電磁場(chǎng)第四章習(xí)題解答

1、第四章習(xí)題解答4.1 如題4.1圖所示為一長(zhǎng)方形截面的導(dǎo)體槽，槽可視為無(wú)限長(zhǎng)，其上有一塊與槽相絕緣的蓋板，槽的電位為零，上邊蓋板的電位為，求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解 根據(jù)題意，電位滿足的邊界條件為 根據(jù)條件和，電位的通解應(yīng)取為 由條件，有兩邊同乘以，并從0到對(duì)積分，得到故得到槽內(nèi)的電位分布 4.2 兩平行無(wú)限大導(dǎo)體平面，距離為，其間有一極薄的導(dǎo)體片由到。上板和薄片保持電位，下板保持零電位，求板間電位的解。設(shè)在薄片平面上，從到，電位線性變化，。解 應(yīng)用疊加原理，設(shè)板間的電位為其中，為不存在薄片的平行無(wú)限大導(dǎo)體平面間（電壓為）的電位，即；是兩個(gè)電位為零的平行導(dǎo)體板間有導(dǎo)體薄片時(shí)的電位，其邊界條件為： 根

2、據(jù)條件和，可設(shè)的通解為 由條件有 兩邊同乘以，并從0到對(duì)積分，得到故得到 4.3 求在上題的解中，除開一項(xiàng)外，其他所有項(xiàng)對(duì)電場(chǎng)總儲(chǔ)能的貢獻(xiàn)。并按定出邊緣電容。解 在導(dǎo)體板（）上，相應(yīng)于的電荷面密度則導(dǎo)體板上（沿方向單位長(zhǎng)）相應(yīng)的總電荷相應(yīng)的電場(chǎng)儲(chǔ)能為 其邊緣電容為 4.4 如題4.4圖所示的導(dǎo)體槽，底面保持電位，其余兩面電位為零，求槽內(nèi)的電位的解。解 根據(jù)題意，電位滿足的邊界條件為 根據(jù)條件和，電位的通解應(yīng)取為 由條件，有 兩邊同乘以，并從0到對(duì)積分，得到故得到槽內(nèi)的電位分布為 4.5 一長(zhǎng)、寬、高分別為、的長(zhǎng)方體表面保持零電位，體積內(nèi)填充密度為的電荷。求體積內(nèi)的電位。解 在體積內(nèi)，電位滿足泊

3、松方程 （1）長(zhǎng)方體表面上，電位滿足邊界條件。由此設(shè)電位的通解為代入泊松方程（1），可得由此可得 或 （2）由式（2），可得故 4.6 如題4.6圖所示的一對(duì)無(wú)限大接地平行導(dǎo)體板，板間有一與軸平行的線電荷，其位置為。求板間的電位函數(shù)。解 由于在處有一與軸平行的線電荷，以為界將場(chǎng)空間分割為和兩個(gè)區(qū)域，則這兩個(gè)區(qū)域中的電位和都滿足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函數(shù)將線電荷表示成電荷面密度。電位的邊界條件為 由條件和，可設(shè)電位函數(shù)的通解為 由條件，有 （1） （2）由式（1），可得 （3）將式（2）兩邊同乘以，并從到對(duì)積分，有 （4）由式（3）和（4）解得 故 4.7 如題4.7圖所示的矩形導(dǎo)

4、體槽的電位為 零 ，槽中 有一與槽平行的線電荷。求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解 由于在處有一與軸平行的線電荷，以為界將場(chǎng)空間分割為和兩個(gè)區(qū)域，則這兩個(gè)區(qū)域中的電位和都滿足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函數(shù)將線電荷表示成電荷面密度，電位的邊界條件為 ， 由條件和，可設(shè)電位函數(shù)的通解為 由條件，有 （1） （2）由式（1），可得 （3）將式（2）兩邊同乘以，并從到對(duì)積分，有 （4）由式（3）和（4）解得 故 若以為界將場(chǎng)空間分割為和兩個(gè)區(qū)域，則可類似地得到 4.8 如題4.8圖所示，在均勻電場(chǎng)中垂直于電場(chǎng)方向放置一根無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱，圓柱的半徑為。求導(dǎo)體圓柱外的電位和電場(chǎng)以及導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷密度。解

5、在外電場(chǎng)作用下，導(dǎo)體表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷，圓柱外的電位是外電場(chǎng)的電位與感應(yīng)電荷的電位的疊加。由于導(dǎo)體圓柱為無(wú)限長(zhǎng)，所以電位與變量無(wú)關(guān)。在圓柱面坐標(biāo)系中，外電場(chǎng)的電位為（常數(shù)的值由參考點(diǎn)確定），而感應(yīng)電荷的電位應(yīng)與一樣按變化，而且在無(wú)限遠(yuǎn)處為0。由于導(dǎo)體是等位體，所以滿足的邊界條件為 由此可設(shè) 由條件，有 于是得到 故圓柱外的電位為若選擇導(dǎo)體圓柱表面為電位參考點(diǎn)，即，則。導(dǎo)體圓柱外的電場(chǎng)則為導(dǎo)體圓柱表面的電荷面密度為 4.9 在介電常數(shù)為的無(wú)限大的介質(zhì)中，沿軸方向開一個(gè)半徑為的圓柱形空腔。沿軸方向外加一均勻電場(chǎng)，求空腔內(nèi)和空腔外的電位函數(shù)。解 在電場(chǎng)的作用下，介質(zhì)產(chǎn)生極化，空腔表面形成極化電荷，空腔

6、內(nèi)、外的電場(chǎng)為外加電場(chǎng)與極化電荷的電場(chǎng)的疊加。外電場(chǎng)的電位為而感應(yīng)電荷的電位應(yīng)與一樣按變化，則空腔內(nèi)、外的電位分別為和的邊界條件為 時(shí)，； 時(shí)，為有限值； 時(shí)， ，由條件和，可設(shè) 帶入條件，有 ，由此解得 ， 所以 題4.10圖4.10 一個(gè)半徑為、無(wú)限長(zhǎng)的薄導(dǎo)體圓柱面被分割成四個(gè)四分之一圓柱面，如題4.10圖所示。第二象限和第四象限的四分之一圓柱面接地，第一象限和第三象限分別保持電位和。求圓柱面內(nèi)部的電位函數(shù)。解 由題意可知，圓柱面內(nèi)部的電位函數(shù)滿足邊界條件為 為有限值； ；由條件可知，圓柱面內(nèi)部的電位函數(shù)的通解為 代入條件，有 由此得到故 4.11 如題4.11圖所示，一無(wú)限長(zhǎng)介質(zhì)圓柱的半

7、徑為、介電常數(shù)為，在距離軸線處，有一與圓柱平行的線電荷，計(jì)算空間各部分的電位。解 在線電荷作用下，介質(zhì)圓柱產(chǎn)生極化，介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位均為線電荷的電位與極化電荷的電位的疊加，即。線電荷的電位為 （1）而極化電荷的電位滿足拉普拉斯方程，且是的偶函數(shù)。介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位和滿足的邊界條件為分別為 為有限值； 時(shí)，由條件和可知，和的通解為 （2） （3）將式（1）（3）帶入條件，可得到 （4） （5）當(dāng)時(shí)，將展開為級(jí)數(shù)，有 （6）帶入式（5），得 （7）由式（4）和（7），有 由此解得 ， 故得到圓柱內(nèi)、外的電位分別為 （8） （9）討論：利用式（6），可將式（8）和（9）中得第二項(xiàng)分別寫成為其中。因

8、此可將和分別寫成為 由所得結(jié)果可知，介質(zhì)圓柱內(nèi)的電位與位于（0）的線電荷的電位相同，而介質(zhì)圓柱外的電位相當(dāng)于三根線電荷所產(chǎn)生，它們分別為：位于（0）的線電荷；位于的線電荷；位于的線電荷。4.12 將上題的介質(zhì)圓柱改為導(dǎo)體圓柱，重新計(jì)算。解 導(dǎo)體圓柱內(nèi)的電位為常數(shù)，導(dǎo)體圓柱外的電位均為線電荷的電位與感應(yīng)電荷的電位的疊加，即。線電荷的電位為 （1）而感應(yīng)電荷的電位滿足拉普拉斯方程，且是的偶函數(shù)。滿足的邊界條件為 ； 。由于電位分布是的偶函數(shù)，并由條件可知，的通解為 （2）將式（1）和（2）帶入條件，可得到 （3）將展開為級(jí)數(shù)，有 （4）帶入式（3），得 （5）由此可得 ， 故導(dǎo)體圓柱外的電為 （6

9、）討論：利用式（4），可將式（6）中的第二項(xiàng)寫成為其中。因此可將寫成為由此可見，導(dǎo)體圓柱外的電位相當(dāng)于三根線電荷所產(chǎn)生，它們分別為：位于（0）的線電荷；位于的線電荷；位于的線電荷。4.13 在均勻外電場(chǎng)中放入半徑為的導(dǎo)體球，設(shè)（1）導(dǎo)體充電至；（2）導(dǎo)體上充有電荷。試分別計(jì)算兩種情況下球外的電位分布。解 （1）這里導(dǎo)體充電至應(yīng)理解為未加外電場(chǎng)時(shí)導(dǎo)體球相對(duì)于無(wú)限遠(yuǎn)處的電位為，此時(shí)導(dǎo)體球面上的電荷密度，總電荷。將導(dǎo)體球放入均勻外電場(chǎng)中后，在的作用下，產(chǎn)生感應(yīng)電荷，使球面上的電荷密度發(fā)生變化，但總電荷仍保持不變，導(dǎo)體球仍為等位體。設(shè)，其中是均勻外電場(chǎng)的電位，是導(dǎo)體球上的電荷產(chǎn)生的電位。電位滿足的邊界

10、條件為 時(shí)，； 時(shí)， ，其中為常數(shù)，若適當(dāng)選擇的參考點(diǎn)，可使。由條件，可設(shè) 代入條件，可得到 ，若使，可得到 （2）導(dǎo)體上充電荷時(shí)，令，有 利用（1）的結(jié)果，得到 4.14 如題4.14圖所示，無(wú)限大的介質(zhì)中外加均勻電場(chǎng)，在介質(zhì)中有一個(gè)半徑為的球形空腔。求空腔內(nèi)、外的電場(chǎng)和空腔表面的極化電荷密度（介質(zhì)的介電常數(shù)為）。解 在電場(chǎng)的作用下，介質(zhì)產(chǎn)生極化，空腔表面形成極化電荷，空腔內(nèi)、外的電場(chǎng)為外加電場(chǎng)與極化電荷的電場(chǎng)的疊加。設(shè)空腔內(nèi)、外的電位分別為和，則邊界條件為 時(shí)，； 時(shí)，為有限值； 時(shí)， ，由條件和，可設(shè)帶入條件，有，由此解得 ，所以 空腔內(nèi)、外的電場(chǎng)為空腔表面的極化電荷面密度為4.15 如

11、題4.15圖所示，空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)、外半徑分別為和，球的中心放置一個(gè)電偶極子，球殼上的電荷量為。試計(jì)算球內(nèi)、外的電位分布和球殼上的電荷分布。解 導(dǎo)體球殼將空間分割為內(nèi)外兩個(gè)區(qū)域，電偶極子在球殼內(nèi)表面上引起感應(yīng)電荷分布，但內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷總量為零，因此球殼外表面上電荷總量為，且均勻分布在外表面上。球殼外的場(chǎng)可由高斯定理求得為外表面上的電荷面密度為 設(shè)球內(nèi)的電位為，其中是電偶極子的電位，是球殼內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷的電位。滿足的邊界條件為 為有限值； ，即，所以由條件可知的通解為 由條件，有 比較兩端的系數(shù)，得到， ， 最后得到 球殼內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷面密度為 感應(yīng)電荷的總量為 4.16 欲在一個(gè)半

12、徑為的球上繞線圈使在球內(nèi)產(chǎn)生均勻場(chǎng)，問線圈應(yīng)如何繞（即求繞線的密度）？解 設(shè)球內(nèi)的均勻場(chǎng)為，球外的場(chǎng)為，如題4.16圖所示。根據(jù)邊界條件，球面上的電流面密度為若令，則得到球面上的電流面密度為 這表明球面上的繞線密度正比于，則將在球內(nèi)產(chǎn)生均勻場(chǎng)。4.17 一個(gè)半徑為的介質(zhì)球帶有均勻極化強(qiáng)度。（1）證明：球內(nèi)的電場(chǎng)是均勻的，等于；（2）證明：球外的電場(chǎng)與一個(gè)位于球心的偶極子產(chǎn)生的電場(chǎng)相同，。解 （1）當(dāng)介質(zhì)極化后，在介質(zhì)中會(huì)形成極化電荷分布，本題中所求的電場(chǎng)即為極化電荷所產(chǎn)生的場(chǎng)。由于是均勻極化，介質(zhì)球體內(nèi)不存在極化電荷，僅在介質(zhì)球面上有極化電荷面密度，球內(nèi)、外的電位滿足拉普拉斯方程，可用分離變量

13、法求解。建立如題4.17圖所示的坐標(biāo)系，則介質(zhì)球面上的極化電荷面密度為介質(zhì)球內(nèi)、外的電位和滿足的邊界條件為 為有限值； ； 因此，可設(shè)球內(nèi)、外電位的通解為由條件，有 ，解得 ， 于是得到球內(nèi)的電位 故球內(nèi)的電場(chǎng)為 （2）介質(zhì)球外的電位為其中為介質(zhì)球的體積。故介質(zhì)球外的電場(chǎng)為可見介質(zhì)球外的電場(chǎng)與一個(gè)位于球心的偶極子產(chǎn)生的電場(chǎng)相同。4.18 半徑為的接地導(dǎo)體球，離球心處放置一個(gè)點(diǎn)電荷，如題4.18圖所示。用分離變量法求電位分布。解 球外的電位是點(diǎn)電荷的電位與球面上感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位的疊加，感應(yīng)電荷的電位滿足拉普拉斯方程。用分離變量法求解電位分布時(shí)，將點(diǎn)電荷的電位在球面上按勒讓德多項(xiàng)式展開，即可由邊

14、界條件確定通解中的系數(shù)。設(shè)，其中是點(diǎn)電荷的電位，是導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位。電位滿足的邊界條件為 時(shí)，； 時(shí)， 。 由條件，可得的通解為為了確定系數(shù)，利用的球坐標(biāo)展開式將在球面上展開為 代入條件，有 比較的系數(shù)，得到 故得到球外的電位為 討論：將的第二項(xiàng)與的球坐標(biāo)展開式比較，可得到由此可見，的第二項(xiàng)是位于的一個(gè)點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電位，此電荷正是球面上感應(yīng)電荷的等效電荷，即像電荷。題4.19圖4.19 一根密度為、長(zhǎng)為2的線電荷沿軸放置，中心在原點(diǎn)上。證明：對(duì)于的點(diǎn)，有解 線電荷產(chǎn)生的電位為對(duì)于的點(diǎn)，有故得到4.20 一個(gè)半徑為的細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)，環(huán)與平面重合，中心在原點(diǎn)上，環(huán)上總電荷量為，如題4.20

15、圖所示。證明：空間任意點(diǎn)電位為 解 以細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)所在的球面把場(chǎng)區(qū)分為兩部分，分別寫出兩個(gè)場(chǎng)域的通解，并利用函數(shù)將細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)上的線電荷表示成球面上的電荷面密度題 4.20圖再根據(jù)邊界條件確定系數(shù)。設(shè)球面內(nèi)、外的電位分別為和，則邊界條件為： 為有限值； ， 根據(jù)條件和，可得和的通解為 （1） （2）代入條件，有 （3） （4）將式（4）兩端同乘以，并從0到對(duì)進(jìn)行積分，得 （5）其中 由式（3）和（5），解得 ，代入式（1）和（2），即得到 4.21 一個(gè)點(diǎn)電荷與無(wú)限大導(dǎo)體平面距離為，如果把它移到無(wú)窮遠(yuǎn)處，需要作多少功？解 利用鏡像法求解。當(dāng)點(diǎn)電荷移動(dòng)到距離導(dǎo)體平面為的點(diǎn)處時(shí)，其像電荷，與導(dǎo)體平面相

16、距為，如題4.21圖所示。像電荷在點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為所以將點(diǎn)電荷移到無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，電場(chǎng)所作的功為 外力所作的功為 4.22 如題4.22圖所示，一個(gè)點(diǎn)電荷放在的接地導(dǎo)體角域內(nèi)的點(diǎn)處。求：（1）所有鏡像電荷的位置和大小；（2）點(diǎn)處的電位。解 （1）這是一個(gè)多重鏡像的問題，共有5個(gè)像電荷，分布在以點(diǎn)電荷到角域頂點(diǎn)的距離為半徑的圓周上，并且關(guān)于導(dǎo)體平面對(duì)稱，其電荷量的大小等于，且正負(fù)電荷交錯(cuò)分布，其大小和位置分別為 （2）點(diǎn)處電位 4.23 一個(gè)電荷量為、質(zhì)量為的小帶電體，放置在無(wú)限大導(dǎo)體平面下方，與平面相距為。求的值以使帶電體上受到的靜電力恰與重力相平衡（設(shè)，）。解 將小帶電體視為點(diǎn)電荷，導(dǎo)體平面上的

17、感應(yīng)電荷對(duì)的靜電力等于鏡像電荷對(duì)的作用力。根據(jù)鏡像法可知，鏡像電荷為，位于導(dǎo)體平面上方為處，則小帶電體受到的靜電力為 令的大小與重力相等，即 于是得到 4.24 如題4.24（）圖所示，在的下半空間是介電常數(shù)為的介質(zhì)，上半空間為空氣，距離介質(zhì)平面距為處有一點(diǎn)電荷，求：（1）和的兩個(gè)半空間內(nèi)的電位；（2）介質(zhì)表面上的極化電荷密度，并證明表面上極化電荷總電量等于鏡像電荷。解 （1）在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)作用下，介質(zhì)分界面上出現(xiàn)極化電荷，利用鏡像電荷替代介質(zhì)分界面上的極化電荷。根據(jù)鏡像法可知，鏡像電荷分布為（如題4.24圖（）、（）所示），位于 ， 位于 上半空間內(nèi)的電位由點(diǎn)電荷和鏡像電荷共同產(chǎn)生，即 下半

18、空間內(nèi)的電位由點(diǎn)電荷和鏡像電荷共同產(chǎn)生，即 （2）由于分界面上無(wú)自由電荷分布，故極化電荷面密度為極化電荷總電量為4.25 一個(gè)半徑為的導(dǎo)體球帶有電荷量為，在球體外距離球心為處有一個(gè)點(diǎn)電荷。（1）求點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球之間的靜電力；（2）證明：當(dāng)與同號(hào)，且成立時(shí)，表現(xiàn)為吸引力。 解 （1）導(dǎo)體球上除帶有電荷量之外，點(diǎn)電荷還要在導(dǎo)體球上感應(yīng)出等量異號(hào)的兩種不同電荷。根據(jù)鏡像法，像電荷和的大小和位置分別為（如題4.25圖所示）， ， 導(dǎo)體球自身所帶的電荷則與位于球心的點(diǎn)電荷等效。故點(diǎn)電荷受到的靜電力為（2）當(dāng)與同號(hào)，且表現(xiàn)為吸引力，即時(shí)，則應(yīng)有由此可得出 4.26 兩個(gè)點(diǎn)電荷和，在一個(gè)半徑為的導(dǎo)體球直徑的延長(zhǎng)線上，分別位于導(dǎo)體球的兩側(cè)且距球心為。（1）證明：鏡像電荷構(gòu)成一個(gè)電偶極子，位于球心，電偶極矩為；（2）令和分別趨于無(wú)窮，同時(shí)保持不變，計(jì)算球外的電場(chǎng)。 解 （1）點(diǎn)電荷和都要在球面上引起等量異號(hào)的感應(yīng)電荷，可分別按照點(diǎn)電荷與不接地導(dǎo)體球面的鏡像確定其等效的像電荷。根據(jù)鏡像法，點(diǎn)電荷的像電荷為， 位于：題4.26圖，位于：而點(diǎn)電荷的像電荷為， 位于：，位于：如題4.26圖所示。由此可見，像電荷和等值異號(hào)，且同時(shí)位于球心，故球心處總的像電荷為零；而像電荷和也等值異號(hào)，且位置關(guān)于球心對(duì)稱，故構(gòu)成位于球心的電偶極子，其電偶極矩為