剛體轉(zhuǎn)動(Motion

1、Chap 3 剛體轉(zhuǎn)動（剛體轉(zhuǎn)動（Motion of Rigid Body）概要：實際的物體運動不總是可以看成質(zhì)點的概要：實際的物體運動不總是可以看成質(zhì)點的運動。運動。一、何謂剛體一、何謂剛體在任何情況下形狀和大小都不發(fā)生變化的在任何情況下形狀和大小都不發(fā)生變化的物體。即每個質(zhì)元之間的距離無論運動或物體。即每個質(zhì)元之間的距離無論運動或受外力時都保持不變。受外力時都保持不變。 mi mjcrji二、剛體運動的兩種基本形式二、剛體運動的兩種基本形式平動平動-剛體運動時，剛體內(nèi)任一直線恒剛體運動時，剛體內(nèi)任一直線恒保持平行的運動保持平行的運動 mi mj mi mj mi mj mi mj mi m

2、j二、剛體運動的兩種基本形式二、剛體運動的兩種基本形式1) 平動平動-剛體運動時，剛體內(nèi)任一直線剛體運動時，剛體內(nèi)任一直線恒保持平行的運動恒保持平行的運動 mi mj mi mjirjr mi mjOijr選取參考選取參考點點O，則：，則：) 1 (ijijrrrijvvijaacrij對（對（1）式求導(dǎo)：）式求導(dǎo)： mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj結(jié)論：結(jié)論：剛體平動時，其上各點具有相同的速度、剛體平動時，其上各點具有相同的速度、加速度、及相同的軌跡加速度、及相同的軌跡。只要找到一點的運動。只要找到一點的運動規(guī)律，剛體的運動規(guī)律便全知道了。事

3、實上這規(guī)律，剛體的運動規(guī)律便全知道了。事實上這一點已經(jīng)知道一點已經(jīng)知道-質(zhì)心運動已告訴了我們。也就質(zhì)心運動已告訴了我們。也就是說質(zhì)心運動定理是反映物體平動規(guī)律。是說質(zhì)心運動定理是反映物體平動規(guī)律。2）轉(zhuǎn)動）轉(zhuǎn)動:定軸轉(zhuǎn)動和定點轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動和定點轉(zhuǎn)動剛體的各質(zhì)元在運動中都繞一固定軸作圓周運剛體的各質(zhì)元在運動中都繞一固定軸作圓周運動，動，稱為剛體作定軸轉(zhuǎn)動。稱為剛體作定軸轉(zhuǎn)動。OO定點轉(zhuǎn)動：繞一固定點定點轉(zhuǎn)動：繞一固定點轉(zhuǎn)動。如陀螺。轉(zhuǎn)動。如陀螺。3）剛體的一）剛體的一 般運動般運動一般運動：總可以看成是一個隨質(zhì)心的平動加上一般運動：總可以看成是一個隨質(zhì)心的平動加上繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動組合。平動轉(zhuǎn)動繞質(zhì)心

4、的轉(zhuǎn)動組合。平動轉(zhuǎn)動三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度ivr ip在在p點取一質(zhì)點，點取一質(zhì)點，irop iirv iinrwa2)( iitra )(iirv 20021tt t 0)(20202 剛體作勻角加速度定軸轉(zhuǎn)動剛體作勻角加速度定軸轉(zhuǎn)動OXY剛體的平動動能剛體的平動動能niiikvmE1221平221CMv mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMCCv其平動動能應(yīng)為各質(zhì)元動能和。其平動動能應(yīng)為各質(zhì)元動能和。vc為質(zhì)心為質(zhì)心的速度的速度 miMCCv3-2轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能 轉(zhuǎn)動慣量

5、轉(zhuǎn)動慣量一、轉(zhuǎn)動動能一、轉(zhuǎn)動動能Mnimmmm21, 剛體的動能應(yīng)為各質(zhì)元動能剛體的動能應(yīng)為各質(zhì)元動能之和，為此將剛體分割成很之和，為此將剛體分割成很多很小的質(zhì)元多很小的質(zhì)元222221)(2121iiiiiirmrmvmimir任取一質(zhì)元任取一質(zhì)元 距轉(zhuǎn)軸距轉(zhuǎn)軸 ，則該質(zhì)元動能：，則該質(zhì)元動能：故剛體的動能：故剛體的動能：212221)(2121 niiiiinikrmrmE剛體繞定軸以角速度剛體繞定軸以角速度 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)ivimr i質(zhì)量不連續(xù)分布（離散）質(zhì)量不連續(xù)分布（離散）212)(21 niiikrmE221021limiininmkrmEi22221)(21 Idmr 221 IEk

6、 質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布0imMivimr idmrI2令 dmrrmIiii22質(zhì)量不連續(xù)分布質(zhì)量不連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布221mvEk 221 IEk I轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 dVdsddm 線分布線分布m/面分布面分布m/S體分布體分布m/V二、決定轉(zhuǎn)動慣量的三因素二、決定轉(zhuǎn)動慣量的三因素hO質(zhì)質(zhì)BAX3）剛體轉(zhuǎn)軸的位置剛體轉(zhuǎn)軸的位置。 （如細棒繞中心、繞一端）（如細棒繞中心、繞一端）1）剛體的質(zhì)量剛體的質(zhì)量；2）剛體的質(zhì)量分布剛體的質(zhì)量分布；（如圓（如圓 環(huán)與圓盤的不同）；環(huán)與圓盤的不同）；例例1）求質(zhì)量為求質(zhì)量為m,長為長為L的均勻細棒對下面三種的均勻細棒對下面三種 轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)

7、動慣量：轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：轉(zhuǎn)軸通過棒的中心轉(zhuǎn)軸通過棒的中心o并與棒垂直并與棒垂直轉(zhuǎn)軸通過棒的一端轉(zhuǎn)軸通過棒的一端B并與棒垂直并與棒垂直轉(zhuǎn)軸通過棒上距質(zhì)心為轉(zhuǎn)軸通過棒上距質(zhì)心為h的一點的一點A 并與棒垂直并與棒垂直hO質(zhì)質(zhì)BAXdxxdm已知已知：L、m求：求：IO、IB、IA解：解：以棒中心為原點建立坐標以棒中心為原點建立坐標OX、將棒分、將棒分割割 成許多質(zhì)元成許多質(zhì)元dm.dxdmLm/求：求：IO2312112mLL 求：求：IBdmxLdmrIB22)2(23313mLL 2/2/2)2/(LLdxxLdxdmLm/22222LLodxxdmxdmrIhO質(zhì)質(zhì)BAXdmLdxx dmrI

8、A2求求IALhL 2312 2/2/2)(LLdxxh 22121mhmL 2mh 222)2(12131LmmLmLIIOB 222121)121(mLmhmLIIOA 注意注意：dxdmLm/hO質(zhì)質(zhì)BAXdmLdxx2mh222)()2(12131LmmLmLIIOB 質(zhì)心質(zhì)心222)(121)121(mLmhmLIIOA 質(zhì)心質(zhì)心或：或：2)2(LmIIcB 2mhIIcA 注意注意：dxdmhO質(zhì)質(zhì)BALm/ XdmLdxx平行軸定理平行軸定理：剛體對任一軸：剛體對任一軸A的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量IA和和通過質(zhì)心并與通過質(zhì)心并與A軸平行的轉(zhuǎn)軸平行的轉(zhuǎn)動慣量動慣量Ic有如下關(guān)系：有如下關(guān)

9、系：2mdIICA m為剛體的質(zhì)量、為剛體的質(zhì)量、d為軸為軸A與軸與軸C之間的垂直距離之間的垂直距離 MCAd正交軸定理正交軸定理：（僅適用于薄板狀剛體）：（僅適用于薄板狀剛體） （zx、y，xy軸在剛體平面內(nèi)軸在剛體平面內(nèi)Iz繞垂直其平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，繞垂直其平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，Ix，Iy在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)兩個正交軸的轉(zhuǎn)動慣量。在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)兩個正交軸的轉(zhuǎn)動慣量。yxzIII 例題例題2）半徑為半徑為R的質(zhì)量均勻分布的細圓環(huán)及薄的質(zhì)量均勻分布的細圓環(huán)及薄圓盤，質(zhì)量均為圓盤，質(zhì)量均為m，試分別求出對通過質(zhì)心并，試分別求出對通過質(zhì)心并與環(huán)面或盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。與環(huán)面或盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣

10、量。RR例題例題2）半徑為半徑為R的質(zhì)量均勻分布的細圓環(huán)及薄的質(zhì)量均勻分布的細圓環(huán)及薄圓盤，質(zhì)量均為圓盤，質(zhì)量均為m，試分別求出對通過質(zhì)心并，試分別求出對通過質(zhì)心并與環(huán)面或盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。與環(huán)面或盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。RR解：（解：（1）細圓環(huán)）細圓環(huán)Rdldldm LCdlRdmRI 222222mRRRdlRL 解：（解：（2）薄圓盤）薄圓盤rdrr2drrdrds2drrdmrdI322 rdrdsdm2例題例題2）半徑為半徑為R的質(zhì)量均勻分布的細圓環(huán)及薄的質(zhì)量均勻分布的細圓環(huán)及薄圓盤，質(zhì)量均為圓盤，質(zhì)量均為m，試分別求出對通過質(zhì)心并，試分別求出對通過質(zhì)心并與環(huán)面或盤面垂直

11、的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。與環(huán)面或盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。RdrrdIIRmC302 2）薄圓盤薄圓盤r2rdrds2drrdmrdI322 rdrdsdm2424Rdrrdr221mR4242RRm例例3）求一質(zhì)量為）求一質(zhì)量為m的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑為軸的轉(zhuǎn)動慣量。為軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：一球繞解：一球繞Z軸旋轉(zhuǎn)，離球軸旋轉(zhuǎn)，離球心心Z高處切一厚為高處切一厚為dz的薄圓的薄圓盤。其半徑為盤。其半徑為22ZRrdZZRdZrdV)(222dZZRdVdm)(22dZZRdmrdI2222)(2121 其體積：其體積：其質(zhì)量：其質(zhì)量：其轉(zhuǎn)動慣量：其轉(zhuǎn)動慣量：YXZORrd ZZ

12、dmrdI221 2552158mRR334Rm dIIRRdZZR222)(21YXZORrd ZdZZR222)(21Am, m,R 例例3 系統(tǒng)由一個細桿和一個小球組成，求繞過系統(tǒng)由一個細桿和一個小球組成，求繞過A點的軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量。點的軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量。球球桿桿解解：IIIA 231mlI 桿桿2)(lRmIIOA 球球球球由由平平行行軸軸定定理理：252mRIO 球球222)(5231lRmmRmlIA 練習七練習七3-3 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律Frp FrM矢量式：矢量式：sinrFM 力矩：力矩：注意注意：單位：米單位：米.牛頓牛頓1）力）力 必須在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)：必須在轉(zhuǎn)

13、動平面內(nèi)：FFrM FF2）若力）若力 不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)， 分解成分解成,/平面平面，F(xiàn)F平面平面/FrM 一、力矩一、力矩3）若剛體受）若剛體受N個外力作用，個外力作用，NFFF,21iiiiFrM合力是連續(xù)的力是連續(xù)的FdrM合iiiNNiiFrFrFrFrMM2211合力不連續(xù)力不連續(xù)例例1，均勻細桿，在平面內(nèi)以角速度，均勻細桿，在平面內(nèi)以角速度轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動，求M摩擦力摩擦力。rrdrdm解解力是連續(xù)的力是連續(xù)的 FdrM合合其中：其中：drlmggdmdF 所以所以mglrdrlmgrdFMl 2110 合合F例例2，現(xiàn)有一圓盤在平面內(nèi)以角速度，現(xiàn)有一圓盤在平面內(nèi)以角速度

14、轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動，求摩擦力產(chǎn)生的力矩（摩擦力產(chǎn)生的力矩（、m、R）。）。rdr解解rdrRmdsdm 22 取細圓環(huán)為質(zhì)元取細圓環(huán)為質(zhì)元rdrRmgrgdmrrfdM 22 gmRdrrRmgdMMR 322022 要揭示轉(zhuǎn)動慣量的物理意義，實際上是要找到一個要揭示轉(zhuǎn)動慣量的物理意義，實際上是要找到一個類似于牛頓定律的規(guī)律類似于牛頓定律的規(guī)律轉(zhuǎn)動定律。轉(zhuǎn)動定律。二、轉(zhuǎn)動定律二、轉(zhuǎn)動定律OziriFiF內(nèi)ii剛體可看成是由許多小質(zhì)元剛體可看成是由許多小質(zhì)元組成，在組成，在p點取一質(zhì)元，點取一質(zhì)元，iiirdmm),( 受力：外力受力：外力 ，與，與 成成 角角iFiri合內(nèi)力合內(nèi)力 ，與，與 成成

15、角角iF內(nèi)內(nèi)iri)(itiniiiiiaamamFF 內(nèi)內(nèi)- )()()()(itiiniiitiniiiiiararmaarmFFr 內(nèi)內(nèi)用 左叉乘式ir0 iniar)()(itiiiiiarmFFr 內(nèi)內(nèi),0traiit 2iitirar - iiiiiirmFrFr2)( 內(nèi)內(nèi) )(2 iiiiiiiiirmFrFr內(nèi)內(nèi)對整個剛體，對對整個剛體，對式求和式求和0 iiiFr內(nèi)內(nèi))(2 iiirmI IFrMiii 合外力合外力IM 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律注意：注意：M、I、都是相對于同一轉(zhuǎn)軸而言。都是相對于同一轉(zhuǎn)軸而言。IM定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律：繞某定軸轉(zhuǎn)動的剛體，所受：繞某定軸轉(zhuǎn)動的

16、剛體，所受合外力矩在該軸上的分量等于剛體對該軸的合外力矩在該軸上的分量等于剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積。轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積。IM 或或說明說明：1）定律是瞬時對應(yīng)關(guān)系；定律是瞬時對應(yīng)關(guān)系；如圖可將力分解為兩個如圖可將力分解為兩個力，只求那個垂直于軸力，只求那個垂直于軸的力的力矩就可以了。的力的力矩就可以了。ZFF F ZMr2）,JM應(yīng)是對同應(yīng)是對同一軸而言的一軸而言的如何求力對軸的矩呢？如何求力對軸的矩呢？3 3）轉(zhuǎn)動定律說明了）轉(zhuǎn)動定律說明了I I是物體轉(zhuǎn)動慣性大小的量是物體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。因為：度。因為：IM一定時I即即I越大的物體，保持原來轉(zhuǎn)動狀態(tài)的性質(zhì)就越大的物體，

17、保持原來轉(zhuǎn)動狀態(tài)的性質(zhì)就越強，轉(zhuǎn)動慣性就越大；反之，越強，轉(zhuǎn)動慣性就越大；反之，I越小，越容越小，越容易改變狀態(tài)，保持原有狀態(tài)的能力越弱。或易改變狀態(tài)，保持原有狀態(tài)的能力越弱?；蛘哒f轉(zhuǎn)動慣性越小。者說轉(zhuǎn)動慣性越小。如一個外徑和質(zhì)量相同的實心圓柱與如一個外徑和質(zhì)量相同的實心圓柱與空心圓筒，若空心圓筒，若 受力和力矩一樣，誰轉(zhuǎn)受力和力矩一樣，誰轉(zhuǎn)動得快些呢？動得快些呢？IMMM紙風車紙風車不敢！不敢！電風扇電風扇沒事！沒事！T例例1:一質(zhì)量一質(zhì)量m1為的物體繞在一半徑為為的物體繞在一半徑為r質(zhì)量為質(zhì)量為m2的圓盤上的圓盤上,開紿時靜止開紿時靜止,求重物的加速度、繩中的張力和求重物的加速度、繩中的張

18、力和t時刻重物下時刻重物下降多高降多高?(繩的質(zhì)量與軸上的磨擦力不計繩的質(zhì)量與軸上的磨擦力不計).rm2m1m1grm2gTTN已知已知: m1 、m2、r求：求：a、T、h解：建立轉(zhuǎn)動軸的正解：建立轉(zhuǎn)動軸的正方向，加速度的正方方向，加速度的正方向向.T隔離物體分析力：隔離物體分析力：列方程：列方程：a+ +m1g - T= m1a.(1)Tr=I (2)221mrI (3)a = r (4)(5)T=TraTrm2m1m1grm2gTTNTa+ +m1g - T= m1a.(1)Tr=J (2)221mrI (3)a = r (4)(5)T=TT=T=J rm1g - = m1aI rm1g

19、 - = m1r I r =m1grm1r2+Im1grm1r2+ m2r212=2m1g(2m1+m2)r=a = r =2m1g2m1+m2由由(2)式式:代入代入(1)式式:所以所以:Trm2m1m1grm2gTTNTa+ +m1g - T= m1a.(1)Tr=J (2)221mrJ (3)a = r (4)(5)T=Ta = r 221ath m1gt22m1+m2=注意注意: a等于常數(shù)且初速為零等于常數(shù)且初速為零!T=T=J r2m1g(2m1+m2)r= T=m1m2g2m1+m2所以所以:2m1g2m1+m2=m1g2T1Tr1T2Tgm2Ngm1gm3M2a1armmm.3

20、21求求：2121.TTaa解解：以：以.321mmm為研究為研究對象。對象。受力分析受力分析：,:111Tgmm,:222TgmmNgmm,:3321,TT21.TTr例例2）質(zhì)量分別為）質(zhì)量分別為m1。m2的物體通過輕繩掛在質(zhì)的物體通過輕繩掛在質(zhì)量為量為m m3 3半徑為半徑為 的圓盤形滑輪上。求物體的圓盤形滑輪上。求物體m m1 1。m m2 2運動的加速度以及繩子張力運動的加速度以及繩子張力, ,（繩子質(zhì)（繩子質(zhì)量不計）量不計）已知已知：抵消抵消建立軸的正向建立軸的正向：（力矩投：（力矩投影的正方向）影的正方向）m1m2)3(21IrTrT)5(21raa)1(1111amTgm)4(

21、2123rmI 321212121)(mmmgmmaa列方程：列方程：)2(2222amgmT+線量的正方向應(yīng)滿足線量的正方向應(yīng)滿足解上面五式得：解上面五式得：ra2T1Tr1T2Tgm2Ngm1gm3M2a1am1m23213121121212mmmgmmgmmT321212121)(mmmgmmaa3213221221212mmmgmmgmmT討論：當討論：當03m時時212121)(mmgmmaa+2T1Tr1T2Tgm2Ngm1gm3M2a1am1m22121212mmgmmTT例例3 3）一靜止剛體受到一等于）一靜止剛體受到一等于M M0 0（N.m)N.m)的不變力矩的不變力矩的作

22、用的作用, ,同時又引起一阻力矩同時又引起一阻力矩M M1 1， M1M1與剛體轉(zhuǎn)動與剛體轉(zhuǎn)動的角速度成正比的角速度成正比, ,即即| M| M1 1 |= |= a a (Nm),(a(Nm),(a為常數(shù)為常數(shù)) )。又已知剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為又已知剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J,J,試求剛體角速試求剛體角速度變化的規(guī)律。度變化的規(guī)律。M+M0M1已知：已知：M0M1= a I |t=0=0求：求： （t）=？解：解： 1）以剛體為研究對象；）以剛體為研究對象；2）分析受力矩）分析受力矩3）建立軸的正方向；）建立軸的正方向；4）列方程：）列方程：IMM10JM+M0M1=a 解：解：4）列方程：

23、）列方程：IMM10IMM10IaM0IaMdtd0IdtaMd0tIdtaMd000ItMaMa)(ln100IateMaM00)1 (10IateMa分離變量：分離變量：練習六練習六OzFrsdd35力矩的功力矩的功 定軸轉(zhuǎn)動的動能定理定軸轉(zhuǎn)動的動能定理一、力矩的功一、力矩的功cosdddsFsFAcosddsFsFAsinsindFrdsFA090MddFrsin力矩的功力矩的功MdA是剛體在力矩的作用下轉(zhuǎn)過的角度是剛體在力矩的作用下轉(zhuǎn)過的角度rdds 設(shè)一細桿的質(zhì)量為設(shè)一細桿的質(zhì)量為m，長為，長為L，一端支以樞軸，一端支以樞軸而能自由旋轉(zhuǎn)，設(shè)此桿自水平靜止釋放。求：而能自由旋轉(zhuǎn)，設(shè)此桿

24、自水平靜止釋放。求：重力矩的功重力矩的功當桿到達鉛直位置當桿到達鉛直位置時重力矩所作的功時重力矩所作的功 ZFNmgL以桿為研究對象以桿為研究對象 受力：受力：mg，F(xiàn)N2sin2cos2)90sin(220200LmgLmgdLmgdLmgMdA12)(21pppEEEmgLA二、剛體的重力勢能二、剛體的重力勢能CpmgZE ZC質(zhì)心距質(zhì)心距0勢能面的距離勢能面的距離 mgL)cos2(LLmg三、剛體轉(zhuǎn)動動能定理三、剛體轉(zhuǎn)動動能定理力矩的功定義式力矩的功定義式MddA dI ddtdIdIOM1XM21X1221考慮一個過程，設(shè)在力考慮一個過程，設(shè)在力矩作用下，剛體的角位矩作用下，剛體的角

25、位置由置由角速度由角速度由21MddA 21MdA21222121II21dI2122212121IIMd此稱剛體轉(zhuǎn)動此稱剛體轉(zhuǎn)動的動能定理的動能定理定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定理定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定理：外力矩對轉(zhuǎn)動剛體：外力矩對轉(zhuǎn)動剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。四、剛體的機械能守恒四、剛體的機械能守恒若剛體系統(tǒng)若剛體系統(tǒng) ，則剛體的機械能，則剛體的機械能守恒守恒E1E2。0非保守外AA例例1 設(shè)一細桿的質(zhì)量為設(shè)一細桿的質(zhì)量為m，長為，長為L，一端支以樞，一端支以樞軸而能自由旋轉(zhuǎn)，設(shè)此桿自水平靜止釋放。求：軸而能自由旋轉(zhuǎn)，設(shè)此桿自水平靜止釋放。求：當桿過鉛直位

26、置當桿過鉛直位置時的角加速度時的角加速度、角速度以及角速度以及此時此時A A和和C C點的線速度量值。點的線速度量值。1）以桿為研究對象）以桿為研究對象 受力：受力： mg，N（不產(chǎn)生（不產(chǎn)生對軸的力矩）對軸的力矩）建立建立OXYZ坐標系坐標系 ZNmgYX OL解解(一一)CAM建立建立OXYZOXYZ坐標系（并以坐標系（并以Z Z軸為轉(zhuǎn)動量的正方向）軸為轉(zhuǎn)動量的正方向）sin2LmgM sin2331sin2LgmLmgJM231mLJ ZmgYX ON) 1 (rLg 2/32/00則則 L故取正值。故取正值。Fr沿沿Z軸正向，軸正向，2） =？dtddddtd)2sin(23LgdLg

27、dcos23兩邊積分：兩邊積分：dLgdcos232/00 sin23LgZmgYX ONr dd2） =？ZmgYXONr dLgcos232/00dLgLg23sin23212/02Lg3gLLgLLvc32132121 gLLgLLvA33 解解( (二二) )：考慮桿從水平靜止轉(zhuǎn)到鉛直方向：考慮桿從水平靜止轉(zhuǎn)到鉛直方向的過程，重力做功，角速度從的過程，重力做功，角速度從 0 - 0 - 依動能定理依動能定理2022121JJA力矩 YXO220LmgLmg ）（ZmgNr 12)(pppEEEA 力力矩矩可得可得Lg3231mLJ 例例2，勁度系數(shù)為，勁度系數(shù)為k的輕彈簧，一端固定另一

28、端通的輕彈簧，一端固定另一端通過一定滑輪系一質(zhì)量為過一定滑輪系一質(zhì)量為m的物體，滑輪半徑為的物體，滑輪半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量為轉(zhuǎn)動慣量為I，繩與滑輪無相對滑動，求物體從彈，繩與滑輪無相對滑動，求物體從彈簧原長時開始簧原長時開始(靜止靜止)下落到下落到h距離時的速度？距離時的速度？kmI,Rh解解機械能守恒機械能守恒222212121 Imvkhmgh Rv 解之，可得解之，可得222RImkhmghv 一）定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理積分形式一）定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理積分形式dtIddtdIIM)(122121IILddtMLLtt定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理積分形式定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理積分形式FZMZ3-5 角動

29、量定理、角動量守恒定律角動量定理、角動量守恒定律 IL 剛體的角動量：剛體的角動量：dtLdM 角動量定理微分形式角動量定理微分形式設(shè)設(shè) 時間內(nèi)，剛體角速度由時間內(nèi)，剛體角速度由2121tt 角沖量角沖量1221IIdtMtt角動量的增量角動量的增量注意：注意：1 1）角沖量又叫沖量矩，）角沖量又叫沖量矩，故此定理又叫沖量矩定理故此定理又叫沖量矩定理dtFrFr2 2）該定理也適應(yīng)于剛體、變剛體和繞某一定）該定理也適應(yīng)于剛體、變剛體和繞某一定點轉(zhuǎn)動的質(zhì)點：點轉(zhuǎn)動的質(zhì)點：1221 CCttCIIdtM 三、一長為l、質(zhì)量為m的均勻細桿，可繞軸O軸轉(zhuǎn)動。桌面與細桿間的滑動摩擦系數(shù)為，桿初始轉(zhuǎn)速為，

30、求：（1）細桿受的摩擦力矩；（2）從到停止轉(zhuǎn)動共經(jīng)歷的時間；（3）從到停止轉(zhuǎn)動共轉(zhuǎn)了多少圈（如圖）。Ox0 圖gdxgdmdflm,mgllggdxxxdfdMMl2120解解：（1） 00IIIMtglmglmlMIt 3221310020 （2）（一）用動量矩定律：）（一）用動量矩定律： lgIM23t0glt3200（二）亦可用轉(zhuǎn)動定律：（二）亦可用轉(zhuǎn)動定律： （3）（一）用運動學方法：）（一）用運動學方法：glgllgglttN 6202230223213202222102 或 22002 gl 322020 gln 6220 （二）動能定理：（二）動能定理： 20210 IM glm

31、gLmlMI 3213121212020220 glN 6220 2211II或或:二）定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒二）定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒,0iiM,12CLLL則若定軸轉(zhuǎn)動的剛體所受對轉(zhuǎn)軸的合外力矩若定軸轉(zhuǎn)動的剛體所受對轉(zhuǎn)軸的合外力矩恒為零，則剛體對該軸的角動量保持不變。恒為零，則剛體對該軸的角動量保持不變。) 0( ZZZMCI 注意：角動量守恒定理不僅對剛體成立而且對注意：角動量守恒定理不僅對剛體成立而且對非非 剛體也成立。剛體也成立。一般有三種情況：一般有三種情況：A A：I I不變，不變， 也不變，保持勻速轉(zhuǎn)動。也不變，保持勻速轉(zhuǎn)動。B B：I I發(fā)生變化，但發(fā)生變化，但I I 不變，則不

32、變，則 要發(fā)生改變。要發(fā)生改變。C C：開始不旋轉(zhuǎn)的物體，當其一開始不旋轉(zhuǎn)的物體，當其一部分旋轉(zhuǎn)時，必引起另一部分部分旋轉(zhuǎn)時，必引起另一部分朝另一反方向旋轉(zhuǎn)。朝另一反方向旋轉(zhuǎn)。直升飛機后面的螺旋漿直升飛機后面的螺旋漿雙漿直升飛機雙漿直升飛機例例1 1：質(zhì)量為：質(zhì)量為M M、半徑為、半徑為R R的轉(zhuǎn)臺，可繞通過中心的轉(zhuǎn)臺，可繞通過中心的豎直軸轉(zhuǎn)動。質(zhì)量為的豎直軸轉(zhuǎn)動。質(zhì)量為m m的人站在邊沿上，人和轉(zhuǎn)的人站在邊沿上，人和轉(zhuǎn)臺原來都靜止。如果人沿臺邊緣奔跑一周，求對臺原來都靜止。如果人沿臺邊緣奔跑一周，求對地而言，人和轉(zhuǎn)臺各轉(zhuǎn)動了多少角度？地而言，人和轉(zhuǎn)臺各轉(zhuǎn)動了多少角度？已知已知：0,RmM求求

33、：臺人,解解：以：以M。m為研究對象為研究對象 0外力矩M故角動量守恒故角動量守恒以地面為參照，建立軸以地面為參照，建立軸的正方向如圖：的正方向如圖：+MXm)1(0 臺臺人人 II02122臺人MRmR)2(2臺人mMttdtmMdt002臺人因人和臺原來都靜止故因人和臺原來都靜止故角動量角動量臺人,（2）式）式dt積分：積分：+MXm若人和轉(zhuǎn)臺的角速度分別為若人和轉(zhuǎn)臺的角速度分別為人臺ttdtmMdt002臺人) 3(2臺人mM)4(2 臺人mMm4臺mMM2人人+MX臺mAAm人臺子彈射入之前子彈射入之前子彈射入之后子彈射入之后MmvMM+mgNOM+NOmg已知已知：vmlM,求求：?

34、解解：例例2 2：一木桿長：一木桿長 可繞光滑端軸可繞光滑端軸O O旋轉(zhuǎn)。設(shè)這旋轉(zhuǎn)。設(shè)這時有一質(zhì)量為時有一質(zhì)量為m m的子彈以水平速度的子彈以水平速度 射入桿射入桿端并箝端并箝 入桿內(nèi)，求桿偏轉(zhuǎn)的角度。入桿內(nèi)，求桿偏轉(zhuǎn)的角度。vl射入前后的過程射入前后的過程角角 動動 量量 守守 恒！恒！在此過程中在此過程中N和和mg的力矩的角沖量可視為零的力矩的角沖量可視為零m1ZL2ZLmlvL 1 )31(222mlMlIL 系統(tǒng)在子彈射入之后的角動量系統(tǒng)在子彈射入之后的角動量：系統(tǒng)在子彈射入之前的角動量系統(tǒng)在子彈射入之前的角動量：) 1 ()31(lmMmv)31(22mlMlmlv依角動量守恒定理：依角動量守恒定理：子彈射入之前子彈射入之前mvMM+O1ZL以以M、m為研究對象，建立軸的正方向。為研究對象，建立軸的正方向。子彈射入之后子彈射入之后O2ZL以以M、m、地球地球為研究對象，為研究對象，以桿端為勢能零點以桿端為勢能零點初態(tài)的機械能初態(tài)的機械能22121lMgIE 末