造圖，它的閉環(huán)傳送函數(shù)為2222nnnBsssG)( 由上式可看出，z 和wn是決議 二階系統(tǒng)動態(tài)特性的兩個非常重 要參數(shù)，其中z 稱為阻尼比，wn稱為無阻尼自然振蕩頻率.圖3-10 二階系統(tǒng) 例如圖2-2中R-電路，其傳送函數(shù)為 式中，無阻尼自然振蕩頻率 就是電路當(dāng)R=0時的諧振頻率；阻尼比 11)()()(0RCsLCssUsUsGrB2222211nnnBssLCsLRsLCsG2/)(2TTLCn1111111/TTTLCRLRnn22222 又如圖2-3中電樞控制的直

11、流電動機(jī)，輸出w 與電樞電壓ua之間傳送函數(shù)為 或 式中1/1)(2sTsTTKsGmmacB2222111/11)(nnncmaamacBssKTTsTsTTKsG2manTT1amanTTT2211 由式(3.14)描畫的系統(tǒng)特征方程為 (3.15)這是一個二階的代數(shù)方程，故有兩個特征方程根，分別為 (3.16)顯然，阻尼比不同，特征根的性質(zhì)就不同，系統(tǒng)的呼應(yīng)特性也就不同。0222nnss112122nnnnss 下面分別對二階系統(tǒng)在0 z 1三種情況下的階躍呼應(yīng)進(jìn)展討論。 1. 0z 1，稱為欠阻尼情況 按式(3.14)，系統(tǒng)傳送函數(shù)可寫為 GB(s)= (3.17) 它有一對共軛復(fù)數(shù)根

12、 (3.18) 式中 稱為有阻尼振蕩頻率。)(2dndnnjsjsdnjs2, 121nd 在初始條件為零，輸入信號為單位階躍信號r(t)=1(t)時，系統(tǒng)輸出的拉氏變換為 (3.19) 對式(3.19)求拉氏反變換，那么得系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng)c(t)： (3.20)()(222nnnssssC22222)()(1dnndnssss)sin1(cos1)()(2ttesCtcddtn1L L)11sin(111222arctantentn 它是一衰減的振蕩過程，如圖3-11所示，其振蕩頻率就是有阻尼振蕩頻率wd，而其幅值那么按指數(shù)曲線呼應(yīng)曲線的包絡(luò)線衰減，兩者均由參數(shù)z和wn決議。 (a)根分布

13、 (b)單位階躍呼應(yīng) 圖3-11 欠阻尼情況(0z 1) 根據(jù)以上分析，可得不同z值下的二階系統(tǒng)單位階躍呼應(yīng)曲線族,如圖3-14所示。由圖可見，在一定z值下,欠阻尼系統(tǒng)比臨界阻尼系統(tǒng)更快地到達(dá)穩(wěn)態(tài)值，所以普通系統(tǒng)大多設(shè)計成欠阻尼系統(tǒng)。 圖3-14 二階系統(tǒng)單位階躍呼應(yīng) 三二階系統(tǒng)的脈沖呼應(yīng)三二階系統(tǒng)的脈沖呼應(yīng) 當(dāng)輸入信號為單位脈沖信號當(dāng)輸入信號為單位脈沖信號d (t)，即，即R(s)=時，二階系統(tǒng)單位脈沖呼應(yīng)的拉氏變換為時，二階系統(tǒng)單位脈沖呼應(yīng)的拉氏變換為 (3.30) 對式對式(3.30)求拉氏反變換，得求拉氏反變換，得 (3.31) 可見，系統(tǒng)傳送函數(shù)的拉氏反變換就是系統(tǒng)的可見，系統(tǒng)傳送函

14、數(shù)的拉氏反變換就是系統(tǒng)的單位脈沖呼應(yīng)，所以脈沖呼應(yīng)和傳送函數(shù)一樣，都單位脈沖呼應(yīng)，所以脈沖呼應(yīng)和傳送函數(shù)一樣，都可以用來描畫系統(tǒng)的特征?？梢杂脕砻璁嬒到y(tǒng)的特征。2222)()()(nnnBsssRsGsC2)()(22211nnnBssLsGtcL L由式(3.31)，對于欠阻尼情況(0z 1)，有 (3.34) 圖3-15表示不同z值時的單位脈沖呼應(yīng)曲線。tetcntnn221sin1)(1)()1()1(222ttnnneetc2 圖3-15 二階系統(tǒng)單位脈沖呼應(yīng) 四二階系統(tǒng)的瞬態(tài)呼應(yīng)性能目的四二階系統(tǒng)的瞬態(tài)呼應(yīng)性能目的 通常，工程實踐中往往習(xí)慣把二階系統(tǒng)調(diào)整為通常，工程實踐中往往習(xí)慣把二

15、階系統(tǒng)調(diào)整為欠阻尼過程，由于此時系統(tǒng)的呼應(yīng)較快，且平穩(wěn)性欠阻尼過程，由于此時系統(tǒng)的呼應(yīng)較快，且平穩(wěn)性也較好。也較好。 對于單位階躍輸入作用下的欠阻尼系統(tǒng)，有：對于單位階躍輸入作用下的欠阻尼系統(tǒng)，有： 1. 上升時間上升時間tr 按式按式(3.20)，令，令c(tr)=1，就可求得，就可求得 0rdrdttsin1cos221rdttan 因此 (3.35) 式中 (3.36) 由式(3.35)可見，要使系統(tǒng)反響快，必需減小tr。因此當(dāng)z一定，wn必需加大；假設(shè)wn為固定值，那么z越小，tr也越小。 2. 峰值時間tp 按式(3.20)，對c(t)求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可得到21arctand

16、drt)1arctan(12 到達(dá)第一個峰值時 wd tp = p 所以 (3.37) 上式闡明，峰值時間tp與有阻尼振蕩頻率wd成反比。當(dāng)wn一定, z越小，tp也越小。0)sin()cos(pdnpddtt21ndpt21)tan(ndpdt 3. 最大超調(diào)量sp 以t= tp代入式(3.20)，可得到最大百分比超調(diào)量 (3.38) 由上式可見，最大百分比超調(diào)量完全由z決議，z越小，超調(diào)量越大。當(dāng)z =時，sp %= 100%，當(dāng)z =時，sp % =。sp與z的關(guān)系曲線見圖3-16。%21100ep圖3-16 sp與z的關(guān)系 4. 調(diào)理時間ts 根據(jù)定義可以求出調(diào)理時間ts，如圖3-17

17、所示。圖中T=1/zwn ，為c(t)包絡(luò)曲線的時間常數(shù)，在z =0.69(或0.77)，ts有最小值，以后ts隨z的增大而近乎線性地上升。圖3-17中曲線的不延續(xù)性是由于在z虛線附近略微變化會引起ts突變呵斥的，如圖3-18所示。 ts也可由式(3.21)的包絡(luò)線近似求得，即令e(t)的幅值 或0.02 (3.39)0.05tne211)1ln(120.05nst圖3-17 ts與z 的關(guān)系 圖3-18 z略微突變引起的ts突變當(dāng)z 0.9時，那么 (按到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的95%105%計) (3.40)或 (按到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的98%102%計) 由此可見, z wn大，ts就小，當(dāng)wn一定，那么ts與

18、z成反比，這與tp，tr與z的關(guān)系正好相反。 根據(jù)以上分析，如何選取z和wn來滿足系統(tǒng)設(shè)計要求，總結(jié)幾點如下： (1) 當(dāng)wn一定，要減小tr和tp，必需減少z值，要減少ts那么應(yīng)增大zwn值，而且z值有一定范圍，不能過大。 (2) 增大wn ，能使tr，tp和ts都減少。 (3) 最大超調(diào)量sp只由z決議, z越小，sp越大。所以，普通根據(jù)sp 的要求選擇z值，在實踐系統(tǒng)中，z值普通在0.50.8之間. Ttns33Ttns44四、線性定常系統(tǒng)的重要特性四、線性定常系統(tǒng)的重要特性 對于初始條件為零的線性定常系統(tǒng)，在輸入信對于初始條件為零的線性定常系統(tǒng)，在輸入信號號r(t)的作用下，其輸出的作用下，其輸出c(t)的拉氏變換為的拉氏變換為 C(s)=GB (s)R(s)。 假設(shè)系統(tǒng)的輸入為假設(shè)系統(tǒng)的輸入為 其拉氏變換為其拉氏變換為 這時系統(tǒng)的輸出為這時系統(tǒng)的輸出為 當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為原來輸入信號的導(dǎo)數(shù)時，當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為原來輸入信號的導(dǎo)數(shù)時，系統(tǒng)的輸出為原來輸出的導(dǎo)數(shù)。系統(tǒng)的輸出為原來輸出的導(dǎo)數(shù)。ttrtrd)(d)(1)(d)(d)(11ssRttrsRL L)()()()()()(11ssCssRsG