剛體轉(zhuǎn)動(dòng)(Motion

1、Chap 3 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體轉(zhuǎn)動(dòng)（Motion of Rigid Body）概要：實(shí)際的物體運(yùn)動(dòng)不總是可以看成質(zhì)點(diǎn)的概要：實(shí)際的物體運(yùn)動(dòng)不總是可以看成質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。一、何謂剛體一、何謂剛體在任何情況下形狀和大小都不發(fā)生變化的在任何情況下形狀和大小都不發(fā)生變化的物體。即每個(gè)質(zhì)元之間的距離無論運(yùn)動(dòng)或物體。即每個(gè)質(zhì)元之間的距離無論運(yùn)動(dòng)或受外力時(shí)都保持不變。受外力時(shí)都保持不變。 mi mjcrji二、剛體運(yùn)動(dòng)的兩種基本形式二、剛體運(yùn)動(dòng)的兩種基本形式平動(dòng)平動(dòng)-剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)任一直線恒剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)任一直線恒保持平行的運(yùn)動(dòng)保持平行的運(yùn)動(dòng) mi mj mi mj mi mj mi mj mi m

2、j二、剛體運(yùn)動(dòng)的兩種基本形式二、剛體運(yùn)動(dòng)的兩種基本形式1) 平動(dòng)平動(dòng)-剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)任一直線剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)任一直線恒保持平行的運(yùn)動(dòng)恒保持平行的運(yùn)動(dòng) mi mj mi mjirjr mi mjOijr選取參考選取參考點(diǎn)點(diǎn)O，則：，則：) 1 (ijijrrrijvvijaacrij對(duì)（對(duì)（1）式求導(dǎo)：）式求導(dǎo)： mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj mi mj結(jié)論：結(jié)論：剛體平動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)具有相同的速度、剛體平動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)具有相同的速度、加速度、及相同的軌跡加速度、及相同的軌跡。只要找到一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。只要找到一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律便全知道了。事

3、實(shí)上這規(guī)律，剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律便全知道了。事實(shí)上這一點(diǎn)已經(jīng)知道一點(diǎn)已經(jīng)知道-質(zhì)心運(yùn)動(dòng)已告訴了我們。也就質(zhì)心運(yùn)動(dòng)已告訴了我們。也就是說質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理是反映物體平動(dòng)規(guī)律。是說質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理是反映物體平動(dòng)規(guī)律。2）轉(zhuǎn)動(dòng)）轉(zhuǎn)動(dòng):定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的各質(zhì)元在運(yùn)動(dòng)中都繞一固定軸作圓周運(yùn)剛體的各質(zhì)元在運(yùn)動(dòng)中都繞一固定軸作圓周運(yùn)動(dòng)，動(dòng)，稱為剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。稱為剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。OO定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：繞一固定點(diǎn)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：繞一固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。如陀螺。轉(zhuǎn)動(dòng)。如陀螺。3）剛體的一）剛體的一 般運(yùn)動(dòng)般運(yùn)動(dòng)一般運(yùn)動(dòng)：總可以看成是一個(gè)隨質(zhì)心的平動(dòng)加上一般運(yùn)動(dòng)：總可以看成是一個(gè)隨質(zhì)心的平動(dòng)加上繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)組合。平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)繞質(zhì)心

4、的轉(zhuǎn)動(dòng)組合。平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度ivr ip在在p點(diǎn)取一質(zhì)點(diǎn)，點(diǎn)取一質(zhì)點(diǎn)，irop iirv iinrwa2)( iitra )(iirv 20021tt t 0)(20202 剛體作勻角加速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體作勻角加速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)OXY剛體的平動(dòng)動(dòng)能剛體的平動(dòng)動(dòng)能niiikvmE1221平221CMv mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMC mi mjMCCv其平動(dòng)動(dòng)能應(yīng)為各質(zhì)元?jiǎng)幽芎汀Ｆ淦絼?dòng)動(dòng)能應(yīng)為各質(zhì)元?jiǎng)幽芎汀c為質(zhì)心為質(zhì)心的速度的速度 miMCCv3-2轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

5、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能一、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能Mnimmmm21, 剛體的動(dòng)能應(yīng)為各質(zhì)元?jiǎng)幽軇傮w的動(dòng)能應(yīng)為各質(zhì)元?jiǎng)幽苤停瑸榇藢傮w分割成很之和，為此將剛體分割成很多很小的質(zhì)元多很小的質(zhì)元222221)(2121iiiiiirmrmvmimir任取一質(zhì)元任取一質(zhì)元 距轉(zhuǎn)軸距轉(zhuǎn)軸 ，則該質(zhì)元?jiǎng)幽埽海瑒t該質(zhì)元?jiǎng)幽埽汗蕜傮w的動(dòng)能：故剛體的動(dòng)能：212221)(2121 niiiiinikrmrmE剛體繞定軸以角速度剛體繞定軸以角速度 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)ivimr i質(zhì)量不連續(xù)分布（離散）質(zhì)量不連續(xù)分布（離散）212)(21 niiikrmE221021limiininmkrmEi22221)(21 Idmr 221 IEk

6、 質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布0imMivimr idmrI2令 dmrrmIiii22質(zhì)量不連續(xù)分布質(zhì)量不連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布221mvEk 221 IEk I轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 dVdsddm 線分布線分布m/面分布面分布m/S體分布體分布m/V二、決定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三因素二、決定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三因素hO質(zhì)質(zhì)BAX3）剛體轉(zhuǎn)軸的位置剛體轉(zhuǎn)軸的位置。 （如細(xì)棒繞中心、繞一端）（如細(xì)棒繞中心、繞一端）1）剛體的質(zhì)量剛體的質(zhì)量；2）剛體的質(zhì)量分布剛體的質(zhì)量分布；（如圓（如圓 環(huán)與圓盤的不同）；環(huán)與圓盤的不同）；例例1）求質(zhì)量為求質(zhì)量為m,長(zhǎng)為長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)棒對(duì)下面三種的均勻細(xì)棒對(duì)下面三種 轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)

7、動(dòng)慣量：轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：轉(zhuǎn)軸通過棒的中心轉(zhuǎn)軸通過棒的中心o并與棒垂直并與棒垂直轉(zhuǎn)軸通過棒的一端轉(zhuǎn)軸通過棒的一端B并與棒垂直并與棒垂直轉(zhuǎn)軸通過棒上距質(zhì)心為轉(zhuǎn)軸通過棒上距質(zhì)心為h的一點(diǎn)的一點(diǎn)A 并與棒垂直并與棒垂直hO質(zhì)質(zhì)BAXdxxdm已知已知：L、m求：求：IO、IB、IA解：解：以棒中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)以棒中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)OX、將棒分、將棒分割割 成許多質(zhì)元成許多質(zhì)元dm.dxdmLm/求：求：IO2312112mLL 求：求：IBdmxLdmrIB22)2(23313mLL 2/2/2)2/(LLdxxLdxdmLm/22222LLodxxdmxdmrIhO質(zhì)質(zhì)BAXdmLdxx dmrI

8、A2求求IALhL 2312 2/2/2)(LLdxxh 22121mhmL 2mh 222)2(12131LmmLmLIIOB 222121)121(mLmhmLIIOA 注意注意：dxdmLm/hO質(zhì)質(zhì)BAXdmLdxx2mh222)()2(12131LmmLmLIIOB 質(zhì)心質(zhì)心222)(121)121(mLmhmLIIOA 質(zhì)心質(zhì)心或：或：2)2(LmIIcB 2mhIIcA 注意注意：dxdmhO質(zhì)質(zhì)BALm/ XdmLdxx平行軸定理平行軸定理：剛體對(duì)任一軸：剛體對(duì)任一軸A的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IA和和通過質(zhì)心并與通過質(zhì)心并與A軸平行的轉(zhuǎn)軸平行的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量動(dòng)慣量Ic有如下關(guān)系：有如下關(guān)

9、系：2mdIICA m為剛體的質(zhì)量、為剛體的質(zhì)量、d為軸為軸A與軸與軸C之間的垂直距離之間的垂直距離 MCAd正交軸定理正交軸定理：（僅適用于薄板狀剛體）：（僅適用于薄板狀剛體） （zx、y，xy軸在剛體平面內(nèi)軸在剛體平面內(nèi)Iz繞垂直其平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，繞垂直其平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Ix，Iy在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)兩個(gè)正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)兩個(gè)正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。yxzIII 例題例題2）半徑為半徑為R的質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)及薄的質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)及薄圓盤，質(zhì)量均為圓盤，質(zhì)量均為m，試分別求出對(duì)通過質(zhì)心并，試分別求出對(duì)通過質(zhì)心并與環(huán)面或盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。與環(huán)面或盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

10、量。RR例題例題2）半徑為半徑為R的質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)及薄的質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)及薄圓盤，質(zhì)量均為圓盤，質(zhì)量均為m，試分別求出對(duì)通過質(zhì)心并，試分別求出對(duì)通過質(zhì)心并與環(huán)面或盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。與環(huán)面或盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。RR解：（解：（1）細(xì)圓環(huán)）細(xì)圓環(huán)Rdldldm LCdlRdmRI 222222mRRRdlRL 解：（解：（2）薄圓盤）薄圓盤rdrr2drrdrds2drrdmrdI322 rdrdsdm2例題例題2）半徑為半徑為R的質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)及薄的質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)及薄圓盤，質(zhì)量均為圓盤，質(zhì)量均為m，試分別求出對(duì)通過質(zhì)心并，試分別求出對(duì)通過質(zhì)心并與環(huán)面或盤面垂直

11、的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。與環(huán)面或盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。RdrrdIIRmC302 2）薄圓盤薄圓盤r2rdrds2drrdmrdI322 rdrdsdm2424Rdrrdr221mR4242RRm例例3）求一質(zhì)量為）求一質(zhì)量為m的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：一球繞解：一球繞Z軸旋轉(zhuǎn)，離球軸旋轉(zhuǎn)，離球心心Z高處切一厚為高處切一厚為dz的薄圓的薄圓盤。其半徑為盤。其半徑為22ZRrdZZRdZrdV)(222dZZRdVdm)(22dZZRdmrdI2222)(2121 其體積：其體積：其質(zhì)量：其質(zhì)量：其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：YXZORrd ZZ

12、dmrdI221 2552158mRR334Rm dIIRRdZZR222)(21YXZORrd ZdZZR222)(21Am, m,R 例例3 系統(tǒng)由一個(gè)細(xì)桿和一個(gè)小球組成，求繞過系統(tǒng)由一個(gè)細(xì)桿和一個(gè)小球組成，求繞過A點(diǎn)的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。點(diǎn)的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。球球桿桿解解：IIIA 231mlI 桿桿2)(lRmIIOA 球球球球由由平平行行軸軸定定理理：252mRIO 球球222)(5231lRmmRmlIA 練習(xí)七練習(xí)七3-3 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律Frp FrM矢量式：矢量式：sinrFM 力矩：力矩：注意注意：?jiǎn)挝唬好讍挝唬好?牛頓牛頓1）力）力 必須在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)：必須在轉(zhuǎn)

13、動(dòng)平面內(nèi)：FFrM FF2）若力）若力 不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)， 分解成分解成,/平面平面，F(xiàn)F平面平面/FrM 一、力矩一、力矩3）若剛體受）若剛體受N個(gè)外力作用，個(gè)外力作用，NFFF,21iiiiFrM合力是連續(xù)的力是連續(xù)的FdrM合iiiNNiiFrFrFrFrMM2211合力不連續(xù)力不連續(xù)例例1，均勻細(xì)桿，在平面內(nèi)以角速度，均勻細(xì)桿，在平面內(nèi)以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)，求M摩擦力摩擦力。rrdrdm解解力是連續(xù)的力是連續(xù)的 FdrM合合其中：其中：drlmggdmdF 所以所以mglrdrlmgrdFMl 2110 合合F例例2，現(xiàn)有一圓盤在平面內(nèi)以角速度，現(xiàn)有一圓盤在平面內(nèi)以角速度

14、轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)，求摩擦力產(chǎn)生的力矩（摩擦力產(chǎn)生的力矩（、m、R）。）。rdr解解rdrRmdsdm 22 取細(xì)圓環(huán)為質(zhì)元取細(xì)圓環(huán)為質(zhì)元rdrRmgrgdmrrfdM 22 gmRdrrRmgdMMR 322022 要揭示轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義，實(shí)際上是要找到一個(gè)要揭示轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義，實(shí)際上是要找到一個(gè)類似于牛頓定律的規(guī)律類似于牛頓定律的規(guī)律轉(zhuǎn)動(dòng)定律。轉(zhuǎn)動(dòng)定律。二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律OziriFiF內(nèi)ii剛體可看成是由許多小質(zhì)元?jiǎng)傮w可看成是由許多小質(zhì)元組成，在組成，在p點(diǎn)取一質(zhì)元，點(diǎn)取一質(zhì)元，iiirdmm),( 受力：外力受力：外力 ，與，與 成成 角角iFiri合內(nèi)力合內(nèi)力 ，與，與 成成

15、角角iF內(nèi)內(nèi)iri)(itiniiiiiaamamFF 內(nèi)內(nèi)- )()()()(itiiniiitiniiiiiararmaarmFFr 內(nèi)內(nèi)用 左叉乘式ir0 iniar)()(itiiiiiarmFFr 內(nèi)內(nèi),0traiit 2iitirar - iiiiiirmFrFr2)( 內(nèi)內(nèi) )(2 iiiiiiiiirmFrFr內(nèi)內(nèi)對(duì)整個(gè)剛體，對(duì)對(duì)整個(gè)剛體，對(duì)式求和式求和0 iiiFr內(nèi)內(nèi))(2 iiirmI IFrMiii 合外力合外力IM 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律注意：注意：M、I、都是相對(duì)于同一轉(zhuǎn)軸而言。都是相對(duì)于同一轉(zhuǎn)軸而言。IM定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：繞某定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，所受：繞某定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的

16、剛體，所受合外力矩在該軸上的分量等于剛體對(duì)該軸的合外力矩在該軸上的分量等于剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積。IM 或或說明說明：1）定律是瞬時(shí)對(duì)應(yīng)關(guān)系；定律是瞬時(shí)對(duì)應(yīng)關(guān)系；如圖可將力分解為兩個(gè)如圖可將力分解為兩個(gè)力，只求那個(gè)垂直于軸力，只求那個(gè)垂直于軸的力的力矩就可以了。的力的力矩就可以了。ZFF F ZMr2）,JM應(yīng)是對(duì)同應(yīng)是對(duì)同一軸而言的一軸而言的如何求力對(duì)軸的矩呢？如何求力對(duì)軸的矩呢？3 3）轉(zhuǎn)動(dòng)定律說明了）轉(zhuǎn)動(dòng)定律說明了I I是物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量是物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。因?yàn)椋憾取Ｒ驗(yàn)椋篒M一定時(shí)I即即I越大的物體，保持原來轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的性質(zhì)就越大的物體，

17、保持原來轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的性質(zhì)就越強(qiáng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性就越大；反之，越強(qiáng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性就越大；反之，I越小，越容越小，越容易改變狀態(tài)，保持原有狀態(tài)的能力越弱?；蛞赘淖儬顟B(tài)，保持原有狀態(tài)的能力越弱?；蛘哒f轉(zhuǎn)動(dòng)慣性越小。者說轉(zhuǎn)動(dòng)慣性越小。如一個(gè)外徑和質(zhì)量相同的實(shí)心圓柱與如一個(gè)外徑和質(zhì)量相同的實(shí)心圓柱與空心圓筒，若空心圓筒，若 受力和力矩一樣，誰轉(zhuǎn)受力和力矩一樣，誰轉(zhuǎn)動(dòng)得快些呢？動(dòng)得快些呢？IMMM紙風(fēng)車紙風(fēng)車不敢！不敢！電風(fēng)扇電風(fēng)扇沒事！沒事！T例例1:一質(zhì)量一質(zhì)量m1為的物體繞在一半徑為為的物體繞在一半徑為r質(zhì)量為質(zhì)量為m2的圓盤上的圓盤上,開紿時(shí)靜止開紿時(shí)靜止,求重物的加速度、繩中的張力和求重物的加速度、繩中的張

18、力和t時(shí)刻重物下時(shí)刻重物下降多高降多高?(繩的質(zhì)量與軸上的磨擦力不計(jì)繩的質(zhì)量與軸上的磨擦力不計(jì)).rm2m1m1grm2gTTN已知已知: m1 、m2、r求：求：a、T、h解：建立轉(zhuǎn)動(dòng)軸的正解：建立轉(zhuǎn)動(dòng)軸的正方向，加速度的正方方向，加速度的正方向向.T隔離物體分析力：隔離物體分析力：列方程：列方程：a+ +m1g - T= m1a.(1)Tr=I (2)221mrI (3)a = r (4)(5)T=TraTrm2m1m1grm2gTTNTa+ +m1g - T= m1a.(1)Tr=J (2)221mrI (3)a = r (4)(5)T=TT=T=J rm1g - = m1aI rm1g

19、 - = m1r I r =m1grm1r2+Im1grm1r2+ m2r212=2m1g(2m1+m2)r=a = r =2m1g2m1+m2由由(2)式式:代入代入(1)式式:所以所以:Trm2m1m1grm2gTTNTa+ +m1g - T= m1a.(1)Tr=J (2)221mrJ (3)a = r (4)(5)T=Ta = r 221ath m1gt22m1+m2=注意注意: a等于常數(shù)且初速為零等于常數(shù)且初速為零!T=T=J r2m1g(2m1+m2)r= T=m1m2g2m1+m2所以所以:2m1g2m1+m2=m1g2T1Tr1T2Tgm2Ngm1gm3M2a1armmm.3

20、21求求：2121.TTaa解解：以：以.321mmm為研究為研究對(duì)象。對(duì)象。受力分析受力分析：,:111Tgmm,:222TgmmNgmm,:3321,TT21.TTr例例2）質(zhì)量分別為）質(zhì)量分別為m1。m2的物體通過輕繩掛在質(zhì)的物體通過輕繩掛在質(zhì)量為量為m m3 3半徑為半徑為 的圓盤形滑輪上。求物體的圓盤形滑輪上。求物體m m1 1。m m2 2運(yùn)動(dòng)的加速度以及繩子張力運(yùn)動(dòng)的加速度以及繩子張力, ,（繩子質(zhì)（繩子質(zhì)量不計(jì)）量不計(jì)）已知已知：抵消抵消建立軸的正向建立軸的正向：（力矩投：（力矩投影的正方向）影的正方向）m1m2)3(21IrTrT)5(21raa)1(1111amTgm)4(

21、2123rmI 321212121)(mmmgmmaa列方程：列方程：)2(2222amgmT+線量的正方向應(yīng)滿足線量的正方向應(yīng)滿足解上面五式得：解上面五式得：ra2T1Tr1T2Tgm2Ngm1gm3M2a1am1m23213121121212mmmgmmgmmT321212121)(mmmgmmaa3213221221212mmmgmmgmmT討論：當(dāng)討論：當(dāng)03m時(shí)時(shí)212121)(mmgmmaa+2T1Tr1T2Tgm2Ngm1gm3M2a1am1m22121212mmgmmTT例例3 3）一靜止剛體受到一等于）一靜止剛體受到一等于M M0 0（N.m)N.m)的不變力矩的不變力矩的作

22、用的作用, ,同時(shí)又引起一阻力矩同時(shí)又引起一阻力矩M M1 1， M1M1與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度成正比的角速度成正比, ,即即| M| M1 1 |= |= a a (Nm),(a(Nm),(a為常數(shù)為常數(shù)) )。又已知?jiǎng)傮w對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為又已知?jiǎng)傮w對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,J,試求剛體角速試求剛體角速度變化的規(guī)律。度變化的規(guī)律。M+M0M1已知：已知：M0M1= a I |t=0=0求：求： （t）=？解：解： 1）以剛體為研究對(duì)象；）以剛體為研究對(duì)象；2）分析受力矩）分析受力矩3）建立軸的正方向；）建立軸的正方向；4）列方程：）列方程：IMM10JM+M0M1=a 解：解：4）列方程：

23、）列方程：IMM10IMM10IaM0IaMdtd0IdtaMd0tIdtaMd000ItMaMa)(ln100IateMaM00)1 (10IateMa分離變量：分離變量：練習(xí)六練習(xí)六OzFrsdd35力矩的功力矩的功 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理一、力矩的功一、力矩的功cosdddsFsFAcosddsFsFAsinsindFrdsFA090MddFrsin力矩的功力矩的功MdA是剛體在力矩的作用下轉(zhuǎn)過的角度是剛體在力矩的作用下轉(zhuǎn)過的角度rdds 設(shè)一細(xì)桿的質(zhì)量為設(shè)一細(xì)桿的質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為L(zhǎng)，一端支以樞軸，一端支以樞軸而能自由旋轉(zhuǎn)，設(shè)此桿自水平靜止釋放。求：而能自由旋轉(zhuǎn)，設(shè)此桿

24、自水平靜止釋放。求：重力矩的功重力矩的功當(dāng)桿到達(dá)鉛直位置當(dāng)桿到達(dá)鉛直位置時(shí)重力矩所作的功時(shí)重力矩所作的功 ZFNmgL以桿為研究對(duì)象以桿為研究對(duì)象 受力：受力：mg，F(xiàn)N2sin2cos2)90sin(220200LmgLmgdLmgdLmgMdA12)(21pppEEEmgLA二、剛體的重力勢(shì)能二、剛體的重力勢(shì)能CpmgZE ZC質(zhì)心距質(zhì)心距0勢(shì)能面的距離勢(shì)能面的距離 mgL)cos2(LLmg三、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理三、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理力矩的功定義式力矩的功定義式MddA dI ddtdIdIOM1XM21X1221考慮一個(gè)過程，設(shè)在力考慮一個(gè)過程，設(shè)在力矩作用下，剛體的角位矩作用下，剛體的角

25、位置由置由角速度由角速度由21MddA 21MdA21222121II21dI2122212121IIMd此稱剛體轉(zhuǎn)動(dòng)此稱剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理：外力矩對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體：外力矩對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。四、剛體的機(jī)械能守恒四、剛體的機(jī)械能守恒若剛體系統(tǒng)若剛體系統(tǒng) ，則剛體的機(jī)械能，則剛體的機(jī)械能守恒守恒E1E2。0非保守外AA例例1 設(shè)一細(xì)桿的質(zhì)量為設(shè)一細(xì)桿的質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為L(zhǎng)，一端支以樞，一端支以樞軸而能自由旋轉(zhuǎn)，設(shè)此桿自水平靜止釋放。求：軸而能自由旋轉(zhuǎn)，設(shè)此桿自水平靜止釋放。求：當(dāng)桿過鉛直位

26、置當(dāng)桿過鉛直位置時(shí)的角加速度時(shí)的角加速度、角速度以及角速度以及此時(shí)此時(shí)A A和和C C點(diǎn)的線速度量值。點(diǎn)的線速度量值。1）以桿為研究對(duì)象）以桿為研究對(duì)象 受力：受力： mg，N（不產(chǎn)生（不產(chǎn)生對(duì)軸的力矩）對(duì)軸的力矩）建立建立OXYZ坐標(biāo)系坐標(biāo)系 ZNmgYX OL解解(一一)CAM建立建立OXYZOXYZ坐標(biāo)系（并以坐標(biāo)系（并以Z Z軸為轉(zhuǎn)動(dòng)量的正方向）軸為轉(zhuǎn)動(dòng)量的正方向）sin2LmgM sin2331sin2LgmLmgJM231mLJ ZmgYX ON) 1 (rLg 2/32/00則則 L故取正值。故取正值。Fr沿沿Z軸正向，軸正向，2） =？dtddddtd)2sin(23LgdLg

27、dcos23兩邊積分：兩邊積分：dLgdcos232/00 sin23LgZmgYX ONr dd2） =？ZmgYXONr dLgcos232/00dLgLg23sin23212/02Lg3gLLgLLvc32132121 gLLgLLvA33 解解( (二二) )：考慮桿從水平靜止轉(zhuǎn)到鉛直方向：考慮桿從水平靜止轉(zhuǎn)到鉛直方向的過程，重力做功，角速度從的過程，重力做功，角速度從 0 - 0 - 依動(dòng)能定理依動(dòng)能定理2022121JJA力矩 YXO220LmgLmg ）（ZmgNr 12)(pppEEEA 力力矩矩可得可得Lg3231mLJ 例例2，勁度系數(shù)為，勁度系數(shù)為k的輕彈簧，一端固定另一

28、端通的輕彈簧，一端固定另一端通過一定滑輪系一質(zhì)量為過一定滑輪系一質(zhì)量為m的物體，滑輪半徑為的物體，滑輪半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，繩與滑輪無相對(duì)滑動(dòng)，求物體從彈，繩與滑輪無相對(duì)滑動(dòng)，求物體從彈簧原長(zhǎng)時(shí)開始簧原長(zhǎng)時(shí)開始(靜止靜止)下落到下落到h距離時(shí)的速度？距離時(shí)的速度？kmI,Rh解解機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒222212121 Imvkhmgh Rv 解之，可得解之，可得222RImkhmghv 一）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理積分形式一）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理積分形式dtIddtdIIM)(122121IILddtMLLtt定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理積分形式定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理積分形式FZMZ3-5 角動(dòng)

29、量定理、角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量定理、角動(dòng)量守恒定律 IL 剛體的角動(dòng)量：剛體的角動(dòng)量：dtLdM 角動(dòng)量定理微分形式角動(dòng)量定理微分形式設(shè)設(shè) 時(shí)間內(nèi)，剛體角速度由時(shí)間內(nèi)，剛體角速度由2121tt 角沖量角沖量1221IIdtMtt角動(dòng)量的增量角動(dòng)量的增量注意：注意：1 1）角沖量又叫沖量矩，）角沖量又叫沖量矩，故此定理又叫沖量矩定理故此定理又叫沖量矩定理dtFrFr2 2）該定理也適應(yīng)于剛體、變剛體和繞某一定）該定理也適應(yīng)于剛體、變剛體和繞某一定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)：點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)：1221 CCttCIIdtM 三、一長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)桿，可繞軸O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。桌面與細(xì)桿間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，桿初始轉(zhuǎn)速為，

30、求：（1）細(xì)桿受的摩擦力矩；（2）從到停止轉(zhuǎn)動(dòng)共經(jīng)歷的時(shí)間；（3）從到停止轉(zhuǎn)動(dòng)共轉(zhuǎn)了多少圈（如圖）。Ox0 圖gdxgdmdflm,mgllggdxxxdfdMMl2120解解：（1） 00IIIMtglmglmlMIt 3221310020 （2）（一）用動(dòng)量矩定律：）（一）用動(dòng)量矩定律： lgIM23t0glt3200（二）亦可用轉(zhuǎn)動(dòng)定律：（二）亦可用轉(zhuǎn)動(dòng)定律： （3）（一）用運(yùn)動(dòng)學(xué)方法：）（一）用運(yùn)動(dòng)學(xué)方法：glgllgglttN 6202230223213202222102 或 22002 gl 322020 gln 6220 （二）動(dòng)能定理：（二）動(dòng)能定理： 20210 IM glm

31、gLmlMI 3213121212020220 glN 6220 2211II或或:二）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒二）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒,0iiM,12CLLL則若定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所受對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩若定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所受對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩恒為零，則剛體對(duì)該軸的角動(dòng)量保持不變。恒為零，則剛體對(duì)該軸的角動(dòng)量保持不變。) 0( ZZZMCI 注意：角動(dòng)量守恒定理不僅對(duì)剛體成立而且對(duì)注意：角動(dòng)量守恒定理不僅對(duì)剛體成立而且對(duì)非非 剛體也成立。剛體也成立。一般有三種情況：一般有三種情況：A A：I I不變，不變， 也不變，保持勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。也不變，保持勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。B B：I I發(fā)生變化，但發(fā)生變化，但I(xiàn) I 不變，則不

32、變，則 要發(fā)生改變。要發(fā)生改變。C C：開始不旋轉(zhuǎn)的物體，當(dāng)其一開始不旋轉(zhuǎn)的物體，當(dāng)其一部分旋轉(zhuǎn)時(shí)，必引起另一部分部分旋轉(zhuǎn)時(shí)，必引起另一部分朝另一反方向旋轉(zhuǎn)。朝另一反方向旋轉(zhuǎn)。直升飛機(jī)后面的螺旋漿直升飛機(jī)后面的螺旋漿雙漿直升飛機(jī)雙漿直升飛機(jī)例例1 1：質(zhì)量為：質(zhì)量為M M、半徑為、半徑為R R的轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞通過中心的轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞通過中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為m m的人站在邊沿上，人和轉(zhuǎn)的人站在邊沿上，人和轉(zhuǎn)臺(tái)原來都靜止。如果人沿臺(tái)邊緣奔跑一周，求對(duì)臺(tái)原來都靜止。如果人沿臺(tái)邊緣奔跑一周，求對(duì)地而言，人和轉(zhuǎn)臺(tái)各轉(zhuǎn)動(dòng)了多少角度？地而言，人和轉(zhuǎn)臺(tái)各轉(zhuǎn)動(dòng)了多少角度？已知已知：0,RmM求求

33、：臺(tái)人,解解：以：以M。m為研究對(duì)象為研究對(duì)象 0外力矩M故角動(dòng)量守恒故角動(dòng)量守恒以地面為參照，建立軸以地面為參照，建立軸的正方向如圖：的正方向如圖：+MXm)1(0 臺(tái)臺(tái)人人 II02122臺(tái)人MRmR)2(2臺(tái)人mMttdtmMdt002臺(tái)人因人和臺(tái)原來都靜止故因人和臺(tái)原來都靜止故角動(dòng)量角動(dòng)量臺(tái)人,（2）式）式dt積分：積分：+MXm若人和轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度分別為若人和轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度分別為人臺(tái)ttdtmMdt002臺(tái)人) 3(2臺(tái)人mM)4(2 臺(tái)人mMm4臺(tái)mMM2人人+MX臺(tái)mAAm人臺(tái)子彈射入之前子彈射入之前子彈射入之后子彈射入之后MmvMM+mgNOM+NOmg已知已知：vmlM,求求：?

34、解解：例例2 2：一木桿長(zhǎng)：一木桿長(zhǎng) 可繞光滑端軸可繞光滑端軸O O旋轉(zhuǎn)。設(shè)這旋轉(zhuǎn)。設(shè)這時(shí)有一質(zhì)量為時(shí)有一質(zhì)量為m m的子彈以水平速度的子彈以水平速度 射入桿射入桿端并箝端并箝 入桿內(nèi)，求桿偏轉(zhuǎn)的角度。入桿內(nèi)，求桿偏轉(zhuǎn)的角度。vl射入前后的過程射入前后的過程角角 動(dòng)動(dòng) 量量 守守 恒！恒！在此過程中在此過程中N和和mg的力矩的角沖量可視為零的力矩的角沖量可視為零m1ZL2ZLmlvL 1 )31(222mlMlIL 系統(tǒng)在子彈射入之后的角動(dòng)量系統(tǒng)在子彈射入之后的角動(dòng)量：系統(tǒng)在子彈射入之前的角動(dòng)量系統(tǒng)在子彈射入之前的角動(dòng)量：) 1 ()31(lmMmv)31(22mlMlmlv依角動(dòng)量守恒定理：依角動(dòng)量守恒定理：子彈射入之前子彈射入之前mvMM+O1ZL以以M、m為研究對(duì)象，建立軸的正方向。為研究對(duì)象，建立軸的正方向。子彈射入之后子彈射入之后O2ZL以以M、m、地球地球?yàn)檠芯繉?duì)象，為研究對(duì)象，以桿端為勢(shì)能零點(diǎn)以桿端為勢(shì)能零點(diǎn)初態(tài)的機(jī)械能初態(tài)的機(jī)械能22121lMgIE 末